Flujo compresible

Apuntes de Clase Mecánica de Fluidos II
Emilio Rivera Chávez
Cuando un fluido se mueve a velocidades compa-
rables con la velocidad del sonido en el medio
fluido, se producen cambios considerables en la
densidad, este tipo de flujo se denomina compresi-
ble. Estos flujos se presentan con frecuencia en
dispositivos en los que los gases fluyen a altas
velocidades, situaciones en las que basta una
relación de presiones de 2:1 para causar flujos
sónicos, en los líquidos es difícil de obtener este
tipo de flujos pues se necesitarían presiones del
orden de 1000 atm para generar velocidades sóni-
cas. El estudio de los flujos compresibles combina
la dinámica de fluidos y la termodinámica, am-
bas disciplinas son necesarias para el desarrollo
de los fundamentos teóricos necesarios asociados
al flujo compresible por ello esta disciplina se suele
denominar también dinámica de gases.
Los efectos más trascendentes y característicos de
los flujos compresibles son: el estrangulamiento,
que limita fuertemente el flujo en conductos
cuando se dan las condiciones sónicas, y las
ondas de choque, que son cambios casi disconti-
nuos en las propiedades de los flujos supersónicos.
El contenido de este capítulo tiene la finalidad de
explicar estos y otros fenómenos físicos implica-
dos, sus efectos y exponer las relaciones generales
asociadas con el flujo compresible para un gas
ideal con calores específicos constantes.
Al finalizar la lectura de este capítulo y desarro-
llar las actividades que se plantean, se espera que
el estudiante esté capacitado para: Deducir y des-
cribir las consecuencias de la compresibilidad en
un flujo compresible; entender por qué una tobera
debe tener una sección divergente para acelerar el
gas a velocidades supersónicas; predecir choques y
calcular cambios de las propiedades a través de
una onda de choque; entender los efectos de la
fricción y la transferencia de calor en flujos com-
presibles.
Flujo
Compresible
Apuntes de Clase
Teoría y problemas resueltos
US Navy Photo
A
V
p

h
x
dx
d
x
dx
dv
v
x
dx
dp
p
x
dx
dA
A










x
dx
dp
p 
2
1

x
x
http://erivera-2001.com/flujo-compresible.html

Septiembre de 2009
(Borrador en revisión)
Contenido
1.1 Introducción.
1.2 Conceptos básicos de la Termodinámica.
1.3 Efectos de la compresibilidad
Propagación de las ondas sonoras.
El cono de Mach.
1.4 Estados de referencia
Propiedades de estancamiento isentrópico local;
Condiciones críticas.
Ecuaciones fundamentales para un flujo isentrópico.
1.5 Efectos del cambio de área en las propiedades.
1.6 Flujo isentrópico en toberas.
1.6.1 Operación de Toberas convergentes
1.6.2 Operación de Toberas convergente-divergentes
1.7 Flujo en una tobera real en condiciones de diseño. Eficiencia.
1.8 Flujo adiabático en conducto de sección constante con fricción.- línea de Fan-
no.
1.9 Flujo permanente sin fricción en un ducto de área constante con intercambio
de calor.- Línea de Rayleigh.
1.9.1 Relaciones matemáticas para el cálculo del flujo de la línea de Rayleigh de un
gas ideal
1.10 Ondas de choque normales.
1.7.1 Ecuaciones para el cálculo de ondas de choque normales en un gas ideal.
Problemas resueltos.

1
I FLUJO COMPRESIBLE UNIDIMENSIONAL
1.1 Introducción
En el flujo incompresible, la presión y la velocidad de flujo son las variables principales, siendo
las ecuaciones de cantidad de movimiento y continuidad las que permiten relacionar estas va-
riables y resolver los problemas concernientes a estas variables. A su vez la ecuación de ener-
gía permite identificar las perdidas de energía mecánica.
En el caso del flujo compresible, es necesario considerar además las variaciones de la densidad
y la temperatura, por ello la aplicación de la ecuación de energía como la ecuación de estado
son necesarias para la resolución de problemas de flujo compresible. Este tipo de flujo implica
variaciones apreciables de la densidad en todo el campo de flujo ya sea debido a altas veloci-
dades de flujo y/o cambios apreciables de la temperatura. Los cambios apreciables en la veloci-
dad de flujo implican grandes variaciones de presión en el flujo de gases, estos cambios de
presión van acompañados de variaciones significativas tanto en la densidad como en la tempe-
ratura.
El estudio del flujo compresible se caracteriza mediante el parámetro adimensional denominado
número de Mach. En función a cuyos valores las altas velocidades en aerodinámica externa
suelen clasificarse en las siguientes categorías (http://en.wikipedia.org/wiki/Mach_number):
Flujo incompresible Flujo en el que los efectos de la variación de la densidad
son despreciables, esta comprendido en el rango aproximado de:
Flujo subsónico. El número de Mach debe estar comprendido en el siguiente
rango:
Flujo sónico: El número de Mach es igual a 1
Flujo transónico. Flujo comprendido entre número de Mach ligeramente
mayores y menores que 1.
Flujo supersónico. En este flujo el número de Mach debe estar comprendido
en el siguiente rango:
Flujo hipersónico. El número de Mach es superior a 5.
M < 0.3
0.3 < M < 0.8
M = 1
0.8 < M < 1.2
1.2 < M < 5
M > 5
Sin embargo en flujo en conductos (flujo interno), la cuestión más importante es saber si el flujo
es subsónico (M<1) o supersónico (M>1). En este capítulo se estudia el flujo interno unidimen-
sional estable de fluidos compresibles, principalmente del gas ideal.
 Objetivos de Aprendizaje
Al finalizar el estudio de este capítulo el estudiante será capaz de:
 Verbalizar con sus propias palabras los principios básicos que rigen el flujo compresible.
 Emplear las ecuaciones básicas del flujo isentrópico para la resolución de problemas de
flujo isentrópico.
 Explicar y determinar el efecto del cambio de área sobre las propiedades del fluido para
flujo isentrópico.
 Determinar y explicar gráficamente las distribuciones de presión a través de un conducto de
sección variable: tobera convergente y tobera convergente-divergente.
 Escribir y aplicar las ecuaciones básicas para el flujo adiabático, unidimensional y perma-
nente de un gas con calores específicos constantes en la resolución de problemas de flujo
en conductos de área constante.
 Escribir y explicar las ecuaciones básicas para el flujo compresible unidimensional y perma-
nente de un gas ideal a través de una onda de choque normal.

2
1.2 Consideraciones termodinámicas
En este epígrafe se hace un resumen de la termodinámica necesaria para el estudio del flujo
compresible, incluyendo la ecuación de estado, y ecuaciones de temperatura- entropía.
 Relaciones termodinámicas para un gas ideal
La presión, la densidad y la temperatura de una sustancia pueden relacionarse funcionalmente
mediante una ecuación de estado. Para la mayoría de los gases usados en la ingeniería existe
una relación sencilla entre sus propiedades que esta representada por la conocida ecuación de
estado del gas ideal,
R es una constante para cada gas y esta dada por
R=Ru/M
Donde RU= 8314N.m/kgmol.K es la constante universal de los gases y M es la masa molecular
del gas.
El gas ideal tiene otras características sencillas y muy útiles que se exponen a continuación.
Energía interna
La energía interna para una sustancia cualquiera puede expresarse como una función de la
temperatura y del volumen específico,
),( Tuu 
de donde,


d
u
dT
T
u
du
T

















Los calores específicos a cp, a presión constante y cv, a volumen constante se definen como:


















T
u
c
u
c v
T
p
Para el caso de un gas ideal (pv=RT) la energía interna, para un proceso isotérmico, se ajusta a
la relación:
0









d
u
T
en consecuencia
)(Tuu 
por lo que
dTcdu p
Lo que significa que para un gas ideal, la energía interna y los cambios de temperatura pueden
relacionarse si se conoce cv.
Entalpía
A partir de la definición de entalpía y de la ecuación de estado del gas ideal se puede escribir:
RT
p



3
RTuhRT
pp
uh 

;
como u = u(T) para un gas ideal, entonces h debe ser también solo una función de la tempera-
tura. Así,
)(Thh 
Es posible establecer una relación entre h y T, expresando h como una función de p y T,
),( Tphh 
entonces
dp
p
h
dT
T
h
dh
Tp

















Como h es función solo de T, se tiene
0







dp
p
h
T
y como
T
p
u
c 









por lo que
dTcdh p
Relación entre los calores específicos
A partir de la ecuación, RTuh  se puede escribir
R
dT
du
dT
dh
RdTdudh


Debido a que h y u son funciones solamente de la temperatura, los calores específicos, cp y cv,
serán también funciones solo de la temperatura, de modo que no se precisan derivadas parcia-
les dadas en sus definiciones, por tanto para un gas ideal
dT
du
c
dT
dh
c vp  ;
Entonces,
Rcc vp 
La razón entre los calores específicos, es parámetro adimensional útil, se define como:
v
p
c
c
k 
Combinado adecuadamente estas dos últimas relaciones, se pueden escribir expresiones para
los calores específicas, aplicables a los gases ideales. Así,
1
;
1 



k
R
c
k
kR
c vp

4
Para un gas ideal, los calores específicos son funciones solo de la temperatura. Para intervalos
de temperatura razonables, los calores específicos pueden tratarse como constantes en cálcu-
los de exactitud de ingeniería. En estas condiciones,
)(
)(
1212
1212
2
1
2
1
2
1
2
1
TTcdTcdhhh
TTcdTcduuu
p
T
T
p
h
h
v
T
T
v
u
u




Ecuaciones que pueden usarse para simplificar el análisis.
Relaciones de las propiedades de un gas ideal sujeto a un proceso isentrópico.
Se pueden establecer una relación útil entre p y v para un gas ideal con calor específico cons-
tante sujeto a un proceso adiabático reversible a partir del primer principio con dh y du expresa-
dos en función de los calores específicos y temperaturas. Así,
dpdTc
pddTc
p
p




Combinado ambas ecuaciones y ordenando adecuadamente se tiene



 d
k
d
c
c
p
dp
v
p

Integrando para k=cte.
Ckp lnlnln  
Cp k

Aplicando la última ecuación entre dos estados, se tiene:
k
kk
p
p
pp 






1
2
2
1
2211



Combinado esta relación con la ecuación de estado de un gas ideal se puede expresar este
resultado en función de la temperatura y la densidad. Así,
  kk
k
p
p
T
T
T
T
/1
2
1
2
1
1
2
1
2
1


















 La entropía y el segundo principio de la termodinámica
La entropía es una propiedad muy útil en el estudio del flujo compresible. El diagrama Tempera-
tura vs. entropía, es una buena herramienta para la interpretación física de los resultados analí-
ticos. Por ello se hará un uso intensivo del diagrama T-s en la solución de problemas de flujo

5
compresible y por tanto se justifica repasar algunos conceptos y relaciones útiles que involucran
a la entropía.
La entropía se define matemáticamente mediante la siguiente relación:
rev
rev T
Q
dSo
T
Q
S 





 

De la segunda ley se deduce la conocida desigualdad de Clausius, que establece que:
0  T
Q
S

Como una consecuencia de la segunda ley, estos resultados pueden extenderse a:
QTdSo
T
Q
dS 


Para procesos reversibles, se puede escribir la siguiente ecuación:
dm
Q
Tds


En tanto que para un proceso irreversible se cumple la desigualdad,
dm
Q
Tds


Para un proceso adiabático, como 0
dm
Q
, se tiene:
0ds (Proceso adiabático reversible)
y
0ds (Proceso adiabático irreversible)
En consecuencia se puede afirmar que un proceso que es reversible y adiabático también es
isentrópico; es decir que la entropía permanece constante durante el proceso. Así mismo la
última relación muestra que la entropía debe crecer cuando un proceso es adiabático e irrever-
sible.
Es decir que: la entropía de un sistema aislado térmicamente durante un proceso siempre se
incrementa o, en el restrictivo caso de un proceso reversible, permanece constante. Dicho de
otro modo, la entropía – para un sistema adiabático- nunca disminuye. Esto se conoce como el
principio de incremento de entropía1. Entonces, en ausencia de cualquier intercambio de calor,
1
El principio de incremento de entropía no implica que la de un sistema no pueda disminuir. El cambio de
entropía de un sistema puede ser negativo durante un proceso, pero la generación de entropía no. El prin-
cipio de incremento de entropía puede resumirse de la siguiente manera:
Si Sgenerada > 0 entonces el proceso es irreversible
Si Sgenerada = 0 entonces el proceso es reversible
Si Sgenerada < 0 entonces el proceso No es posible
Estas relaciones pueden servir como criterio de decisión respecto de la irreversibilidad, irreversibilidad o
imposibilidad de un proceso. (Yunus Cengel, Mecánica de fluidos.-Fundamentos y Aplicaciones, 1ª Ed.).

