Matemática - 9.º Ano - Teste sobre equações e geometria - Fev 2019

1. 1
Teste de Avaliação de 9.º Ano
Fevereiro de 2019
Instruções
 As respostas deverão ser dadas a caneta na folha fornecida;
 É permitido o uso de máquina calculadora;
 Não é permitido o uso de corretor;
 A realização da prova não deve exceder os 60 minutos.
Apresenta os cálculos e justificações pertinentes.
1. Resolve as seguintes equações:
1.1. 𝑥2
− 4 2𝑥 + 1 = 0
1.2. 2𝑥2
− 20𝑥 + 48 = 0
2. Escreve uma equação que admita os números 2 e 6 como soluções.
3. Mostra que se 𝑘 for um número positivo, a equação do 2.º grau
−𝑥2
+ 𝑘 + 1 𝑥 + 𝑘
tem exatamente duas soluções.
4. A posição 𝑥 de uma partícula, em metros, que se move ao longo de uma trajetória retilínea é dada, em
função do tempo 𝑡, em segundos, por
𝑥 𝑡 = 3𝑡2
− 𝑡 + 1
4.1. Indica a posição inicial da partícula.
4.2. Determina quanto tempo demorou a partícula a percorrer 290 m.
5. Considera a seguinte afirmação:
Um triângulo é retângulo quando um dos seus ângulos é reto.
Escreve a afirmação na forma 𝑝 ⟹ 𝑞, identificando as condições 𝑝 e 𝑞.
6. Demonstra o teorema “se uma das soluções da equação do 2.º grau 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 for um número
par, então o termo 𝑐 da equação (termo independente) é também um número par”, identificando a
hipótese e a tese. O recíproco é também verdadeiro? Se sim, demonstra-o, caso contrário, apresenta
um contraexemplo. (Nota: Um número 𝑎 é par se existe 𝑘 ∈ ℤ tal que 𝑎 = 2𝑘).
7. Na Figura ao lado, está representado um cubo e uma pirâmide
quadrangular regular a sombreado.
Nota que a base da pirâmide coincide com a face do cubo [𝐷𝐶𝐸𝐹] e o
vértice 𝐼 da pirâmide pertence à face [𝐴𝐵𝐺𝐻].
7.1. Usando os pontos assinalados na Figura, identifica:
(não é necessário justificar)
a) Dois planos paralelos.
b) Dois planos concorrentes não perpendiculares.
c) Uma reta paralela ao plano 𝐴𝐵𝐺.
d) Duas retas não complanares.
7.2. Sabendo que a aresta do cubo mede 6 cm, determina o valor exato de 𝐼𝐶.
12
12
6
10
6
12
8
12
10
12

2. 2
Correção:
1.
1.1. 𝑥2
− 4 2𝑥 + 1 = 0
Usando a lei do anulamento do produto,
𝑥2
− 4 2𝑥 + 1 = 0 ⇔ 𝑥2
− 4 = 0 ∨ 2𝑥 + 1 = 0 ⇔ 𝑥2
= 4 ∨ 𝑥 = −
1
2
⇔
⇔ 𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = −
1
2
.
𝐶. 𝑆. = −2, −
1
2
, 2
1.2. 2𝑥2
− 20𝑥 + 48 = 0
Usando a fórmula resolvente,
2𝑥2
− 20𝑥 + 48 = 0 ⇔ 𝑥 =
20± 400−4×2×48
2×2
⇔ 𝑥 =
20±4
2×2
⇔ 𝑥 = 4 ∨ 𝑥 = 6.
𝐶. 𝑆. = 4, 6
2. Por exemplo, 𝑥 − 2 𝑥 − 6 = 0. Usando a lei do anulamento do produto, é imediato obter as soluções
pretendidas.
3. Determinemos o binómio discriminante da equação:
∆= (𝑘 + 1)2
− 4 × −1 × 𝑘 = 𝑘2
+ 2𝑘 + 1 + 4𝑘 = 𝑘2
+ 6𝑘 + 1.
Como 𝑘 é positivo, ∆= 𝑘2
+ 6𝑘 + 1 > 0. Logo a equação admite duas soluções.
4. 𝑥 𝑡 = 3𝑡2
− 𝑡 + 1
4.1. A posição inicial da partícula corresponde a 𝑡 = 0 s.
Portanto, 𝑥 0 = 1 m, ou seja, a posição inicial da partícula é 𝑥 = 1 m.
4.2. Como a posição inicial da partícula é 𝑥 = 1 m, após percorrer 290 m, a partícula estará na posição
𝑥 = 291 m. Assim, a resolução do problema passa por resolver a equação 𝑥 𝑡 = 291 ⇔ 3𝑡2
− 𝑡 + 1 =
291
⇔ 3𝑡2
− 𝑡 − 290 = 0 ⇔ 𝑡 =
1± 1−4×3× −290
2×3
⇔ 𝑡 =
1±59
2×3
⇔ 𝑡 = −
29
3
∨ 𝑡 = 10. Atendendo ao
contexto do problema, conclui-se que 𝑡 = 10 s, ou seja, a partícula demorou 10 segundos a percorrer 290
metros.
5. “Um dos ângulos do triângulo é reto” (condição suficiente) ⟹ “O triângulo é retângulo” (condição
necessária).
6. Hipótese: “Uma das soluções da equação do 2.º grau 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 é um número par”.
Tese: “O termo 𝑐 da equação (termo independente) é um número par”.
Tem-se, então, por hipótese, que um número da forma 2𝑘, 𝑘 ∈ ℤ, é solução da equação 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 e,
por isso, 𝑎(2𝑘)2
+ 𝑏 2𝑘 + 𝑐 = 0 ⟹ 4𝑎𝑘2
+ 2𝑏𝑘 + 𝑐 = 0 ⟹ 𝑐 = −4𝑎𝑘2
− 2𝑏𝑘 = 2(−2𝑎𝑘2
− 𝑏𝑘),
sendo 𝑐 também um número par. Em relação ao recíproco, basta considerar, por exemplo a equação 𝑥2
+ 4 =
0 que tem termo independente par e é impossível.
7.
7.1.
a) Por exemplo, 𝐴𝐵𝐺 e 𝐷𝐶𝐹.
b) Por exemplo, 𝐴𝐵𝐺 e 𝐷𝐶𝐼.
c) Por exemplo, 𝐷𝐶.
d) Por exemplo, 𝐷𝐶 e 𝐹𝐺.
7.2. Pelo Teorema de Pitágoras (aplicado duas vezes), obtém-se 𝐵𝐼2
= 32
+ 32
⇔ 𝐵𝐼 = 18 = 3 2 e
𝐼𝐶2
= 62
+ 18 ⇔ 𝐼𝐶 = 54 = 3 6.

3. 3