Coreção Novo Espaço pt2.pdf

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Propostas
de Resolução
A cópia ilegal viola os direitos dos autores.
Os prejudicados somos todos nós.
Belmiro Costa
Ermelinda Rodrigues
Matemática A
12.º ano
Parte 2

2
Índice
Manual – Parte 2
4 Funções exponenciais e logarítmicas 5
5 Funções trigonométricas 45
6 Primitivas. Cálculo integral 79
7 Números complexos 91
I S B N 9 7 8 - 9 7 2 - 0 - 8 4 8 3 4 - 5
Poderá encontrar no e-Manual Premium:
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(também em PDF no menu de recursos do projeto);
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as propostas de resolução assinaladas neste livro, com o ícone ( ), em
formato de aplicação interativa, permitindo a sua apresentação passo a passo.

5
NEMA12PR Unidade 4
5
Pág. 7
1.1.
1
1
1,5
3500 1 3552,5
100
C
 
= + =
 
 
O capital disponível ao fim de um ano é de 3552,50 €.
1.2.
2
2
1,5
3500 1 3605,79
100
C
 
= + ≈
 
 
O capital disponível ao fim de dois anos é de 3605,79 €.
1.3.
5
5
1,5
3500 1 3770,49
100
C
 
= + ≈
 
 
O capital disponível ao fim de cinco anos é de 3770,49 €.
2. Se os juros forem de pelo menos 500 euros, então o capital
disponível será de pelo menos 10 500 euros.
0,8 0,8
10500 10000 1 10500 1 1,05
100 100
n n
n
C
   
≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥
   
   
Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, concluiu-se
que Pedro deve manter o depósito durante 7 anos para obter
pelo menos 500 euros de juros.
Pág. 8
3.
Opção A :
2
1,3
8000 1 8104,34
100 2
C
 
= + ≈
 
×
 
Opção B :
12
1,25
8000 1 8100,57
100 12
C
 
= + ≈
 
×
 
Assim sendo, a opção mais favorável para a Sofia é a A.
Pág. 10
4.1. 4
4
1 1
0,0001 10
10000 10
−
= = =
4.2. 3
3
1 1
4
64 4
−
= =
4.3.
3
3 2
27 3 3
= =
4.4. 4
4
1 1
0,0016 5
625 5
−
= = =
4.5. 2
2
1 1
0,0625 4
16 4
−
= = =
4.6. ( ) ( )
2
2 4
2
2
1 1
2 2 2
4 2
− −
−  
= = = =
 
 
5. Comparando as bases das funções apresentadas, tem-se que
2 4
e
π . Então, a correspondência é: ( )
2 ;
x
y d
= →
4 ; e
x x x
y a y e c y b
= → = → =
π → .
Pág. 11
6.1. ( )
1
( ) 3 ,
3
x
x
g x f x x
−  
= − = = ∀ ∈
 
 
R
6.2. O gráfico de g é simétrico do gráfico de f em relação ao eixo
das ordenadas. A representação gráfica da função g é:
6.3. A função f é estritamente crescente pois é uma função do
tipo x
y a
= , em que 1
a , e a função g é estritamente
decrescente pois é uma função do tipo x
y a
= , em que 0 1
a
.
7. Como ( )
0 1
f = , exclui-se de imediato a opção (C). Sendo f
uma função estritamente decrescente, conclui-se que 0 1
a
.
Então, a opção correta é a (B).
Unidade 4 Funções exponenciais e logarítmicas
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6
Unidade 4
NEMA12PR Unidade 4
6
Pág. 12
8. O gráfico de f interseta o eixo das ordenadas no ponto ( )
0, 5 ,
isto é, ( )
0 5
f = . Ora, ( ) 0
0 5 3 5 4
f k k
= ⇔ + = ⇔ = .
Então, ( ) 4 3 x
f x −
= + .
( ) ( )
lim lim 4 3 4 0 4
x
x x
f x −
→+∞ →+∞
= + = + =
Assíntota horizontal: 4
y = . Logo, 4
b = .
9.1. O gráfico de h interseta o eixo das ordenadas no ponto
( )
0,4 , isto é, ( )
0 4
h = .
Ora, ( ) 0
0 4 2 4 3
h a a
= ⇔ + = ⇔ = .
9.2. A reta de equação 0
y = é uma assíntota horizontal do
gráfico da função 2x
y = , logo a reta de equação y = 3 é uma
assíntota horizontal do gráfico da função ( ) 3 2x
h x = + .
10.1. f
D = R ; ] [
1,
f
D′ = − +∞ e 1
y = − é uma equação da
assíntota horizontal do gráfico da função f.
1 1
, 2 0 , 1 2 1
x x
x x
+ +
∀ ∈ ⇔ ∀ ∈ − + − ⇔
R R
( )
, 1
x f x
⇔ ∀ ∈ −
R
10.2. O gráfico da função g obtém-se do da função f através das
seguintes transformações: simetria em relação ao eixo das
abcissas seguida de uma translação vertical associada ao vetor
( )
0, 3
v

.
Conclui-se então que: g
D = R ; ] [
,4
g
D′ = −∞ e 4
y = é uma
equação da assíntota horizontal do gráfico da função g.
( ) ( )
, 1 , 1
x f x x f x
∀ ∈ − ⇔ ∀ ∈ − ⇔
R R
( ) ( )
, 3 4 , 4
x f x x g x
⇔ ∀ ∈ − ⇔ ∀ ∈
R R
10.3. O gráfico da função h obtém-se do da função f através de
uma translação horizontal associada ao vetor ( )
1, 0
u

seguida de
uma translação vertical associada ao vetor ( )
0, 2
v

.
Conclui-se então que: h
D = R ; ] [
1,
h
D′
= +∞ e 1
y = é uma
equação da assíntota horizontal do gráfico da função h.
( ) ( )
, 1 1 , 2 1 1 2
x f x x f x
∀ ∈ − − ⇔ ∀ ∈ + − − + ⇔
R R
( )
, 1
x h x
⇔ ∀ ∈
R
Pág. 13
11.1.
1
2
1
7 7 7 7
2
x x
x
= ⇔ = ⇔ =
11.2.
( )
3 3 3 7 7
5 2 640 2 128 2 2 3 7
3
x x x
x x
× = ⇔ = ⇔ = ⇔ =⇔ =
11.3.
1 1 1 2
2
1 1
3 3 3 3 1 2
9 3
x x x x
x x
x x
+ + + −
=
⇔ =⇔ = ⇔ + =
− ⇔
1
3
x
⇔ =
−
11.4.
2
2 3 2
2
27 3 3 3 3 6 2
2
x
x x x x
x x x
+
+ +
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇔
2
5
x
⇔ =
11.5.
1 1 1
5 6 5 5 5 6 0
5
x x x
x
+ −
= − ⇔ × − + = ⇔
( )  ( )
2 2
condição
universal
5 5 6 5 1 0 5 0 5 5 6 5 1 0
x x x x x
⇔ × − × + = ∧ ≠ ⇔ × − × + =
Fazendo 5x
y
= , tem-se:
2 6 36 20
5 6 1 0
10
y y y
± −
− + = ⇔ = ⇔
1
1
5
y y
= ∨ = .
Como 5x
y
= , tem-se:
1
5 1 5
5
x x
= ∨ = ⇔
0 1
5 5 5 5 0 1
x x
x x
−
⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ =
− .
12.1.
x
∀ ∈R , tem-se:
2 2
2
0 0
9 9 ( ) 9
x x
x g x
≥ ⇔ − ≤ ⇔
⇔ − ≤ ⇔ ≤
x
∀ ∈R , tem-se:
( ) ( ) 9
9
9 0
0 ( )
g x
g x e e
h x e
≤ ⇔ ≤ ⇔
⇔ ≤
Então, ] ]
, 9
g
D′ = −∞ . Então, 9
0,
h
D e
′  
=   .
12.2.
( ) ( ) ( )
2 2
9 2 9 2
9 9 9
x x
h x g e e e e e
− −
=
− ⇔ =
− − ⇔ =⇔
2 2
9 2 7 7 7
x x x x
⇔ − = ⇔ = ⇔ =
− ∨ =
Pág. 14
13.1. 4
10 0,0001 10 10 4
x x
x
−
≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ −
Então, [ [
4,
x∈ − +∞ .
13.2. 3
1
2 0,125 2 2 2 3
8
x x x
x
−
⇔ ⇔ ⇔ −
Então, ] [
3,
x∈ − +∞ .
13.3.
( )
1 1
1
1 2 2 2
2 2
1
9 3 0 3 3 3 3 2 2
2
x
x x
x
+
+ +
− ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ + ≤ ⇔
3
4
x
⇔ ≤ − , então,
3
,
4
x
 
∈ −∞ −
 
 
.
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Funções exponenciais e logarítmicas
7
NEMA12PR Unidade 4
7
13.4.

1 1
, 0
1
0 0
x
x x x x x
x e
e x e e e x e e x
e
− −
∀ ∈
 
⋅ ⇔ ⋅ − ⋅ ⇔ − ⇔
 
  R
1 1
0
x x
e e
⇔ − ⇔ , então,
1
,
x
e
 
∈ +∞
 
 
.
13.5.
2
2
1
5 0 5 5 2 0 0
5
x x x
x
x x x x
− − −
− ≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ ⇔ ≤
Então, ] ]
,0
x∈ −∞ .
13.6.
1
1 7
7 8 7 7 8 0
7
x x x
x
− +
− ≤ − ⇔ − + ≤ ⇔
( )  ( )
2 2
condição
universal
7 8 7 7 0 7 0 7 8 7 7 0
x x x x x
⇔ − × + ≤ ∧ ≠ ⇔ − × + ≤
Fazendo 7x
y
= , tem-se: 2
8 7 0
y y
− + ≤ .
Vamos começar por determinar as soluções da equação
2
8 7 0
y y
− + =.
2 8 64 28
8 7 0 7 1
2
y y y y y
± −
− + = ⇔ = ⇔ = ∨ =
Assim, 2
8 7 0 1 7
y y y y
− + ≤ ⇔ ≥ ∧ ≤ .
Como 7x
y
= , tem-se: 7 1 7 7 0 1
x x
x x
≥ ∧ ≤ ⇔ ≥ ∧ ≤
Então, [ ]
0, 1
x∈ .
14.1.
a) 1 2 1 2 2 1 2
( ) 0 25 5 0 25 5 5 5
x x x
f x − − −
= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔
1
2 1 2
2
x x
⇔ =− ⇔ =
−
b) 1 2 1 2 0 1 2
( ) 24 25 5 24 1 5 5 5
x x x
f x − − −
= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔
1
0 1 2
2
x x
⇔ = − ⇔ =
14.2.
1 2 1 2
( ) 100 25 5 100 5 125
x x
f x − −
≥ − ⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ − ⇔
1 2 3
5 5 1 2 3 1
x
x x
−
⇔ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≥ −
[ [ [ [
1, 1, 0
A −
= ∩ − +∞ = −
R
15.1.
x
∀ ∈R , tem-se:
2 2
2
0 0
5 5 ( ) 5
x x
x f x
≥ ⇔ − ≤ ⇔
⇔ − ≤ ⇔ ≤
x
∀ ∈R , tem-se:
( ) ( ) 5
5
5 0
0 ( )
f x
f x e e
g x e
≤ ⇔ ≤ ⇔
⇔ ≤
Então, ] ]
,5
f
D′ = −∞ . Então, 5
0,
g
D e
′  
=   .
15.2.
( ) ( )
2 2
5 2 5 2
5 ( ) 5 5
x x
g x f e e e e e
− −
− ⇔ − − ⇔ ⇔
2 2
5 2 3 0
x x
⇔ − ⇔ −
2 2
3 0 3 3 3
x x x x
− = ⇔ = ⇔ = ∨ =
−
Assim, 2
3 0 3 3
x x x
− ⇔ − ∧ .
Conclui-se que 3 , 3
x  
∈ −
 
.
Pág. 15
16.1. x
∀ ∈R , tem-se:
4 0 4 0 7 4 7
x x x
− − −
⇔ − ⇔ − ⇔ ( ) 7
g x .
Então, ] [
,7
g
D′ = −∞ .
16.2. 1 2
,
x x
∀ ∈R , tem-se:
2
1
1 2 1 2 4 4 x
x
x x x x −
−
⇔ − − ⇔ ⇔
( ) ( )
2 2
1 1
1 2
4 4 7 4 7 4
x x
x x
g x g x
− −
− −
⇔ − − ⇔ − − ⇔ .
g é uma função crescente porque 1 2
, ,
x x
∀ ∈R
( ) ( )
1 2 1 2
x x g x g x
⇒ .
16.3.
( )
{ } ( ) [ [
{ }
: : 25,
h g f
D x D g x D x g x
= ∈ ∈ = ∈ ∈ − + ∞ =
R
( )
{ }
5
: 25 ,
2
x g x
 
= ∈ ≥ − = − +∞
 
 
R
Cálculos auxiliares:
{ } { } [ [
: 25 0 : 25 25,
f
D x x x x
= ∈ + ≥ = ∈ ≥ − =− +∞
R R .
( ) 2 5
25 7 4 25 4 32 2 2
x x x
g x − − −
≥ − ⇔ − ≥ − ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔
5
2 5
2
x x
⇔ − ≤ ⇔ ≥ −
16.4.
a) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
g x f x g x f x
⇔ −
Seja h a função definida por ( ) ( ) ( )
h x g x f x
= − .
h é contínua em [ ]
1, 1
− por ser a diferença entre funções
contínuas.
( ) ( ) ( )
1 1 1 7 4 24 3 24 0
h g f
− = − − − = − − = − e
( ) ( ) ( )
1
1 1 1 7 26 0
4
h g f
= − = − − , logo ( ) ( )
1 1 0
h h
− × .
Como h é contínua em [ ]
1, 1
− e ( ) ( )
1 1 0
h h
− × , o corolário
do teorema de Bolzano permite concluir que
] [ ( )
1,1 : 0
c h c
∃ ∈ − = , ou seja, ] [ ( ) ( )
1,1 :
c g c f c
∃ ∈ − = .
b) Pretende-se determinar graficamente o valor de c pertencente
ao intervalo ] [
1,1
− tal que ( ) ( )
g c f c
= .
Donde se conclui que 0,52
c ≈ − .
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8
Unidade 4
NEMA12PR Unidade 4
8
17.1. ( ) 2
0 4 0
x x
f
f x e e x x D
⇔ − ⋅ ∧ ∈ ⇔
( )
2 2
4 0 4 0 2 2
x
e x x x x x
⇔ − ∧ ∈ ⇔ − ⇔ − ∨ ⇔
R
] [ ] [
, 2 2,
x
⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞
Cálculo auxiliar:
2 2
4 0 4 4 4
x x x x
− = ⇔ = ⇔ = ∨ =
− ⇔
2 2
x x
⇔ = ∨ =
−
2
4 0 2 2
x x x
− ⇔ − ∨
17.2. Recorrendo à calculadora gráfica, deve-se determinar as
coordenadas dos pontos A, B, C e D, seguindo, por exemplo, os
procedimentos indicados a seguir:
Verificou-se que: ( )
2 , 0
A − , ( )
2 , 0
B , ( )
0 , 4
C e ( )
1,83 ; 4
D .
Então, [ ]
2
4 1,83
4 11,7 cm
2 2
ABCD
AB CD
A OC
+ +
= ×
= × ≈ .
Tarefa 1
1.1. ( ) 5 2 3 5 3 3 1
x x
f x x
= ⇔ + = ⇔ = ⇔ =
Donde se conclui que ( )
1 , 5
A e ( )
1, 0
D .
( ) 3
5 3 2 5 2 8 2 2 3 3
x x x
g x x x
− − −
= ⇔ − + = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = −
Donde se conclui que ( )
3 , 5
B − e ( )
3, 0
C − .
Então, [ ] ( ) 2
1 3 5 20 m
ABCD
A CD AD
= × = + × = .
1.2. Vamos começar por determinar graficamente as
coordenadas do ponto P, ponto de interseção dos gráficos das
funções f e g.
Conclui-se que ( )
2,344; 2,076
P − .
Então, [ ]
2
5 2,344 1 5 3,344
8,4 m
2 2
APD
A
× − − ×
= = ≈ .
1.3.
a)
( ) ( ) 3 5
3 3 2 2 3 2 32 2 2
x x x
g x f − − −
= ⇔ − + =+ ⇔ = ⇔ = ⇔
5 5
x x
⇔ − = ⇔ = −
b) ( )
1 1 1
2 0 2 3 2 0 2 2 3 0
2
x x x x
x
g x
+ + −
+ ⇔ − + ⇔ × − + ⇔
( )
2
, 2 0
2 2 3 2 1 0
x
x x
x
∀ ∈
⇔ × − × +
R
Fazendo 2x
y
= , tem-se 2
2 3 1 0
y y
− + .
2 3 9 8 1
2 3 1 0 1
4 2
y y y y y
± −
− + = ⇔ = ⇔ = ∨ =
Assim, 2 1
2 3 1 0 1
2
y y y y
− + ⇔ ∧ .
Como 2x
y
= , tem-se:
1 0
1
2 2 1 2 2 2 2 1 0
2
x x x x
x x
−
∧ ⇔ ∧ ⇔ − ∧ .
Então, ] [
1,0
x∈ − .
1.4. Pretende-se determinar a abcissa do ponto do gráfico de f
que está a igual distância de [AB] e de [CD]. Sabe-se que [AB] e
[CD] são paralelos e distam entre si 5 unidades. Assim sendo,
pretende-se resolver graficamente a equação ( )
5
2
f x = .
A abcissa do ponto pedido é 0,63
− .
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9
NEMA12PR Unidade 4
9
2.1.
1 2 2
2 2 2 2
(1) 2 2 3 2 2 1
(2) 1 2 3 1 2 4
p p
p p
f k k
f k k
× − −
× − −
 