6
el cambio de entropía se debe solo a la irreversibilidad y su efecto es siempre incrementar la
entropía.
Un análisis del conjunto de las ecuaciones anteriores, muestra que el cumplimiento de cuales-
quiera dos de tres las restricciones –reversible, adiabático o isentrópico- debe implicar el cum-
plimiento de la tercera. Así por ejemplo, un proceso que es isentrópico y reversible debe ser
también adiabático.
A partir de la primera y segunda ley de la termodinámica, es posible obtener una relación ma-
temática entre la presión, volumen específico, temperatura absoluta, entropía y energía interna
específica (p, v, T, s, u), valida para todos los procesos entre estados de equilibrio. Esta rela-
ción esta dada por:
vdpdhpdvduTds 
Para un gas ideal, se puede escribir
p
dp
R
T
dT
cds p 
Ejemplo 1
Fluye aire a través de un ducto de sección constante a razón de 0.15 kg/s. Un tramo corto del
conducto se enfría con nitrógeno líquido que rodea al ducto. La razón de pérdida de calor del
aire en esta sección es 15.0 kJ /s. La presión, temperatura y velocidad de entrada en la sección
fría son 188 kPa (abs), 440K y 210 m/s, respectivamente. Las condiciones de estado en la sali-
da son 213 kPa (abs.) y 351 K. Calcule el área de la sección transversal del ducto y los cambios
de entalpía y entropía para este flujo.
El objetivo de este ejemplo es consolidar los conceptos básicos expuestos hasta ahora.
RESOLUCION
Datos:
Entrada Salida
T
1
440 K T
2
351 K
P
1
188 kPa P
2
213 kPa
V
1
210
m
s

Hipótesis:
i flujo permanente
ii flujo uniforme en cada sección
iii gas ideal R 287
J
kg K

a) Cálculo del área de la sección de flujo
El área de la sección de flujo del ducto se calcula a partir del flujo másico a la entrada, que de
acuerdo al planteamiento hipotético y de acuerdo con la ecuación de continuidad debe ser cons-
tante a lo largo del tubo:
m = ρVA = cte.
Previamente debemos calcular la densidad, para ello usamos la ecuación del gas ideal,

1
P
1
R T
1

 
1
1.489
kg
m
3

m 0.15
kg
s


7
Luego entonces:
Se tiene
d) Finalmente el cambio de entropía puede calcularse a partir de la ecuación:
De donde:
b) El cambio de entalpía se puede calcular recordando que para un gas ideal con calores especí-
ficos constantes:
si asumimos para el aire (tabla):
Cp 1004
J
kg K

Tendremos que:
c) De manera similar se puede calcular el cambio de energía interna:
Partimos de la siguiente relación
)( 12
2
1
TTcdTcu vv  
Si tomamos para el aire (tabla)
Cv 717.4
J
kg K

U m Cv T
2
T
1
 
U 9.577 10
3
 W
dpdhTds

1

Integrando esta ecuación para un gas ideal con calores específicos constantes, se tiene:
 
2
1
2
1 p
dp
R
T
dT
cs p
s Cp ln
T
2
T
1






 R ln
P
2
P
1







s 262.724
m
2
K s
2


A
m

1
V
1


A 4.798 10
4
 m
2

H 1.34 10
4
 W
H Cp m T
2
T
1
 
)( 12
2
1
TTcdTch pp  

8
1.3 Efectos de la compresibilidad
Dos parámetros importantes en el estudio de flujo compresible son la velocidad de sonido, c, y
el número de Mach, M. La velocidad del sonido es la velocidad a la cual una onda de presión
infinitesimalmente pequeña viaja a través de un medio. Una onda de presión puede ser origina-
da por una pequeña perturbación, la cual crea un ligero aumento en la presión local. El numero
de Mach se define como el cociente de la velocidad real del fluido (o de un objeto que se mueve
en el fluido en reposo) entre la velocidad del sonido en el mismo medio fluido, en el mismo es-
tado.
M = V/c
Es decir que el número de Mach depende de la velocidad del sonido, c, que a su vez depende
del estado del fluido, como se verá más adelante.
 Propagación de una onda elástica
Si en un fluido se origina una perturbación, la velocidad de avance del frente de onda corres-
pondiente es proporcional a la raíz cuadrada del cociente entre el modulo de compresibilidad
del fluido y su densidad.
Esto se puede comprobar, al considerar la propagación de una perturbación en un fluido ini-
cialmente en reposo: debido a la acción molecular, la presión se incrementa a la derecha de de
la perturbación y este incremento se moverá hacia aguas abajo a una velocidad c por otra parte
de acuerdo a la segunda ley de newton, el fluido localizado inmediatamente a la derecha del
frente de onda se acelerara como consecuencia de la diferencia de presión dp.a una velocidad
dV.
Se puede analizar el fenómeno a partir de un volumen de control que se mueve encerrando al
frente de onda como se muestra en la figura. Luego a partir de las ecuaciones de continuidad y
cantidad de movimiento aplicadas a este volumen de control se pueden escribir las siguientes
ecuaciones diferenciales:
1.3.1
1.3.2
y combinado ambas ecuaciones y despejando la velocidad de propagación, se obtiene:
d
dp
c  1.3.3
Para el caso de un gas ideal, la presión y la densidad en un proceso isentrópico están relacio-
nados mediante la ecuación:
cte
k
p 






1
1.3.4
Volumen de control Vo=c
c velocidad
 densidad
p presión
c –dV velocidad
+d densidad
p+dp presión
Fig. 1.3.1 Volumen de
control alrededor del frente
de onda.
c
dp
dV
d
cdV






9
A partir de la que se obtiene por derivación (previa logaritmización):

kp
d
dp
 1.3.5
Entonces la velocidad de propagación de una onda de presión en función de las propiedades
termodinámicas del fluido estará da-
da, para un gas ideal, por:

kp
c  1.3.6
kRTc  1.3.7
Como, para un gas ideal en particular,
R es constante y k (relación de calore
s específicos) es, cuando mucho, una
función de la temperatura, T, se con-
cluye que la velocidad del sonido en
un gas ideal dado es función sola-
mente de la temperatura (figura 1.3.2).
El Cono de Mach
Número Mach.- Conocido coloquialmente como mach ("mac"), se define como el cociente entre
la velocidad de un objeto y la velocidad del sonido en el medio en que se mueve dicho objeto.
Dicha relación puede expresarse según la ecuación:
c
V
M  1.3.8
Si un objeto viaja a través de un medio, entonces su número de Mach es la razón entre la ve-
locidad del objeto y la velocidad del sonido en ese medio. Es un número sin unidades, típica-
mente usado para describir la velocidad de los aviones. Mach 1 equivale a la velocidad del so-
nido, Mach 2 es dos veces la velocidad del sonido, etc.
Este número fue propuesto por el físico y filósofo austriaco Ernst Mach2,
como una manera sencilla de expresar la velocidad de un objeto con res-
pecto a la velocidad del sonido.
La utilidad del número de mach reside en que permite expresar la veloci-
dad de un objeto no de forma absoluta en km/h o m/s, sino tomando como
referencia la velocidad del sonido, algo interesante desde el momento en
que la velocidad del sonido cambia dependiendo de las condiciones de la
atmósfera. Por ejemplo, cuanto mayor sea la altura sobre el nivel del mar
2 Ernst Mach (18 de febrero, 1838 - 19 de febrero, 1916) físico y filósofo austriaco. Trabajó como catedrático de matemáticas en la Universidad
de Graz y de 1867 a 1895 como catedrático de física experimental en la Universidad de Praga. Realizó importantes descubrimientos en los
campos de la óptica, la acústica y la termodinámica. Sus trabajos acerca de la mecánica newtoniana tuvieron una gran importancia ya que con
ellos rebatió en parte dicha teoría y en particular el concepto de espacio absoluto. Sus tesis desempeñaron un papel muy importante en la formu-
lación de la teoría especial de la relatividad por parte de Albert Einstein en el año 1905. Mach estudió sobre todo la física de fluidos a velocidades
superiores a la del sonido, y descubrió la existencia del cono que lleva su nombre. Se trata de una onda de presión de forma cónica que parte de
los cuerpos que se mueven a velocidades superiores a la del sonido. Descubrió que la relación entre la velocidad a la que se desplaza el cuerpo y
la velocidad del sonido es un factor físico de gran importancia. Dicho factor se conoce con el nombre de número de Mach, en su honor. Una
velocidad de Mach 2,7 significa que el cuerpo se mueve a una velocidad 2,7 veces superior a la de propagación del sonido.
Como filósofo de la naturaleza, rechazó de forma contundente toda metafísica y religiosidad convirtiéndose por ello en uno de los representantes
mas destacados del positivismo. Fuente: "http://es.wikipedia.org/wiki/Ernst_Mach"
Ernst Mach
Fig. 1.3.2 La velocidad del sonido, C, varia con al tem-
peratura, T, y con el fluido.
0 500 1000 1500
0
1000
2000
3000
Ca T( )
Che T( )
T
c
Helio
Aire

10
o la temperatura de la atmósfera, menor es la velocidad del sonido. De esta manera, no necesi-
tamos saber la velocidad del sonido para saber si un avión que vuela a una velocidad dada la
ha superado: Nos basta con saber su número de Mach3.
Ejemplo 2
Un aeroplano vuela a 180 m/s y 500 m de altura en un día con condiciones estándar. As-
ciende a 15 km y vuela a 320 m/s. Calcule el número de Mach de vuelo en ambos casos.
(flujo supersónico)M
2
1.084M
2
V
2
c

entonces el numero e Mach, sera:
c 295.076
m
s
c k R T
2

entonces
(Tabla A.3 Fox, pag. 840)T
2
216.7K
b ) Para 15000 m de altitud, la temperatura es:
(flujo subsónico)M
1
0.532M
1
V
1
c

entonces el numero e Mach, sera:
c 338.338
m
s
c k R T
1

entonces
(Tabla A.3 Fox, pag. 840)T
1
284.9K
a ) Para 500m de altitud, la temperatura es:
en cada caso calculamos la temperatura en función a la altitud a la que se encuentra el
aeroplano.
Donde, la velocidad del sonido, esta dada por:
En ambos casos utilizaremos la ecuación:
R 287
J
kg K
Z
2
15000mZ
1
500 m
k 1.4V
2
320
m
s
V
1
180
m
s

Datos :
3 Instrumentation
An aircraft Mach meter or electronic flight information system (EFIS) can display Mach number derived from impact pressure (pitot tube) and static
pressure.
For subsonic compressible flow:
Where: qc is impact pressure and, P0 is static pressure.
M=v/c
kRTc 

11
)( ottV 
)( ottc 
SILENCIO
ACCION

Figura 1.3.3d. V>0. Movimiento supersónico
Supongamos, ahora, que se emite una perturbación ins-
tantánea infinitesimal en un punto de un fluido. El frente se
propaga en forma esférica con la velocidad del sonido, el
patrón de sonido se propaga uniformemente en todas las
direcciones. En cualquier instante el radio de la esfera es
c(t-t0), cuyo centro coincide con el punto de emisión de la
perturbación. Se explicarán ahora cuatro situaciones posi-
bles:
 En el instante (t-to) después de la emisión, cualquier
pulso sonoro se localiza en el radio c (t-to), medido
desde la fuente, figura 1.3.3a.
 Si la perturbación se emite en un fluido que se mueve
con una velocidad uniforme Vo < C, figura 1.3.3b. La
concentricidad del patrón de onda se pierde; ya no hay
círculos concéntricos, debido a que la propagación se
mueve hacia fuera esféricamente con respecto al fluido
y por consiguiente se mueve hacia aguas abajo con ve-
locidad Vo.
 Si ahora, que la perturbación se emite en un medio que
se mueve con una velocidad constante VO=C; (M=1). El
lugar geométrico de las superficies delanteras de las
ondas sonoras es un plano en la fuente. Consecuente-
mente, un observador enfrente de la fuente no la escu-
chará cuando ella se acerque.
 Si, ahora, se emite una perturbación en un medio fluido
que se mueve con velocidad Vo>C. Esto representa una
acción simple en un flujo supersónico. En este caso, el
lugar geométrico de las superficies delanteras de las
ondas sonoras es un cono, denominado cono de Mach.
También en este caso, ningún sonido se escuchará fren-
te al cono.
El ángulo del cono, 2, está relacionado con el número de
Mach, relación que puede obtenerse a partir de la geome-
tría de la figura (como se vera en el
ejemplo 3) y está dado por:
MV
C
sen
1
)(  ,
Es decir
1.3.9
)( ottc 
)( oo ttV 
Figura 1.3.3b Propagación de una
onda V0<c. corrimiento Doppler.
)( ottc 
)( ottc 
Figura 1.3.3c. V0=c







M
arsen
1

)( ottc 
Figura 1.3.3a Propagación de una onda
en un fluido en reposo. V0=0.

