1. Distribucioni i mostrave dhe
intervalet e besueshmërisë për
mesatare aritmetike dhe proporcion
te populimit
Ligjërata e shtatë
Distribucioni i mostrave dhe intervalet e
besueshmërisë për mesatare aritmetike dhe
proporcion
 Qëllimet
 Pas kësaj ore të ligjëratave ju duhet të jeni në gjendje që të :
Defioni dhe konstruktoni distribucionin e
mostrave të mesatareve të mostrave.
 Spjegoni Teoremën Qendrore Kufitare.
 Llogaritni intervalin e besimit për mesatare dhe
proporcione të tërësisë së përgjithshme.
 Përcaktoni madhësinë e mostrës për mesataren
aritmetike
2
1

2. Procesi i nxjerrjes së
konkluzioneve nga mostra
Vlerësimet Populacioni
& Testet
Statistikat
e mostrës
Xm, Pm Mostra
3
Gabimi i rastësishëm i mostrës
 Statistikat e mostrës përdoren për të vlerësuar
Parametrat e Populacionit
X
p.sh: X është një vlerësim për mesataren e
populacionit, μ
 Probleme:
 Mostra
të ndryshme ofrojnë vlerësime të
ndryshme të parametrave të populacionit
 Rezultatete mostrës kanë variabilitet
potencial, dhe për këtë ekziston gabimi i
mostrës.
4
2

3. Llogaritja e gabimit të mostrës
 Gabimi i rastësishëm i mostrës:
Dallimi në mes të vlerës (statistikës) të
llogaritur nga mostra dhe vlerës
korresponduese (parametrit) të llogaritur nga
populacioni.
Shembull: (për mesatare)
Gabimi i mostres  x - μ
ku: x  mesatarja e mostres
μ  mesatarja e populacionit
5
Rishikim
 Mesatarja e populacionit: Mesatarja e mostrës:
μ
x i x
N x i
n
ku:
μ = Mesatarja e populacionit
x = Mesatarja e mostrës
xi = Vlerat në populacion ose mostër.
N = madhësia e populacionit
n = madhësia e mostrës
6
3

4. Shembull
Nëse mesatarja e populacionit është μ
= 98.6 shakllë dhe mostra prej n = 5
elemente me mesatare aritmetike
x= 99.2 shkallë , atëherë gabimi i
mostrës është
x  μ  99.2  98.6  0.6 shkalle
7
Gabimet e mostrës
 Mostrat e ndryshme do të kenë gabime të
ndryshme të mostrës.
 Gabimi i mostrës mund të jetë negativ dhe
pozitiv
 ( x mund të jetë më e vogël ose më e madhe
se μ)
 Gabimi i pritur i mostrës do të zvogëlohet me
rritjen e madhësisë së mostrës.
8
4

5. Distribucioni i mostrës/Sampling
distribucioni
 Distribucioni i mostrës është
distribucion i të gjitha vlerave të
mundshme të statistikave për
një mostër të dhënë, të
zgjedhur nga populacioni.
9
Krijimi i distribucionit të mesatareve
artimetike të mostrës
 Supozojmë se kemi një populacion …
C D
A B
 Madhësia e populacionit N=4
 Variabla e rastësishme, x,
është mosha e individëve
 Vlerat për x: 18, 20,
22, 24 (vjet)
10
5

6. Krijimi i distribucionit të mostrës
(vazhdim)
Treguesit përmbledhës për distribucionin e populacionit:
μ
x i
P(x)
N 0.3
18  20  22  24 0.2
  21
4 0.1
 (x  μ) 2 0
σ i
 2.236 18 20 22 24 x
N A B C D
Distribuimi uniform/ i
njëtrajtshëm
11
Krijimi i distribucionit të mostrës
Tani marrim në konsiderim të gjitha
(vazhdim)
mostrat e mundshme me madhësi n=2
1-rë Vrojtimi i 2të
Vroj 18 20 22 24 16 mesatare
18 18,18 18,20 18,22 18,24 të mostrave
20 20,18 20,20 20,22 20,24 1-rë Vrojtimi i 2-të
Vroj. 18 20 22 24
22 22,18 22,20 22,22 22,24
18 18 19 20 21
24 24,18 24,20 24,22 24,24
20 19 20 21 22
16 mostra të
mundshme (mostra
22 20 21 22 23
me përsëritje) 24 21 22 23 24
12
6