=
− × − =
− × =
  
⇔ ⇔ ⇔
  
= × −
= ×
=
 
  
2
2
2 2 2
2
1
1
1
2
2
1 2
2 4 2 2
2
p
p
p p
p
k
k k
p
−
−
−
−


=
 = =

 
⇔ ⇔ ⇔
  
=

 
× = =



2.2. Atendendo aos resultados obtidos no item anterior, tem-se:
( ) −
= −
2 2
2 3
x
f x .
Ora, ′
∈
5 f
D se ∃ ∈ =
: ( ) 5
f
x D f x .
2 2 2 2 2 2 3
( ) 5 2 3 5 2 8 2 2 2 2 3
x x x
f x x
− − −
= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ − = ⇔
5
2
x
⇔ =
Donde se conclui que 5 f
D′
∈ .
2.3. Recorrendo à calculadora gráfica, pode proceder-se da
seguinte forma:
Conclui-se, então, que 0,38
b ≈ − .
Pág. 16
18.1. ( )
2
2
2
5 10
5 5
lim 1 lim 1
n n
e e
n n
 
   
+ = + = =
 
   
 
   
 
18.2.
1
4
4
1
1 4
lim 1 lim 1
4
n
n
e e
n n
 
 
 
+ = + = =
 
 
   
 
 
18.3. ( )
5
5
5
3 15
3 3
lim 1 lim 1
n n
e e
n n
− −
 
   
− = − = =
 
   
 
   
 
18.4.
3
3
3 1 3
8 8
1
1 8
lim 1 lim 1
8
n
n
e e
n n
− −
 
 
 
   
   
− = − = =
   
   
     
 
 
 
 
18.5.
3
3
3 7 21
4 4
7
7 4
lim 1 lim 1
4
n
n
e e
n n
− −
 
 
 
   
   
− = − = =
   
   
     
 
 
 
 
18.6.
2
2
2 2
3 3
3
lim 1 lim 1
3
n
n
e e
n n
π π
 
π
 
 
   
π
   
+ = + = =
   
   
     
 
 
 
 
19.1.
2 2 2
2 2 2 2 2
5 3 2 3 2 2
1
3 3 3 3 3
n n n
n n n n n
+ + + +
= = + =
+
+ + + + +
19.2.
2 2
3 3
2 2
2 2
lim lim 1 lim 1
3 3
n n
n
u
n n
+ −
   
= + = + =
   
+ +
   
2
3 3
2 3 2
2 2
2 2
lim 1 lim 1 1
3 3
n
e e
n n
+ −
−
   
= + × + = × =
   
+ +
   
Pág. 17
20.1.
8
5
3
8 8
1 lim 1
8
lim lim
3
3 3
1 lim 1
n n
n
n
n
n e
n n
e
n e
n
n n
 
   
+ +
   
 
+
     
 
= = = =
   
+  
   
+ +
 
   
 
   
20.2.
7
9
2
7 7
1 lim 1
7
lim lim
2
2 2
1 lim 1
n n
n
n
n
n e
n n
e
n e
n
n n
−
−
 
   
− −
   
 
−
     
 
= = = =
   
+  
   
+ +
 
   
 
   
20.3.
5
2
3
lim
3 3 2
lim lim
5
2 5 5
2 1
2 2
lim 1
n n
n
n
n n
n
n e
n
n
−
   
 
  +∞
   
 
= = = =
   
−  
   
−
 
   
 
  −
 
 
 
 
+∞
20.4.
2 2
1 lim 1
2
lim lim
3 3 3
1 lim 1
n n
n
n
n
n n
n
n
n
n n
 
   
+ +
 
   
   
 
+  
   
= = =
   
   
−  
   
−
  −
 
 
   
 
   
2
2 3
3
e
e
e
+
−
= =
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Unidade 4
NEMA12PR Unidade 4
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20.5.
2
2 2
2 2
2
2
2
3
4 1
4 3 4
lim lim
1
4 1
4 1
4
n
n n
n n
n
n
n
−
−
 
 
+
 
 
 
+  
 
= =
 
 
+  
  +
 
 
 
 
2
2
1
1
3
2
4 3
1
4
2
1 1 1
1
4
4
2
3
4
lim 1
1
4
lim 1
n
n
n
e
e
e
e
e
n
−
−
−
−
− −
−
 
 
 
 
 
+
 
   
 
   
 
 
   
= = = =
   
 
   
   
 
+
 
 
 
 
 
 
 
21.
8
1
8
lim lim lim
8
8
1
n
n
n
n
n n
u
n
n
n
 
 
− −
 
 
−
   
 
= = =
   
+  
  +
 
 
 
 
( )
8
lim 1
lim 1
8
lim 1
n
n
n
n
n
 
−
 
 
= − ×
 
+
 
 
Se n é par, tem-se
8
16
8
lim 1
n
e
u e
e
−
−
=
× = .
Se n é ímpar, tem-se
8
16
8
lim 1
n
e
u e
e
−
−
=− × =− .
Donde se conclui que a sucessão ( )
n
u não tem limite.
Pág. 18
22.1.
( )
0 0 0
3 1
3 3 3 1 3 3
lim lim lim 1
2 2 2 2 2
x
x x
x x x
e
e e
x x x
→ → →
−
− −
= = = × =
22.2.
( )
2 2
0 0 0
1 1
lim lim lim 1
x
x x
x x x
x e
xe x e
x
x x
→ → →
−
− −
= = =
22.3.
( )
2
0 0 0 0
1 1
lim lim lim lim 1 1 1
x x
x x x
x
x x x x
e e
e e e
e
x x x
→ → → →
−
− −
= = × = × =
23. Se a reta r é paralela à reta de equação y ex
= então r
m e
= .
( ) ( ) 1
x x
r
m e f x e e e e e x
′
′
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ; ( ) 1
1
f e e
= = .
Então, ( )
1,
P e .
24.1. ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 2 3
3
x x x x
f x x e e x x e e x
− − − −
′ ′
′ = × + × = × + − × =
( )
2 3
3
x
e x x
−
= −
24.2. ( )
2 1 2 1 2 1
2
2 1 1 1
2
x x x
x x x
x
f x e e e
x x x
+ + +
′ ′
+
   
′ = =
+ =
−
   
   
24.3. ( )
1 1
2
1 1
x x
f x e e
x x
′
 
′ = = −
 
 
24.4. ( ) ( )
2
2
2
x
x x
x
xe
f x e xe
e
−
− −
′
 
− ′
′ = = − =
 
 
( )
( )
2 2
2 2
2 1 2 2 2 1
2 1 2
x
x x x
x x x
x e x
e e e x
e e e
− − − − − − + −
=− − × + − = − =
Pág. 19
25. 0 é ponto aderente e pertence ao domínio de j.
( )
( )
0 0 0 0
1
1 1
lim lim lim lim 1
x
x x
x x x x
e
e e
j x
x x x
→ → → →
− −
− −
= = =
− =
−
( )
0 k
j e
= −
Para a função ser contínua em 0 tem de existir limite quando x
tende para 0, ou seja, ( ) ( )
0
lim 0
x
j x j
→
= .
Então, tem-se: 1 1 0
k k
e e k
− =
− ⇔ = ⇔ = .
26. ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 1 1 1
2
x x x x
g x x e e x e xe x
− − − −
′
′
′ = × + ×= + − ×=
( )
2
1 2
1 2
x
e x
−
= −
( ) ( ) ( )
2 2
1 1 2
1 2
x x
g x g x xe e x
− −
′
= ⇔ = − ⇔
( ) ( )
2 2 2
2
1
1 1 2 1 2
, 0
1 2 0 1 2 0
x
x x x
x e
xe e x e x x
−
− − −
∀ ∈ ≠
⇔ − − = ⇔ − + = ⇔
R
2 1
2 1 0 1
2
x x x x
⇔ + − = ⇔ = ∨ =
−
Como A B
x x
, conclui-se que 1
A
x = − e
1
2
B
x = .
27. O domínio da função f é R .
Se 0
x , então ( ) ( )
x x
f x e e
′
′
= = .
Se 0
x , então ( ) ( )
2
x x
f x e e
′
′ =
− + =
− .
Seja 0
x = , então:
( )
( ) ( )
0 0
0 0 1
0 lim lim 1
h
h h
f h f e
f
h h
− −
−
→ →
+ − −
′
= = =
( )
( ) ( )
0 0
0 0 2 1
0 lim lim
h
h h
f h f e
f
h h
+ +
+
→ →
+ − − + −
′
= = =
0 0
1 1
lim lim 1
h h
h h
e e
h h
+ +
→ →
 
− + −
= =
− =
−
 
 
Como ( ) ( )
0 0
f f
− +
′ ′
≠ então a função não é derivável em 0
x = .
Assim, a função derivada de f é definida por:
{ }
′ →



−


R R
֏
: 0
se 0
se 0
x
x
f
e x
x
e x
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11
NEMA12PR Unidade 4
11
Pág. 20
28.1. 0 é ponto aderente e pertence ao domínio de f.
( )
0 0 0
1 1 1 1 1
lim lim lim 1
2 2 2 2
x x
x x x
e e
f x
x x
− − −
→ → →
− −
= = = × =
( ) 2
0 0
lim lim 3 0
2
x x
x
f x x
+ +
→ →
 
= +
=
 
 
Não existe ( )
0
lim
x
f x
→
. Donde se conclui que f não é contínua no
ponto de abcissa 0.
28.2. A função f não é diferenciável em 0
x = . Se fosse
diferenciável em 0
x = , então a função seria contínua nesse
ponto (o que não acontece).
28.3. O domínio da função f é R .
Se 0
x , então ( )
( )
( )
2
2 1 2
1
2 2
x x
x e x e
e
f x
x x
′ × − − ×
 
−
′
= = =
 
 
2 2
2 2 2 1
4 2
x x x x
xe e xe e
x x
− + − +
= = .
Se 0
x , então ( ) 2 1
3 6
2 2
x
f x x x
′
 
′ = + = +
 
 
.
Seja 0
x = , então:
( )
( ) ( )
0
0 0
0 lim
h
f h f
f
h
−
−
→
+ −
′
= =
( )
2
0 0 0
1
0
1 1 1
2
lim lim lim 1
2
2
h
h h
h h h
e
e e
h
h h h
h
− − −
→ → →
−
−  
− −
= = = × = × −∞ = −∞
 
 
;
( )
( ) ( )
2
0 0
3 0
0 0 2
' 0 lim lim
h h
h
h
f h f
f
h h
+ +
+
→ →
+ −
+ −
= = =
0 0
1
3
1 1
2
lim lim 3
2 2
h h
h h
h
h
+ +
→ →
 
+
 
 
 
= = +=
 
 
Como ( ) ( )
0 0
f f
− +
′ ′
≠ então a função não é derivável em 0
x = .
Assim, a função derivada de f é definida por:
{ }
′ →
 − +




 +


R R
֏
2
: 0
1
se 0
2
1
6 se 0
2
x x
f
xe e
x
x
x
x x
29.1. Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 1.
Sabe-se que ( )
1
t
m f ′
= .
Como ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
x x x x
f x x e e x e e x
′
′
′ = − × + × − = × + × − =
x
xe
= , tem-se t
m e
= .
:
t y ex b
= +
Como o ponto de coordenadas ( )
1, 0 pertence à reta t, tem-se:
0 1
e b b e
= × + ⇔ =
− .
Uma equação da reta t é: y ex e
= − .
29.2.
( ) ( ) ( ) ( ) 1
x x x x x
f x xe x e e x e e x
′ ′
′
′′ = = × + × = × + × =
( )
1
x
e x
= + ;
( ) ( )
0 1 0 0 1 0
x x
f x e x e x
′′ = ⇔ + = ⇔ = ∨ + = ⇔ = −1
x
x −∞ +∞
f ′′ − 0 +
f ( )
2
1
f
e
− =
−
No intervalo ] ]
, 1
−∞ − , a concavidade é voltada para baixo.
No intervalo [ [
1,
− +∞ , a concavidade é voltada para cima.
Ponto de inflexão:
 
− −
 
 
2
1,
e
30.
( )
− − −
′
   
′ = − = − − = +
   
 
 
2
2 2 2
2 1 1
8 8 2 4 2
x x x
ex ex ex
f x e e e
( )
− − −
′
   
′′ = + = + − = −
   
 
 
2 2 2
1 1 1 1
4 2 4 2 2 4 4
x x x
ex e e
f x e e e
( )
− −
′′ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = −
2 2
1
0 0 1 2
4 4 2
x x
e x
f x e e e x
x −∞ 2
− +∞
f ′′ − 0 +
f ( )
2
f −
O gráfico de f tem um único ponto de inflexão, de abcissa 2
− .
Tarefa 2
1.1. Sendo ( ) x
f x e e
= − , então ( ) 0
2
2
x x
x
e e
f x
e
′ =
− =
− .
Seja t a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0.
( )
0
1
' 0
2 2
t
e
m f
= =
− =
− e ( ) 0
0 1
f e e e
=
− =
− .
O ponto (0, 1)
P e − pertence à reta
1
:
2
t y x b
=
− + , logo:
1
1 0 1
2
e b b e
− =
− × + ⇔ = − .
Assim, a reta t é definida pela equação
1
1
2
y x e
=
− + − .
1.2. Se a reta tangente ao gráfico de f no ponto P é
perpendicular à reta de equação 3
2
5
y x
e
= − então o seu declive
é
3
2
e
− .
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12
Unidade 4
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( )
3 3
3
2
1
3 6
2 2 2 2
x
x
e e x
f x e e e x
′ =
− ⇔ − =
− ⇔ =⇔ =
⇔ =
( ) 6 3
6
f e e e e
=
− =
−
Assim, ( )
3
6,
P e e
− .
1.3.
( )
1 1
2 2 4 2 2
2
x x x x
x
e e e e
f x
e
′
   
′′    
=
− =
− × =
− =
− =
   
   
( )
( )
1
2 2
f x
f x
′
′
= =
2.1.
( ) ( )
− − − −
′
   
′= = + − = −
   
 
 
2 2 2
2 2 2 2
1
2 4 2 4
2
x x x x
f x x e xe e x e x x
( ) ( )
− −
= ⇔ − = ⇔ = ∨ − = ⇔





2 2
2 2
impossível
' 0 4 0 0 4 0
x x
f x e x x e x x
0 4
x x
⇔ = ∨ =
x −∞ 0 4 +∞
f ′ − 0 + 0 −
f 0 2
32e−
f é estritamente crescente no intervalo [ ]
0, 4 .
f é estritamente decrescente no intervalo ] ]
, 0
−∞ e no intervalo
[ [
4, +∞ .
Mínimo: 0 ; Máximo: 2
32e−
.
2.2.
( ) ( ) ( ) ( )
− − −
′
 
′′ = − =
− − + − =
 
 
2 2
2 2 2
1
4 4 4 2
2
x x x
f x e x x e x x x e
−  
= − +
 
 
2
2
4 4
2
x
x
e x ; ( )
−  
′′ = ⇔ − + = ⇔
 
 
2
2
0 4 4 0
2
x
x
f x e x
−
⇔ = ∨ − + = ⇔ − + = ⇔





2
2
2
impossível
0 4 4 0 8 8 0
2
x
x
e x x x
4 2 2 4 2 2
x x
⇔ = + ∨ = −
x −∞ 4 2 2
− 4 2 2
+ +∞
f ′′ + 0 − 0 +
f ( )
4 2 2
f − ( )
4 2 2
f +
Donde se conclui que as abcissas dos pontos P e Q, e
consequentemente dos pontos A e B, são 4 2 2
− e 4 2 2
+ .
Então, [ ]
2
2
4 2 32 64 2
2
ABC
e
A
e
−
×
= = .
Pág. 21
Proposta 1
1.1.
a)
2
3
20000 1 20604,5
100 2
C
 
= + ≈
 
×
 
Se o Sr. José optasse pelo banco A, o seu capital ao fim de um
ano seria de 20 604,50 €.
b)
4
3
20000 1 21227,27
100 2
C
 
= + ≈
 
×
 
Se o Sr. José optasse pelo banco A, o seu capital ao fim de dois
anos seria de 21 227,27 €.
1.2.
Banco B:
12
2,98
20000 1 20604,21
100 12
C
 
= + ≈
 
×
 
Banco A:
2
3
20000 1 20604,5
100 2
C
 
= + ≈
 
×
 
A melhor proposta para o Sr. José é a do banco A.
Proposta 2
2.1.
a)
4
5
10000 1 10509,45
100 4
C
 
= + ≈
 
×
 
Se as capitalizações forem trimestrais, o capital acumulado pela
mãe da Luísa ao fim de um ano será de 10 509,45 €.
b)
4
5
10000 1 10512,67
100 4
C
 
= + ≈
 
×
 
Se as capitalizações forem diárias, o capital acumulado pela mãe
da Luísa ao fim de um ano será de 10 512,67 €.
2.2. No caso de as capitalizações serem contínuas, o capital
acumulado ao fim de um ano será dado por:
5 0,05
lim 10000 1 10000 lim 1
100
n n
C
n n
 
   
= + = × + =
 
   
×
   
 
 