12
Ejemplo3.-
Un avión que vuela a 2000 m de altitud pasa directamente por arriba de un observador. Si el
avión se desplaza a un número de Mach igual a 1.5 y la temperatura ambiente es 10ºC, ¿cuán-
tos segundos tiene que esperar el observador antes de escuchar el sonido producido por el
avión?
Datos:
T= 10 + 273 = 283 oK; M = 1.5; Z = 2000 m
Para el aire se puede tomar: k = 1.4
Para M=1.5 se tiene V > C es decir flujo supersónico, por lo que usaremos el cono de Mach
como referencia para resolver el problema.
Donde el ángulo de Mach está dado por:
MV
C
sen
1
)(
La velocidad del sonido se puede calcular a partir de:
kRTC 
El tiempo se puede calcular a partir de la relación
tVttVx o  )( 
CM
x
V
x
t 
Así mismo, x se calcula a partir del cono de Mach, así:
tg
z
x 
Reemplazando valores numéricos, en las ecuaciones anteriores se tiene que el observador oirá
el sonido luego de un tiempo de t= 4.420 s.
SILENCIO )( ottc 
ACCIÓN
 z
x= V.(t - to)

13
1.4 Estado de referencia
 Propiedades locales de estancamiento isentrópico
En el flujo compresible, es conveniente emplear el estado de estancamiento como un estado de
referencia. Las propiedades de estancamiento (To, po, o…) en cualquier punto en un campo de
flujo, son las que corresponden a los valores que tomarían estas propiedades en el punto en
cuestión si hipotéticamente la velocidad se redujera a cero isentrópicamente.
En un flujo adiabático unidimensional debe tenerse la misma entalpía isentrópica de estanca-
miento en todos los puntos y, recíprocamente, si para un flujo unidimensional particular se sabe
que la entalpía de estancamiento isentrópica es constante en todos los puntos, puede concluir-
se que el flujo es adiabático.
El estado e estancamiento se llama estado de
estancamiento isentrópico cuando el proceso de
estancamiento es reversible y adiabático (isentró-
pico). La entropía de un fluido permanece cons-
tante durante el proceso isentrópico de llevar el
fluido al estado e estancamiento. El proceso real
(irreversible) y el proceso isentrópico de llevar al
reposo un flujo de fluido se puede observar en la
figura. La entalpía de estancamiento del fluido (y
la temperatura de estancamiento si el fluido es un
gas ideal) es la misma en ambos casos. Sin em-
bargo, la presión de estancamiento real es menor
que la presión de estancamiento isentrópica por-
que la entropía aumenta durante el proceso real
de estancamiento como resultado de la fricción
del fluido. Frecuentemente, los procesos de es-
tancamiento se aproximan a isentrópicos y a las
propiedades de estancamiento isentrópico se les
llama simplemente propiedades de estancamien-
to.
A partir de la primera ley de la termodinámica se puede escribir la siguiente relación, para un un
proceso isentrópico:
h
V







2
0
2
h
V
h
V
o
o 
22
22
 h
V
ho 
2
2
1.4.1
Para flujos a altas velocidades la energía potencial del fluido es insignificante, pero la energía
cinética no lo es. En estos casos la entalpía de estancamiento representa la energía total del
flujo fluido, es decir que la entalpía de estancamiento h0, se interpreta en estos casos como la
combinación la entalpía estática (o simplemente entalpía) y la energía cinética del fluido.
Ahora suponiendo calores específicos constantes (cuando un fluido se aproxima a un gas ideal
con calores específicos constantes, su entalpía puede reemplazarse por cpT) y con Vo=0, a
partir de la ecuación anterior se puede escribir:
Tc
V
Tc P
o
oP 
2
2
 T
c
V
T
P
o
o 
2
2
 1
2
2

Tc
V
T
T
P
oo
1.4.2
h
s
2
2
V
p0
p0,act
Estado de estanca-
miento isentrópico
Estado real de estan-
camiento isentrópico
Figura 1.4.1. Estado real, estado de estancamiento
isentrópico y estado de estancamiento real de un
fluido.
Estado real
0

14
De la relación anterior se establece que la temperatura de estancamiento T0, es constante para
un flujo adiabático.
En la ecuación 1.4.2, la temperatura de estancamiento T0, representa la temperatura que
alcanza un gas ideal cuando se lleva al reposo adiabáticamente. El término V2/2cp corresponde
al incremento de la temperatura alcanzado durante el proceso y se llama temperatura dinámica.
Estas ecuaciones nos muestran que para flujos a bajas velocidades las temperaturas de estan-
camiento y estática, T0 y T, son prácticamente iguales, pero para flujos a altas velocidades la
temperatura de estancamiento puede ser considerablemente mayor que la temperatura estática
del fluido4.
Si recordamos que:
C
V
MykRTCR
k
k
cP 

 2
;
1
A partir de la relación 1.4.2 se puede obtener una relación para la razón de las temperaturas de
estancamiento y estática, en función del número de Mach:
1.4.3
Figura 1.4.2. Variación de la razón To/T vs M
4
Así pues, cuando un flujo es llevado al reposo, el flujo está en estancamiento, por lo tanto, un termóme-
tro en un flujo compresible medirá T0, no T.
Entonces, cuando T = 17 0C ≡290 K, si:
M=0.10, T0/T=1.002, entonces T0=290.58 K ≡17.58 o
C;
M=0.50, T0/T=1.050, entonces T0=304.5 K ≡ 31.50 o
C;
M=2.0 T0/T=1.80, entonces T0 = 522 K ≡ 249 o
C
M T0 /T
0.00 1.000
0.10 1.002
0.20 1.008
0.30 1.018
0.40 1.032
0.50 1.050
0.60 1.072
0.70 1.098
0.80 1.128
0.90 1.162
1.00 1.200
1.20 1.288
1.40 1.392
M T0 /T
1.60 1.512
1.80 1.648
2.00 1.800
2.20 1.968
2.40 2.152
2.60 2.352
2.80 2.568
3.00 2.800
3.50 3.450
4.00 4.200
4.50 5.050
5.00 6.000
10.00 21.000
1
2
1 2


 M
k
T
To
Razon T0/T vs M
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
18.0
20.0
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00
Número de Mach M
To/T
… esta última ecuación sólo requiere que el flujo sea adiabáti-
co, es decir que sigue siendo válida en presencia de irreversibi-
lidades tales como las pérdidas por fricción u ondas de choque.
en presencia de irreversibilidades tales como las pérdidas por
fricción u ondas de choque.

15
Relaciones isentrópicas de presión y densidad en función al número de Mach.
A partir de esta última relación, y de las conocidas relaciones isentrópicas para un gas ideal,
pueden formularse relaciones similares para la densidad y la presión de estancamiento:
Presión de estancamiento.- Se denomina presión de estancamiento, p0, a la presión que
alcanza un fluido cuando se lleva al reposo isentrópicamente. Para un gas ideal con calores
específicos constantes, p0 se puede relacionar con la presión estática del fluido, p, y el número
de Mach de la siguiente manera:
1







k
k
oo
T
T
p
p

12
1
2
1 









k
k
o M
k
p
p
1.4.4
Análogamente la densidad de estancamiento, 0, y la densidad estática,, pueden relacionarse
mediante las siguientes expresiones:
1
1








koo
T
T



1
1
2
1
2
1 









ko
M
k


1.4.5
Consideremos ahora un flujo fluido a través de un ducto, si se usan entalpías de estancamiento,
el balance de energía (primera ley e la termodinámica) para un volumen de control con flujo
estacionario y con una entrada y una salida puede expresarse del siguiente modo:
)(
22
)( 12
2
1
2
2
12 zzg
VV
hhwq 









Reordenando convenientemente;
)()
2
()
2
( 12
2
1
1
2
2
2 zzg
V
h
V
hwq 
y de (1.4.1)
q - w = h02 + h01 + g(z2-z1) 1.4.6
Donde h02 y h01 son las entalpías de estancamiento en los estados 2 y 1, respectivamente.
Es decir que: cuando se usan entalpías de estancamiento no es necesario referirse a la energía
cinética de manera explicita, sin embargo las entalpías de estancamiento, como ya se dijo, to-
man en cuenta su contribución.
Para flujo adiabático (sin intercambio de calor), en ausencia de trabajo y sin cambio de energía
potencial, se tiene que:
h02 = h01 = constante
Es decir que en estas condiciones la entalpía permanece constante.
Cuando el fluido es un gas ideal con calores específicos constantes, la ecuación (1.4.6) toma la
siguiente forma:
q - w = cp(T02 +T01 ) + g(z2-z1) 1.4.7
Donde T02 y T01 son las temperaturas de estancamiento.

16
Propiedades de estancamiento en función del número de Mach
M T/To p/po /o M T/To p/po /o M T/To p/po /o
0.00 1.0000 1.0000 1.0000 2.00 0.5556 0.1278 0.2300 4.00 0.2381 0.0066 0.0277
0.10 0.9980 0.9930 0.9950 2.10 0.5313 0.1094 0.2058 4.10 0.2293 0.0058 0.0252
0.20 0.9921 0.9725 0.9803 2.20 0.5081 0.0935 0.1841 4.20 0.2208 0.0051 0.0229
0.30 0.9823 0.9395 0.9564 2.30 0.4859 0.0800 0.1646 4.30 0.2129 0.0044 0.0209
0.40 0.9690 0.8956 0.9243 2.40 0.4647 0.0684 0.1472 4.40 0.2053 0.0039 0.0191
0.50 0.9524 0.8430 0.8852 2.50 0.4444 0.0585 0.1317 4.50 0.1980 0.0035 0.0174
0.60 0.9328 0.7840 0.8405 2.60 0.4252 0.0501 0.1179 4.60 0.1911 0.0031 0.0160
0.70 0.9107 0.7209 0.7916 2.70 0.4068 0.0430 0.1056 4.70 0.1846 0.0027 0.0146
0.80 0.8865 0.6560 0.7400 2.80 0.3894 0.0368 0.0946 4.80 0.1783 0.0024 0.0134
0.90 0.8606 0.5913 0.6870 2.90 0.3729 0.0317 0.0849 4.90 0.1724 0.0021 0.0123
1.00 0.8333 0.5283 0.6339 3.00 0.3571 0.0272 0.0762 5.00 0.1667 0.0019 0.0113
1.10 0.8052 0.4684 0.5817 3.10 0.3422 0.0234 0.0685 5.50 0.1418 0.0011 0.0076
1.20 0.7764 0.4124 0.5311 3.20 0.3281 0.0202 0.0617 6.00 0.1220 0.0006 0.0052
1.30 0.7474 0.3609 0.4829 3.30 0.3147 0.0175 0.0555 6.50 0.1058 0.0004 0.0036
1.40 0.7184 0.3142 0.4374 3.40 0.3019 0.0151 0.0501 7.00 0.0926 0.0002 0.0026
1.50 0.6897 0.2724 0.3950 3.50 0.2899 0.0131 0.0452 7.50 0.0816 0.0002 0.0019
1.60 0.6614 0.2353 0.3557 3.60 0.2784 0.0114 0.0409 8.00 0.0725 0.0001 0.0014
1.70 0.6337 0.2026 0.3197 3.70 0.2675 0.0099 0.0370 8.50 0.0647 0.0001 0.0011
1.80 0.6068 0.1740 0.2868 3.80 0.2572 0.0086 0.0335 9.00 0.0581 0.0000 0.0008
1.90 0.5807 0.1492 0.2570 3.90 0.2474 0.0075 0.0304 9.50 0.0525 0.0000 0.0006
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00
Número de Mach
Figura 1.4.3 Propiedades de estancamiento como función del número de
Mach, para k=1.4
0

0T
T
0p
p

17
T
M1=0.4,
T1=2350o
F
p1=90.0
M2=0.8,
T2=1200o
F
p2=3.00
R 53.3 pie
lbf
lbm
 R k 1.4
cp 0.240
Btu
lbmR
cv 0.171
Btu
lbmR
Ejemplo 4.-Entra aire a una turbina a M1=0.4, T1=2350oF y p1=90.0 psia. Las condiciones a la
salida de la turbina son M2=0.8, T2=1200oF y p2=3.00 psia. Evalúe las condiciones locales de
estancamiento isentrópico a) en la entrada de la turbina y b) en la salida de la turbina. Calcule el
cambio de entropía específica a través de la turbina. Grafique los puntos de estado estático y de
estancamiento en un diagrama T-s.
DATOS Otros datos importantes (aire estándar).
Haciendo uso de las relaciones matemáticas, establecidas en esta sección, se pueden calcular las condiciones de estanca-
miento del aire tanto en la entrada como en la salida de la turbina. (Para esto se utilizó el MatCAD).
Btu
lbmR
s 0.108de donde:s cp ln
T2
T1






 cp cv( ) ln
p2
p1







R cp cvs cp ln
T2
T1






 R ln
p2
p1







c)Cambio de la entropia específica.-Para calcular el cambio de entropia, utilizam os la
ecuación: Tds=dh-vdp; que para un gas ideal se puede s¡escribir:
o2 6.598 10
3

lbm
pie
3
o1 0.094
lbm
pie
3
o1
po1 144
R To1

o2
po2 144
R To2

a partir de la ecuación general de los gases:
Densidad de estancamiento
psiapo2 4.573psiapo1 100.49
po2
k 1
2
M2
2
 1





k
k 1
p2po1
k 1
2
M1
2
 1





k
k 1
p1
-Presión de estancamiento
RTo1 2.9 10
3

RTo2 1.872 10
3

To2
k 1
2
M2
2
 1





T2To1
k 1
2
M1
2
 1





T1
- Temperatura de estancamiento
b) en la salida de la turb inaa) en la entrada de la turbina
* El estudiante debe dibujar el diagrama T-s, referido a los puntos de estado del proceso.