7. Krijimi i distribucionit të mostrës
(vazhdim)
Distribucioni samping i të gjitha mesatareve të
mostrës
16 Mesatare të mostrës Distribucioni i
mesatareve të
1rë Vrojtimi i 2-të mostrës
Vroj 18 20 22 24 P(x)
.3
18 18 19 20 21
.2
20 19 20 21 22
.1
22 20 21 22 23
0 _
24 21 22 23 24 18 19 20 21 22 23 24 x
(jo më i njëtrajtshëm) 13
Krijimi i distribucionit të mostrave
(vazhdim)
Treguesit përmbledhës të distribucionit
sampling (të mesatareve të mostrës):
μx 
x i

18  19  21   24
 21
N 16
σx 
 (x i  μ x )2
N
(18 - 21)2  (19 - 21)2    (24 - 21)2
  1.58
16
14
7

8. Krahasimi i distribucionit të populacionit
dhe distribucionit të mostrave
Distribucioni i mesatareve të
Popullimi mostrës
N=4 n=2
μ  21 σ  2.236  X  21  X  1.58
P(x) P(x)
.3 .3
.2 .2
.1 .1
0 x 0
18 19 20 21 22 23 24
_
18 20 22 24 x
A B C D
15
Distribucioni i mesatareve të mostrës:
Gabimi standard i mesatares
 Mostra të ndryshme me madhësi të njëjtë dhe nga
popullimi i njëjtë do të kenë mesatare të ndryshme.
 Variabiliteti i mesatares nga një mostër në tjetrën matet
me Gabimin Standard të mesatares:
(Ky supozim vlen për mostra me përsëritje dhe pa përsëritje
nga një populacioni pa fund/pa kufi)
σ
σX 
n
 Me rritjen e numrit të elementeve në mostër gabimi
standard i mesatares zvogëlohet.
16
8

9. Nëse populacioni është normal
Nëse populacioni është normal me
mesatare μ dhe devijim standard σ,
distribucioni i mostrave të mesatareve x
gjithashtu ka shpërndarje normale me
μx  μ dhe σ
σx 
n
17
Kur Populacioni është Normal
Distribucioni i populacionit
Mesatarja aritmetike   10
X  
Variacioni   50
 Distribucioni sampling
X 
n n4 n  16
Mostra me X 5  X  2.5
përsëritje
 X  50 X 18
9

10. Kur populacioni nuk është normal
Distribucioni i populacionit
Mesatarja aritmetike   10
X  
Variacioni   50
 Distribucioni sampling
X 
n n4 n  30
Mostra me X 5  X  1.8
përsëritje
 X  50 X
19
Nëse populacioni nuk është normal
 Mund të aplikojmë Teoremën Qendrore Kufitare
 Edhe nëse populacioni nuk është normal ,
 …mesataret e mostrës nga populacioni do të jenë
përafërsisht normale nëse madhësia e mostrës është
më e madhe
 …dhe distribucioni i mesatareve të mostrës do të ketë
μx  μ
dhe
σ
σx 
n
20
10

11. Teorema Qendrore Kufitare
Distribucioni i
Me rritjen e n↑
madhësisë mesatareve të
së mostrës bëhet
mostrës… pothuajse
normal si
forma e
populacionit.
x
21
Nëse populacioni nuk është normal
(vazhdim)
Distribucioni i populacionit
Vetitë e distribucionit
të mesatareve:
Mesatarja aritmetike
μx  μ
μ x
Distribucioni i mostrës
Variacioni
σ
σx 
(bëhet normal me rritjen e n)
Mostra
n Mostra më e
vogël
më e
madhe
(Mostra me përsëritje)
μx x
22
11

12. Sa është mjaft e madhe mostra?
 Për shumicën e distribucioneve , n ≥ 30
do të jap distribucion të mesatareve gati
normal.
 Për distribucionet gati simetrike, n ≥ 15
 Për distribucionin e populacionit normal,
distribucioni i mostrave të mesatareve
gjithmonë ka shpërndarje normale.
23
Intervalet e besueshmërisë
për mesatare aritmetike dhe
proporcione/strukturë
24
12

13. Parametrat e populacionit
vlerësohen me interval besimi
Vlerësimi i parametrave Me statistika të
të populacionit... Mostrës
Mesatarja  X
Proporcioni p p
Varianca 2 s
2
Dallimet 1  2 X1 X 2
25
Procesi i vlerësimit të intervalit
të besimit
Unë jam
Mostra e rastësshme 95% i
Populacioni sigurt/konfi
Mesatarja dent se 
Mesatarja, , është në
X = 50
është e mes të 40 &
panjohur 60.
26
13