0,05
10000 e
= × euros.
Proposta 3
3.1. Ao fim do 2.º dia há 9 pessoas doentes: as 3 que estavam
doentes no final do 1.º dia mais as 6 pessoas que foram
contagiadas (cada um dos 3 doentes contagiou outros dois).
3.2.
a) A função f é definida por ( ) 0
3 ,
x
f x x +
= ∈R .
b1) Como o ponto A pertence ao gráfico da função f e tem
abcissa 6, a sua ordenada é dada por 36, ou seja, é igual a 729.
b2) Como o ponto B pertence ao gráfico da função f e tem
ordenada 2187, a sua abcissa é a solução da equação 3x = 2187,
ou seja, é 7.
( ) 7
2187 3 2187 3 3 7
x x
f x x
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
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13
NEMA12PR Unidade 4
13
Pág. 22
Proposta 4
Determinando a imagem de zero através de cada uma das
funções podemos facilmente fazer corresponder a cada função
uma das representações gráficas.
( ) 0
0 2 1
f = = ; ( ) 0
0 2 1
g =
− =
− ;
( ) ( )
1 0
1
0 2 ; 0 1 2 0.
2
h j
−
= = =
− + =
Assim sendo, a correspondência é a seguinte:
I − h ; II − f ; III − g ; IV − j .
Proposta 5
5.1. ( ) 3 1
0 2
8
f −
= = , ( ) 0
0 2 3 1 3 2
g = − = − =
− e ( ) 3 0
0 2 8
h −
= = .
Assim, a correspondência é a seguinte: f − III; g − II; h − I.
5.2. ( )
3
, 2 0 , 0
x
x x f x
−
∀ ∈ ⇔ ∀ ∈
R R . Logo,
] [
0,
f
D′
= +∞ .
( )
, 2 0 , 2 3 3 , 3
x x
x x x g x
∀ ∈ ⇔ ∀ ∈ − − ⇔ ∀ ∈ −
R R R
Então, ] [
3,
g
D′ = − +∞ .
( )
3
, 2 0 , 0
x
x x h x
−
∀ ∈ ⇔ ∀ ∈
R R . Assim sendo,
] [
0,
h
D′
= +∞ .
5.3.
a) O gráfico de f não interseta o eixo das abcissas porque 0 f
D′
∉ .
b) Como ( )
0 2
g = − , o gráfico de g interseta o eixo das
ordenadas no ponto de coordenadas ( )
0, 2
− .
c) A abcissa do ponto de interseção dos gráficos das funções de f
e de h é a solução da equação ( ) ( )
f x h x
= .
( ) ( ) 3 3
2 2 3 3 2 6 3
x x
f x h x x x x x
− −
= ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = ⇔ =
A ordenada do ponto de interseção dos gráficos das funções f e h
é ( ) 3 3 2
3 2 2 1
h −
= = = . Os gráficos de f e de h intersetam-se no
ponto de coordenadas ( )
3, 1 .
5.4.
a) ( ) 2 2 3 2 2 1 0
x x
g x x
− ⇔ − − ⇔ ⇔
Então, ] [
0,
A
= +∞ .
b) ( ) 3 3 0
1 2 1 2 2 3 0 3
x x
h x x x
− −
⇔ ⇔ ⇔ − ⇔
Então, ] [
3,
B
= + ∞ .
Proposta 6
6.1.
1 1
5
x
x
b
b
−
= =
6.2.
15
5
3
x
x y
y
a
a
a
−
= = =
6.3.
5 1
15 3
x x
x
b b
a a
 
= = =
 
 
6.4. 15 3 45
x y x y
a a a
+
= × = × =
6.5. ( )
2 2
5 25
x
b = =
6.6. 2
3
y
y
a a
= =
Pág. 23
Proposta 7
7.1.
1 1 5
1
3 3 3 1 5 6
243
x x
x x
+ + −
= ⇔ = ⇔ + =
− ⇔ =
−
O conjunto-solução da equação é{ }
6
− .
7.2.
1 1 5
4 1024 4 4 1 5 4
x x
x x
+ +
= ⇔ = ⇔ + = ⇔ =
O conjunto-solução da equação é { }
4 .
7.3.
( )
2 2 2 6
2 3 1459 3 729 3 3 2 6 3
x x x
x x
× = ⇔ = ⇔ = ⇔ =⇔ =
3 .
7.4.
( )
5 5 5 5 2 2
1 1 2 2
2
1 1 1
3 3 3 3 3
9 3
3
x x x x x
x x x
− − − − − −
+ + +
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔
5 2 2 1
x x x
⇔ − =
− − ⇔ =
1 .
7.5.
( ) 
impossível
5 0 5 0 0 5 0
x x x x
e xe e x e x
− = ⇔ − = ⇔ = ∨ − = ⇔
5
x
⇔ = .
5 .
7.6.
2 2 2
1
2
2
1
1
2
1 1 1
3 3 3 3
2
3 3
x
x x x
x
x
x
x
− +
−
−
− +
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔
2 1
2 1 0 1
2
x x x x
⇔ + − = ⇔ = ∨ =
−
O conjunto-solução da equação é
1
1,
2
 
−
 
 
.
7.7.
6 3 6
3 6 6 3 6
7 7 7
0,000007 10 10
10 10 10
x
x x
+
+ +
= ⇔ = ⇔ = ⇔
6 3 6 3 0 0
x x x
⇔ = + ⇔ = ⇔ =
0 .
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14
Unidade 4
NEMA12PR Unidade 4
14
7.8.
2 2
, 3 0
1
3 3 10 3 3 10 0
3 x
x x x
x
x
+ −
∀ ∈
+ = ⇔ × + − = ⇔
R
( )
2
9 3 1 10 3 0
x x
⇔ × + − × =
Fazendo 3x
y
= , tem-se: 2
9 10 1 0
y y
− + = ⇔
10 100 36 1
1
18 9
y y y
± −
⇔ = ⇔ = ∨ = . Como 3x
y
= , tem-se:
0 2
1
3 1 3 3 3 3 3 0 2
9
x x x x
x x
−
=
∨ =⇔ =∨ = ⇔ =
∨ =
− .
2,0
− .
7.9.
2 2
14 14 14 14
6272 6272 196 6272
7
7 7
x
x x
x x
+
×  
= ⇔ = ⇔ × = ⇔
 
 
5
2 32 2 2 5
x x
x
⇔ = ⇔ = ⇔ =
5 .
7.10.
1
2 3
Soma de 1 termos consecutivos
de umaprogressão geométrica de 2
1 2
1 2 2 2 ... 2 1023 1 1023
1 2
x
x
x
r
+
+
=
−
+ + + + + = ⇔ × = ⇔
−

1 1 10
2 1 1023 2 2 9
x x
x
+ +
⇔ − = ⇔ = ⇔ =
9 .
Proposta 8
8.1. ( ) 0
3 3 3 5
0 2 1
2 2 2 2
f k k k
=
− ⇔ + =
− ⇔ =
− − ⇔ =
−
8.2. Sendo
5
2
k = − , então ( )
5
2
2
x
f x= − .
( )
5 5 5
, 2 0 , 2 ,
2 2 2
x x
x x x f x
∀ ∈ ⇔ ∀ ∈ − − ⇔ ∀ ∈ −
R R R ,
logo
5
,
2
f
D
 
′ = − +∞
 
 
.
8.3. O ponto A pertence ao gráfico da função f e tem ordenada
igual a
11
2
k = , logo a sua abcissa é a solução da equação
( )
11
2
f x = .
( )
11 5 11 16
2 2 2 8 3
2 2 2 2
x x x
f x x
= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Então,
11
3,
2
A
 
 
 
.
Proposta 9
9.1.
−
⇔ ⇔ − ⇔ −
3
2 2 2
1 3 3
7 7 7 2
2 4
7 7
x x
x x
O conjunto-solução da inequação é
3
,
4
 
− +∞
 
 
.
9.2.
1
, 5 0
1
5 5 6 5 5 6 0
5 x
x x x
x
x
+ −
∀ ∈
+ ⇔ × + − ⇔
R
( )
2
5 5 1 6 5 0
x x
⇔ × + − ×
Fazendo 5x
y
= , tem-se 2
5 6 1 0
y y
− + .
2
5 6 1 0
y y
− + =.
2 6 36 20 1
5 6 1 0 1
10 5
y y y y y
± −
− + = ⇔ = ⇔ = ∨ =
Assim, 2 1
5 6 1 0 1
5
y y y y
− + ⇔ ∧ .
Como 5x
y = , tem-se:
1 0
1
5 5 1 5 5 5 5 1 0
5
x x x x
x x
−
∧ ⇔ ∧ ⇔ − ∧ .
O conunto-solução da inequação é ] [
1, 0
− .
9.3.
1
3 1 3 1 2
1 3
3 3 3 3 3 1 3
2 2
x x
x x
− − − −
≤ ⇔ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤
3 3 9 3
3 3
2 2 2 2
x x x x
⇔ − ≤ ∧ − ≥ − ⇔ ≤ ∧ ≥
O conjunto-solução da inequação é
3 9
,
2 2
 
 
 
.
9.4.
1
3 1 8
2 9 8 8 9 0
8
x x x
x
− +
− ≤ − ⇔ − + ≤ ⇔
( )  ( )
2 2
condição
universal
8 9 8 8 0 8 0 8 9 8 8 0
x x x x x
⇔ − × + ≤ ∧ ≠ ⇔ − × + ≤
Fazendo 8x
y
= , tem-se:
2
9 8 0
y y
− + ≤ .
2
9 8 0
y y
− + =.
2 9 81 32
9 8 0 8 1
2
y y y y y
± −
− + = ⇔ = ⇔ = ∨ =
Assim, 2
9 8 0 1 8
y y y y
− + = ⇔ ≥ ∨ ≤ .
Como 8x
y
= , tem-se:
8 1 8 8 0 1
x x
x x
≥ ∧ ≤ ⇔ ≥ ∧ ≤ .
O conjunto-solução da inequação é [ ]
0, 1 .
9.5.
Zeros: ( )( )
1 1
2 8 1 0 2 8 0 1 0
x x
x x
+ +
− + = ⇔ − = ∨ + = ⇔
1 3
2 2 1 2 1
x
x x x
+
⇔ = ∨ =
− ⇔ =∨ =
−
x −∞ 1
− 2 +∞
1
2 8
x+
− − − − 0 +
1
x + − 0 + + +
( )( )
1
2 8 1
x
x
+
− + + 0 − 0 +
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15
NEMA12PR Unidade 4
15
Da análise do quadro resulta que:
( )( )
1
2 8 1 0
x
x
+
− + ≥ ⇔ ] ] [ [
, 1 2,
x
⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ .
O conjunto-solução da inequação é ] ] [ [
, 1 2,
−∞ − ∪ +∞ .
9.6. Zeros: ( )( )
2 2
3 1 16 4 0 3 1 0 16 4 0
x x x x
− −
− − = ⇔ − = ∨ − = ⇔
2 0 2
3 3 4 4 0 2
x x
x x
−
⇔ = ∨ = ⇔ = ∨ =
−
x −∞ 2
− 0 +∞
2
3 1
x
− − − − 0 +
16 4 x
−
− − 0 + + +
( )( )
2
3 1 16 4
x x
−
− − + 0 − 0 +
( )( )
2
3 1 16 4 0
x x
−
− − ⇔ ] [
2,0
x∈ −
O conjunto-solução da inequação é ] [
2, 0
− .
Proposta 10
10.1.
a)
1 2 1 2 3 1 2
( ) 0 8 2 0 8 2 2 2
x x x
f x + + +
= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔
3 1 2 1
x x
⇔ = + ⇔ =
b)
1 2 1 2 0 1 2
( ) 7 8 2 7 1 2 2 2
x x x
f x + + +
= ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔
1
0 1 2
2
x x
⇔ =+ ⇔ =
−
10.2.
1 2 1 2
( ) 120 8 2 120 2 128
x x
f x + +
≥ − ⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ − ⇔
1 2 7
2 2 1 2 7 3
x
x x
+
⇔ ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤
] ] ] ]
, 3 0, 3
A +
= ∩ −∞ =
R
Pág. 24
Proposta 11
11.1. ( ) ( ) 3
2 6 2 2 2 8 2 2 3
x x x
f x g x
=− ⇔ − =
− ⇔ =
⇔ =⇔ =
11.2.
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
2
2 2
2 6 2 x
h x f g x f g x f x −
= = = − =−

x
∀ ∈R , tem-se:
2 2 2
0 0 2 2
x x x
≥ ⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔
2 2 2
2 2 2 2
0 2 2 0 2 4 6 6 2 6 4
x x x
− − −
⇔ ≤ ⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ − ⇔
( )
6 2
h x
⇔ ≥
Então, [ [
2,6
h
D′ = .
Donde se conclui que a equação ( ) 1
h x = é impossível.
Proposta 12
12.1. Como A é o ponto de interseção dos gráficos das funções f
e g, a sua abcissa é a solução da equação ( ) ( )
f x g x
= .
( ) ( )
( )
1 1 1
3
3
1 1 1
2 2 2
8 2
2
x x x
x x x
f x g x + + +
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔
1 3 1
2 2 1 3
4
x x
x x x
+ −
⇔ = ⇔ + =
− ⇔ =
−
A ordenada do ponto A é igual a
1
4
g
 
−
 
 
.
Como
1
4
4
1
4
1 1
8 8
4
8
g
−
 
− = = =
 
 
, então 4
1
, 8
4
A
 
−
 
 
.
B é o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo das
ordenadas, logo ( )
( )
0 , 0
B f .
Como ( ) 0 1
0 2 2
f +
= = , então ( )
0 , 2
B .
12.2.
( )
1
3 2
1 1 1
2 2 2 2 3
2 6
8
x
x
g x x x
−
⇔ ⇔ ⇔ − ⇔ −
O conjunto-solução da inequação ( ) 2
g x é
1
,
6
 
−∞ −
 
 
.
Proposta 13
13.1. Como o vértice B tem abcissa 2 e pertence ao gráfico da
função f , sabe-se que a sua ordenada é igual a ( )
2
f .
( ) 2 1 5
2 2 1 1
4 4
f −
= + = + = , logo
5
2,
4
B
 
 
 
.
b) Como o vértice C pertence ao gráfico da função f e tem
ordenada 9, para determinar a sua abcissa tem-se de resolver a
equação ( ) 9
f x = .
( ) 3
9 2 1 9 2 8 2 2 3 3
x x x
f x x x
− − −
=⇔ + =⇔ =⇔ = ⇔ − =⇔ =
−
Assim, conclui-se que ( )
3,9
C − e ( )
3,0
D − .
O trapézio tem 5 cm de altura ( )
5
AD = .
13.2.
a) Sabe-se que ( )
,2 1
x
C x −
+ e ( )
,0
D x , com x −
∈R .
2
5
4 2 1 4 2 4 2 2 2
4
x x x
CD AB x
− − −
=× ⇔ + =× ⇔ =⇔ = ⇔ − =⇔
2
x
⇔ =
−
b)
[ ] ( )
5
2 1
4 2
2 2
x
ABCD
CD AB
A AD x
−
+ +
+
= ×
= × −
=
( )
1 9
2 2
8
x
x
− −
 
= + × −
 
 
A equação que traduz o problema é a seguinte:
( )
1 9
2 2 265
8
x
x
− −
 
+ × − =
 
 
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16
Unidade 4
NEMA12PR Unidade 4
16
Recorrendo à calculadora gráfica, pode proceder-se da seguinte
forma:
A abcissa dos pontos C e D deve ser igual a −6.
13.3. ( )
0 2
f = ;
A área do trapézio tende para
5
2
4 2
2
+
× =
5 13
2 3,25
4 4
+ = = .
Quando x tende para zero, a área do trapézio tende para
3,25 cm2.
Pág. 25
Proposta 14
14.1. , 2 0 , 2 0
x x
x x
∀ ∈ ⇔ ∀ ∈ − ⇔
R R
( )
, 6 2 6 , 6
x
x x f x
⇔ ∀ ∈ − ⇔ ∀ ∈
R R
f
D = R , ] [
, 6
f
D′ = −∞ e 6
y = é uma equação da assíntota
horizontal do gráfico da função f.
g
D = R ; ] [
0,
g
D′
= +∞ e y = 0 é uma equação da assíntota
horizontal do gráfico da função g.
14.2.
a) ( ) 3
2 6 2 2 2 8 2 2 3
x x x
f x x
≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
Então, [ [
3,
x∈ +∞ .
b) ( )( ) ( ) ( )
6 6 6 2 4 6
x x
f g x f x g x
+ ⇔ + ⇔ − + ⇔
2
4 2 2 2 2 0
x x x x
x x x
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
Então, ] [
,0
x∈ −∞ .
c) ( ) ( ) 2
6 2 4 2 2 6 0
x x x x
f x g x
⇔ − ⇔ − − + ⇔
( )
2
2 2 6 0
x x
⇔ + −
Fazendo 2x
y
= , tem-se: 2
6 0
y y
+ − . Vamos começar por
determinar as soluções da equação 2
6 0
y y
+ − =.
2 1 1 24
6 0 2 3
2
y y y y y
− ± +
+ − = ⇔ = ⇔ =∨ =
−
Assim, 2
6 0 3 2
y y y y
+ − ≤ ⇔ − ∨ .
Como 2x
y
= , tem-se:
Condição
universal
2 3 2 2 1
x x
x
− ∧ ⇔




 .
Então, ] [
, 1
x∈ −∞ .
14.3. O ponto P é o ponto de interseção dos gráficos das funções
f e g. Assim, ( )
1,4
P .
Se P pertence ao gráfico de h, então ( )=
1 4
h .
( ) 1 1
1 4 3 4 4 12
3
h k k k
−
= ⇔ × = ⇔ × = ⇔ =
Proposta 15
15.1.
5
7
2
5 5
1 lim 1
5
lim lim
2
2 2
1 lim 1
n n
n
n
n
n e
n n
e
n e
n
n n
−
−
 
   
− −
   
 
−
     
 
= = = =
   
+  
   
+ +
 
   
 
   
15.2.
1
3 1
3 1 3
lim lim
2
7 2
7 1
7
n
n n
n n
n
n
n
 
 
−
 
 
−
   
 
= =
   
+  
  +
 
 
 
 
1
3
2
7
1
3
lim 1
3
lim 0 0
7 2
7
lim 1
n
n
n
n
e
e
n
−
 
 
−
 
 
 
   
= × =
× =
 
   
 
+
 
 
 
 
15.3.
1 2 8 1 7
lim 2 lim lim
4 4 4
n n n
n n n n
n n n
+ + − − +
     
− = = =
     
+ + +
     
7
3
4
7 7
1 lim 1
lim
4 4
1 lim 1
n n
n
n
e
n n
e
e
n
n n
 
   
+ +
   
 
   
 
= = = =
 
   
+ +
 
   
 
   
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Editora

17
NEMA12PR Unidade 4
17
15.4.
3 3 3
lim 1 lim 1 1
n
n
n n n
 
  
 
− = − + =
 
  
    
 
    