18
1 2
?v2pie/sv1 500
lbf.pie/lbm.RR 53.3
k 1.4RT2 800RT1 600
Btu/lbm.Rcp 0.24psiap2 40psiap1 60
constantessección 2sección 1
2 v2 A
v2
1 v1
2
 v2 1 10
3
 pie/s
M2
v2
c2
 M2 0.721
Con estos datos, la presión de estancamiento en 2, se puede calcular del siguiente modo:
po2 p2 1
k 1
2






M2
2






k
k 1

po2 56.56 psia
Ahora a partir de la pri mera ley de la termodinámica calculamos el calor transferido:
q h k
donde :
h cp T2 T1( ) k
v2
2
v1
2

2

entonces se tiene que:
q cp T2 cp T1
v2
2
2

v1
2
2

q cp T2
v2
2
2
 cp T1
v1
2
2








v1 500 v2
En base a estos datos realizamos algunos calculos preliminares, que serán úitles
posteriormente;
seccción de flujo 1 seccción de flujo 2
2
p2 144
R T2
 2 0.135
1
p1 144
R T1
 1 0.27
c1 k R 32.2 T1 c1 1.201 10
3
 c2 k R 32.2 T2 c2 1.386 10
3

M1
v1
c1
 M1 0.416 M2 
A partir de la ecuación de continuidad, podemos calcular la velocidad v2, que es necesario
conocer para calcular el cambio de energía cinética:
1 v1 A =
Ejemplo 5.- Fluye aire por un ducto de área constante. En la sección1 el aire está a 60 psia, 600 R y
500 pies/s. Como e resultado de la transferencia térmica y de la fricción, el aire en la sección 2 aguas
abajo se encuentra a 40 psia, 800 R. Calcule la transferencia térmica por libra de aire entre las secciones 1
y 2, así como la presión de estancamiento en la sección 2.
RESOLUCION
DATOS

19
Pero según se vio en la clase teórica, la entalpia de estancamiento de un punto determinado
es igual a la suma de la entalpia y la energia cinetica del punto en cuestión.
cp To = cp T
v
2
2

entoces, para cp=cte., se tiene:
q cp To2 To1( )
La temperatura de estancamiento en las secciones 1 y 2 estan dadas por:
To1 T1 1
k 1
2






M1
2






 To2 T2 1
k 1
2






M2
2







To1 620.809 R To2 883.237 R
Finalmente se tiene que el calor transferido entre 1 y 2 esq 62.98 Btu/lbm
Un forma más directa de calcular el calor transferido es, calcular el incremento de la energía
cinética, claro que cuando se usa el sistema de unidades británico se debe tener cuidado con
usar los factores de conversión adecuados para compatibilizar las unidades:
k
v2
2
v1
2

2
 libf-pie/slug
k
k
32.2
 libf-pie/lbm
k
k
778.16

Btu/lbm k 14.97 Btu/lbm
h cp T2 T1( ) h 48.00 Btu/lbm
q h k q 62.97 Btu/lbm
Ejemplo 6.- Un avión F-4 pasa a muy poca altura sobre un campo de aterrizaje que se encuen-
tra al nivel del mar en un día en condiciones estándares. Un tubo de pitot sobre el avión registra
una presión de estancamiento de 23 psia. Determine el numero de Mach al cual vuela el avión.
Evalúe la velocidad del mismo.
RESOLUCION
El número de Mach se puede calcular a partir de la relación entre la presión de estancamiento
y la presión de la corriente de aire relativa al avion. El tubo de Pitot permite medir la presión de
estancamiento de la corriente de aire.
cp 0.240RTa 520
V
a
Ta 60 460
lbf pie
lb R
R 53.3
psiap
b
14.696
k 1.4
g 32.174psiap
o
23.6
DATOS :

20
psiap
2
21.086
p
2
p
b
T
2
Ta






k
k 1

La presión para un proceso de expansión isentropica se puede calcular, apartir de:
T
2
576.5
T
2
Ta
Va
2
V
2 2

2 cp 778.16 g

de donde:
22
)(
2
2
2
2
vv
TTcp a
a 
y para cp constante:
22
2
2
2
2
v
h
v
h a
a 
a) para un proceso adiabático, se tiene de la primera ley de la termodinámica:
V
2
475
Ahora el avión del problema anterior vuela a M=0.851. El aire se frena en el sistema de entrada
del motor a 475 pie/s respecto del avión. Determine la temperaura del aire en esta ubicación. Si
el proceso de desaceleración se modelará como isentropico, ¿Cuál sería la presión esática en
esta sección?
mph
Va
1.467
648.337o en millas por hora:
pie
s
Va 951.11Va M c
entonces la velocidad de aire sera:
pie
s
c 1.117 10
3
c k R g Ta
La velocidad del aire relativa al avión se puede calcular a partir de la deifinición del número de
Mach
M 0.851M
2
k 1
p
o
p
b






k 1
k
1












21
Condiciones críticas M =1
Las propiedades de estancamien-
to son una referencia útil para
determinar las propiedades termo-
dinámicas; sin embargo no sirven
para el cálculo de la velocidad,
debido a que la velocidad de es-
tancamiento es igual a cero por
definición. Una referencia útil para
calcular la velocidad es la llamada
velocidad crítica que tiene lugar
cuando el número de Mach es
igual a 1. Aun cuando no exista
realmente un punto en el campo
de flujo donde el número de Mach
sea igual a 1, se puede usar esta
condición como una referencia
hipotética.
A
A
RA o
 ;
T
T
RT o
 ;


 o
R  ;
p
p
Rp o

Relaciones y valores críticos en el punto sónico:
Si para M=1, las propiedades termodinámicas se designan con un asterisco, a partir de las rela-
ciones de estancamiento se pueden escribir las siguientes relaciones para calcular las propie-
dades termodinámicas en condiciones críticas:
1
2
1
*
*
0 


k
T
T
(a) y para k=1.4 (aire estándar) 200.1*
*
0 
T
T
1
1
*
*
0 1
2
1 









kk


(b) y para k=1.4 (aire estándar) 5771*
*
0 .


1
*
*
0 1
2
1 









k
k
k
p
p
(c) y para k=1.4 (aire estándar) 893.1*
*
0 
p
p
Para la Velocidad critica, se puede establecer una relación matemática, en términos de la
temperatura de estancamiento T0 en condiciones sónicas. Así:
*
0
***
1
2
1* RT
k
k
kRTCMV

 (1.4.9)
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
1
2
3
Número de Mach
RA M( )
RT M( )
R M( )
Rv M( )
Rp M( )
M
Representación grafica de las relaciones de estancamiento en función M
La velocidad crítica es por definición igual a la velocidad del sonido
en las condiciones sónicas (M=1). Y se usa frecuentemente como
velocidad de referencia en un flujo isentrópico o adiabático.
(1.4.8)

22
M*=1
T*
p*
ρ*
V*=c*M
T
p
ρ
V=cM
Problema.- En muchos problemas las propiedades sónicas son valores de referencia más útiles
que las propiedades de estancamiento. Deduzca para el flujo isentrópico de un gas las relacio-
nes p/p*; T/T* y /* como funciones del número de Mach.
RESOLUCION
Consideremos, un conducto, como el mostrado en la figura, en el que se supone un flujo isen-
trópico unidimensional, tomemos en esta conducto una sección genérica en la cual e número de
Mach es M, y otra sección aguas abajo en la que el flujo esta estrangulado M*=1 (condiciones
críticas de flujo).
Además, para flujo isentrópico, la temperatura, presión y densidad de estancamiento son cons-
tantes a lo largo de conducto, es decir;
*
00
*
00
*
00 ;;   ppTT
Escribimos ahora, las relaciones de temperatura de estancamiento a temperatura estática, para
las dos secciones consideradas.
y
Dividiendo miembro a miembro tenemos y recordando que al ser flujo isentrópico a temperatura
de estancamiento es constante, tenemos.
(a)
Procediendo de manera análoga obtenemos las relaciones para la densidad y presión:
(b)
(c)
1
2
1 2


 M
k
T
To
1
2
1
*
*



k
T
To
1
)1(2
1
2
1
1
2
1
2*
2
*
*








k
Mk
T
T
k
M
k
T
T
T
T
o
o
1
1
2*
1
)1(2 









k
k
Mk


12*
1
)1(2 









k
k
k
Mk
p
p
(1.4.10)

23









2
2
V
ddh
x
dx
dp
p 
2
1

1.5 Flujo isentrópico en conductos de sección variable.
Antes de considerar el flujo en toberas, es necesario discutir varios aspectos importantes del
flujo isentrópico como ser el efecto de la variación del área, consistente con las condiciones
isentrópicas del flujo, sobre la velocidad y la presión de un flujo compresible (subsónico o su-
persónico) existente. Para ello, aplicaremos las leyes fundamentales del flujo fluido a un volu-
men de control estacionario de espesor infinitesimal, figura 1.5.1.
Hipótesis: Flujo estacionario
Flujo isentrópico
Ecuación de continuidad.
aplicando logaritmos y derivando un expresión,
que será de mucha utilidad, para nuestro propósito.
(1.5.1)
Ecuación de energía (primera ley de la termodi-
námica).
Realizando las operaciones indicadas cancelando términos y menospreciando los diferenciales
de segundo orden, se obtiene:
Esta última ecuación se puede escribir en términos de variación e energía cinética así:
(1.5.2)
Ecuación de cantidad de movimiento
Al realizar el balance e fuerzas en la dirección del flujo, x, se considera que la presión en la
superficie lateral infinitesimal del volumen de control es uniforme e igual a la presión promedio.
Entonces la ecuación de cantidad de movimiento se aplicada al volumen de control se expresa:
(1.5.3)
Combinando adecuadamente las ecuaciones 1.5.1 y 1.5.3, se puede obtener:
(1.5.4)
A
V
p

h
x
dx
d
x
dx
dv
v
x
dx
dp
p
x
dx
dA
A










x
dx
dp
p 
2
1

Figura 1.5.1. Volumen de control de espesor
infinitesimal x, donde x es la dirección del flujo,
en el que se muestran la variación de las variables
de flujo entre la entrada y la salida del volumen de
control.
x
x
cteAv 
0
A
dA
v
dvd


CAv  lnlnln
22
2
1
2












 x
dx
dV
Vx
dx
dh
h
V
h 
VdVdh0
)())(
2
1
())(( Vx
dx
dv
VvAx
dx
dA
x
dx
dp
px
dx
dA
Ax
dx
dp
ppA  
VdVdp 
2
2
1
V
dp
dp
d
V
A
dA