14. Vlerësimi i intervalit të besimit
Siguron një gamë të vlerave.
 Merr në konsiderim variacionet në
statistikat e mostrës nga një mostër në
tjetrën
 Bazohet në vrojtimet nga një mostër
 Jep informata rreth afërsisë së
parametrave të panjohur të populacionit.
 Jepet në kuptimin e nivelit të
konfidencës/besueshmërisë
Kurr 100% i sigurt
27
Elementet e vlerësimit të
intervalit të besimit
Probabiliteti se parametri i populacionit
gjindet diku brenda intervalit të besimit
Statistikat e
Intervali i besimit mostrës
Kufiri i konfidencës Kufiri i konfidencës
/besueshmërisë (I ulëti) /besueshmërisë (I lartë)
28
14

15. Intervalet e besueshmërisë për
mesatare aritmetike
 Intervali i besimit të mesatares aritmetike-
ndërtmi:
 1. Pikënisje është vlerësimi pikësor, pra
mesatarja e zgjedhjes;
 Gjindet gabimi mesatar i zgjedhjes për

mesataren  x 
n
 Caktohet siguria apo probabiliteti sipas
nivelit të cilit intervali i besimit mund të
zgjerohet apo të ngushtohet
29
Intervalet e besueshmërisë për mesatare
aritmetike
 Gjatë ndërtimit të intervalit të besimit
ndeshemi me dy situata:
 Kur dihet devijimi standard i popullimit
 Kur nuk dihet devijimi standard i
popullimit
30
15

16. 8-16
Gabimi standard i mesatareve të mostrës
 Gabimi standard i mesatareve të mostrës
është gabimi standard i distribucionit të
mostrave të mesatareve aritmetike.
 Llogaritet përmes :   
x
n
 x është simboli për gabimin standard të
mesatareve të mostrës.
  është devijimi standard i populacionit.
 n- është madhësia e mostrës
31
8-17
Gabimi standard i mesatareve të mostrës
 Nëse  është i panjohur dhe n30
,devijimi standard i mostrës i shënuar me s X
shfrytëzohet për të vlerësuar përafërsisht
devijimin standard të populacionit.
 Formula për gabimin standard të
mesatares merr këtë formë:
s
sx 
n
32
16

17. 8-19
Intervali i besueshmërisë së mesatares
aritmetike të populcionit në përgjithësi
 Në përgjithësi , intervali i besueshmërisë për mesatare
aritmetike të populacionit llogaritet me formulën vijuese:

X Z ose
n
 
X Z  X Z
n n
33
Intervali i besueshmërisë së mesatares aritmetike të
populcionit në përgjithësi
 
X Z    X Z
n n
X - Mesatarja e mostres
Z -Variabla e standardizuar-për nivelin e dhënë të
signifikancës

- Gabimi standard i mesatares aritmetike
n
 - Mesatarja aritmetike e popullimit
34
17

18. Intervalet e besueshmërisë për
mesatare aritmetike
X  Z  X  X  Z  
n
x
_
X
  2.58 X  1.645 X   1.645 X   2.58 X
 1.96 X  1.96 X
90% e Mostrave
95% Mostrave
99% Mostrave
35
Niveli i konfidencës/besueshmërisë
 Probabilitetin që parametri i panjohur i
populacionit gjindet në mes të intervalit të
besueshmërisë.
 Niveli i Vlerat korresponduese të Z
Besueshmerise/konfiden (për të dy anët e lakores
ces normale)
90% 1.645
95% 1.96
98% 2.33
99% 2.58
36
18

19. 8-14
Vlerësimi i intervalit
 Një interval i vlerësimit tregon vargun
brenda të cilit ka gjasë të gjendet
parametri i populacionit.
 Intervali brenda të cilit pritet të gjendet
parametri i populacionit quhet interval i
besueshmërisë.
 Dy intervale të besueshmërisë që
shfrytëzohen më së shumti janë 95% dhe
the 99%.
37
8-20
Shembull 1.
 Dekani i shkollës së biznesit dëshiron të vlerëson
numrin mesatar të orëve që një student punon
gjatë javës. Mostra prej 49 studentëve ka treguar
mesataren për 24 orë brenda javës me devijim
standard 4 orë.
 Pika e vlerësimit është 24 orë (mesatarja e
mostrës).
 Cili është intervali i besueshmërisë me 95% për
numrin mesatar të orëve të punës gjatë javës të
studentëve të shkollës së biznesit?
38
19