 
3 3 0
3 3
lim 1 lim 1 1
n n
e e e
n n
−
   
= − × + = × = =
   
   
   
15.5.
1 2 8 1 7
lim 2 lim lim
4 4 4
n n n
n n n n
n n n
+ − − + + − −
     
− +
= = =
     
+ + +
     
( )
7 7
1 lim 1
lim lim 1
4 4
1 lim 1
n n
n
n
n
n n
n
n n
 
   
− + +
   
 
   
 
= = − ×
 
   
+ +
 
   
 
   
Se n é par, tem-se
7
3
4
1
lim 2 1
4
n
n e
e
n e
+
 
− + = × =
 
+
 
.
Se n é ímpar, tem-se
7
3
4
1
lim 2 1
4
n
n e
e
n e
+
 
− + =− × =−
 
+
 
.
Donde se conclui que não existe
1
lim 2
4
n
n
n
+
 
− +
 
+
 
.
15.6.
2
2 2
2
2
2
2
1
2
lim lim
1
2 1
2 1
2
n
n n
n n
n
n
n
 
 
−
 
 
 
−  
 
= =
 
 
+  
  +
 
 
 
 
2 2
2 2
2 2
lim 1 lim 1
1
lim 0 0
2 1 1
2 2
lim 1 lim 1
n n
n
n n
n n
n n
   
− −
   
     
=
× =
× =
 
     
   
+ +
   
   
   
   
Proposta 16
16.1.
0
3 3
0
0 3 0
1 1
lim lim 3 1 3 3
3
x x
x x
e e
x x
→ →
 
− −
= × = × =
 
 
16.2.
0
2 2
0
0 2 0
1 1
lim lim 2 1 2 2
2
x x
x x
e e
x x
→ →
 
− −
= × =× =
 
 
 
16.3.
( )
0
2 2
2 4 2 2
0
0 0 0 0
1 1
lim lim lim lim
5 5 5
x x
x x x x
x x x x
e e
e e e e
x x x
→ → → →
− −
− − −
= = × =
( )
2
2 0
1 1 1 2
lim 2 1 2
5 2 5 5
x
x
e
x
→
 
− −
= × × =
− × × =
−
 
 
16.4.
( )
0
0
0 0 0 0
1
lim lim lim lim
1 1 1
1
x x x
x
x x x x
x x x
e e e
e
x
→ → → →
= =
− =
− =
− − −
− −
0
1 1
1
1
1
lim
x
x
e
x
→
=
− =
− =
−
−
16.5.
( )
0
3
4 3
0
0 0 0 0
1 1
lim lim lim lim
6 6 6
x x
x x x x
x x x x
e e
e e e e
x x x
→ → → →
− −
− − −
= = × =
( )
3
3 0
1 1 1 1
lim 3 1 3
6 3 6 2
x
x
e
x
→
 
− −
= × × =
− × × =
−
 
 
16.6.
( )( ) ( )
0
1 1
0
2
1 1 0
1 1 1
lim lim lim
1 1 2
1
x x y
x x y
e e e
x x y y
x
− −
→ → →
− − −
= =
− =
− − + +
−
0
1 1 1 1
lim 1
2 2 2
y
y
e
y y
→
 
−  
=
− × =
− × =
−
   
+  
 
Mudança de variável:
Fazendo 1
x y
− = , vem 1
y x
= + . Se 1
x → , então 0
y → .
Pág. 26
Proposta 17
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2
h x h x h x
h x
j x e h x e e
h x
′
′ ′
′ = = × = × =
( )
( )
( )
2
h x
h x
e
h x
′
= ×
Por observação gráfica, sabe-se que ( )
1
1
4
h = .
Seja t a reta tangente ao gráfico de h no ponto de abcissa 1.
( )
1 1 2
1
4 4 4
1
1 0 1 2
t
h m
 
− −
 
 
′ = = = =
−
Então,
( )
( )
( )
( )
1 1
1 4 2
1 1
1 2 2
1
1
1
2 1 2
2
2
4
h
h
j e e e
h
′
′ = × = × = × =
×
1
2 2
e
e
= × = .
NEMA12PR2-2
NEMA12PR2
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18
Unidade 4
NEMA12PR Unidade 4
18
Proposta 18
18.1. Seja t a reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa
0. Sabe-se que ( )
0
t
m g′
= .
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
2 2 2 2
1 3 2
x x x x x x x
g x x e e x e x e x
− − −
′
′
′ = × + × = × + − × =
( )
3
2 3
1 3 2
x x
e x x
−
= + −
Então, tem-se 1
t
m = e :
t y x b
= + .
Como o ponto de coordenadas ( )
0, 0 pertence à reta t, tem-se
0
b = .
Uma equação da reta t é y x
= .
18.2. ( ) ( )
3
2 3
0 1 3 2 0
x x
g x e x x
−
′ =⇔ + − =⇔
( )( )
3
2 3 2
impossível
0 1 3 2 0 1 3 3 1 0
x x
e x x x x x
−
⇔ = ∨ + − = ⇔ + − + = ⇔




2
impossível
1 0 3 3 1 0 1
x x x x
⇔ + = ∨ − + = ⇔ =
−




x −∞ 1
− +∞
3
2
x x
e − + + +
1
x + − 0 +
2
3 3 1
x x
− + + + +
g′ − 0 +
g e
−
Mínimo: e
−
18.3.
Donde se conclui que, ( )
1,56; 3
A .
Proposta 19
O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo em −
R e
voltada para cima em +
R . Logo, conclui-se que a função f ′′ é
negativa em −
R e positiva em +
R .
A opção correta é a (B).
Pág. 27
Proposta 20
20.1. Se a reta t é paralela ao eixo das abcissas então 0
t
m = .
Como a reta t é tangente ao gráfico de g no ponto A, de abcissa
A
x , então ( )
t A
m g x
′
= .
( ) ( ) ( ) ( )
5 5 5 5 1
x x x x
g x xe e x e e x
′
′ = − =− × + − × =− + .
( ) ( )
equação
impossível
0 5 1 5 0 1 0
A A
x x
t A A A
m g x e x e x
′
= ⇔ = − + ⇔ − = ∨ + = ⇔




1
A
x
⇔ =
−
A abcissa do ponto A é 1
− .
20.2. A ordenada do ponto A é dada por ( )
1
g − .
( ) ( ) 1 1 5
1 5 1 5
g e
e e
−
− =
− × − × =× =
A ordenada do ponto A é
5
e
.
Proposta 21
21.1. f é uma função ímpar e tem domínio R , logo a função f ′ ,
função derivada de f, é par. Se f é ímpar então ( ) ( ),
f x f x
− =
−
f
x D
∀ ∈ e se f ′ é par então ( ) ( ), f
f x f x x D ′
′ ′
−
= ∀ ∈ . Assim, a
tabela que relaciona o sinal de f ′ e a variação de f é a seguinte:
x −∞ 1
− 0 1 +∞
f ′ − 0 + + + 0 −
f 1
− 0 1
f é estritamente decrescente em ] ]
, 1
−∞ − e em [ [
1, +∞ .
f é estritamente crescente em [ ]
1, 1
− .
−1 é mínimo e 1 é máximo.
21.2. f é contínua em R porque admite derivada finita em todos
os pontos do seu domínio.
21.3. f é uma função ímpar. A função f ′ é par e função f ′′ é
ímpar. Assim, a tabela que relaciona o sinal de f ′′ e o sentido das
concavidades do gráfico de f é:
x −∞ 3
− 0 3 +∞
f ′′ − 0 + 0 − 0 +
f 3
2
− 0
3
2
Nos intervalos , 3
 
−∞ −
 
e 0, 3
 
 
a concavidade é voltada
para baixo. Nos intervalos 3, 0
 
−
 
e 3,
 
+ ∞
 
a
concavidade é voltada para cima. Pontos de inflexão:
3
3,
2
 
− −
 
 
 
e
3
3,
2
 
 
 
 
.
21.4. Como o domínio da função f é R e f é contínua, então o
seu gráfico não admite assíntotas verticais. Sabe-se que
( )
lim 0
x
f x +
→+∞
= , logo a reta de equação 0
y = é assíntota
horizontal ao gráfico de f quando x →+∞ . Como f é uma função
ímpar, então conclui-se que ( )
lim 0
x
f x −
→−∞
= . Assim, a reta de
equação 0
y = também é assíntota horizontal ao gráfico de f
quando x →−∞ .
Conclusão: O gráfico de f tem uma única assíntota, a reta de
equação 0
y = .
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19
NEMA12PR Unidade 4
19
Proposta 22
( ) ( )
2 2
2
x x
f x e xe
− −
′
′ = = −
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 4
x x x x
f x xe e x xe e x
− − − −
′
′′ = − =− + − − = − +
O ponto C pertence ao eixo das ordenadas e ao gráfico de f ′′ ,
logo ( )
( )
0, '' 0
C f , ou seja, ( )
0, 2
C − . Os pontos A e B pertencem
ao gráfico de f ′′ e têm ordenada nula, pois pertencem ao eixo
das abcissas.
( ) ( )
2 2
2 2
equação
impossível
0 2 4 0 0 2 4 0
x x
f x e x e x
− −
′′ = ⇔ − + = ⇔ = ∨ − + = ⇔




2 1 2 2
2 2 2
x x x
⇔ = ⇔ =
− ∨ =
Então, conclui-se que
2
, 0
2
A
 
 
 
 
e
2
, 0
2
B
 
−
 
 
 
.
Pág. 28
Proposta 23
23.1.
2 2 2
5 5 5
2
1 1 1
6 0 6 6
6 6 6
x x x
x
x x
− − −
− =
⇔ = ⇔ = ⇔
2
5 2 2
2
5
6 6 5 2 10 0 2
2 2
x
x x
x x x x x
−
−
⇔ = ⇔ − =
− ⇔ + − = ⇔ = ∨ =
−
O conjunto-solução da equação é
5
, 2
2
 
−
 
 
.
23.2. 1 2 3 4 5
Soma de 6 termos consecutivos deuma
1
progressão geométrica de razão
3
3 3 3 3 3 3 364
x x x x x x
− − − − −
+ + + + + = ⇔




6
1 728
1
364
3 729
3 364 3 364 3 364
1 2 243
1
3 3
x x x
 
− 
 
⇔ × = ⇔ × = ⇔ × = ⇔
−
5
3 243 3 3 5
x x
x
⇔ = ⇔ = ⇔ =
O conjunto-solução da equação é{ }
5 .
Proposta 24
Zero do numerador:
1
2 2
1 1
4 2 0 4 2 2 2 2
2 4
x x x
x x
− = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Zeros do denominador:
( )
1 1 1 0
1 0 0 1 0 0
x x x
x e x e x e e
+ + +
− = ⇔ = ∨ − = ⇔ = ∨ = ⇔
0 1
x x
⇔ = ∨ =
−
x −∞ 1
− 0
1
4
+∞
4 2
x
− − − − − − 0 +
x − − − 0 + + +
1
1
x
e +
− − 0 + + + + +
( )
1
4 2
1
x
x
x e +
−
−
− n.d. + n.d. − 0 +
( )
1
4 2
0
1
x
x
x e +
−
⇔
−
] [
1
1,0 ,
4
 
− ∪ + ∞
 
 
.
O conjunto-solução da inequação é ] [
1
1,0 ,
4
 
− ∪ + ∞
 
 
.
Proposta 25
25.1.
0
2 2
0
0 0
2 1 1
lim lim
x x x x
x x
e e e e
x x
→ →
+ − − + −
= =
2 2
0 0 2 0
1 1 1
lim lim lim 2 1 1 2 1 3
2
x x x
x x x
e e e
x x x
→ → →
 
− − −
= + = × + = × + =
 
 
25.2.
1
1 0
0
1 1
lim 1 lim lim 1
1
y
x
x
x x y
e e
x e
y
x
+
×∞
→+∞ →+∞ →
 
  − −
−= = =
 
 
 
 
 
Mudança de variável:
Fazendo
1
y
x
= , vem
1
x
y
= . Se x →+∞ , então 0
y +
→ .
Proposta 26
A abcissa do ponto A é a solução positiva da equação
( ) ( )
f x f x
′
= .
( ) ( ) ( )
2 2
3 6 3
x x x
f x f x x e xe x e
− − −
′
= ⇔ = + − ⇔
2 2 2
3 6 3 6 6 0
x x x x x
x e xe x e x e xe
− − − − −
⇔ = − ⇔ − =
⇔
( )
2
6 6 0 6 1 0
x x x
x e xe xe x
− − −
⇔ − = ⇔ − = ⇔
equação
impossível
6 0 0 1 0 0 1
x
x e x x x
−
⇔ = ∨ = ∨ − = ⇔ = ∨ =

Como ( ) 1 3
1 3
f e
e
−
= = , então
3
1,
A
e
 
 
 
.
Para determinar a abcissa do ponto B temos de resolver a
equação ( ) 0
f x
′ = .
( ) ( )
2
0 6 3 0 3 2 0
x x x
f x xe x e xe x
− − −
′ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔
equação
impossível
3 0 0 2 0 0 2
x
x e x x x
−
⇔ = ∨ = ∨ − = ⇔ = ∨ =

Conclui-se então que ( )
2, 0
B . O ponto C pertence ao gráfico da
função f e tem a mesma abcissa do ponto B, logo ( )
( )
2, 2
C f .
Como ( ) 2
2 12
f e−
= , então ( )
2
2, 12
C e−
.
[ ]
( ) 2
2
12 1
6
2 2
B A
ABC
BC y y e
A e
−
−
× − ×
= = =
Pág. 29
Tarefa 3
1.1.
a) Consideremos dois objetos 1
x e 2
x pertencentes ao domínio
da função f.
( ) ( ) 1 2
1 2 1 2
2 2
x x
f x f x x x
= ⇔ = ⇔ =
A função f é injetiva porque 1 2
, f
x x D
∀ ∈ , ( ) ( )
1 2 1 2
f x f x x x
= ⇒ = .
b) , 2 0
x
f
x D
∀ ∈ , ou seja, ( )
∀ ∈
, 0
f
x D f x .
A função f é sobrejetiva porque o contradomínio ( )
+
R coincide
com o conjunto de chegada ( )
+
R .
1.2. A função f é bijetiva (pois é injetiva e sobrejetiva), logo
admite função inversa.
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20
Unidade 4
NEMA12PR Unidade 4
20
1.3.
f
1 2 3,2 4 a
1
f −
2 4 3,2
2 16 2 , 0
a
a
Pág. 30
31.1. ( )
1
5 2
f −
= − porque ( )
2 5
f − =.
31.2. ( )
7 2
f = porque ( )
−
=
1
2 7
f .
31.3. ( )
1
3 3
f f −
=

31.4. 1 1 1
2 2
f f
−  
=
 
 

32.1. ( ) 1 1
2 5 5 2
x x
f x y y y
− −
= ⇔ − = ⇔ = − ⇔
( ) ( )
5 5
1 log 2 log 2 1
x y x y
⇔ −
= − ⇔
= − +
Então, ( ) ( )
1
5
log 2 1
f x x
−
= − + .
32.2. ( ) ( ) ( )
3 3
1 log 2 1 log 2 1 1
g x y x y x y
= ⇔ + + = ⇔ + = − ⇔
−
− −
⇔ + = ⇔ =
1
1 3 1
2 1 3
2
y
y
x x
Então, ( )
1
1 3 1
2
x
g x
−
− −
= .
33.1. 5
log 125 3
= porque 3
5 125
= .
33.2. 2
1
log 5
32
 
= −
 
 
porque 5 1
2
32
−
= .
33.3. 3
3
log 27
2
= porque
3
2
3 27
= .
33.4. 1
2
3
log 8
2
= − porque
3
2
1
8
2
−
 
=
 
 
.
33.5. log 0,00001 5
= − porque 5
10 0,00001
−
= .
33.6.
1 1
ln
2
e
 
= −
 
 
porque
−
=
1
2
1
e
e
.
34.1. 2
log 5
5 2
=
34.2. ( )
5
2
5 log 2
=
34.3. ( )
5
log 5k
k
=
34.4. 3
log
3
k
k
=
Pág. 31
35.1. O gráfico de f pode ser obtido a partir do gráfico de
2
log
y x
= seguindo a seguinte sequência de transformações:
translação associada ao vetor ( )
2, 0
u = −

seguida de uma
translação associada ao vetor ( )
0, 3
v =

.
35.2.
a) { } { } ] [
: 2 0 : 2 2,
f
D x x x x
= ∈ + = ∈ − = − + ∞
R R
b) ( )
2
lim
x
f x
+
→−
= −∞
c) ( )
lim
x
f x
→+∞
= +∞
d) ( ) ( )
2 2
3 log 1 2 3 log 1 3 0 3
A
y = + − + = + = + =
e) ( ) ( )
2 2
3 log 0 2 3 log 2 3 1 4
B
y = + + = + = + =
f) ( ) ( ) 2
2 2
3 log 2 5 log 2 2 2 2 2
x x x x
+ + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ =
A abcissa do ponto C é igual a 2.
36.1. { } { } ] [
: 3 0 : 3 , 3
f
D x x x x
= ∈ − = ∈ = −∞
R R
36.2. { } { }
: 0 ln 0 : 0 1
f
D x x x x x x
= ∈ ∧ ≥ = ∈ ∧ ≥ =
R R
{ } [ [
: 1 1 ,
x x
= ∈ ≥ = + ∞
R
36.3. { } ] [ ] [
2
: 4 0 , 0 4,
f
D x x x
= ∈ − ≥ = −∞ ∪ + ∞
R
( )
2
4 0 4 0
x x x x
− ≥ ⇔ − ≥ ⇔
( ) ( )
0 4 0 0 4 0
x x x x
⇔ ≥ ∧ − ≥ ∨ ≤ ∧ − ≤ ⇔
( ) ( )
0 4 0 4
x x x x
⇔ ≥ ∧ ≥ ∨ ≤ ∧ ≤ ⇔
4 0
x x
⇔ ≥ ∨ ≤
36.4. ] [ ] [
: 0 1 0 , 0 1,
1
f
x
D x x
x
 
