1. UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MÉXICO
DIVISIÓN DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y
TECNOLOGÍA
Concepto de integral
1. ¿Qué es el Cálculo?
El Cálculo es una rama de las matemáticas que consiste enun conjunto de operaciones
o reglas ordenadas que permite hallar la solución a un problema. Se divide en Cálculo
Diferencialy Cálculo Integral, y basado en los conocimientos de los límites,derivadas e
integrales permite estudiar el cambio, el movimiento y la medición de curvas, áreas y
volúmenes.
2. Redacta una breve historia de cómo se desarrolló el Cálculo Integral.
En la Grecia antigua, matemáticos como Arquímedes o Euclides ya se interesaban por
conocerel área bajo una curva o el volumen de cuerpos sólidos,considerándose éstos
como los problemas clásicos de la matemática. Sin embargo,es hasta el desarrollo del
sistemadecimalcon valor posicional,que los procedimientosmatemáticos se facilitan y
comienzan un mayor desarrollo.
En el siglo XVII, renace el interés por los problemas clásicos y se desarrollan los
estudios de grandes matemáticos como Descartes, Fermat, Cavalieri, Pascal, Newton
o Leibniz, siendo estos dos últimos quienes conformarían las bases del Cálculo
infinitesimal o Cálculo.
La principal obra de Newton es Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de 1687
expone propiedades sobre las secciones cónicas y la famosa ley de gravitación
universal.
Entre las aportaciones de Leibniz son las reglas para la manipulación de los símbolos
"∫" y "d" de la integral y la diferencialrespectivamente.Esto refleja su interés por buscar
un lenguaje simbólico y operacional para representar los conceptos e ideas del
pensamiento.
El trabajo de ambos, aunque realizado de forma independiente, permitió el desarrollo
de las reglas de derivación e integración demostrando que ambos son procesos
inversos.
Posteriormente, durante el siglo XIX, hay un mayor desarrollo del cálculo diferencial
gracias a Augustin Cauchy quien utiliza el concepto de límite de una función y define la
derivada de una función como ellímite de cocientes de los incrementos de las variables
y demuestra sus propiedades; Bernhard Riemann quien introduce las funciones
discontinuas en el desarrollo del cálculo, extendiendo el proceso de integración a estas
funciones.
2. El cálculo integral es en esenciaun método para encontrar la distancia recorridacuando
se conoce la velocidad,y en general, de encontrar el resultado total de la acción de una
magnitud variable.
3. Define el concepto de integral(Incluye para el concepto alguna grafica para
su explicación).
a) Matemáticamente.
El problema de la integración es en todo equivalente al de encontrar el área bajo la
curva que representa la dependencia de la velocidad respecto al tiempo. La distancia
recorrida en el intervalo de tiempo 𝑡1 a 𝑡2 es igual al área bajo la curva entre las rectas
que correspondenen la gráfica a los valores 𝑡1 a 𝑡2.
Se define como:
Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [𝑎, 𝑏] en los reales,la integral
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
es igual al área de la región del plano 𝑥, 𝑦 limitada entre la gráfica de 𝑓 el eje
𝑥 y las rectas 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏. Donde las áreas debajo del eje 𝑥 son negativas.
3. b) Con tus propiaspalabras.
La integral es una operaciónque tiene por resultado el área bajo una curva
comprendidaentre dos puntos cualesquiera correspondientes a una función. Es por
definiciónla operacióninversa a la derivada.
4. Cuál es la interpretación graficade la integral.
Es el área bajo la curva de una función que está sobre el 𝑒𝑗𝑒 𝑥 o debajo de él en un
intervalo específico [𝑎, 𝑏]
5. Checa en internetvideos que expliquen el concepto de integrale intégralo a
tu actividad el que consideres más adecuado.