20. 8-21
SHEMBULL 1 vazhdim
 Duke shfrytëzuar 95% intervali i besueshmërisë
për mesataren e populacionit kemi:
24  1.96(4 / 7)  22.88 gjer te 25.12
 Përfundimet e intervalit të besimit janë kufijtë e
besueshmërisë .
 Kufiri i ulët i besueshmërisë është 22.88 orë dhe
 Kufiri i lartë i besueshmërisë është 25.12 orë.
39
8-15
Vlerësimi i intervalit
 Intervali i besueshmërisë 95% nënkupton
se 95% e intervaleve të konstruktuara do të
përmbajë parametrin e vlerësuar të
populacionit, ose 95% e mesatareve të
mostrave për një mostër me madhësi të
caktuar do të gjindet brenda 1.96 devijime
standarde për mesataren aritmetike të
supozuar të populacionit.
 Intervali i besueshmërisë 99% nënkupton
se 99% e mesatareve të mostrës për madhësi
të caktuar të mostrës do të jetë në mes të
2.58 devijime standarde për mesataren e
supozuar të populacionit.
40
20

21. Intervali i besueshmërisë për
mesataren e populimit 
95% Internali i besueshmerise per mesataren e populimit :
   
 x  1.96 , x  1.96 
 n n
zakonisht shkruhet

x  1.96
n
Lakorja standarde normale
I.B
Fusha =
Fusha = Fusha =
P(-1.96  z  1.96) =0.95
21

22. Shembull
n  60, x  30.4,   1.6
95% Intervali i besueshmerise per 
1.6
30.4  1.96
60
30.4  .405
(29.995, 30.805)
Ne jemi 95% konfident se intervali
prej 29.995 deri te 30.805 permban
vleren e mesatares aritmetike te populimit 
98% Intervali i besueshmërisë
Per 
   
 x  2.33 , x  2.33 
 n n
E shkruar zakonisht
  
 x  2.33 
 n
22

23. Lakorja standarde normale
Fusha =
Fusha = Fusha =
8-18
Intervalet e besueshmërisë 99% për
mestaren e populacionit ( µ )
 Për 99% kur n≥30, intervali i
besueshmërisë për mesataren e
populacionit ( µ ) është:

X m  2.58
n
46
23

24. Intervalet e besueshmërisë për proporcionin e
populacionit.
 Teoria dhe procedura e përcaktimit të
intervalit të besimit për proporcione është
e njejte sikurse te intervali i mesatares
aritmetike.
 Pika e vlerësimit për proorcinin e
popullimit gjindet duke vënë në raport
numrin e rasteve të volitshme me numrin
përgjithshëm në mostër.
47
8-22
Intervalet e besueshmërisë për
proporcionin e populacionit.
 Intervali i besueshmërisë për proporcionin
e populacionit vlerësohet përmes :
ose
p  z p
p  z  p  p  p  z  p
48
24

25. Intervalet e besueshmërisë për proporcionin e
populacionit.
p  z  p  p  p  z  p
p - Proporcioni i mostrës
- Variabla e standardizuar për nivelin e dhënë të
Z besueshmërisë
p - Gabimi standard i proporcionit
p - Proporcioni i popullimit
49
8-22
Gabimi standard i proporcionit.
pq
p 
n
p  proporconi i mostres
m
p
n
q  1 p
n  numri i elementeve ne moster
m  numri i rasteve te volitshme
50
25

26. 8-23
SHEMBULL
Nga 900 konsumatorë , 414 kanë deklaruar se janë
të kënaqur me produktin e ri. Përcaktoni intervalin
e besimit të proporcionit të populacionit me
koeficient të probabilitetit 99% .
m 414
p   0, 46, q  0.54
n 900
(0.46)(0.54)
0.46  2.58 ose 0.46  0.04128
900
0, 41872  p  0, 50128
41, 872%  p  50,128%
51
8-24
Faktori korrigjues i populacionit të
fundëm- te mesatarja
 Populacioni që e ka kufirin e sipërm të fiksuar /të
ditur, thuhet se është populacon i fundëm.
 Për populacionin e fundëm, ku numri total i
objekteve është N dhe madhësia e mostrës është
n, duhet të bëhet përshtatja e gabimit standard
të mesatareve të mostrës dhe të proporconeve:
 Gabimi standard i mesatareve të
mostrës:
 N n
Faktori
x 
korrigjues
n N 1
26

