1. Prof. Michele Boulanger

2. Prof. Michele Boulanger
Usamos combinações simples para formar subconjuntos, ou seja, escolher
elementos. Assim, o número de subconjuntos é também o número de
combinações simples.
Um grupo formado por 5 pessoas resolve formar uma comissão com 2
pessoas que ficarão encarregadas de organizar um almoço de
confraternização. Qual o número total de possíveis comissões?
Vamos representar as cinco pessoas por símbolos: a, b, c, d, e.
Formar comissões de duas pessoas constitui-se na tarefa de escolher
2 pessoas entre as 5.

3. Prof. Michele Boulanger
{a; b} {a; c} {a; d} {a; e} { b; c }
{ b; d} {b; e} {c; d} {c; e} {d; e}
Portanto são 10 comissões no total.
C 2
5= 10
Número de
elementos
escolhidos
Número de elementos
disponíveis
Número de combinações
simples ou de
comissões possíveis

4. Prof. Michele Boulanger
Como obter a quantidade de combinações simples?
•Temos que dividir o conjunto das 5 pessoas em dois outros conjuntos:
um grupo de 2 pessoas que formará a comissão e outro de 3 pessoas
restantes que não formará a comissão.
Formam comissões: a b – c d e Não formam comissões
Observe que existem divisões idênticas formadas pelas
mesmas pessoas.
a b – c d e e b a – e c d
Desta forma, o número de combinações simples de 5
elementos tomados 2 a 2 é dado por:
C2
5= 5! = 10
2! 3!
2!
3!

5. Prof. Michele Boulanger
Distinguindo Permutações, arranjos e combinações simples
Nome do AGRUPAMENTO Critério de Formação
Permutação Só ordenar os
elementos(todos)
Combinação Só escolher os
elementos
Arranjo Escolher e
ordenar os
elementos escolhidos

6. Prof. Michele Boulanger
Situação 1
Se uma turma de 10 pessoas, 3 delas são selecionadas
para um mesmo roteiro de viagem. De quantas maneiras
pode ocorrer a seleção?
C3
10 = 10! = 10.9.8.7! = 10.9.8 = 720 = 120
3! 7! 3.2.1.7! 3.2.1 6
A seleção das três pessoas pode ser realizada de 120 maneiras.

7. Prof. Michele Boulanger
Situação 2
Três pessoas desejam viajar, cada uma delas em um
roteiro diferente. Se existem ao todo 3 roteiros distintos,
de quantas maneiras pode ocorrer a distribuição entre as
pessoas?
P3 = 3! = 3.2.1 = 6
Existem 6 maneiras de distribuir os 3 roteiros para as 3 pessoas.
Roteiro 1 Roteiro 2 Roteiro 3
A B C
A C B
B A C
B C A
C A B
C B A
6 MANEIRAS

8. Prof. Michele Boulanger
Na resolução de problemas de
combinatória é importantíssimo
identificar se é preciso apenas
ordenar, apenas escolher, ou
escolher e ordenar.

9. Prof. Michele Boulanger
Situação 3
Em uma turma de 10 pessoas, 3 delas serão
selecionadas para roteiros diferentes de viagens. Se
existem 3 roteiros distintos e cada pessoa selecionada
escolhe um único roteiro distinto de outra pessoa, então
de quantas maneiras pode ocorrer a seleção?
C310 . P3 = 120. 6 = 720
Existem 720 maneiras de ocorrer a seleção.
Como os roteiros eram distintos, foi necessário escolher as 3 pessoas e,
em seguida, ordenar os 3 roteiros para essas pessoas. Começamos
usando combinações para escolher e terminamos usando permutações
para ordenar.

10. Prof. Michele Boulanger
As ideias presentes na situação 3 constituem o que
chamamos arranjos simples.
C3
10 . P3 = 10.9.8.7! . 3.2.1 = 10.9.8 = 720
3.2.1. 7!
Fazendo C3
10 . P3 = A3
10 em que A3
10 é o número de arranjos
simples de 10 elementos tomados 3 a 3.
A3
10 = C3
10 . P3
A3
10 = 10. 9. 8
Multiplicando e dividindo por 7!
A3
10 = 10.9.8.7! A3
10 = 10!
7! (10 – 3)!

11. Prof. Michele Boulanger
A palavra simples é utilizada para indicar que os elementos ordenados
são distintos.
An
p = n !
(n - p)!

12. Prof. Michele Boulanger
Em um grupo de oito pessoas, quatro serão sorteadas para receber, cada
uma, um mesmo prêmio. De quantas maneiras pode ocorrer a premiação?
C4
8 = 8! = 8.7.6.5.4! = 70
4! (8-4)! 4! 4.3.2.1
Em um grupo de oito pessoas, quatro serão sorteadas para receber,
cada uma, prêmio distinto. De quantas maneiras pode ocorrer a
premiação?
C4
8 . P4 = 8! . 4! = 8.7.6.5.4! . 4.3.2.1 = 1680
4! (8-4)! 4! 4.3.2.1
A4
8 = 8! = 8.7.6.5 = 1680
(8-4)!

13. Prof. Michele Boulanger
Um clube de tênis da capital deseja inscrever alguns jogadores para participarem
de um campeonato importante no próximo mês. Existem 10 jogadores do clube
interessados em participar do torneio.
Se exatamente dois jogadores podem ser inscritos, de quantas maneiras o
clube pode participar do torneio?
Se exatamente cinco jogadores podem ser inscritos, de quantas maneiras o
clube pode participar do torneio?
Se exatamente oito jogadores podem ser inscritos, de quantas maneiras o
clube pode participar do torneio?
C2
10 = 10! = 10.9.8! = 45 maneiras de inscrever dois jogadores
2! (10-2)! 2.1. 8!
C5
10 = 10! = 10.9.8.7.6.5! = 252 maneiras de inscrever cinco jogadores
5! (10-5)! 5.4.3.2.1.5!
C8
10 = 10! = 10.9.8! = 45
8! (10-8)! 8! .2.1

14. Prof. Michele Boulanger
Em um grupo de sete pessoas, três serão sorteadas para receber, cada
uma, um único prêmio. De quantas maneiras pode ocorrer a premiação?
Se os prêmios são iguais?
Se os prêmios são distintos?
C3
7 = 7! = 7.6.5.4! = 35 maneiras
3! (7-3)! 3.2.1.4!
A3
7 = C3
7 . P3 = 7! . 3! = 7.6.5.4! . 3.2.1 = 210 maneiras
3! (7-3)! 3.2.1.4!