Recomiendo los siguientes videos que explican tanto integrales definidas como
indefinidas:
-Luciano el Ingeniero (2017, enero 28). La Integral / Más fácil imposible / Todo lo que
necesitassaber.[Archivo de video]. Recuperado de https://youtu.be/NMHndnhaMbs
-Paco Sáez (2011, nov 7). 1. Integrales. Definición y conceptos básicos. [Archivo de
video]. Recuperado de https://youtu.be/Xx4zkS33pX4
-Matemáticas sencillas (2016, sept 7). La antiderivada o integral de una función.
Introducción al antidiferencial o primitivas. [Archivo de video]. Recuperado de
https://youtu.be/b_ve-mmsAbQ
4. -Montero Espinoza 2017, agosto 25). Integral definida. Interpretación gráfica. [Archivo
de video]. Recuperado de https://youtu.be/-AESoIiO4JQ
6. Define la integralindefinida.
Se define como la operacióncontraria de la derivación o antiderivada.
Se deduce del teoremafundamental del cálculo donde:
-Si f es continua entonces ∫ 𝑓( 𝑡) 𝑑𝑡
𝑥
𝑎
es una antiderivada de f
-Si ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝐹( 𝑏) − 𝐹(𝑎), donde F es una antiderivada de f
Por lo tanto:
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)
7. Qué diferenciashay entre la integraldefinida y la integralindefinida.
La diferenciainmediata es que la integral definidatendrá por resultado un número o
constante que representael área bajo la curva en el intervalo cerrado [a,b]
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
En cambio, la integral indefinida estará conformadapor una familia de funciones
resultado de hallar la función primitiva y sumarle una constante C, llamada constante
de integración:
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶
8. Mencionaaplicaciones de la integral.
Utilizada principalmente para el estudio del cambio de velocidades,definiciónde
áreas, distribución de probabilidad estadística.
Fuentes
-Juan Beltrán (2009,enero 20). Historia del calculo (Primera parte). [Archivo de video].
Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=J0UcthTamB0
-Juan Beltrán (2009, enero 21). Historia del cálculo infinitesimal (segunda parte).
[Archivo de video]. Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=zFtw1-
LUh60&t=190s
-Heyd, D. (1994). Guía de cálculo.México: McGraw-Hill.
5. - Apodaca, N. (s.f). La integraldefinida.Interpretacióngeométrica de la integral
definida.[Página web]. México: UNAM. Disponible en
http://www.objetos.unam.mx/matematicas/leccionesMatematicas/03/3_074/index.html
-Calculo CC. (2012). Interpretación geométricade la integralindefinida.[Página web].
Disponible en
http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/segundo_ciencias/integral/teoria/integral_ge
o.html
- Pérez, F. Cálculo diferenciale integralde funcionesde una variable.España:
Universidad de Granada. Recuperado de
http://www.ugr.es/~fjperez/textos/calculo_diferencial_integral_func_una_var.pdf
-Mateus, E. (s.f). Cálculo integral. [Página web]. Disponible en
https://edumatth.weebly.com/caacutelculo-integral.html
![El cálculo integral es en esenciaun método para encontrar la distancia recorridacuando
se conoce la velocidad,y en general, de encontrar el resultado total de la acción de una
magnitud variable.
3. Define el concepto de integral(Incluye para el concepto alguna grafica para
su explicación).
a) Matemáticamente.
El problema de la integración es en todo equivalente al de encontrar el área bajo la
curva que representa la dependencia de la velocidad respecto al tiempo. La distancia
recorrida en el intervalo de tiempo 𝑡1 a 𝑡2 es igual al área bajo la curva entre las rectas
que correspondenen la gráfica a los valores 𝑡1 a 𝑡2.
Se define como:
Dada una función f(x) de una variable real x y un intervalo [𝑎, 𝑏] en los reales,la integral
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
es igual al área de la región del plano 𝑥, 𝑦 limitada entre la gráfica de 𝑓 el eje
𝑥 y las rectas 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏. Donde las áreas debajo del eje 𝑥 son negativas.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)