Primera y Segunda Parte Práctica: Teoría de Redes

Universidad de los Andes
Facultad de Ciencias Económicas y Sociales
Escuela de Contaduría y Administración
Mérida Estado Mérida
Métodos Cuantitativos para la Gerencia II

Teoría de Redes
Algunos Tipos de Problemas de Redes

Teoría de Redes
Tipos de Problemas de Redes
Árbol de Expansión Mínima
El algoritmo del árbol de expansión mínima es un modelo de optimización de
redes que consiste en enlazar todos los nodos de la red de forma directa y/o
indirecta con el objetivo de que la longitud total de los arcos o ramales sea
mínima.
N= el conjunto de nodos de la red.
Ck= Conjunto de nodos que se han enlazado de
forma permanente en la iteración k
Čko= Conjunto de nodos que hacen falta por
enlazarse de forma permanente.

Teoría de Redes
Características de Árbol de Expansión Mínima
1. Se tienen los nodos de una red pero no las ligaduras. En su lugar se
proporcionan las ligaduras potenciales y la longitud positiva para cada una
si se inserta en la red.
2. Se desea diseñar la red con suficientes ligaduras para satisfacer el requisito
de que haya un camino entre cada par de nodos.
3. El objetivo es satisfacer este requisito de manera que se minimice la
longitud total de las ligaduras insertadas en la red.

Teoría de Redes
Ejercicio de Árbol de Expansión Mínima
La ciudad de Mérida cuenta con un nuevo plan parcial de vivienda el cual
contará con la urbanización de más de 7 proyectos habitacionales que se
ubicarán a las afueras de la ciudad. Dado que el terreno en el que se
construirá no se encontraba hasta ahora dentro de las zonas urbanizables de
la ciudad, el acueducto municipal no cuenta con la infraestructura necesaria
para satisfacer las necesidades de servicios públicos en materia de suministro
de agua. Cada uno de los proyectos de vivienda inició la construcción de un
nodo de acueducto madre, el cual cuenta con las conexiones de las
cunidades de vivienda propias de cada proyecto (es decir que cada nodo madre
solo necesita estar conectado con un ducto madre del acueducto municipal
para contar con su suministro). El acueducto municipal al ver la situación del
plan parcial debe de realizar las obras correspondientes a la instalación de
ductos madres que enlacen todos los nodos del plan con el nodo Meléndez (nodo
que se encuentra con suministro de agua y que no pertenece al plan parcial de
.

Teoría de Redes
vivienda, además es el más cercano al mismo), la instalación de los ductos
implica obras de excavación, mano de obra y costos de los ductos mismos, por lo
cual optimizar la longitud total de los enlaces es fundamental. Las distancias
existentes (dadas en kilómetros) correspondientes a las rutas factibles capaces
de enlazar los nodos del plan parcial que se presentan a continuación. Además la
capacidad de bombeo del nodo Meléndez es más que suficiente para satisfacer las
necesidades de presión que necesita la red madre.
El acueducto municipal le contacta a usted para que mediante sus conocimientos
en teoría de redes construya una red de expansión que minimice la longitud total
de ductos y que enlace todos los nodos del plan parcial de vivienda.
Ejercicio de Árbol de Expansión Mínima

Teoría de Redes
Solución
Paso 0: Se definen los conjuntos iniciales Ck={ø} que corresponde al
conjunto de nodos enlazados de forma permanente en la iteración indicada
en el subíndice y Čko={N =1,2,3,4,5,6,7,8} que corresponde al conjunto de
nodos pendientes por enlazar de manera permanente en la iteración indicada
en el subíndice.
Paso 1: Se debe definir de manera arbitraria el primer nodo permanente
del conjunto Čko, en este caso escogeremos el nodo 1, por ende C1={i}={1}
y Čko={N-i}= {2,3,4,5,6,7,8},

Teoría de Redes
Paso 2: Ahora se debe seleccionar el nodo j del conjunto ČKo-1 (es decir del
conjunto del paso 1) el cual presente el arco con la menor longitud y que se
encuentre enlazado con uno de los nodos de enlace permanente del conjunto
Ck-1 en el cual ahora solo se encuentra el nodo 1 (es decir que se debe de
encontrar un nodo que tenga el arco de menor longitud enlazado al nodo 1).
Ver Gráfica 1.1
Paso 3: Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la
siguiente iteración. Ahora se seleccionará un nuevo nodo j del conjunto Č2
que presente el enlace (ramal o arco) de menor longitud con los nodos que
se encuentran en el conjunto C2. Ver Gráfica 1.2
Solución

Teoría de Redes
Grafica 1.1
Al actualizar los conjuntos quedan así:
C2 = {1,2} y Č2 = {3,4,5,6,7,8}