24
  2
2
1
V
dp
M
A
dA


Flujo subsónico M<1
Flujo subsónico M<1
MM<>1
Flujo supersónico M > 1
Flujo supersónico M > 1
Acción de la tobera
dp < 0
dV > 0
Acción del difusor
dp > 0
dV < 0
Figura 1.5-2.- Variación del área de flujo en toberas y difusores subsónicos
y supersónicos.
0
dV
dA 0
dV
dA
0
dV
dA 0
dV
dA
 V
dV
M
A
dA 2
1
01
01


dV
dA
M
dV
dA
M
y, recordando que el grado de compresibilidad, dp/d, es igual al cuadrado de la velocidad del
sonido, ver sección 1.3, y la definición de número de Mach, se tiene:
Sustituyendo en 1.5.4
(1.5.5)
Donde dp será positivo o negativo según se trate de un difusor o de una tobera respectivamen-
te, esto se discute en la siguiente sección.
La ecuación 1.5.5 es importante en el flujo en conductos de sección variable, debido a que des-
cribe la variación de la presión en función a la variación del área de flujo.
Al ser A,  y V cantidades siempre positivas, el signo del segundo miembro de la ecuación
1.5.5, y por tanto de dA y dp, dependerá del valor del número de Mach. Así para flujo subsónico
M<1, (1-M2) > 0, por tanto dA y dp deben tener el mismo signo. Es decir que si la presión del
fluido aumenta el área del ducto también debe aumentar y debe disminuir si el área del ducto
disminuye. Dicho de otro modo para flujo subsónico la presión disminuye en ductos convergen-
tes (toberas o toberas aceleradoras subsónicas) y aumenta en ductos divergentes (difusores o
toberas desaceleradotas subsónicas).
En cambio para flujo supersónico M>1, (1-M2) < 0, por tanto dA y dp deben tener signo opues-
tos. Es decir que si la presión del fluido aumenta el área del ducto debe disminuir y debe dismi-
nuir si el área del ducto aumenta. Dicho de otro modo para flujo subsónico la presión aumenta
en ductos convergentes (toberas o toberas aceleradoras supersónicas) y disminuye en ductos
divergentes (difusores o toberas desaceleradotas supersónicas).
Sustituyendo 1.5.3 en
1.5.5, s obtiene la siguiente
ecuación:
Esta relación determina la
forma de una tobera o de
un difusor isentrópicos
según sean subsónicos o
supersónicos. Observe
que:
Puesto que A y V son can-
tidades siempre positivas,
figura 1.5.2.
La forma adecuada de una
tobera depende del mayor numero de Mach deseado (mayor velocidad de flujo relativa a la ve-
locidad el sonido). Así para acelerar un fluido debe usarse una tobera convergente a velocida-
des subsónicas (M<1) y una tobera divergente a velocidades supersónicas (M>1).
2
2
1







V
M
cdp
d

25
1.6 Flujo isentrópico en toberas.
Las toberas y difusores son dispositivos de regulación del flujo que se encuentran en muchas
aplicaciones de ingeniería, como en turbinas de gas y de vapor, sistemas de propulsión de
aviones, y en sopladores industriales de diferente índole. Estas pueden ser toberas convergen-
tes y toberas convergente-divergentes.
Una tobera es un dispositivo que incrementa la velocidad de un fluido a expensas de la presión.
En cambio un difusor es un dispositivo que incrementa la presión de un fluido al desaceléralo.
Es decir, las toberas y los difusores llevan a cabo tareas opuestas. El área de la sección trans-
versal de una tobera, como se vio en la sección anterior, disminuye en la dirección de flujo para
flujos subsónicos y aumenta para los supersónicos. En los difusores ocurre exactamente lo
contrario (figura 1.6.2).
El flujo de calor entre el fluido que fluye por una tobera o un difusor y los alrededores es gene-
ralmente muy pequeño (Q/t 0) ya que la velocidad de flujo es alta y por lo tanto no se man-
tiene suficiente tiempo en el dispositivo como para que ocurra alguna transferencia e calor im-
portante. La toberas y difusores por lo común no tienen que ver con trabajo (W/t = 0) y cual-
quier cambio de energía potencial es insignificante (Ep  0). Las toberas y los difusores co-
rrientemente están relacionados con velocidades de flujo muy altas, que provocan grandes
cambios de velocidad en el fluido que pasa por alguno de estos dispositivos. Consecuentemen-
te, al analizar el flujo a través de estos dispositivos se deben considerar los cambios de energía
cinética (V0). Es decir:
dt
dm
hZgV
t
W
t
Q






 2
2
1




h02 h01
Como ya vimos, en la sección 1.4, en todos los estados de un flujo isentrópico tienen la misma
entalpía de estancamiento. Además, todos los estados de de flujo isentrópico, incluidos el de
estancamiento, tienen la misma entropía. Es decir: en un flujo isentrópico todos los estados de
estancamiento tienen las mismas entalpía y entropía de estancamiento.
teconsh
V
h
V
h tan
22
0
2
1
1
2
2
2 
2
2
1
Vh 
… y como en un estado de estancamiento la
velocidad es cero, se tiene que las propiedades
de estancamiento son constantes en todos los
puntos en un flujo isentrópico…
h
Figura 1.6.1 Flujo isentrópico.- propiedades de
estancamiento en los estados 1 y 2. Interpretación
de la energía total por unidad de masa.
h0
2
2
1V
2
2
2V
p1
p2
h2
h1
Energía
total
p0
s
S=S0 = cte..

26









2
2
V
ddh
  2
2
1
V
dp
M
A
dA


Modelo Matemático:
En la figura 1.6.1, se muestra el modelo matemático para este tipo de dispositivos (toberas y/o
difusores), que como se puede observar, es similar al presentado en la sección 1.5.
Las ecuaciones diferenciales, correspondientes son:
Continuidad:
Energía:
Cantidad de movimiento:
A partir de estas ecuaciones se tiene que:
o también:
Las implicaciones de estas dos últimas relaciones se resumen en la figura 1.6.2 (un análisis
similar también fue expuesto en la sección 1.5).
Figura 1.6.1.- Flujo unidimensional estacionario
en una tobera convergente. Los efectos de fric-
ción y gravitacional son despreciables.
A
p
v

x
dx
d
x
dx
dv
v
x
dx
dp
p
x
dx
dA
A










pa
x
dA>0 dA<0
Flujo subsónico: M<1 tal que M2-1<0
dv < 0; v disminuye
dp > 0; p aumenta
El dispositivo opera
como difusor
dv > 0; v aumenta
dp < 0; p disminuye.
como tobera
Flujo supersónico: M>1 tal que M2-1>0
dv < 0; v disminuye
dp > 0; p aumenta
como difusor
dv > 0; v aumenta
dp < 0; p disminuye.
como tobera
Figura 1.6.2. Consecuencias de la variación de la
presión y la velocidad en toberas y difusores.
0
A
dA
v
dvd


VdVdp 
1.5.1
1.5.2
1.5.3
1.5.5
 V
dV
M
A
dA 2
1

27
12
1
2
1 









k
k
o M
k
p
p
1
1
2
1
2
1 









ko M
k


Relaciones isentrópicas entre las variables de estado en función del número de Mach.
Las relaciones entre velocidad, densidad y área de flujo y para la variación de las razones de
las propiedades termodinámicas estáticas (presión, temperatura y densidad) y de estancamien-
to en función del número de Mach, son las que corresponden a un flujo unidimensional isentró-
pico. Las expresiones para las propiedades locales de estancamiento isentrópico para un gas
ideal, desarrolladas en la sección 1.4, son aplicables al flujo en toberas y difusores, por ello las
volvemos a escribir:
Razón de temperaturas5: 1.4.3
Razón de presiones:
Razón de densidades:
Estas relaciones son importantes porque, como ya se vio, en el flujo isentrópico permanente, las
propiedades de estancamiento son constantes.
En muchas situaciones de flujo en tobera y difusores, las condiciones críticas son frecuente-
mente usadas como referencia para el cálculo de las variables de estado. Puesto que las pro-
piedades de estancamiento son constantes para flujo isentrópico, entonces se puede escribir.
Área crítica
A partir de la ecuación de continuidad y las relaciones del gas ideal podemos obtener una rela-
ción matemática para la razón de área e flujo/área crítica en función del número de Mach. Así:
Según la ecuación de continuidad, podemos afirmar que el flujo másico en cualquier sección de
flujo debe ser igual al flujo másico en una sección (real o imaginaria) en la que el flujo esta en
condiciones sónicas.
VA = *V*A*
De donde:
5
Esta relación solo exige que el flujo sea adiabático (no necesariamente isentrópico), es decir que como se
mencionó en la sección 1.4, esta ecuación es también valida en presencia de irreversibilidades.
V
V
A
A **
* 


1
2
1 2


 M
k
T
To
1
2
1
*



k
T
To
1
1
*
1
2
1 









ko k


1
*
1
2
1 









k
k
o k
p
p
0
**
1
2
T
k
k
RCV


1.4.4
1.4.5
1.6.2
1.6.3
1.6.4
1.6.5
1.6.6
1.6.7

28
Además la razón de densidades y de velocidades del segundo miembro se pueden expresar en
función del número de Mach.
Similarmente para la velocidad:
Sustituyendo en 1.6.8 y 1.6.9 en 1.6.7
Para aire estándar (k=1.4), se tiene:






 0
0
**
  1
1
2
)1(2
1
1* 









k
Mk
k

2/1
0
2/1
0
2/1
0
1
2
1
21
2
*























kkRTM
kRT
kV
kRT
V
RT
k
k
V
V
2/1
0
1
21*








kT
T
MV
V
 
2/1
2
1
1
)1(2
1*








k
Mk
MV
V
)1(2
1
2
1
)1(21* 












k
k
k
Mk
MA
A
3
2
2.1
2.011*







 

M
MA
A
Figura 1.6.3. Relación de áreas en función del número de
Mach para flujo isentrópico para un gas ideal.
Razón de áreas Vs. Número de Mach
k=1.4; gas ideal
0.000
1.000
2.000
3.000
4.000
5.000
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
1.6.8
1.6.9
1.6.10
1.6.11
M
A*/A

29
1.6.1 Operación de Toberas convergentes
Se analiza ahora lo que ocurre cuando una tobera convergente opera en condiciones diferentes
a las de diseño, es decir diferentes contrapresiones.
Suponiendo que las condiciones de estancamiento a la entrada de la tobera se mantienen cons-
tantes, en tanto que la contrapresión (presión de la cámara a la salida de la tobera, presión del
receptor) varía disminuyendo gradualmente desde un valor igual a la presión de estancamiento
hasta un valor inferior a la presión crítica. En el diagrama se ilustra el comportamiento de la
tobera como consecuencia de esta variación, que es una gráfica de la relación de la presión a lo
largo de la boquilla con respecto a la presión de estancamiento.
 Mientras la contrapresión es ligeramente menor que la presión de estancamiento, se
produce un flujo completamente subsónico. Pero a medida que la contrapresión desmi-
nuye, se incremente el número de Mach del flujo. El fluido en estas condiciones sale de
la boquilla a la presión ambiente (pb) como chorro libre subsónico, es decir
 La tendencia anterior continúa hasta que finalmente el número de Mach es igual a 1, al-
canzando las condiciones sónicas en la garganta. La presión de la contrapresión es
igual a la presión crítica en la garganta. En esta situación se dice que la tobera está
operando en condiciones de diseño.
 Toda disminución adicional de la contrapresión no tiene ningún efecto sobre el flujo en
la tobera y se dice que la tobera esta operando en una condición de estrangulamiento.
p/po
1
p*/po
0
(pe)min = p*
Garganta
(Presión de diseño)
pe = pb
pe = p*
pe
pb
Contrapresión
po
To
o
vo 0
pe=pb
pe=p*

30
p
po
0.571
p
po
0.143
Ejemplo 8. Air from a large reservoir at 700 kPa and 40ºC flows through a converging nozzle,
the exit area of which is 0.025 m2. Assuming that frictional effects are negligible, determine the
pressure and temperature in the exit plane of the nozzle and the mass flow rate when the ambi-
ent pressure is:
(a) 400 kPa
(b) 100 kPa
Ans: (a) 400 kPa, 267 K, 39.8 kg/s; (b) 370 kPa , 261 K, 40.5 kg/s
Resolución
Lo importante en este tipo de problemas es verificar
si la tobera está estrangulada o no. Esto ocurre,
como se vio en la clase, cuando el cociente entre la
presión de la salida y la presión del estancamiento
es:
1
1
2 








k
k
oo kp
p
p
p *
y para k=1.4 5280.
op
p
a) para p = 400 kPa
> 0.528
Por lo que la tobera, en este caso, no esta estrangulada; el flujo es subsónico a través de la
tobera y la presión de salida es igual a la contrapresión (presión atmosférica), es decir ps =
400 kPa.
b) En este caso la presión atmosférica, contrapresión, es 100 kPa, por lo que:
< 0.528; la tobera esta estrangulada!
Entonces la presión del aire a la salida de la tobera no es igual a la contrapresión (presión at-
mosférica en est caso), y se calcula a partir de la presión de estancamiento (en realidad es igual
a la presión crítica)
po=700 kPa
To=313 K
patm
As=0.025 m2
ps=?
m=?
Ts=?
kg/sm 39.8
m s As M k R Tsm s vs As vs
finalmente el flujo másico se calcula a partir de su definición y con los datos de la salida:
s 5.225
kg
m
3
s
ps 1000
R Ts