= ∈ ∧ − ≠ = −∞ ∪ + ∞
 
−
 
R
x −∞ 0 1 +∞
x − 0 + + +
1
x − − – − 0 +
1
x
x −
+ 0 − 0 +
Pág. 32
37.1. ( ) 1 1
3 1 log 3 1 3
3
a
f a a
−
=
− ⇔ =
− ⇔ = ⇔ =
37.2. 1
3
log 9 2
B
y = = −
37.3.
1
2
1
3
1 1 1 1 3
log
2 3 3 3
3
x x x x x
 
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
 
 
A abcissa do ponto C é igual a
3
3
.
38.1. ( ) ( )
0,5 0,5
log 7 log 6
porque a função logaritmo de base a,
sendo 0 1
a
, é estritamente decrescente.
38.2. ( ) ( )
6 6
log 0,5 log 0,55
porque a função logaritmo de base
a, sendo 1
a , é estritamente crescente.
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21
NEMA12PR Unidade 4
21
38.3. ( ) ( )
4 0,25
log 3 log 3
porque ( )
4
log 3 0
e ( )
0,25
log 3 0
.
38.4. ( ) ( )
3 5
log 1 log 1
= porque ( )
3
log 1 0
= e ( )
5
log 1 0
= .
39.1. ( )
2 2
2 2
, 2 2 , log 2 log 2
x x x x
∀ ∈ + ≥ ⇔ ∀ ∈ + ≥ ⇔
R R
( )
, 1
x g x
⇔ ∀ ∈ ≥
R
Então, [ [
1,
g
D′
= + ∞ .
39.2. ( )
2 2
0,5 0,5
, 2 2 , log 2 log 2
x x x x
∀ ∈ + ≥ ⇔ ∀ ∈ + ≤ ⇔
R R
( )
, 1
x g x
⇔ ∀ ∈ ≤ −
R
Então, ] ]
, 1
g
D′ = −∞ − .
Pág. 33
40.1.
a b ( )
2
log ab 2 2
log log
a b
+
2 4 ( )
2 2
log 2 4 log 8 3
× = = 2 2
log 2 log 4 1 2 3
+ = + =
4 8 ( )
2 2
log 4 8 log 32 5
×= = 2 2
log 4 log 8 2 3 5
+ = + =
4 16 ( )
2 2
log 4 16 log 64 6
× = = 2 2
log 4 log 16 4 4
6
+ = + =
=
2n
2m ( ) ( )
2 2
log 2 2 log 2
n m n m
n m
+
×
= =
= +
( ) ( )
2 2
log 2 log 2
n m
n m
+ =
= +
40.2.
a b 3
log
a
b
 
 
 
3 3
log log
a b
−
3 9 3 3
3 1
log log 1
9 3
   
= = −
   
   
3 3
log 3 log 9 1 2 1
− = − =
−
1
3
27 3 3
1
1
3
log log
27 81
4
 
   
= =
   
 
 
 
 
= −
3 3
1
log log 27
3
1 3 4
 
− =
 
 
=
− − =
−
9 81 3 3
9 1
log log 2
81 9
   
= = −
   
   
3 3
log 9 log 81 2 4
2
− = − =
= −
40.3.
a 2
log a
− 2
1
log
a
 
 
 
4 2
log 4 2
− =
− 2
1
log 2
4
 
= −
 
 
1
2
( )
2
1
log 1 1
2
 
− =− − =
 
 
2 2
1
log log 2 1
1
2
 
 
= =
 
 
 
 
8 2
log 8 3
− =
− 2
1
log 3
8
 
= −
 
 
Tarefa 4
1.1.
a x y ( )
log log
a a
A xy
= log log
a a
P x y
= +
2 8 4 5 5
5 625 125 7 7
3 15
3 4
3 19 19
10 6
10 5
10 11 11
e 3
e 7
e 10 10
1.2. Os resultados obtidos nas duas últimas colunas são iguais, o
que nos leva a conjeturar que: ( )
log log log
a a a
x y x y
= + .
2.1.
n x = 2
log
l x 2
log
P n x
= ( )
2
log n
x
3 2 1 3 3
4 8 3 12 12
5 16 4 20 20
6 256 8 48 48
2.2. Os resultados obtidos nas duas últimas colunas são iguais, o
que nos leva a conjeturar que: ( )
log log
n
a a
x n x
= .
Pág. 34
41.1. ( )
3 3 3 3
log 2 log 5 log 2 5 log 10
+ = ×=
41.2. ( )
− = =
2 2 2 2
log 15 log 5 log 15:5 log 3
41.3. ( ) ( )
3
5 5 5 5 5 5
3log 2 log 4 log 2 log 4 log 8 4 log 32
+ = + = × =
41.4. ( )
2
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
3
log 3 2log 5 log 3 log 5 log
25
 
− = − =  
 
41.5. ( )
2 2 2 2 2
3 log 5 log 8 log 5 log 8 5 log 40
+ = + = × =
41.6. ( )
2 100
2 log 3 log 10 log 3 log
3
 
− = − =  
 
41.7. ( ) ( ) ( )
2 2
2 ln 3 ln 2 ln ln 3 ln 2 ln 3 ln 2
e e
+ − = + − = − =
2
3
ln
2
e
 
=  
 
42.1. ( ) ( ) ( ) ( )
2
1 ln 2 ln ln 2 ln 2 ln 2
B
y e e e e e e
=
+ =
+ =× =
42.2. ( ) ( )
2
1 ln 2 ln ln ln ln
2
A
e
y e e e e e
 
= + × = + = × =
 
 
( ) ( ) ( )
2
2 2 1
2
1
ln ln 2 ln ln ln 2 ln2
2
2
A B
e
y y e e
e
−
   
− = − = = = =
−
   
 
 
43.1.
2 1
log log log 1
3 3
a a a
a
a b
b
 
= − = − =
 
 
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22
Unidade 4
NEMA12PR Unidade 4
22
43.2.
( ) ( ) ( ) ( )
1
2 1 1
log log log log log
2 2
a a a a a
ab ab ab a b
= = = + =
1 2 5
1
2 3 6
 
= + =
 
 
43.3. ( ) ( )
2
2 3
3
log log log
a a a
a b
a b a
a
 
= − =
 
 
( )
1
2 3
2 1 7
log log log 2
3 3 3
a a a
a b a
 
= + − = + − =
 
 
Pág. 35
44.1. ( ) ( )
4 4
3 3 3 3
log 81 9 log 81 log 9 4 4log 9 4 4 2
× = + = + = + × =
12
=
44.2. ( )
3
3 5
2 2 2
5
0,5
log log 0,5 log 2
2
−
−
 
  = − =
 
 
( )
3 3
2 2
2 2
3 7
log 0,5 5 log 2 5 5
2 2
−
   
= − − = + =
− + =
   
   
44.3.
3
5 5
1 1
log 0,2 3log 0,2
5 5
   
× = × =
   
   
( )
1
1 2
5 5 5 5
1
3 log 0,2 log 3 log 5 log 5
5
−
−
 
   
 
= + = + =
 
   
   
   
   
1 9
3 1
2 2
 
= − − =
−
 
 
45.1.
1
2
1
log 6 log 6 log 6 log 12
2
a a a a
x x x x
 
=
⇔ =
⇔ =
⇔ =
 
 
Então, ( ) ( )
log log log 12 2 10
a a a
xy x y
= + = + − = .
45.2. ( ) ( )
1
2
2 2
log log log 2log log
a a a a a
x
x y x y
y
 
= − = − =
 
 
 
( )
1 1
2log log 2 12 2 24 1 25
2 2
a a
x y
= − = × − × − = + =
45.3. ( ) ( )
1
3
2
3 3
2
log log log log log 2
a a a a a
x y
x y a x y
a
 
= − = + −
=
 
 
 
( )
1 1 2 28
12 log 2 10 2 10
3 3 3 3
a y
= + − = + × − = − =
46. ( ) ( )
= − + =
0 3 ln 0 1 3
f . Então, = 3
OB .
( ) ( )
= =
− +
3 ln 1
AP f x x e =
OA x , sendo 0
x .
Seja ( )
a x a área do trapézio [OAPB].
( )
+
= ×
2
OB AP
a x OA
( )
( ) ( )
+ − +  − + 
= ×
=  
 
3 3 ln 1 6 ln 1
2 2
x x
a x x x
( ) ( )
( )
     
= − + = = =
     
+ + +
     
6 6 3
2
6
ln ln 1 ln ln ln
2 2 1 1 1
x
x
x x e e e
a x e x
x x x
Assim, tem-se: ( )
 
=  
+
 
3
ln
1
x
e
a x
x
Pág. 36
47.1. 2
4
2
log
log
log 4 2
x k
x
= =
47.2.
( )
2
0,5 1
2 2
log
log
log 0,5 1
log 2
x k k
x k
−
= = = = −
−
47.3. 2
1
2
2 2
2
log
log 2
1
log 2
log 2
2
x k k
x k
= = = =
48.1. 3 3
3 9 3 3
3
log 2 log 2
log 9 2
− = − = − =
1
2
3 3 3
7
log 7 log 2 log
2
   
= − =
   
 
 
48.2. 2 2
4 2 2 2
2
log 5 log 5
log 4 2
+ = + = + =
( ) ( ) ( )
1
4
2
2 2 2 2
log 5 log 3 log 5 3 log 3 5
= +
= ×
=
49.1. ( ) ( ) 9 3
1 5
3 3 4 log 3 log 3 4 1
2 2
B A
y y g f
− = − = − − = − − =
49.2. ( ) ( ) 3
9 3 3
3
log 2
2 2 4 log 2 log 2 4 log 2
log 9
D C
y y g f
− = − = − − = − −
( )
1
3 2
3 3 3 3 3
log 2
4 log 2 4 log 2 log 2 4 log 2 log 2
2
=
− − =
− − =
− +
( )
3
4 log 2 2
= −
Pág. 37
50.1.
{ } { }
2
: 0 0 : 0 0
f
D x x x x x x
= ∈ ∧ = ∈ ≠ ∧ =
R R
] [
0,
= + ∞ ;
{ } { }
4 4
: 4 0 : 0
g
D x x x x
= ∈ = ∈ =
R R
{ } { }
: 0 0
x x
= ∈ ≠ =
R R
50.2. ( ) ( ) ( )
= + + = + + =
2 2 2
( ) ln 2ln ln4 ln ln ln4
f x x x x x
( ) ( )
= × × =
2 2 4
ln 4 ln 4
x x x
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23
NEMA12PR Unidade 4
23
50.3. ( ) ( )
2 2 ln 64
f g
= = . Não existe ( )
1
f − e porque 1 f
D
− ∉ e
( ) ( )
( ) ( )
4
1 ln 4 1 ln 4
g − = × − = .
50.4. As funções f e g não são iguais porque f g
D D
≠ .
Tarefa 5
1.1. ( )
2
2 3 1
log log log 2
2 2
a a a
a
a b
b
 
= − = − =
 
 
1.2. ( ) ( ) ( )
1
4
3 3 3 4
log log log log
a a a a
a ab a b a b a b
 
= = = =
 
 
( ) ( )
( )
3 3
1 1 1 3 9
log log log 3
4 4 4 2 8
a a a
a b a b
 
= = + = + =
 
 
1.3.
log 1 2
log
3
log 3
2
a
b
a
a
a
b
= = =
1.4. ( ) ( ) ( )
log log log log log log
a b a a b b
ab ab a b a b
− = + − + =
3 2 5
1 1
2 3 6
= + − − =
2.1. ( ) ( ) ( )
log log log log log
k k k k k
x kab k a b
= = + + =
( )
1 2 3 0
= + + − =
2.2. ( )
1
2 1
log log log log
2
k k k k
a a a
x
b b b
     
= = = =
     
     
 
( ) ( )
( )
1 1 5
log log 2 3 2,5
2 2 2
k k
a b
= − = − − = =
2.3. ( )
1
log log log log 2 log
2
k k k k k
a
x a b b
b
 
= =− =
− =
 
 
( )
1 3 7
2 3 2 3,5
2 2 2
= − × − = + = =
2.4. ( ) ( ) ( )
2
2 3
3
log log log log 2 3log
k k k k k
k
x k b b
b
 
= = − =
− =
 
 
( )
2 3 3 2 9 11
= − × − = + =
3.1. , e
a b a b
+
∀ ∈
R : ( )
2
2 2 2
2
log log 1
b
a b a
a
 
 
−
= − =
 
 
 
 
 
( ) ( )
2 2
2
2 2
log log 1 2log log 1
b b
a a
a a
   
= + − = + −
   
   
3.2. ] [ { }
1, e 1
a k +
∀ ∈ + ∞ ∈R :
2
1 1
1
1 1
log 1 log log log
1 1
k k k k
a
a a
a
a
a a a
a a
 
+
 
+  
 
   
 
+ − −
= = =
 
   
−
     
 
−
   
   
( )( )
2
1 1 1
log log log
1 1 1 1
k k k
a a
a a a a
 
+ +
   
= = =
 
   
 
− − + −
   
 
4. Recorrendo ao resultado obtido em 3.2., sabe-se que:
6 6 6 6
1 1 1 1
log 1 log 7 log log
7 7 7 1 6
       
+ − −
= = =
       
−
       
( )
1
6
log 6 1
−
= = −
5.1. ( ) 1 2 1 2 3
3 4
4
x x y
f x y e y e
− − −
= ⇔ − = ⇔ = ⇔
3
1 ln
3 3 4
1 2 ln 2 1 ln
4 4 2
y
y y
x x x
−
 
−  
− −
     
⇔ − = ⇔ = − ⇔ =
   
   
Então, ( )
1
3
1 ln
4
2
x
f x
−
−
 
−  
 
= .
5.2. ( ) ( ) ( )
3 3
2 log 2 log 2 2
g x y x y x y
= ⇔ + − = ⇔ − = − ⇔
2 2
2 3 2 3
y y
x x
− −
⇔ − = ⇔ = −
Então, ( )
1 2
2 3x
g x
− −
= − .
Pág. 38
51.1.
2
3 3
1 1 1
log 1 log 1
2 2 2
f
 
     
= − − +=
 
     
 
     
 
3 3 3 3 3
3
1 3 3 3 4
log 1 log log log log
3
4 2 4 2
2
 
 
       
= − − = − = =
 
       
         
 
 
( ) 3
1
3 3
1
log log 2 log 2
2
−
 
= = = −
 
 
( )
1
3 3 3 3
1 1 1
log 1 log log 2 log 2
2 2 2
g −
     
= − = = =
−
     
     
51.2. ( ) ( )
2
2
3 3 3
1
( ) log 1 log 1 log
1
x
f x x x
x
 
−
= − − += =
 
+
 
( )( )
( )
3 3
1 1
log log 1 ( ),
1
f g
x x
x g x x D D
x
 − + 
= = −
= ∀ ∈ ∩
 
 
+
 
f e g são iguais em D porque ( ) ( )
,
x D f x g x
∀ ∈ = .
52.1. ( ) 3
2
log 2 1 3 2 1 2 1 0
x x x
− = ⇔ − = ∧ − ⇔
9 9
1
2 2
x x x
⇔ = ∧ ⇔ =
52.2. ( )
5 5
log 2 0 log 2 0 0
x x x x x x
− = ⇔ − = ∧ ⇔
( )
5
0 log 2 0 0
x x x
⇔ = ∨ − = ∧
( )
5
0 log 2 0
x x x
⇔ = ∨ = ∧
( )
0 25 0 25
x x x x
⇔ = ∨ = ∧ ⇔ =
52.3. ( ) ( )
2
2ln ln 2 0 ln ln 2 0 2 0
x x x x x x
− + = ⇔ = + ∧ ∧ +
⇔ = + ∧ ∧ − ⇔ − − = ∧
2 2
2 0 2 2 0 0
x x x x x x x
( )
1 1 8
0 2 1 0 2
2
x x x x x x
± +
⇔ = ∧ ⇔ =∨ =
− ∧ ⇔ =
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24
Unidade 4
NEMA12PR Unidade 4
24
52.4. ( ) ( ) ( )
3 3 3
log log 1 log 8
x x x
+ −= +
( ) ( )
2
3 3
log log 8 0 1 0 8 0
x x x x x x
⇔ −= + ∧ ∧ − ∧ +
2
8 0 1 8
x x x x x x
⇔ − = + ∧ ∧ ∧ −
2 2 4 32
2 8 0 1 1
2
x x x x x
± +
⇔ − − = ∧ ⇔ = ∧
( )
4 2 1 4
x x x x
⇔ = ∨ =
− ∧ ⇔ =
52.5. 2 2
ln 2 3ln ln 3ln 2 0
x x x x
+= ⇔ − +=
( )
3 9 8
ln 0 ln 2 ln 1 0
2
x x x x x
± −
⇔ = ∧ ⇔ = ∨ = ∧
( )
2 2
0
x e x e x x e x e
⇔ = ∨ = ∧ ⇔ = ∨ =
52.6. ( ) ( )
3 3
log 1 3 log 5
x x
+ = − −
( ) ( )
3 3
log 1 log 5 3 1 0 5 0
x x x x
⇔ + + − = ∧ + ∧ −
( )( )
3
log 1 5 3 1 5
x x x x
⇔  + − = ∧ − ∧
 