27. 8-25
Faktori korrigjues i populacionit të fundëm-
te proporcionet
 Gabimi standard i proporcioneve të mostrës:
p (1  p ) N n Faktori
p  korrigjues
n N 1
 Kjo përshtatje quhet Faktori korrigjues i
populacionit të fundëm.
 Vërejtje: Nëse n/N < 0.05, faktori korrigjues i
popullimit të fundëm injorohet./nuk përdoret
8-26
Shembull
 Duke marrë në konsiderim të dhënat nga shembulli I
pare konstruktoni intervalin e besueshmërisë për
mesatare artimetike me nivel të konfidencës 95%
për numrin mesatar të sudentëve brenda javës nëse
në kampus ka 500 studentë.
 Meqë n/N = 49/500 = 0.098>0.05, dhe populacioni
është i fundëm N=500, ne duhet të përdorim
faktorin korrigjues të populaconit të fundëm.
4 500  49
24  196(
. )( )  [22.9352, 25.0648]
49 500  1
27

28. 8-27
Zgjedhja e madhësisë së mostrës
Janë tre faktorë që determinojnë madhësinë
e mostrës:
 Shkalla e zgjedhur e besueshmërisë; Kjo
zakonisht është 0.95 ose 0.99, por mund të jetë
çfardo niveli.
 Gabimi maksimal i lejuar; Duhet të vendoset
për këtë. Është gabimi maksimal që mund të
tolerohet në një nivel të dhënë të
besueshmërisë.
 Variacioni në populacion. Matet me devijimin
standard (Natyrisht, populacioni me variacion më
të vogël kërkon mostra më të vogla) 55
8-28
Zgjedhja e madhësisë së mostrës për mesatare
aritmetike
 Madhësia e mostrës për mesatare: Formula e
përshtatshme për llogaritjen e madhësisë së
mostrës është:
 Z S 
2
n 
 E 
 ku : E- gabimi i lejuar,
 Z -është vlera që është e lidhur me shkallën e
zgjedhur të besueshmërisë dhe
 S - devijimi i mostrës nga anketa pilot.
56
28

29. 8-29
Shembull
 Një grup i konsumatorëve dëshiron të vlerësojë
hargjmet mesatare të rrymës elektrike për një famillje
në muajin korrik. Bazuar në studimet e mëhershme
devijimi standard është vlerësuar të jetë $20. Me nivel
të signifikancës prej 99% , me gabimin maksimal të

lejuar prej $5.00. Sa duhet të jetë e madhe mostra?
 Zgjidhje
 Z  S   2,58  20 
2 2
n     107
 E   5 
8-30
Madhësia e mostrës për proporcione
 Formula për përcaktimin e madhësisë së
mostrës në rastin e proporcioneve është:
2
 Z
n  p(1  p) 
 E
 p- është proporcioni i vlerësuar i bazuar në përvojën
e kaluar ose nga anketa pilot;
 Z – është vlera e lidhur me shkallën e
besueshmërisë së zgjedhur;
 E – maksimumi i gabimit të lejuar që mund të toleroj
hulumtuesi.
29

30. 8-31
Shembull
 Një klub për kafshë shtëpiake dëshiron të
vlerësojë proporcionin e fëmijëve që kanë qen
në shtëpi. Nëse klubi dëshiron që vlerësimi të
jetë në mes 3% të proporcionit të populacionit
sa fëmijë duhet të përfshihen në mostër?
 Supozojmë se niveli i signifikancës është 95%
dhe se klubi ka vlerësuar se 30% e fëmijëve
kanë qen në shtëpi.
2 2
Z   1.96 
n  p(1  p)    (0, 3  0.7)     897
E  0.03 
Konceptet kyçe
 Distribucioni i mostrave
 Distribucioni i mesatareve të mostrës
 Gabimi i rastësishëm i mostrës
 Mesatarja e mesatareve të mostrës
 Devijimi (gabimi ) standard i mesatareve të
mostrës;
 Pika e vlerësimit të parametrave të populacionit
 Intervali i besimit për mesatare dhe proporcion të
populacionit
 Vlerësimi madhësisë së mostrës për mesatare
dhe proporcion
60
30