Teoría de Redes
C3 = {1,2,4} y Č3 = {3,5,6,7,8}
Grafica 1.2

Teoría de Redes
siguiente iteración. Ver Gráfica 1.3
C4 = {1,2,4,5} y Č4 = {3,6,7,8}
C5 = {1,2,4,5,7} y Č5 = {3,6,8}
C6 = {1,2,4,5,7,6} y Č6 = {3,8}
Solución

Teoría de Redes
Lo que representan los arcos naranja y
verde es ya conocido, ahora la línea
azul interrumpida irá trazando nuestro
árbol de expansión final. Dado a que el
arco menor es el de longitud 3, ahora
se enlazará de manera permanente el
nodo 5.
Grafica 1.3

Teoría de Redes
Ahora se enlazará de manera
permanente el nodo 7.
Grafica 1.4

Teoría de Redes
Grafica 1.5

Teoría de Redes
C7 = {1,2,4,5,7,6,3} y Č7 = {8}
última iteración. Ver Gráfica 1.7
C8 = {1,2,4,5,7,6,3,8} = {N} y Č8 = {ø}
Por ende se ha llegado al Árbol de Expansión Mínima
Solución

Teoría de Redes
Se rompen los empates de forma
arbitraria, ahora se enlazará de manera
permanente el nodo 3
Grafica 1.6

Teoría de Redes
Grafica 1.7

Teoría de Redes
Árbol que presenta una
longitud total minimizada
de 21 kilómetros de
ductos

Teoría de Redes
Solución por WinQsb

Teoría de Redes
Paso 1

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Paso 2

Teoría de Redes
Paso 3

Teoría de Redes
Flujo a Costo Mínimo
Flujo de costo mínimo o de los mínimos costos es un algoritmo
desarrollado con el objetivo de resolver problema de trasporte o de
distribución, arrojando mayores resultados que métodos como el de la
esquina noroeste, dado que se enfoca en las rutas que presentan los
menores costos.
El objetivo fundamental de este método es minimizar el costo
total de enviar el suministro disponible a través de la red para
satisfacer la demanda total

Teoría de Redes
La red es una red dirigida y conexa.
Al menos uno de los nodos es un nodo fuente.
Al menos uno de los nodos es un nodo demanda.
El resto de los nodos son nodos de trasbordo.
Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección que indica la flecha, donde la
cantidad máxima de flujo está dada por la capacidad del arco.
La red tiene suficientes arcos con suficiente capacidad para permitir que todos los flujos
generados por los nodos fuente lleguen a los nodos demanda.
El costo del flujo a través del arco es proporcional a la cantidad de ese flujo, donde
se conoce el costo por unidad.
Características

Teoría de Redes
Ejercicio de Flujo a Costo Mínimo
La Distribuidora Rosal tiene dos fábricas que producen un producto que
es necesario enviar a dos bodegas. Algunos detalles son:
La fábrica 1 está produciendo 80 unidades.
La fábrica 2 está produciendo 70 unidades.
La bodega 1 necesita 60 unidades.
La bodega 2 necesita 90 unidades.
(Cada unidad corresponde a un camión lleno del producto.)
Costo por ferrocarril de la fabrica 1 a la Bodega 1 es de 700$ por
unidad
Costo por ferrocarril de la fabrica 2 a la Bodega 2 es de 900$ por
unidad

Teoría de Redes
FIGURA 1.1
Distribución del problema
F
2
B 2
B 1
C
D
F
1
DEMANDAOFERTA
80 UND.
70 UND.
60 UND.
90 UND.

Teoría de Redes
Centro de
Distribución
Bodega 1 Bodega 2 Producción
Fabrica 1 300$ 700$ - 80 und.
Fabrica 2 400$ - 900$ 70 und.
Centro de
Distribución - 200$ 400$ -
Asignación - 60 und. 90 und.

Teoría de Redes
FIGURA 1.2
Datos para Distribución del problema
F
2
B
2
B
1
D
C
F
1
DEMANDAOFERTA
80 UND.
70 UND.
60 UND.
90 UND.
700 dólares por unidad
900 dólares por unidad

Teoría de Redes
Solución
Costo total de envío = 30(700 dólares) + 50(300 dólares) + 50(400 dólares)
+ 50(200 dólares) + 50(400 dólares) + 20(900 dólares) = 104 000 dólares
FIGURA 1.3
Un modelo de red para el problema de la
Distribuidora Rosal, como un problema de
flujo a costo mínimo.
F2 B 2
B 1
CD
F1
[80]
[70]
[60]
[90]
[0]
[700]
[900]

Teoría de Redes
Solución
Costo total de envío = 30(700 dólares) + 50(300 dólares) + 30(400 dólares)
+ 30(200 dólares) + 50(400 dólares) + 40(900 dólares) = 110 000 dólares
FIGURA 1.4
La solución óptima para el problema de la
Distribuidora Rosal, donde las cantidades de
los envíos se indican entre paréntesis sobre las
flechas.
F
2 B 2
B 1
C D
F
1
[-60]
[-90]
[80]
[70]
[0](50) (30)
(30)
(50)

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