2 2
5 5 27 5 4 32 0 5
x x x x x x x
⇔ − + − = ∧ ⇔ − − = ∧
( )
± +
⇔ = ∧ ⇔ = ∨ =
− ∧ ⇔ =
4 16 128
5 8 4 5 8
2
x x x x x x
52.7. ( ) ( )
2
5 5
log 3 log 9 0
x x
− − − =
( ) ( )
2 2
5 5
log 3 log 9 3 0 9 0
x x x x
⇔ −
= − ∧ − ∧ −
( )( )
2
3 9 3 3 3 0
x x x x x
⇔ − = − ∧ ∧ − +
] [
2 1 1 48
12 0 3 , 3
2
x x x x x
− ± +
⇔ + − = ∧ − ⇔ = ∧ ∈ −∞ −
( ) ] [
3 4 , 3 4
x x x x
⇔ = ∨ = − ∧ ∈ −∞ − ⇔ = −
52.8.
( )
( )
( ) ( )
−
= ⇔ − = − ∧
−
log 10
2 log 10 2log 4
log 4
a
a a
a
x
x x
x
( )
∧ − ≠ ∧ − ∧ −
log 4 0 10 0 4 0
a x x x
( ) ( )
⇔ −= − ∧ − ≠ ∧ ∧
2
log 10 log 4 4 1 10 4
a a
x x x x x
⇔ − = − + ∧ ≠ ∧
2
10 16 8 3 4
x x x x x
⇔ − + = ∧ ≠ ∧
2
3 7 6 0 3 4
x x x x
± −
⇔
= ∧ ≠ ∧
7 49 24
3 4
2
x x x
( )
⇔ = ∨ = ∧ ≠ ∧ ⇔ =
6 1 3 4 1
x x x x x
52.9. ( ) ( )
log 3 5 log 2 log 2
a a a
x x
− + − =
( )( )
log 3 5 2 log 2 3 5 0 2 0
a a
x x x x
⇔  − − 
= ∧ − ∧ −
 
2 5
3 6 5 10 2 2
3
x x x x x
⇔ − − + = ∧ ∧
2 11 121 96
3 11 8 0 2 2
6
x x x x x
± −
⇔ − + = ∧ ⇔ = ∧
8 8
1 2
3 3
x x x x
 
⇔ = ∨ = ∧ ⇔ =
 
 
53. O ponto (1,4)
P pertence ao gráfico de f se:
( )
1 4
f = ⇔
( ) ( )
2 2
1 log 1 2 4 log 2 3
a a
⇔ + × + = ⇔ + = ⇔
2 8 2 0 6 2 6
a a a a a
⇔ + = ∧ + ⇔ = ∧ − ⇔ =
Pág. 39
54.1. ( ) 3
2
log 2 1 3 2 1 2 2 1 0
x x x
−
− − ⇔ − ∧ −
1 1 9 1 1 9
2 1 ,
8 2 16 2 2 16
x x x x x
 
⇔ + ∧ ⇔ ∧ ⇔ ∈ 
 
54.2. ( )
2
1
2
1
log 3 2 3 3 0
2
x x x
 
+ ⇔ + ∧ +
 
 
11 11 11
3 ,
4 4 4
x x x x
 
⇔ − ∧ − ⇔ − ⇔ ∈ − + ∞
 
 
54.3. ( ) ( )
ln 2 ln 2 0
x x
+ −
( ) ( )
ln 2 ln 2 2 0 2 0
x x x x
⇔ + ∧ + ∧
] [
2 2 2 0 2 0 0, 2
x x x x x x x
⇔ + ∧ − ∧ ⇔ ∧ ⇔ ∈
54.4. ( )
3 3
log 2 log 1
x x
+ +
( )
2
3
log 2 1 2 0 0
x x x x
⇔ + ∧ + ∧
2 2
2 3 2 0 2 3 0 0
x x x x x x x
⇔ + ∧ − ∧ ⇔ + − ∧
( ) ] [
3 1 0 1 1,
x x x x x
⇔ − ∨ ∧ ⇔ ⇔ ∈ + ∞
Cálculo auxiliar:
2 2 4 12
2 3 0
2
x x x
− ± +
+ − = ⇔ = ⇔
1 3
x x
⇔ =∨ =
−
54.5. ( )
2 2
log 3 1 2log 2
x x
+ +
( ) ( )
2
2 2 2
log 3 1 log log 4 3 1 0 0
x x x x
⇔ + + ∧ + ∧
( ) ( )
2
2 2
1
log 3 1 log 4 0
3
x x x x
⇔ + ∧ − ∧
2 2
3 1 4 0 4 3 1 0 0
x x x x x x
⇔ + ∧ ⇔ − − ∧
] [
1
1 0 0 1 0, 1
4
x x x x x x
 
⇔ − ∧ ∧ ⇔ ∧ ⇔ ∈
 
 
Cálculo auxiliar:
2 3 9 16
4 3 1 0
8
x x x
± +
− − = ⇔ = ⇔
1
1
4
x x
⇔ =∨ =
−
54.6. ( ) ( )
2
log 3 log 3
x x x
− ≥ −
2 2
3 3 3 0 3 0
x x x x x x
⇔ − ≥ − ∧ − ∧ −
( )
2
4 3 0 3 0 3 0
x x x x x
⇔ − + − ≥ ∧ − ∧ −
2
4 3 0 0 3
x x x x
⇔ − + ≤ ∧ ∧
( )
1 3 0 3 1 3
x x x x x x
⇔ ≥ ∧ ≤ ∧ ∧ ⇔ ≥ ∧
[ [
1,3
x
⇔ ∈
Cálculo auxiliar:
2 4 16 12
4 3 0
2
x x x
± −
− + = ⇔ = ⇔
3 1
x x
⇔ = ∨ =
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25
NEMA12PR Unidade 4
25
54.7.
( )
( )
( )
ln 1
0 ln 1 0 1 ln 0
1 ln
x
x x
x
+

⇔ + ∧ + ∨

+
( )
( )
ln 1 0 1 ln 0 1 0 0
x x x x

∨ + ∧ + ∧ + ∧ ⇔

( ) ( )
1 1 ln 1 1 1 ln 1
x x x x
⇔  + ∧ − ∨ + ∧ −  ∧
 
1 0
x x
∧ − ∧ ⇔
( ) ( )
1 1
0 0 0
x x e x x e x
− −
 
⇔ ∧ ∨ ∧ ∧
 
1 1 1
0 0 ,
x x x x x
e e e
   
⇔ ∨ ∧ ⇔ ⇔ ∈ + ∞
   
   
54.8. 2
3 3 3
log 1 2 0 0
x x x
x
x x x
+ + +
 
⇔ ∧ ∧ ≠
 
 
3 3
2 0 0 0
x x
x
x x
+ +
⇔ − ∧ ∧ ≠
3 3
0 0 0
x x
x
x x
− + +
⇔ ∧ ∧ ≠
( ) ( )
0 3 3 0 0
x x x x x
⇔ ∧ ∧ − ∨ ∧ ≠
] [
0 3 0, 3
x x x
⇔ ∧ ⇔ ∈
Cálculos auxiliares:
x −∞ 0 3 +∞
3
x
− + + + + 0 −
x − 0 + + +
3
x
x
− +
− n.d. + 0 −
x −∞ 3
− 0 +∞
3
x + − 0 + + +
x − − − 0 +
3
x
x
+
+ 0 − n.d. +
55.1. ( )
{ }
4
: 2 1 0 1 log 2 1 0
f
D x x x
= ∈ + ∧ − + ≥
R
( ) ( )
4 4
1
2 1 0 1 log 2 1 0 log 2 1 1
2
x x x x
+ ∧ − + ≥ ⇔ − ∧ + ≤
1 1 3
2 1 4
2 2 2
x x x x
⇔ − ∧ + ≤ ⇔ − ∧ ≤
1 3 1 3
: ,
2 2 2 2
f
D x x x
   
= ∈ − ∧ ≤ = −
   
   
R
55.2. { } { }
: 0 ln 0 : 0 1
f
D x x x x x x
= ∈ ∧ = ∈ ∧ =
R R
{ } ] [
: 1 1,
x x
= ∈ = + ∞
R
55.3. ( )
{ }
2 2
2
: 3 0 1 log 3 0
f
D x x x x x
= ∈ − ∧ − − ≥ =
R
( )
{ }
2 2
2
: 3 0 log 3 1
x x x x x
= ∈ − ∧ − ≤ =
R
{ }
2 2
: 3 0 3 2
x x x x x
= ∈ − ∧ − ≤ =
R
{ }
2 2
: 3 0 3 2 0
x x x x x
= ∈ − ∧ − − ≤
R
Cálculo auxiliar:
( )
2
3 0 3 0
x x x x
− = ⇔ − = ⇔
0 3 0 0 3
x x x x
⇔ = ∨ − = ⇔ = ∨ =
2
3 0 0 3
x x x x
− ⇔ ∨
2 3 9 8
3 2 0
2
x x x
± +
− − = ⇔ = ⇔
3 17 3 17
2 2
x x
+ −
⇔
= ∨
=
2 3 17 3 17
3 2 0
2 2
x x x x
− +
− − ≤ ⇔ ≥ ∧ ≤
2 2
3 0 3 2 0
x x x x
− ∧ − − ≤ ⇔
( )
3 17 3 17
0 3
2 2
x x x x
 
− +
⇔ ∨ ∧ ≥ ∧ ≤ ⇔
 
 
 
3 17 3 17
0 3
2 2
x x x x
   
− +
⇔ ≥ ∧ ∨ ∧ ≤
   
   
   
Então,
3 17 3 17
,0 3,
2 2
f
D
   
− +
= ∪
   
   
   
.
55.4. { } { }
: 0 1 ln 0 : 0 ln 1
f
D x x x x x x
= ∈ ∧ − = ∈ ∧ =
R R
{ } ] [
: 0 0,
x x x e e
= ∈ ∧ =
R
Pág. 40
56.1. ( ) ( )
2 2
1 log 2 0 log 2 1 2 0
x x x
+ − = ⇔ − =
− ∧ − ⇔
1 5
2 2 2
2 2
x x x x
⇔ − = ∧ ⇔ = ∧
( ) ( )
3 3
2 log 1 0 log 1 2 1 0
x x x
− + = ⇔ + = ∧ + ⇔
1 9 1 8 1
x x x x
⇔ + = ∧ − ⇔ = ∧ −
x 1
− 2
5
2
3 +∞
( )
2
1 log 2
x
+ − − 0 + + +
( )
3
2 log 1
x
− + + + + + + 0 −
( )
( )
2
3
1 log 2
2 log 1
x
x
+ −
− +
− 0 + n.d. −
Então,
( )
( )
2
3
1 log 2
0
2 log 1
x
x
x
+ −
⇔ ∈
− +
] [
5
2, 8,
2
 
∪ + ∞
 
 
.
56.2. ( )
2
2 2 2
5 25 24
log 5log 6 0 log 0
2
x x x x
± −
− + = ⇔ = ∧
( ) ( )
2 2
log 3 log 2 0 8 4 0
x x x x x x
⇔ = ∨ = ∧ ⇔ = ∨ = ∧
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
1 log 0 log 1 0
log 1 log 1 0
1
2 0
2
x x x
x x x
x x x
− = ⇔ = ∧
⇔ =∨ =
− ∧
 
⇔ = ∨ = ∧
 
 
x 0
1
2
2 4 8 +∞
( )
2
2 2
log 5log 6
x x
− + + + + + + 0 − 0 +
( )
2
2
1 log x
− − 0 + 0 − − − − −
( )
( )
2
2 2
2
2
log 5log 6
1 log
x x
x
− +
−
− n.d. + n.d. − 0 + 0 −
Então,
( )
( )
[ ]
2
2 2
2
2
log 5log 6 1
0 , 2 4,8
2
1 log
x x
x
x
− +  
≥ ⇔ ∈ ∪
 
 
−
.
NEMA12PR2
©
Porto
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26
Unidade 4
NEMA12PR Unidade 4
26
56.3. ( )
2 2 2
2
log 1 2 0
x x x x x x
e e e e e e
− ⇔ − ∧ −
( )( )
2 2
2 0 1 2 0 2
x x x x x x
e e e e e e x x
⇔ − − ∧ ⇔ + − ∧
2 0 0 ln2 0 ln2
x
e x x x x
⇔ − ∧ ⇔ ∧ ⇔
] [
ln2,
x
⇔ ∈ + ∞
Cálculo auxiliar:
( )
2
2 1 1 8
2 0 2 0
2
2 1
x x x x x
x x
e e e e e
e e
± +
− − = ⇔ − − = ⇔ =
⇔ =∨ =
−
57.1. ( ) ( )
2 2
0 ln 9ln 0 ln 9 0
f x x x x x x
⇔ − ⇔ −
ln 0 1 0
x x x
= ⇔ = ∧
2 2
9 0 9 3 3
x x x x
− = ⇔ = ⇔ = ∨ =
−
x −∞ 3
− 0 1 3 +∞
lnx − 0 + + +
2
9
x − + 0 − − − − − 0 +
( )
f x + 0 − 0 +
( ) ] [
0 1,3
f x x
⇔ ∈
57.2. Como os pontos A e B pertencem ao gráfico de f e as
ordenadas são o dobro das respetivas abcissas, sabe-se que A e B
são os pontos de interseção do gráfico de f com a reta de
equação 2
y x
= .
As coordenadas dos pontos A e B são, respetivamente,
(0,8210;1,6420) e (3,8348; 7,6697) .
Sendo M o ponto médio de [AB], então
0,8210 3,8348 1,6420 7,6697
;
2 2
M
+ +
 
 
 
, ou seja,
( )
2,3279; 4,65585
M .
Assim sendo, a abcissa do ponto M é, aproximadamente, igual a
2,3.
Pág. 41
58.1.
( ) ( )
3 1 3 1
2 3ln2 2 1
x x
f x x
− −
′
′ = + = × +
58.2.
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
4 4 4
x x x
f x x x x
′ ′ ′
′ = × = × + × =
( )
2 3 2 3
3 4 ln4 4 4 3 ln4
x x x
x x x x
= × + × × = + ×
58.3.
( )
( ) ( )
2 1 2 1
2 1
2
5 5
5
x x
x x x
f x
x x
− −
− ′ ′
′ × − ×
 
′
= = =
 
 
( )
2 1
2 1 2 1
2 2
5 2 ln5 1
2ln5 5 1 5
x
x x
x
x
x x
−
− −
−
× × − ×
= =
58.4.
( ) ( ) ( )
2 ln2 2 1
2
2 2 2 2
x x
x
x x
x
f x x
x x
′
−
′ × −
′ = − = =
− −
59.1.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
3 3 3
x x x
f x x x x
′ ′ ′
′ = × = × + × =
( )
2 2
2 3 ln3 3 3 2 ln3
x x x
x x x x
= × + × × = + ×
( ) ( ) 
2 2
impossível
0 3 2 ln3 0 3 0 2 ln3 0
x x
f x x x x x
′ = ⇔ + × = ⇔ = ∨ + × = ⇔
( )
2
2 ln3 0 0
ln3
x x x x
⇔ + × = ⇔ = ∨ =
−
x −∞
2
ln3
− 0 +∞
3x
+ + + + +
3 2
2 ln3
x x
+ × + 0 − 0 +
f ′ + 0 − 0 +
f
2
ln3
f
 
−
 
 
( )
0
f
Como a ordenada do ponto A é um máximo relativo da função f,
conclui-se que
2
ln3
A
x = − .
59.2. Como a reta t é tangente ao gráfico de f no ponto de
abcissa 1 sabe-se que ( )
1
t
m f ′
= .
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2 2 2
3 2 ln3 1 3 2 ln3 3 ln ln3 3ln 3
t
m e e
= + × = + = + =
( ) ( )
3
2 6
ln 3 ln 27
e e
= =
NEMA12PR2
©
Porto
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27
NEMA12PR Unidade 4
27
Pág. 42
60.1.
( )
( ) ( )
0 0
1 1
ln ln
2 2 2 2
2 lim lim
h h
f h f h
f
h h
→ →
   
−
   
+ − +
   
′
= = =
( ) ( )
0 0 0
2
ln
ln 2 ln 2 1
2
lim lim lim ln 1
2
h h h
h
h h
h h h
→ → →
+
 
 
− + +  
 
 
= =
− =
− + =
 
 
 
 
2
2
0
1 1 1 1 1 1
lim ln 1 ln lim 1 ln
2
2 2 2 2
h
y
h y
y
h
e
y
h
→ →+∞
=
 
 
   
 
   
   
 
=
− + =
− + =
− =
−
   
   
 
 
   
   
 
 
 
 
60.2.
( )
( ) ( ) ( ) ( )
→ →
+ − + + + − +
′
= = =
0 0
1 1 1 ln 1 1 ln1
1 lim lim
h h
f h f h h
f
h h
( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0
ln 1 ln 1 ln 1
lim lim lim lim lim
h h h h h
h h h h
h h
h h h h h
→ → → → →
+ + + +
= =
+ =
+ =
1
0
1 1 1
1 lim ln 1 1 ln lim 1 1 ln 1 1 2
1
y
h y
y
h
e
h y
h
→ →+∞
=
 
 
 
 
   
= + + = + + = + = + =
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
 
61.1.
( )
1
1
2 2
ln
2
2 2
x
x
f x
x x x
′
 
 
′
 
   
′ = = = =
 
 
 
 
61.2.
( )
2
3 3
1
3
ln
3 3
x x
f x
x x
x x
′
 
−
 
′
 
   
′ = = = = −
 
 
 
 
61.3.
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
ln ln ln
f x x x x x x x x x x
′ ′
′
′ = − = × − + − ×
( ) ( )
2 2
2
2 1 2 1
1 ln ln
1
x x
x x x x x
x
x x
− −
= × − + × = − +
−
−
61.4.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
ln ln ln
f x x x x x x x
′ ′
′
′ = = × + × =
2 2
1
1 ln 2ln ln 2ln
x x x x x
x
= × + × × = +
61.5.
( ) ( )
( )
( )
1
1
2
ln
2
x x
f x x
x
x x
′
′
′
= = = =
61.6.
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
3
2 1 2
log 2 1
ln3 2 1 ln3 2 1
x
f x x
x x
′
−
′
′= − = =
− −
61.7.
( ) 2
1
log 2
f x x x
x
′
 
 
′
= −=
 
 
 
 
( ) 2 2 2
1
1 1 1
log log 21 log 2
1
ln2
x
x x x
x x x
x
′
 
 
′
 
       
′
= × + × − × + × −
 
     
     
  ×
2
2 2
1
1 1 1
log 2 log 2
1 ln 2
ln2
x x
x x
x
−
   
= + × −
= − −
   
   
×
62.1.
 