La densidad del aire a la salida se puede calcular con la ecuación de los gases ideales:
KTs 266.75
Ts To
ps
po






k 1
k

Como el flujo es isentropico la temperatura de salida se puede calcular, de la siguiente manera
M 0.931
M
2
k 1
po
ps






k 1
k
1







calculamos el número de Mach a partir de la condiciones de estancamiento:ps 400con

31
kg/sm 40.0
m s As k R
2
k 1






 To
m/sk R
2
k 1






 ToV*=
El flujo másico se puede calcular con la velocidad crítica (condiciones críticas):
s 4.938s
ps 1000
R Ts

kg
m
3
KTs 260.79
Ts To
ps
po






k 1
k

La temperatura y densidad del aire a la salida se calculan igual que en el caso anterior:
kPaps 369.6ps 0.528 po
Tarea: El estudiante debe resolver los siguientes problemas, (ante cualquier duda debe consul-
tar con el docente):
1. Air allowed to flow from a reservoir with temperature of 21_C and with pressure of 5MPa
through a tube. It was measured that air mass flow rate is 1kg/s. At some point on the tube static
pressure was measured to be 3 MPa. Assume that process is isentropic and neglects the veloci-
ty at the reservoir; calculate the Mach number, velocity, and the cross section area at that point
where the static pressure was measured. Assumed that the ratio of specific heats is k=Cp=Cv
=1:4.
Ans: 0:88639; 304 m/s; 8.26x10-5
m2
2. Air flows from the atmosphere into an evacuated tank through a convergent nozzle of 0.04 m
tip diameter. If the atmospheric pressure and temperature is 10 5 N/m 2 and 20º C, what vacu-
um must be maintained in the tank to produce sonic velocity in the jet. What is the flow rate?
Ans: p <52.8 kPa; 0.3 kg/s
3. The Mach number at point A on tube is measured to be M = 23 and the static pressure is
2Bar. Downstream at point B the pressure was measured to be 1.5 Bar. Calculate the Mach
number at point B under the isentropic flow assumption. Also, estimate the temperature at point
B. Assume that the specific heat ratio k = 1:4 and assume a perfect gas model.
Ans: 2; 271,42 K

32
1.6.2 Operación de Toberas convergente-divergentes
Cuando el fluido es incompresible, sabemos que, al producirse un aumento de la velocidad,
que es lo que se pretende en una tobera, forzosamente deberá disminuir la sección a. En este
caso, la tobera es convergente.
En cambio, si el fluido es compresible, un aumento de c implica a su vez un aumento del
volumen específico, como sabemos, debido a que se produce una disminución de presión, por
ser, pv= Cte. Por lo tanto, la relación (c/v) es la que indica la variación de las secciones.
Si en un sistema de coordenadas (c/v, p) en donde sobre el eje de abscisas se sitúan las varia-
ciones de presión en forma decreciente, tal como sucede en el sentido de la circulación del flui-
do por la tobera, se obtiene la gráfica, que dice:
Entre O y M, la velocidad c crece más rápidamente que v, por lo que la función (c/v) es crecien-
te, y alcanza un valor máximo en el punto M, al que corresponde la presión pk de la garganta de
la tobera. Como G es constante y (c/v) creciente, forzosamente la sección “a” de la tobera tiene
que disminuir.
A partir del punto M, y para presiones menores que pk , resulta que es el volumen específico v
el que crece más rápidamente que c, y por lo tanto la relación (c/v) disminuye, por lo que la
sección a de la tobera aumentará para poder seguir manteniendo el gasto G constante; así se
obtiene una tobera convergente-divergente tipo Laval.
Entonces: la aceleración del fluido a velocidades supersónicas, M>1, puede lograrse so-
lamente al añadir una tobera divergente a la tobera aceleradora, convergente, subsónica
en su garganta. Esta combinación se conoce como tobera convergente divergente, como
ya se mencionó.
Sin embargo, el solo hecho de hacer fluir un fluido a través de una tobera convergente-
divergente no garantiza que el fluido se acelerará a una velocidad supersónica. Pues, si la pre-
sión del receptor (contrapresión) no está en el rango adecuado, existe la posibilidad de que el
fluido puede por sí mismo desacelerarse en la sección divergente en vez de acelerarse. La na-
turaleza del flujo en una tobera está determinado por la razón de presiones Pb/Po Es decir que
para condiciones específicas de entrada, el flujo a través de una tobera convergente-divergente
estará regido por la contrapresión Pb, según se explica a continuación.
Distribución de velocidades en las diversas secciones de una tobera Laval

33
Consideremos ahora, igual que en el caso anterior, una tobera de convergente divergente en la
que las condiciones de estancamiento a la entrada de la tobera se mantienen constantes, en
tanto que la contrapresión (presión de la cámara a la salida de la tobera, presión del receptor)
varía disminuyendo gradualmente desde un valor igual a la presión de estancamiento hasta un
valor inferior a la presión crítica. El siguiente diagrama ilustra el comportamiento de la tobera
como consecuencia de esta variación.
Efectos de la contrapresión en el flujo de una tobera convergente-divergente.
 Cuando po > pb> pC, el flujo permanece subsónico a través de la tobera, y el flujo de
masa es menor que el flujo bloqueado. La velocidad del fluido aumenta en la sección
convergente y alcanza un máximo en la garganta, pero Ma<1. Sin embargo, gran canti-
dad del aumento en la velocidad se pierde en la sección divergente de la tobera, la cual
actúa como difusor. La presión disminuye en la sección convergente, alcanza un míni-
mo en la garganta, y aumenta a expensas de la disminución de la velocidad en la sec-
ción divergente.
 Cuando pb= pC, la presión en la garganta se convierte en p* y el fluido alcanza una ve-
locidad sónica en la garganta. Pero, la sección divergente de la tobera actúa aún como
difusor, al desacelerar al fluido a velocidades subsónicas. El flujo másico que se incre-
menta con la disminución de pb alcanza su máximo valor.
Debemos recordar que p* es el valor más pequeño de la presión que puede obtenerse
en la garganta, y la velocidad sónica es la máxima velocidad que puede lograrse en una
po
vo 0
To
o pe
pb
Contrapresión
pb
po
p
p*
Flujo subsónico en la salida de la
tobera (sin choque).
Flujo subsónico en la salida de la
tobera (choque en la tobera).
Flujo supersónico en la salida de
la tobera (sin choque en la tobe-
ra).
Flujo sónico en
la garganta.
Choque en la
tobera.
Entrada Garganta Salida
x
A
PA
B PB
C PC
D PD
PE
PF
E, F, G PG

34
po=4.5MPa man
To=750 K
Patm
As=250 mm2
tobera convergente. En consecuencia, al disminuir aún más la contrapresión pb, no se
tiene influencia alguna del flujo en la parte convergente de la tobera o el flujo másico a
través de la tobera. Sin embargo, esto influye en la sección divergente.
 Cuando pC > pb> pE, el fluido que alcanzó la velocidad sónica en la garganta continua
acelerándose a velocidades supersónicas en la sección divergente mientras que la pre-
sión disminuye. Sin embargo, esta aceleración cesa repentinamente, cuando una onda
de choque normal se forma en una sección transversal entre la garganta y el plano de
la salida de la tobera, lo que origina una repentina caída en la velocidad a niveles sub-
sónicos y un repentino incremento en la presión. El fluido continúa desacelerándose en
la región restante de la sección divergente de la tobera. El flujo a través de una onda de
choque es muy irreversible y, por lo tanto, no puede ser aproximado como un flujo isen-
trópico.
 Cuando pE > pb> 0, el flujo en la sección divergente es supersónico, y el fluido se ex-
pande a pF a la salida de la tobera y ninguna onda de choque normal se forma dentro
de la tobera. Así, el flujo a través de la tobera puede aproximarse como un flujo isentró-
pico. Cuando pb = pF, no ocurren ningunas ondas de choque dentro o fuera de la tobera.
Cuando pb< pF, unos procesos de mezclado irreversible y ondas de expansión ocurren
corriente abajo del plano de salida de la tobera.
Ejemplo 9 Una tobera convergente-divergente, diseñada para expandir aire a M=3.0 tiene 250
mm2 de área de salida. La tobera esta conectada a la parte lateral de un gran tanque y descar-
ga a la atmósfera estándar. El aire en el tanque está presurizado a 4.5 MPa (manométrica) y
750 K. Suponga que el flujo dentro de la tobera es isentrópico. Evalué la presión en el plano de
salida de la tobera. Calcule la relación de flujo másico de aire a través de la tobera.
DATOS DEL PROBLEMA
patm 101.325 kPa
po 4500 patm kPa presión absoluta
po 4601.325 kPa
To 750 K
M
2
3
k 1.4
R 0.287 kJ/kgK
La clave en estos problemas es verificar si la tobera esta estrangulada, para ello evaluamos la relación:
patm
po
0.022 ademas para el aire
p*/po=
2
k 1






k
k 1
0.528
como 0.022 es menor que 0.528 la tobera está estrangulada, en la garganta se tienen
condiciones sónicas.
La presión en la garganta será:

35
kPa absp
2
125.3p
2
po
1
k 1
2






M
2 2






k
k 1

La presión a la salida se puede calcular a partir de la presión de estancamiento en el tanque (se debe
recordar que las propiedades de estancamiento son constantes a lo largo del flujo cuando este es
isentropico) y el numero de Mach a la salida:
kg/sm 0.401
m 13.544 501.124 5.904 10
5

Entonces el flujo masico será:
m
2
As M
2

1
k 1
2

1
k 1
2






M
2 2











k 1
2 k 1( )
 5.904 10
5
A* =
El área de la garganta se calcula a partir de la ecuación:
m = *V*A*
m /sk R 1000 625. 501.124V*=c=
el flujo másico esta dado por:
kg
m
3
2429.5
R 625.0
13.544*= p*/RT*=
la densidad en la garganta se puede calcular a partir de la ecuación de los gases ideales.
To
2
k 1






 625.000T*=
0.528 po 2429.500p*=
la presión en la garganta será:
1.7 Flujo en una tobera real en condiciones de diseño.-Eficiencia
Las ecuaciones estudiadas hasta ahora permiten determinar los parámetros de flujo en una
tobera con un flujo supuesto idealmente isentrópico, tomando como referencia ciertas condicio-
nes de estancamiento. Sin embargo en la realidad no se pueden evitar los efectos de la fricción
que ocurren entre el fluido y las paredes de la tobera y entre las propias capas del fluido, que se
traducen en una pérdida de energía que hacen que el proceso sea irreversible pero adiabático
lo que impiden que la tobera opere de la manera prevista durante el diseño, aun cuando las
condiciones de operación sean las mismas que se establecieron en el diseño y por lo tanto,
habrá una diferencia entre el proceso en condiciones ideales y el proceso en condiciones reales
relacionada con la eficiencia. Afortunadamente este efecto es numéricamente pequeño, en la
mayoría de los casos, por lo que las desviaciones son mínimas respecto del análisis isentrópico.

