Trigonometria 12 ano revisoes

1. Gin´asio da Educa¸c˜ao da Vinci – Braga
Matem´atica A – 12.º Ano
Assunto: Revis˜oes Trigonometria
Miguel Fernandes
1. Considere um triˆangulo retˆangulo cuja hipotenusa mede o dobro de um dos seus catetos. Mostre que a
medida da amplitude de um dos ˆangulos desse triˆangulo pertence ao conjunto
π
3
,
π
6
(em radianos).
2. Resolva a equa¸c˜ao sin x = −
√
3
2
.
3. Mostre que sin2 kπ
2
− α + sin2
α = 1, para todo α ∈ R e todo n´umero ´ımpar k.
4. Resolva a inequa¸c˜ao sin x >
1
2
.
5. Considere a equa¸c˜ao cos x = sin x +
1
2
sin2
x + 1, com x ∈ [0, 2π[.
(a) Prove a existˆencia de solu¸c˜ao para a equa¸c˜ao acima.
(b) Mostre que as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao pertencem necessariamente ao conjunto 0,
π
3
∪
5π
3
, 2π .
6. A equa¸c˜ao cos(sin x) = 1, com x ∈ R, tem (assinalar op¸c˜ao correta):
A. 1 solu¸c˜ao; B. 2 solu¸c˜oes; C. uma infinidade de solu¸c˜oes; D. nenhuma das anteriores.
7. Seja x ∈ R tal que cos x =
1
3
. Determine o valor da express˜ao:
sin
5π
2
+ x + sin2
x − tan2
x.
8. Aproxime, com erro inferior a 0.5, a (´unica) solu¸c˜ao da equa¸c˜ao cos x = x, com x ∈ 0,
π
2
. (Sugest˜ao:
Use o Teorema de Bolzano–Cauchy).
9. Sabendo que, para todo x ∈ R, cos(2x) = cos2
x − sin2
x, demonstre a seguinte f´ormula:
cos2
x =
1 + cos(2x)
2
.
10. Resolva a equa¸c˜ao sin x + cos x = 1.