 
= ∈ ≠ ∧ ∧
 
 
 
 
R
1 1
: 0 0 ln 0
f
D x x
x x
1 1 1
0 0 ln 0 0 0 1
x x x
x x x
 
≠ ∧ ∧ ⇔ ≠ ∧ ∧ ⇔
 
 
1
0 0 0 1 0 0 1
x
x x x x x
x
−
⇔ ∧ ⇔ ∧ − ⇔ ∧
Então, ] [
= 0, 1
f
D .
62.2. ( )
( )
2
1
1 1
1 1 1
ln
1
ln ln
1 ln
ln
ln
x x
x x x
f x
x x
x
x
−
′
 
−
 
 
′
 
 
 
 
′
 
   
   
′
= = = = =
 
 
 
−
 
 
 
 
 
 
1
ln
x x
=
62.3.
( ) ( )
( )
( ) ( )
1 1
1
1 1
0
1 1
lim
1
ln 1
h
f e h f e
f e
h e e
e
− −
−
− −
→
+ −
′
= = = =
× −
e
= −
Pág. 43
63.1.
2 2
3 3 3 3
1
lim lim lim 0
x x x
x x x
e x e x e
x
x x x x
→+∞ →+∞ →+∞
   
−
= −
= −
= +∞ −
=
   
   
= +∞
63.2.
lim
lim lim
ln ln
ln 0
lim
x x
x
x
x x
x
e e
e x x
x x
x
x x
∞
∞ →+∞
+
→+∞ →+∞
→+∞
+∞
= = = = +∞
NEMA12PR2
©
Porto
Editora

28
Unidade 4
NEMA12PR Unidade 4
28
63.3.
2 2 2 2
2
1
lim lim lim
x x
x
x x x x
x x x
e x e x
e
e e e e
x
→+∞ →+∞ →+∞
 
 
 
+
 
= + = + =
 
 
 
 
 
( )
2
1 1
lim 0
lim
x
x
x
x
e
e
x
→+∞
→+∞
= + = +∞ + = +∞ + = +∞
+∞
 
 
 
63.4.
( )
3 3
2
0 3 0 0
1 ln ln
1
lim 3 lim lim 3 1
3 0
x x
x x x
e x x
e
x x
x
+ + + +
→ → →
− − −∞
= × = × × = −∞
63.5.
( )
3 3
2 2 2
1 ln 1
lim lim ln
x x
x x
e x e
x
x x x
∞
∞
→+∞ →+∞
−  
 
= − =
 
 
 
 
( ) ( )
3
2 2
3
1
lim ln 0
x
x
e
x
x
x
→+∞
 
 
 
 
 
 
= − = +∞ − × +∞ = +∞
 
 
 
 
 
 
 
 
64.1.
{ } { }
: 1 0 0 : 1 0
f
D x x x x x x
= ∈ + ∧ = ∈ − ∧ =
R R
{ } ] [
: 0 0,
x x
= ∈ = + ∞
R
Assíntotas verticais:
( ) ( )
( ) ( )
0 0
lim lim ln 1 ln 0 0
x x
f x x x x
+ +
→ →
= + + − = + − −∞ = +∞
0
x = é assíntota vertical ao gráfico de f.
Como f é contínua em todo o seu domínio, não existem outras
assíntotas verticais.
Assíntota não vertical: y mx b
= +
( ) ( )
1
ln
ln 1 ln
lim lim lim 1
x x x
x
f x x x x x
m
x x x
→+∞ →+∞ →+∞
 
+
 
 
 
+ + −  
 
= = = + =
 
 
 
1
ln 1
0
1 lim 1 1 0 1
x
x
x
→+∞
 
+
 
 
= + = + = + =
+∞
( )
( ) ( )
( )
lim lim ln 1 ln
x x
b f x x x x x x
→+∞ →+∞
= −= + + − −=
( )
( ) 1 1
lim ln 1 ln lim ln ln lim 1
x x x
x
x x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
   
+
   
= + −
= = +
=
   
   
   
   
( )
ln 1 0 0
= + =
A reta y x
= é assíntota oblíqua ao gráfico de f.
64.2. ( ) ( )
( )
( )
1 1
ln 1 ln 1
1
x
f x x x x
x x
′
+
′
′ = + + − = + − =
+
( )
( ) ( )
2
1 1
1 1 1
1
1 1 1
x x x x x x
x x x x x x
+ + − − + −
= + − = =
+ + +
( )
( )
2
2
1
0 0 1 0
1
x x
f x x x x D
x x
+ −
′ = ⇔ = ⇔ + − = ∧ ∈ ⇔
+
1 5 1 5
2 2
x x D x
− ± − +
⇔
= ∧ ∈ ⇔
=
x 0
1 5
2
− +
+∞
2
1
x x
+ − − 0 +
( )
1
x x + + + +
f ′ − 0 +
f
1 5
2
f
 
− +
 
 
 
A função atinge o mínimo absoluto no ponto de abcissa
1 5
2
− +
.
64.3.
( )
2
2
1
x x
f x
x x
′
 
+ −
′′
= =
 
+
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
2
2
1 1
x x x x x x x x
x x
′ ′
+ − × + − + × + −
= =
+
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2
2
2 1 2 1 1
x x x x x x
x x
+ × + − + × + −
= =
+
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 1 1 2 1
x x x x x x
x x x x
+ × + − − + +
= =
+ +
65.1.
{ }
 
= ∈ ∧ ≠ = ∈ ∧ ≠ =
 
 
R R
1
: 0 0 : 0 0
f
D x x x x x
x
{ } ] [
: 0 0,
x x
= ∈ = + ∞
R
Assíntotas verticais
( ) ( )
0 0
1
lim lim ln 0 ln
x x
f x x
x
+ +
→ →
 
 
= + = + +∞ = +∞
 
 
 
 
0
x = é assíntota vertical ao gráfico de f.
Como f é contínua em todo o seu domínio, não existem outras
assíntotas verticais.
= +
( ) ( )
1
1
ln ln
lim lim lim 1
x x x
x x
f x x
m
x x x
−
→+∞ →+∞ →+∞
 
+    
   
= = = + =
 
 
ln
lim 1 1 0 1
x
x
x
→+∞
 
= − = − =
 
 
( )
( ) 1 1
lim lim ln lim ln
x x x
b f x x x x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
   
   
= −= + −= =
   
   
   
   
( )
ln 0+
= = −∞
Como b∉R , conclui-se que não existe assíntota oblíqua ao
gráfico de f.
NEMA12PR2
©
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29
NEMA12PR Unidade 4
29
65.2. ( )
2
1 1
1 1 1
ln 1 1 1
1 1
x
x x
f x x
x x x
x x
′
 
−
 
′
  −
   
′ = + = + = + = − =
 
 
 
 
( )
1
0 0 1 0 1
x
f x x x D x x D
x
−
′ = ⇔ = ⇔ − = ∧ ∈ ⇔ = ∧ ∈
x 0 1 +∞
1
x − − 0 +
x + + +
f ′ − 0 +
f ( )
1 1
f =
f é estritamente decrescente em ] ]
0 , 1 . f é estritamente
crescente em [ [
1, + ∞ . Mínimo absoluto: 1.
65.3. ( ) 2 2
1 1 1
1 0
f x
x x x
′
 
′′ = − = + =
 
 
O gráfico de f não tem pontos de inflexão porque ,
f
x D
∀ ∈
( ) 0
f x
′′ .
65.4.
Pág. 44
66.1.
( )
3 1
ln 3 1 ln ln
3
lim lim lim
1
2 2 1
2
3
x x y y y
x y y
y
x y
∞
∞
→+∞ +
= →+∞ →+∞
+
= = =
− −
 
 
 
ln ln
3 3 1 3 1
lim lim 0 0
1
2 2 2 1
1 1
1
y y
y y
y
y
y
y
→+∞ →+∞
 
 
 
= = × × = × × =
   
−
−  
 
 
 
66.2. ( ) ( )
0
1
1
0
1 1 1
lim ln lim ln lim ln
y y
x y
x
x x y
y y y
+
×∞
−
→+∞ →+∞
→ =
 
   
= = =
 
   
   
 
ln ln
lim lim 0 0
y y
y y
y y
→+∞ →+∞
   
= − =
− =
− =
   
   
66.3. ( ) ( )
( )
2 ln
lim ln lim 0
x y
x
x x x x
x
∞−∞
→+∞ →+∞
 
 
− = − = +∞× − +∞ =
 
 
 
 
( )
= +∞× −∞ = −∞
67.1.
( )
( ) ( )
0
0 0
2 2 2
0 0
2 0
ln 1 ln 1
lim
ln 1 1 1
lim lim
1 2 2
1 1 1
2 lim 2
2 2
x
x x x
x x
x
x x
x x x
e e e
x x
→
→ →
→
+ +
+
= = = =
×
− − −
× ×
67.2.
( ) ( )
0
2 0
1 1 1 0
0
1 1 1 1
lim lim lim
ln 1
2 ln 2ln 2 ln 1 2
lim
x x y x y
y
x x x y
y
x x x y
y
→ → =
− →
→
− −
=
= =
× =
+
+
1 1 1
2 1 2
= × =
67.3.
( )
( )
( ) ( )
0
2 0
0 0 0 0
1
1
lim lim lim lim
ln 1
ln 1 ln 1
x
x x
x x
x
x x x x
e
e e
e e x
e
x
x x
x
→ → → →
−
−
−
= =
× =
+
+ +
( )
0
0
1
lim
1
1 1
ln 1 1
lim
x
x
x
e
x
x
x
→
→
−
=
× =
=
+
67.4.
( )
( ) ( )
0
0 2 0
0 0
0
ln 2 1 ln 2 1
2 lim 2
ln 2 1 2 2
lim lim
1 1 1
lim
x
x x x
x x
x
x x
x x x
e e e
x x
→
→ →
→
+ +
× ×
+
= = =
− − −
1 2
2
1
×
= =
68.1. ( ) ( )
1
0 0
lim lim x
x x
f x e x e
+ +
−
→ →
= +
=
( ) ( )
( )
2
0 0
lim lim ln
x x
f x x
− −
→ →
= = −∞
Não existe ( )
0
lim
x
f x
→
porque ( ) ( )
0 0
lim lim
x x
f x f x
− +
→ →
≠ .
f é descontínua em 0 porque não existe ( )
0
lim
x
f x
→
.
0
x = é assíntota vertical ao gráfico de f porque ( )
0
lim
x
f x
−
→
= −∞ .
68.2. ( )
( ) ( ) ( )
1 1
lim lim lim 0
x x
x x x
f x x e x x e e
− − −∞
→+∞ →+∞ →+∞
− = + − = = = .
Como ( )
( )
lim 0
x
f x x
→+∞
− =
, conclui-se que y x
= é assíntota ao
gráfico de f em +∞ .
68.3. Se 0
x , então ( ) ( )
( )
( )
2
2
2 2
2
2
ln
x x
f x x
x
x x
′
′
′ = = = = .
Se 0
x , então ( ) ( )
1 1
1
x x
f x e x e
− −
′
′ = + =
− + .
f não é diferenciável em 0 porque é descontínua em 0 .
( ) ( )
1
2
0 0 0 1 0 0
x
f x x e x
x
−
 
′ = ⇔ = ∧ ∨ − + = ∧ ⇔
 
 
( )
1 0 0 1
x x x x
⇔ ∈∅ ∨ − = ∧ ⇔ =
x −∞ 0 1 +∞
f ′ − n.d. − 0 +
f e 2
f é estritamente decrescente em ] [
, 0
−∞ e em [ ]
0, 1 .
f é estritamente crescente em [ [
1, + ∞ .
Mínimo relativo: 2.
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30
Unidade 4
NEMA12PR Unidade 4
30
69.1. { } { } ] [
= ∈ ∧ ≠ = ∈ = + ∞
R R
: 0 0 : 0 0,
f
D x x x x x
Assíntotas verticais
( )
( )
0 0
0
2 ln
lim lim
0 0
x x
x x
f x
x
+ + + +
→ →
− −∞
− +∞
= = = = +∞
0
x = é assíntota vertical ao gráfico de f. Como f é contínua em
todo o seu domínio, não existem outras assíntotas verticais.
= +
( )
2
2 ln ln
2 1
lim lim lim 0 0 0 0
x x x
f x x x x
m
x x x x
x
→+∞ →+∞ →+∞
−  
= = = + × = + × =
 
 
( )
( )
2 ln ln
lim 0 lim lim 2 2 0 2
x x x
x x x
b f x x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
−  
= − = = − = − =
 
 
A reta 2
y = é assíntota horizontal ao gráfico de f.
69.2.
( )
( ) ( ) ( )
2
2 ln 2 ln
2 ln x x x x x x
x x
f x
x x
′ ′
′ − × − × −
−
 
′
= = =
 
 
( )
2 2 2
1
2 1 2 ln
2 1 2 ln ln 1
x x x
x x x x
x
x x x
 
− × − × −
  − − + −
  = =
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
2
ln 1 ln 1
ln 1 x x x x
x
f x
x x
′
′
′ − × − × −
−
 
′′
= = =
 
 
( ) ( ) ( )
2
4 4 3
1
2 ln 1
2 ln 1 1 2 ln 1
x x x
x x x x
x
x x x
 
× − × −
  − × − − × −
  = = =
3
3 2lnx
x
−
=
Pág. 45
70.1. Um exemplar vivo do organismo encontrado possui 350 mg
da substância, logo 0 350
Q = .
( ) 0,000121 0,000121 53
53 350 53
350
t t
Q t e e
− −
= ⇔ × = ⇔ = ⇔
53
ln
53 350
0,000121 ln 15600
350 0,000121
t t t
 
 
   
⇔ − = ⇔
= ⇔ ≈
 
−
 
Pode-se então concluir que, desde a morte do organismo
encontrado, decorreram, aproximadamente, 15 600 anos.
70.2. ( ) 0,000121 20000
0 0 2,42
12
20000 12 12
Q Q e Q
e
− ×
−
= ⇔ × = ⇔ = ⇔
0 135
Q
⇔ ≈
Assim, a quantidade dessa substância que o organismo teria
antes de morrer era, aproximadamente, 135 mg.
Pág. 46
71.1. Sabe-se que no início do ano 2010 havia 2500 plantas, ou
seja, ( )
0 2,5
P = , e que, no início do ano 2015, o número de
plantas tinha triplicado, ou seja, ( )
5 3 2,5
P = × .
( )
( )
0
5 5
5
0 2,5 2,5 2,5
2,5
2,5 7,5 3
5 7,5 7,5
k
k k
k
P C C
C e
e e
P C e
×
×
 = = =
 =  
   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
   
= =
= =  

  


2,5
2,5 2,5
ln 3
5 ln 3 0,22
5
C
C C
k k
k
=

= =
 

⇔ ⇔ ⇔
  
= ≈
=
 


71.2. Sendo 2,5 e 0,22
C k
= ≈ , então ( ) 0,22
2,5 t
P t e
= .
[ ]
( ) ( ) 0,22 6 0,22 2
2,6
6 2 2,5 2,5
t.m.v.
6 2 4
P P e e
× ×
− −
= = =
−
1,32 0,44
2,5 2,5
1,37
4
e e
−
= ≈
A taxa média de crescimento entre o início de 2012 e o início de
2016 foi de, aproximadamente, 1,37 milhares de plantas por ano.
71.3. ( ) ( )
0,22 0,22 0,22
2,5 2,5 0,22 0,55
t t t
P t e e e
′
′ = =
× =
( ) 0,22 8 1,76
8 0,55 0,55 3,2
P e e
×
′
= = ≈
A taxa de crescimento no início de 2018 é de, aproximadamente,
3,2 milhares de plantas por ano.
71.4. ( ) ( )
0,22 0,22 0,22
0,55 0,55 0,22 0,121
t t t
P t e e e
′
′′ = =× =
Sabe-se que ( )
0, 0
t P t
′′
∀ ≥ . Portanto, a taxa de crescimento
do número de plantas é estritamente crescente.
Pág. 47
72.1. ( ) ( )
ln2 ln2
1
3 2 3 2 2 6 2 6 6
t
t
t t t
M t e e ×
+
= × = × × = × = =
6 e ln 2
c k
= = .
72.2. ( )
( ) ( )
2
ln9
2 1 2 1
ln9
1
3
3 3 3 9 1
3
2 2 2 6 6 6
t t
t t t
t
e
M t e
− −
×
×
×
= = = = = =
1
e ln 9
6
c k
= = .
72.3. ( ) ( )
2 1 2 2 1
5 3 5 3 3 15 3 15
9
t
t
t t
M t − + − −  
= × = × × = × = × =
 