36
En general, se puede decir que para determinar la eficiencia de una tobera se compara el
desempeño real bajo condiciones definidas, con el desempeño que alcanzaría en condiciones
ideales.
Una manera de evaluar esta eficiencia es por medio de la relación que existe entre la ganancia
de energía cinética debida a la caída de entalpía en condiciones reales y la ganancia de energía
cinética debida a la caída de entalpía en condiciones ideales.
A continuación se explica la acción de la fricción a partir de la primera ley de la termodinámica.
Primera ley de la termodinámica
0 = H + K (1)
22
2
1
2
2
21
vv
hh  (2)
La ecuación 2 muestra que en ausencia de transferencia de calor6, la fricción tiende a incremen-
tar la temperatura T2 y por consiguiente la entalpía h2 y con un mayor valor de h2, es necesario
que V2 disminuya para equilibrar la igualdad, esto se aprecia mejor en un diagrama T-s.
Como parámetro de medición de los efectos de la fricción en las toberas, se usa generalmente
la denominada eficiencia de la boquilla, definida como la relación entre la energía cinética real a
la salida de la tobera entre la energía cinética ideal durante una expansión isentrópica en las
mismas condiciones de entrada y presión de salida.
isen
real
isen
real
hh
V
V
V
V



































)( 21
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

Para V1
2/2 muy pequeña con relación a (h1-h2), se tiene:
6
Al estudiar la circulación de un fluido por una tobera, se supone que al ser un proceso muy rápido, éste es adiabático, por lo que
el fluido no intercambia calor con el medio exterior.
1
2
T1
T2
T2
1
p2
p1
T
s
1
2
21

37
 isen
real
hh
V
)( 21
2
2
2










y para un gas ideal:
 isenp
real
TTc
V
21
2
2
2










En un proceso ideal o isentrópico,
y en un proceso real,
entonces,
Como la velocidad de entrada a la tobera V1 es 0 o muy pequeña comparada con la velocidad a la
salida V2 entonces puede decirse que:

38
1 2
Volumen de control con fricción en la capa
límite
1 2
p1 p2
Diagrama de fuerzas actuantes sobre la superfi-
cie de control
m.Al=Rf
1.8 Flujo adiabático en conducto de sección constante con fricción.- línea de
Fanno
Un diagrama de energía (entalpía-entropía o temperatura-entropía), nos ayudará a estudiar este
proceso. Para este propósito hemos seleccionado el volumen de control que se muestra en la
figura, al cual apicaremos las ecuaciones fundamentales del flujo y la ecuación de estado co-
rrespondientes. Previamente planteamos las siguientes hipótesis:
i) Flujo permanente
ii) Flujo compresible
iii) Flujo adiabático
iv) Fricción en la capa límite (irreversible, efecto no isentrópico)
Bajo estas condiciones se tiene:
Ecuación de continuidad
.
.
cteVV
ctemAVAV


2211
2211


(1)
)()( 121121 VVAVRApp f   (2)
2
2
2
1
2
1
12
2
1
2
2
22
22
0
h
V
h
V
hh
VV
m

 )(
(3)
Ecuación de estado
h=(h(s,p) (4)
=(s,p) (5)
Este conjunto de ecuaciones gobiernan el flujo
adiabático permanente con fricción en un con-
ducto de área constante. Conocidas las propie-
dades del flujo en la sección 1 son conocidas, a
partir de este conjunto se pueden determinar las condiciones de flujo de la sección 2. Sin em-
bargo se tienen 6 incógnitas (p2,, 2, h2, V2, s2 y Rf)
y sólo 5 ecuaciones, lo que matemáticamente
indica un conjunto infinito de soluciones.
Asumiendo un valor para una de las incógnitas de
la sección 2, por ejemplo V2, se pueden calcular el
resto de las incógnitas para un valor dado de R, y
si volvemos a repetir el proceso obtendremos un
conjunto de resultados para cada valor de V2,
asumido. Ahora si representamos gráficamente
los valores de h2, s2 se obtiene un curva que re-
presenta este conjunto de soluciones, es decir el
lugar geométrico de todos los estados posibles
aguas abajo, esta curva se conoce como la línea
de Fanno.
s
h
M<1
M>1
M=1
1
1
´
Entalpía de estancamiento

39
VdV
V
ddh 









2
2
VdVdTcp 
T
dTd
p
dp



RTp 
Figura 1.8.3a. Volumen de control diferencial para el
flujo en conductos de sección constante con fricción
y sin intercambio de calor
T
V
p

x
dx
dT
T
x
dx
d
x
dx
dv
v
x
dx
dp
p










x
y
dx
Figura 1.8.3b.Fuerzas superficiales que actúan
sobre el volumen de control diferencial.
x
y
dx
p dpp 
lxf dAdF 
Ecuaciones para la razón de las variables de estado en función de M del flujo de Fanno.
Para establecer las expresiones matemáticas que relacionan las propiedades de flujo con el
número de Mach, consideremos el volumen de control de área constante A y longitud dx, mos-
trado en la figura 1.8.3. En general las propiedades de flujo pueden variar en la dirección de
flujo x
.
Aplicando a este modelo las tres ecuaciones fundamentales del flujo (leyes de conservación) se
obtiene el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:
Continuidad:
Cantidad de movimiento:
Energía:
Estas tres ecuaciones tienen 6 incógnitas (p, , T, h, V, Fr). Es necesario entonces complemen-
tar nuestra formulación matemática, planteando ecuaciones adicionales:
Para un gas ideal:
Ecuación del gas ideal:
Además
82
1
222
22
VfV
D
f
R
dx
dhR
dx
dpR f
x

 
Entonces
dx
D
AVf
dx
D
AVf
dxP
Vf
dAdF
hh
mojadolxf
2
4
88
222

 
0
v
dvd


1.8.6
1.8.7
1.8.8
VdV
dA
dF
dp r

1.8.9
1.8.10
9
1.8.12
1.8.11

40
D
dx
f
M
Mk
kM
p
dp
)1(2
)1(1
2
2
2



V
dV
D
dx
f
M
kMd



)1(2 2
2


D
dx
f
M
Mkk
T
dT
)1(2
)1(
2
4



D
dx
f
kMd
p
dp
2
2
0
0
0
0 


D
dx
f
M
Mk
kM
M
Md
)1(2
)1(2)(
2
2
2
2
2



Para resolver el sistema anterior en función del número de Mach y del coeficiente de fricción, es
necesario escribir la siguiente relación a partir de la definición de número de Mach.
A partir de las ecuaciones se pueden obtener las siguientes relaciones útiles:
1.8.14
1.8.15
1.8.16
1.8.17
1.8.18
El factor (1-M2) que esta presente en el denominador de las ecuaciones (excepto en la ecuación
1.8.17) hace que los flujos subsónicos y supersónicos tienen efectos opuestos (de manera simi-
lar a las ecuaciones de variación de área), los que se resumen en la siguiente tabla.
Propiedad Subsónico Supersónico
 Disminuye Aumenta
p Disminuye Aumenta
T Disminuye Aumenta
V Aumenta Disminuye
0, p0 Disminuye Aumenta
M Aumenta Disminuye
Entropía Aumenta Disminuye
La ecuación 1.8.18 permite evaluar los cambios de M a lo largo del conducto, por lo que para
tener una formula útil para el cálculo, se integrara esta ecuación diferencial, empleando como
límites una sección genérica en la que el número de Mach es M y x igual a 0; y la sección en la
que ocurren las condiciones sónicas donde como se sabe M igual a 1 y x es igual a Lmax (en
estas condiciones se dice que el flujo esta estrangulado o bloqueado). Todos los flujos de la
línea de Fanno tienden hacia M=1. El número de Mach alcanzará la unidad cuando para una
longitud máxima (real o hipotética) del ducto, como se muestra en la figura 1.8.4.
Entonces, separando variables e integrando la ecuación 1.8.18, entre los límites mencionados,
tenemos:
kRTMV 22

T
dT
M
dM
V
dV

22 1.8.13

41
El factor de fricción, f, puede variar a lo largo del conducto, ya que el número de Reynolds varia-
rá con x, sin embargo, como V es constante (ecuación de continuidad) a lo largo del conducto,
la variación de Reynolds es causada únicamente por las variaciones de la viscosidad del fluido.
En la práctica siempre se considera un valor medio para f, y no se tienen en cuenta las peque-
ñas variaciones del número de Reynolds a lo largo del conducto, de esta manera se tiene que:
1.8.19
Combinando adecuadamente el resto de las ecuaciones, se obtienen otras formulas útiles para
las propiedades del flujo a lo largo del ducto, estas relaciones son:
Razón de presiones
1.8.20
Razón de densidades:
1.8.21
Razón de temperaturas
1.8.22
Propiedades de estancamiento:
1.8.23
Estas razones se hallan tabuladas en función del número de Mach, para un gas ideal con k=1.4,
en casi todos los textos de Mecánica de Fluidos (p.e Tabla E.2 Fox; tabla B.3. White).
 

 max
0
2
1
24
2
)(
))1(2(
)1(2 L
M D
dx
fMd
MkkM
M
hD
L
f
Mk
Mk
k
k
kM
M max
2
2
2
2
)1(2
)1(
ln
2
11













2
)1(2
11
* Mk
k
Mp
p



1
)1(21*
*
2



k
Mk
MV
V


2
2
)1(2
1
** Mk
k
C
C
T
T









)1(2
1
2
*
0
0
*
0
0
1
)1(21 












k
k
k
Mk
Mp
p


M
Lmax
L1
M =1
X=0
M1
Figura 1.8.4.- Limites para el análisis del flujo en la línea de Fanno

42
Funciones de Flujo de la Línea de Fanno para flujo unidimensional.
Gas ideal con k=1.4
M po/p0* T/T* p/p* V/V* fLmax/Dh M po/p0* T/T* p/p* V/V* fLmax/Dh
0.05 11.591 1.1994 21.903 0.0548 ###### 2.50 2.637 0.5333 0.292 1.8257 0.4320
0.10 5.822 1.1976 10.944 0.1094 66.9216 2.60 2.896 0.5102 0.275 1.8571 0.4526
0.20 2.964 1.1905 5.455 0.2182 14.5333 2.70 3.183 0.4882 0.259 1.8865 0.4718
0.30 2.035 1.1788 3.619 0.3257 5.2993 2.80 3.500 0.4673 0.244 1.9140 0.4898
0.40 1.590 1.1628 2.696 0.4313 2.3085 2.90 3.850 0.4474 0.231 1.9398 0.5065
0.50 1.340 1.1429 2.138 0.5345 1.0691 3.00 4.235 0.4286 0.218 1.9640 0.5222
0.60 1.188 1.1194 1.763 0.6348 0.4908 3.10 4.657 0.4107 0.207 1.9866 0.5368
0.70 1.094 1.0929 1.493 0.7318 0.2081 3.20 5.121 0.3937 0.196 2.0079 0.5504
0.80 1.038 1.0638 1.289 0.8251 0.0723 3.30 5.629 0.3776 0.186 2.0278 0.5632
0.90 1.009 1.0327 1.129 0.9146 0.0145 3.40 6.184 0.3623 0.177 2.0466 0.5752
1.00 1.000 1.0000 1.000 1.0000 0.0000 3.50 6.790 0.3478 0.169 2.0642 0.5864
1.10 1.008 0.9662 0.894 1.0812 0.0099 3.60 7.450 0.3341 0.161 2.0808 0.5970
1.20 1.030 0.9317 0.804 1.1583 0.0336 3.70 8.169 0.3210 0.153 2.0964 0.6068
1.30 1.066 0.8969 0.728 1.2311 0.0648 3.80 8.951 0.3086 0.146 2.1111 0.6161
1.40 1.115 0.8621 0.663 1.2999 0.0997 3.90 9.799 0.2969 0.140 2.1250 0.6248
1.50 1.176 0.8276 0.606 1.3646 0.1361 4.00 10.719 0.2857 0.134 2.1381 0.6331
1.60 1.250 0.7937 0.557 1.4254 0.1724 4.10 11.715 0.2751 0.128 2.1505 0.6408
1.70 1.338 0.7605 0.513 1.4825 0.2078 4.20 12.792 0.2650 0.123 2.1622 0.6481
1.80 1.439 0.7282 0.474 1.5360 0.2419 4.30 13.955 0.2554 0.118 2.1732 0.6550
1.90 1.555 0.6969 0.439 1.5861 0.2743 4.40 15.210 0.2463 0.113 2.1837 0.6615
2.00 1.688 0.6667 0.408 1.6330 0.3050 4.50 16.562 0.2376 0.108 2.1936 0.6676
2.10 1.837 0.6376 0.380 1.6769 0.3339 4.60 18.018 0.2294 0.104 2.2030 0.6734
2.20 2.005 0.6098 0.355 1.7179 0.3609 4.70 19.583 0.2215 0.100 2.2119 0.6790
2.30 2.193 0.5831 0.332 1.7563 0.3862 4.80 21.264 0.2140 0.096 2.2204 0.6842
2.40 2.403 0.5576 0.311 1.7922 0.4099 4.90 23.067 0.2068 0.093 2.2284 0.6891
5.00 25.000 0.2000 0.089 2.2361 0.6938
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
0 1 2 3 4 5
Número de Mach
*
0
0
p
p
*T
T
*V
V
hD
fLmax
*p
p

43
18 psia= p1
20 pies
4 pies
6 pies
pamb. = 14 psia
1 2 p2= pamb. = 14.7 psia
=0.0001
Ejemplo 10. Un ducto de área constante opera en una condición estrangulada. La sección
transversal es rectangular, con los lados de 6pies y 4 pies, y su superficie tiene una rugosidad
relativa de 0.0001. A 20 pies del extremo del ducto, la presión absoluta es 18 psi. Si no existe
transferencia de calor a través de las paredes, determine el número de Mach y el de Reynolds
en esta sección para un flujo de aire. La presión ambiente de los alrededores, que es 14.7 psia.
DATOS DEL PROBLEMA
k 1.4
R 53.3 lbf.pie/lbm.R
como mejor aproximación
M1 0.838
Nos quedamos con,
M 0.838( ) 0.838
M 0.841( ) 0.838
M 0.817( ) 0.841
Comenzando con un valor arbitrario para M1, por ejemplo M1=1,
sustituyendo este valor en la función anterior calculamos un nuevo valor
para M1, y así sucesivamente obtenemos una mejor aproximación.
M 1( ) 0.817
M M1( )
1
1.224
k 1
2
1
k 1
2






M1
2











1
2

Esta ecuación debe ser resuleta para M2, sin embargo no tiene soloción analítica pues es una ecuación
cúbica, por ello se empleará un método numérico (aproximaciones sucesivas o prueba y error, para ello
preparamos la ecuación del siguiente modo:
1
M1
k 1
2
1
k 1
2






M1
2











1
2
p1/p* =
18
14.7
1.224p1/p* =
como la presíon crítica es constante, se puede usar este valor como referencia para calcular el número de
Mach en la sección 1, usando para ello las ecuaciones derivadas en la clase teórica (línea de Fanno).
p2p*=
Como el flujo esta estrangulado, el número de Mach en la sección 2 es M2=1, entonces la presión crítica
sera igual a la presíon de salida p2.