 
1
ln
ln9
9
15 15
t
t
e e− ×
 
= =
 
 
; 15 e ln 9
c k
= = − .
73.1. Sabe-se que ( ) ( )
0,75
C t C t
′ = .
Então, a função C é do tipo ( ) 0,75t
C t c e
= .
( ) ( ) 0,75 0,75 0 0,75
10 0 10 10
t t
C t C c e c e c e c
×
= ⇔ =
× ⇔ =⇔
0,75 ln10
10 0,75 ln10 3
0,75
t
e t t t
⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ ≈
Para o número de bactérias passar a 10 vezes mais do que era no
início são necessárias 3 horas.
73.2. ( ) 0,75 0
0 1200 1200 1200
C c e c
×
= ⇔ = ⇔=
Então, ( ) 0,75 5 3,75
5 1200 1200 51025
C e e
×
= = ≈ .
Se o número inicial de bactérias for 12 000, passadas 5 horas
existirão 51 025 bactérias.
Pág. 48
74.1. ( ) 0,08 6 0,48
6 4 4 2,5
Q e e
− × −
=
× =
× ≈
Passadas 6 horas, a quantidade de medicamento existente no
sangue era de, aproximadamente, 2,5 ml.
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31
NEMA12PR Unidade 4
31
74.2. ( ) 0,08 0,08 1,5
1,5 4 1,5
4
t t
Q t e e
− −
≥ ⇔ × ≥ ⇔ ≥ ⇔
ln0,375
0,08 ln0,375
0,08
t t
⇔ − ≥ ⇔ ≤
−
Ora,
ln0,375
12
0,08
≈
−
. O maior intervalo de tempo que deve
decorrer até voltar a tomar o medicamento é de 12 horas.
74.3. ( ) ( ) ( ) ( )
0,08 0,08
4 4
t t
Q t kQ t e k e
− −
′
′ =
− ⇔ × =
− × × ⇔
0,08 0,08
0,32 4 0,32 4 0,08
t t
e k e k k
− −
⇔ − × = − × ⇔ − = − ⇔ =
Tarefa 6
1.1. ( ) 2 2
2 2 1,05 1,6
C − ×
=
× ≈
Passadas duas horas após ter sido administrado, a concentração
do fármaco era, aproximadamente, igual a 1,6 mg/l.
1.2. ( )
( )
2
2 2
1
lim ( ) lim 1,05 lim lim
1,05 1,05
t
t t
t t t t
t
C t t
t
−
→+∞ →+∞ →+∞ →+∞
= × = = =
1
0
= =
+∞
Com o passar do tempo a concentração de fármaco no sangue
tende a desaparecer.
1.3.
Conclui-se que 3,53 e 22,53
a b
≈ ≈ .
1.4. Pode-se determinar a que horas é que a concentração de
“Saratex” foi máxima recorrendo à calculadora gráfica. Para tal
procede-se da seguinte forma:
A concentração de “Saratex” no sangue foi máxima
aproximadamente após 10,248 horas a sua administração ao
doente, ou seja, aproximadamente, às 18 horas e 15 minutos (10
horas e quinze minutos após a sua administração).
Entre a administração dos dois fármacos decorreram 7 horas
− =
15 h 8 h
( 7 h) mas, segundo o conselho médico, o segundo
fármaco deveria ter sido tomado às 18 horas e 15 minutos,
quando se registou a concentração máxima de “Saratex” no
sangue, o que não ocorreu. O doente não cumpriu as
recomendações dadas pelo médico.
2.1.
( )
( )
0 0
0
0
4
4
4
0
0 80 80
80
80
1
80
80 40
40
4
2
2
Q Q
Q
Q a
a
a
Q a
Q
−
−
−
 = =

=
 ⋅ = 
   
⇔ ⇔ ⇔
   
=
⋅ =
⋅ =
= 
 
 
 

0
0
4 4
80
80
2 2
Q
Q
a a
=
= 

 
⇔ ⇔
 
= =
 
 
2.2. Sendo 0 80
Q = e 4
2
a = , a expressão que dá a quantidade
de cafeína em função do tempo é:
( ) ( ) ( ) ( )
4
1
4 4
80. 2 80. 2 80 2
t
t
t
Q t Q t Q t
−
−
−  
= ⇔ = ⇔ =×
 
 
A quantidade de cafeína no organismo passadas 3 horas é dada
por: ( )
−
= × ≈
3
4
3 80 2 47,6
Q . Assim, passadas três horas, a
quantidade de cafeína no organismo é de, aproximadamente
47,6 mg.
2.3. Pretende-se determinar t de modo que ( ) 15
Q t ≥ .
Recorrendo à calculadora gráfica, introduzem-se as funções
4
1 80 2
t
y
−
= × e 2 15
y = , escolhe-se uma janela adequada e obtêm-
-se as representações gráficas.
De seguida, determina-se as coordenadas do ponto de interseção
dos dois gráficos.
A quantidade de cafeína no organismo é superior a 15 mg
durante aproximadamente 9,66 horas, ou seja, a cafeína produz
efeito estimulante durante, aproximadamente, 9 horas e 40
minutos.
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Porto
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32
Unidade 4
NEMA12PR Unidade 4
32
Pág. 49
Proposta 27
27.1.
x a loga x
1 7 0
9 3 2
0,001 10 −3
100 000 10 5
64 4 3
64 8 2
27.2.
x a x
y a
= loga y
3 2 8 3
2 5 25 2
4 3 81 4
−2 2 0,25 −2
Proposta 28
Como o ponto A pertence ao gráfico da função f e tem abcissa 2,
sabe-se que a sua ordenada é igual a ( )
2
f . ( )
2
3 9
2
2 2
f = = , logo
9
2,
2
A
 
 
 
. Como o ponto B pertence ao gráfico da função f e tem
ordenada 3, sabe-se que a sua abcissa é solução da equação
( ) 3
f x = . ( ) 3
3
3 3 3 6 log 6
2
x
x
f x x
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = , logo
( )
3
log 6,3
B .
Proposta 29
29.1. ( )
1 3 3
9 9 9 1
5 2 2
2 2 2 2
x x
f x f x
− − + − +
 
= ⇔ = ⇔ − = ⇔ =
 
 
3 1
2 2 3 1 4
x
x x
− + −
⇔ = ⇔ − + = − ⇔ =
29.2. ( ) ( )
1 3 3
27 27 5 2 27 2 32
x x
f x f x
− − + − +
− =⇔ =
− ⇔ − =
− ⇔ =
3 5
2 2 3 5 2
x
x x
− +
⇔ = ⇔ − + = ⇔ = −
Proposta 30
30.1. ( ) ( )
( )
2
2
1 1
2 2
2
2
g
−
−
= = = , então 1 1
2
2
g−  
= −
 
 
.
O ponto de coordenadas
1
, 2
2
 
−
 
 
pertence ao gráfico da função
inversa de g porque ( )
1
2
2
g − =.
30.2. ( ) ( ) ( )
8
1
3 1 8 8 3 1 2 3 1
g k g k k
−
+ = ⇔ = + ⇔ = +
16 3 1 5
k k
⇔ = + ⇔ =
Pág. 50
Proposta 31
31.1.
] [
2,
g
D = − + ∞ e g
D′ = R .
31.2.
] [
0,
g
D
= + ∞ e 0
g
D +
′ = R .
31.3.
] [
0,
g
D
= + ∞ e g
D′ = R .
Proposta 32
32.1. { }
: 1 0
f
D x x
= ∈ + =
R ] [
1,
− + ∞
32.2. { }
3
: 0 log 2 0
f
D x x x
= ∈ ∧ − ≠
R
2
3 3
log 2 0 log 2 3 9
x x x x
− = ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Então, ] [ { }
0, 9
f
D
= + ∞ .
32.3. { } ] [ ] [
2
: 4 0 , 2 2,
f
D x x
= ∈ − = −∞ − ∪ +∞
R
Cálculo auxiliar:
2 2
4 0 4 4 4
2 2
x x x x
x x
− = ⇔ = ⇔ = ∨ = −
⇔ =∨ =
−
32.4. { }
2 1
: 2 0 0,
2
f
D x x x
 
= ∈ − = 
 
R
Cálculo auxiliar:
( )
2
2 0 1 2 0
1
0 1 2 0 0
2
x x x x
x x x x
− =⇔ − =
⇔ = ∨ − = ⇔ = ∨ =
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33
NEMA12PR Unidade 4
33
32.5.
1
: 0 2 0
2
f
x
D x x
x
+
 
= ∈ ∧ − ≠
 
−
 
R
Cálculo auxiliar: Zero do numerador: 1 0 1
x x
+ = ⇔ =
−
Zero do denominador: 2 0 2
x x
− = ⇔ =
x −∞ 1
− 2 +∞
1
x + − 0 + + +
2 x
− + + + 0 −
1
2
x
x
+
−
− 0 + n.d. −
Então, ] [
1, 2
f
D = − .
Proposta 33
33.1. ( ) ( )
( )
0 1 ln ln1 ( ) 0
h x h x f x
⇔ ⇔
Então, ] [
, 0
f
D′ = −∞ .
33.2. ( ) ( )
( )
ln ln ( ) 1
j x e j x e f x
≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
Então, [ [
1,
f
D′
= + ∞ .
Proposta 34
34.1. ( )
1
2
f −
representa um elemento do domínio de f cuja
imagem por f é 2. Sabe-se que ( )
1 2
f = , então ( )
1
2 1
f −
= .
34.2. 1
f −
e f são funções inversas uma da outra, logo
( )( )
1
0 0
f f
−
=
 .
34.3. 1
f −
e f são funções inversas uma da outra, logo
( )( )
1
3 3
f f −
=
 .
34.4. ( ) ( )
1 1 1 1 1
1 1
2 1
2 2
f g f g f
− − − − −
 
   
= = =
 
   
   
 

Cálculo auxiliar: ( )
1 1 1
1 1
2 2
2 2
x
g x g x
− − −
 
=⇔ =⇔ = ⇔
 
 
1 1 2
x x
⇔ − =
− ⇔ =
Pág. 51
Proposta 35
35.1. 2 ln2
x
e x
= ⇔ =
35.2. 1
3 3
3 5 1 log 5 1 log 5
x
x x
+
= ⇔ + = ⇔ =
− +
35.3. ( )
5 0 5 0 0 5 0
x x x
xe x x e x e
− = ⇔ − = ⇔ = ∨ − =
0 ln5
x x
⇔ = ∨ =
35.4.
( )
2 2
1
3 2 0 3 2 2 0 2 3 2 1 0
2
x x x x x
x
− − − − −
× − =⇔ × − =⇔ × − =⇔
2
impossível
1
2 0 3 2 1 0 2 2 3 log 3
3
x x x x
x
− − −
⇔ =∨ × − =⇔ =⇔ =⇔ =

35.5. 
2
2
2 3 3 0 2 3 0 0
x x x x x x
x
x
e e e e e e
e
−
∈
+ = ⇔ + − = ⇔ + − = ∧ ≠
R
( )
2
3 2 0
x x
e e
⇔ − + =
Fazendo x
e y
= , tem-se: 2 3 1
3 2 0
2
y y y
±
− + = ⇔ = ⇔
2 1
y y
⇔ = ∨ =
Como x
y e
= , tem-se: 2 1 ln2 0
x x
e e x x
= ∨ = ⇔ = ∨ = .
35.6. ( ) ( )
2
1 2
9 3 4 3 3 3 4 0 3 3 3 4 0
x
x x x x x
+
− = ⇔ − × − = ⇔ − × − =
Fazendo 3x
y
= , tem-se: 2 3 25
3 4 0
2
y y y
±
− − = ⇔ = ⇔
4 1
y y
⇔ = ∨ =
− . Como 3x
y = , tem-se:
impossível
3 4 3 4
x x
= ∨ =
− ⇔





3
log 4
x
⇔ = .
Proposta 36
( ) 0
0 5 1 5 6 ln6
k k
g e e k
+
=
− ⇔ − =
− ⇔ = ⇔ =
A opção correta é a (A).
Proposta 37
O ponto A pertence ao gráfico de f porque ( ) 2
log 3
2
log 3 4
f − = =
( )
2
2
2 2
log 3 2log 3 log 3
2 2
2 2 2 3 9
= = = = =
Proposta 38
38.1. 2 2 2 2
1 1 1 1
log log 0,0625 log 0,0625 log
4 4 4 16
   
+ = × = × =
   
   
( )
6
2 2
1
log log 2 6
64
−
 
= = = −
 
 
38.2. ( ) ( )
9
2 2 2 2 2
128
log 128 log 0,25 log log 512 log 2
0,25
 
− = = = =
 
 
9
=
38.3. ( ) ( )
2
5 3 5 3
1
log 0,2 2log 3 log log 3
5
 
− = − =
 
 
( )
1
5 3
log 5 log 3 1 1 2
−
= − =
− − =
−
38.4.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
12 12 12 12
3 3 3
3
log 3 log 4 log 3 4 log 12 1
18
log 18 log 2 log 9 2
log
2
+ ×
= = =
−  
 
 
38.5.
( ) ( ) ( ) ( )
1
2
3 2
2 4 2 2 4 2
log 8 log 2 log 4 log 2 log 4 log 2
 
+ × = + × =
 
 
1
1 2 1 1 2
2
= + × = + =
38.6. ( ) ( )
2 2
1 1 1
ln 2ln 3 ln ln 3 ln 9
9 9 9
e e e
e e e
     
 
+ = + = × =
     
 
     
ln 1
e
= =
NEMA12PR2-3
NEMA12PR2
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Porto
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34
Unidade 4
NEMA12PR Unidade 4
34
Proposta 39
( )
ln ln2 ln ln ln 2 2
2
a
a b a b a b b
= + ⇔ = ⇔ = ⇔ =
A opção correta é a (D).
Pág. 52
Proposta 40
( ) ( ) ( ) ( )
1
2
1
log log log 1 log 1 log
2
a a a a a
a b a b b b
 
=+ =
+ =
+ =
 
 
1
1 4 1 2 3
2
= + × = + =
Proposta 41
41.1. ( ) ( ) ( ) ( )
1
2 1 1
log log log log log
2 2
a b a b a b a b
⋅ = ⋅ = ⋅ = + =
( )
1 1
1,3 3,5 4,8 2,4
2 2
= + =× =
41.2.
1
3
3
1
log log log
3
a c a c a c
b b b
 
⋅ ⋅ ⋅
   
= = =
     
     
 
( ) ( ) ( )
1 1 1
log log log 1,3 1,5 3,5 3,7
3 3 3
a c b
= + − = − − = × − =
1 37 37
3 10 30
 
= × − =
−
 
 
41.3. ( ) ( )
2
2
log log log
a b
a b c
c
 
⋅
= ⋅ − =
 
 
( )
1
2 2
1
log log log 2log log log
2
a b c a b c
 
= + − = + − =
 
 
( )
1
2 1,3 3,5 1,5 6,85
2
= × + − × − =
Proposta 42
42.1. ( ) ( )
2 2
log 2 3 0 log 2 3 2 0
x x x
− − = ⇔ − = ∧ −
3
2 2 2 6 2 6
x x x x x
⇔ − = ∧ − − ⇔ =
− ∧ ⇔ =
−
42.2. ( )
ln 7 1 7 7 0
x x e x
− = ⇔ − = ∧ −
7 7 7
x e x x e
⇔ = − ∧ ⇔ = −
42.3. ( ) 3
3 3 15 3 15
3
log 15 3 0 3 0
x x x x x
= ⇔ = ∧ ⇔ = ∧
5
3 0 243
x x x
⇔ = ∧ ⇔ =
42.4. ( ) 
2
condição
impossível
8 0 8 0 0 8
x x x x x x
e e e e e e
− ⋅ = ⇔ − = ⇔ = ∨ =
ln8
x
⇔ =
42.5. ( ) ( )
1
2
4 4
1
2log 1 log 0 4 0
2
x x x x x
= ⇔ = ∧ ⇔ = ∧
4 0 2
x x x
⇔ = ∧ ⇔ =
42.6. ( ) ( )
2 2
4 ln 2 0
x x x
− ⋅ + =
( )
( )
2 2 2
4 0 ln 2 0 2 0
x x x x x
⇔ − = ∨ + = ∧ +
( )
2 2 2
4 2 1 2 0
x x x x x
⇔ = ∨ + = ∧ +
( )
2 2
2 2 2 1 0 2 0
x x x x x x
⇔ = ∨ =
− ∨ + − = ∧ +
2
1 1 8
2 2 2 0
4
x x x x x
 
− ± +
⇔ =∨ =
− ∨ = ∧ +
 
 
 
] [
1 1
2 2 1 , 0,
2 2
x x x x x
   
⇔ =∨ =
− ∨ = ∨ =
− ∧ ∈ −∞ − ∪ + ∞
   
   
1
2 1 2
2
x x x x
⇔ =
− ∨ =
− ∨ = ∨ =
Cálculo auxiliar:
( )
2
2 0 2 1 0
1
0 2 1 0 0
2
x x x x
x x x x
+ = ⇔ + =
⇔ = ∨ + = ⇔ = ∨ = −
2 1
2 0 0
2
x x x x
+ ⇔ − ∨
42.7. ( )
ln 3 2 0
x x x
× + − = ⇔
( )
( )
ln 3 2 0 3 0
x x x
⇔ + − = ∧ + ⇔
( )
( )
0 ln 3 2 3
x x x
⇔ = ∨ + = ∧ −
( )
2
0 3 3
x x e x
⇔ = ∨ + = ∧ −
( )
2 2
0 3 3 0 3
x x e x x x e
⇔ = ∨ = − ∧ − ⇔ = ∨ = −
42.8. ( )
2 1
ln ln 6
x
x
 
− =
⇔
 
 
( )
2 1
ln ln 6 0 0 0
x x x
x
⇔ + − = ∧ ∧ ⇔
1 1 24
ln 0 0
2
x x x
− ± +
⇔
= ∧ ∧
( )
ln 2 ln 3 0
x x x
⇔ = ∨ =
− ∧ ⇔
( )
2 3
0
x e x e x
−
⇔ = ∨ = ∧ ⇔
2 3
x e x e−
⇔ = ∨ =
42.9. ( ) ( ) ( )
ln 1 ln 2 ln 3
x x x
+ + = +
( ) ( )
2
ln 2 2 ln 3 1 0 2 0 3 0
x x x x x x
⇔ + = + ∧ + ∧ ∧ +
2
2 2 3 1 0 3
x x x x x x
⇔ + = + ∧ − ∧ ∧ −
2 1 1 24
2 3 0 0 0
4
x x x x x
− ± +
⇔ + − = ∧ ⇔ = ∧
3
1 0 1
2
x x x x
 
⇔ =∨ =
− ∧ ⇔ =
 
 
42.10. ( ) ( ) ( )
log 3 4 log log 2 log 3 4
x x x x
− − = − ⇔ − =
( )
log 2 log 3 4 0 0 2 0
x x x x x
= − + ∧ − ∧ ∧ −
( ) ( )
2 4
log 3 4 log 2 0 2
3
x x x x x x
⇔ −= − ∧ ∧ ∧
2 2
3 4 2 2 5 4 0 2
x x x x x x x
⇔ − = − ∧ ⇔ − + − = ∧
( )
5 25 16
2 1 4 2 4
2
x x x x x x
− ± −
⇔ = ∧ ⇔ = ∨ = ∧ ⇔ =
−
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