44









fDf Re
.
.
log
512
73
2
1 
Re 3.4 10
6

Re
2.51
f
10
1
2 f 
3.7 D










o tambien mediante la fórmula de Colebrook (base del ábaco de Moody)
Entonces con f=0.0105 y=0.0001, se puede obtener el número de Reynolds,del diagrama de Moody.
f 0.0105
f 0.061
D
k L

entonces :
D 4.800
D 4
a b( )
2 a b( )

donde el diametro equivalente D se puede calcular, del siguiente modo:
k 1
2
ln
k 1( ) M1
2

2 1
k 1
2






M1
2
















1
M1
2
1





 0.061=
f k L
D
El número de Reynolds en la sección 1, se puede calcular de manera aproximada, a partir del diagrama de
Moody. Para ello es necesario estimar el valor del coeficiente de fricción a partir de la ecuación:
En todo caso el valor hallado para M1= 0.838 es una mejor aproximación.
M1 = 0.84 para p/p* = 1.22
se obtiene de la tabla B.7 (línea de Fanno) página 810 Shames.
18
14.7
1.224p1/p* =
Otra manera de obtener un valor aproximado para M!, es mediante valores tabulados para la línea de Fanno,
asi para la relación:

45
1 2
p01=100 psia
T0=500 R
M1=0.70 A=1 pie2
T1=?
p1=?
p02=?
T0=500 R
M2=1
T2=?
p2=?
1 2
p1
m.Al=Rf
p2
Diagrama de fuerzas actuantes sobre la
superficie de control
A partir de las condiciones de estancamiento e la seccción 1, se calculan T 1 y p1:
T1
To
1
k 1
2






M1
2


T1 455.4 R
p1
po1
1
k 1
2






M1
2






k
k 1
 p1 72.1 psia
Ejemplo 11. Considere un flujo adiabático de aire en una tubería de área constante con fricción.
En una sección de la tubería, p0=100 psia, T0, 500 R y M=0.70. Si el área de la sección trans-
versal es 1 pie2 y el numero de Mach en la salida es M2=1, encuentre la fuerza de fricción ejer-
cida sobre el fluido por la tubería.
DATOS DISPONIBLES
Otros datos:
k 1.4
R 53.3 lbf.pie/lbm.R
De la ecuación de cantidad de movimiento se tiene:
 
A
V
V
VppR
AppVVVR
f
f








)()(
)()(
1
1
22
1121
211211


(1)
Además sabemos que: kRTMMcV  entonces:
1
2
1
2
11
22
1
2
T
T
M
M
kRTM
kRTM
V
V
 (2)
Sustituyendo (2) en (1), se obtiene:
A
T
T
M
M
kRTMppRf 





 )()( 1
1
2
1
2
1
2
1121  (3)
Esta última ecuación nos muestra que es necesario calcular previamente los siguientes paráme-
tros de estado en las secciones 1 y 2: 22111 TpTp ,,,,

46
La densidad1 se puede calcular a partir de la ecuación de los gases ideales:
lbm
pie
31
p1 144
R T1
 1 0.428
En la sección de flujo 2, con To y M2 se calcula T2,:
T2
To
1
k 1
2






M2
2


T2 416.7 R
De la ecuación de continuidad: 2211 VV   , combinando con (2) se tiene:
2
1
2
1
2
1
1
2
T
T
M
M
V
V



(4)
De la ecuación de continuidad: 2211 VV   , combinando con (2) se tiene:
2
1
2
1
2
1
1
2
T
T
M
M
V
V



entonces la densidad 2 sera:
2 1
M1
M2

T1
T2
 2 0.313
lbm
pie
3
La presión p2 se puede calcular a partir de la ecuación de los gases ideales:
p2
2 R T2
144






 p2 48.3 psia
Sustituyend estos valores en la ecuación (3) se tiene
Rf p1 p2( ) 144 1 M1
2
k R T1
M2
M1
T2
T1
 1













A
Rf 820.0 lbf

47
1 2
Volumen de control
m
Q


1 2
p1 p2
Diagrama de fuerzas actuantes sobre la superfi-
cie de control
T1
p1
1
h1
s1
V1
T2
p2
2
h2
s2
V2
1.9 FLUJO PERMANENTE SIN FRICCION EN UN DUCTO DE AREA CONSTANTE CON IN-
TERCAMBIO DE CALOR.- Línea de Rayleigh
Estudiamos ahora el flujo compresible a lo largo de un conducto de sección constante conside-
rando el intercambio de calor pero sin considerar los efectos de la fricción. Para ello al igual que
el caso anterior comenzamos escribiendo las ecuaciones fundamentales del flujo fluido al volu-
men de control presentado esquemáticamente en la figura.
Ecuación de continuidad
.
.
cteVV
ctemAVAV


2211
2211


(1)
)()(
)()(
121121
121121
VVVpp
VVAVApp




(2)
0102
1
2
1
2
2
2
12
2
1
2
2
22
22
hh
m
Q
h
V
h
V
m
Q
hh
VV
m
t
Q

















)(
(3)
Ecuaciones de estado
h=h(s, ) (4)
=(s, p) (5)
Este sistema de ecuaciones, al igual que en el
caso anterior, presenta infinitas soluciones. De
manera análoga para un conjunto dado de con-
diciones iniciales, sección 1; se buscan los posi-
bles estados que pueden alcanzarse en la sec-
ción 2 para diferentes variaciones del calenta-
miento. Podemos nuevamente asumir valores
para V2, a partir de lo cual calculamos el resto de
los parámetros de estado en la sección 2, me-
diante una combinación adecuada de sistema de
ecuaciones planteado. El lugar geométrico de
los estados posibles agua abajo representados
en el diagrama h-s, se conoce como línea de
Rayleigh.
s
h
M<1
M>1
M=1
1
kM=
Enfriamiento
E
Enfriamiento
E
Calentamiento
Calentamiento

48
1.9.1 Relaciones matemáticas para el cálculo del flujo de la línea de Rayleigh de un gas
ideal
A partir de la ecuaciones fundamentales de flujo, planteadas anteriormente, es posible estable-
cer ecuaciones algebraicas útiles para relacionar las variables de estado de dos secciones de
flujo en términos del número de Mach, tomando como referencia la condición crítica donde el
número de Mach es M=1.
Relación de presiones.
De la ecuación de cantidad de movimiento,
kMppkMpp
kMpkMppp
RTpkMRTkMRTpp
kRTMkRTMpp
VVpp
VVVVVVVpp
2
222
2
111
2
11
2
2221
2
111
2
22221
1
2
112
2
2221
2
11
2
2221
111222121121










;
)(
2
1
2
2
2
1
1
1
kM
kM
p
p


 (1)
Relación de temperaturas.
A partir de la ecuación anterior (1) y de la ecuación de los gasee ideales, se puede obtener,
2
1
2
2
22
11
1
1
kM
kM
T
T





(2a)
De la ecuación de continuidad,
1
2
1
2
11
22
11
22
1
2
2
1
2211
T
T
M
M
kRTM
kRTM
cM
cM
V
V
VV





(2b)
Combinado estas dos últimas ecuaciones, tenemos,
2
1
2
2
2
1
1
2
1
2
1
1
kM
kM
T
T
T
T
M
M



2
2
1
2
2
2
1
2
1
1
1









kM
kM
M
M
T
T
(2)

49
Relación de densidades.
Combinado la ecuación (2) con la ecuación (2b), se tine








 2
1
2
2
2
1
1
1
kM
kM


(3)
Para simplificar el cálculo, conviene relacionar los parámetros de flujo de una sección cualquie-
ra del ducto, con los de una sección del ducto en la que, hipotéticamente, se alcanzan las con-
diciones sónicas es decir las condiciones críticas M=1. Para ello reemplazamos M2=1 en las tres
relaciones anteriores y suprimimos también el subíndice 1 para hacer referencia a una sección
de flujo cualquiera.
2
1
1
kM
k
p
p



*
 
2
2
1
1











kM
kM
T
T
*
 kM
kM



1
1
* 2
2


 
2
2
1
1
* kM
kM
V
V



De manera similar se obtiene relaciones para la presión y temperatura de estancamiento:
12
2* 1
)1(2
1
1 













k
k
o
o
k
Mk
kM
k
p
p
 
 22
22
*
1
)1(2)1(
kM
MkMk
T
T
o
o



En base a estas relaciones matemáticas, se han elaborado tablas, en las que se tabulan los
valores de las relaciones para diferentes valores de M, y con k=1.4. El la figura de la siguiente
página se muestra un resumen de estos datos, elaborados en base a este conjunto de relacio-
nes matemáticas. Tablas más completas están disponibles en los textos de mecánica de fluidos
y termodinámica.

 *
*

V
V
Observa que …
……

50
Funciones de flujo de Rayleigh para un gas ideal con k=1.4
Flujo unidimensional
M1 To/To* po/po* T/T* p/p* V/V*
0.00 0.0000 1.2679 0.0000 2.4000 0.0000
0.10 0.0468 1.2591 0.0560 2.3669 0.0237
0.20 0.1736 1.2346 0.2066 2.2727 0.0909
0.30 0.3469 1.1985 0.4089 2.1314 0.1918
0.40 0.5290 1.1566 0.6151 1.9608 0.3137
0.50 0.6914 1.1141 0.7901 1.7778 0.4444
0.60 0.8189 1.0753 0.9167 1.5957 0.5745
0.70 0.9085 1.0431 0.9929 1.4235 0.6975
0.80 0.9639 1.0193 1.0255 1.2658 0.8101
0.90 0.9921 1.0049 1.0245 1.1246 0.9110
1.00 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1.10 0.9939 1.0049 0.9603 0.8909 1.0780
1.20 0.9787 1.0194 0.9118 0.7958 1.1459
1.30 0.9580 1.0437 0.8592 0.7130 1.2050
1.40 0.9343 1.0777 0.8054 0.6410 1.2564
1.50 0.9093 1.1215 0.7525 0.5783 1.3012
M1 To/To* po/po* T/T* p/p* V/V*
1.60 0.8842 1.1756 0.7017 0.5236 1.3403
1.70 0.8597 1.2402 0.6538 0.4756 1.3746
1.80 0.8363 1.3159 0.6089 0.4335 1.4046
1.90 0.8141 1.4033 0.5673 0.3964 1.4311
2.00 0.7934 1.5031 0.5289 0.3636 1.4545
2.10 0.7741 1.6162 0.4936 0.3345 1.4753
2.20 0.7561 1.7434 0.4611 0.3086 1.4938
2.30 0.7395 1.8860 0.4312 0.2855 1.5103
2.40 0.7242 2.0451 0.4038 0.2648 1.5252
2.50 0.7101 2.2218 0.3787 0.2462 1.5385
2.60 0.6970 2.4177 0.3556 0.2294 1.5505
2.70 0.6849 2.6343 0.3344 0.2142 1.5613
2.80 0.6738 2.8731 0.3149 0.2004 1.5711
2.90 0.6635 3.1359 0.2969 0.1879 1.5801
3.00 0.6540 3.4245 0.2803 0.1765 1.5882
Diagramas para las funciones de flujo de Rayleigh
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Número e Mach M
FuncionesdeflujodeRayleigh.
*
0
0
p
p
*T
T
*V
V
*p
p
*
0
0
T
T

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