1. Profesor/a:
Pedro Beltrán
Barcelona, Octubre 2020
Bachiller:
Miguel fuentes
C.I: 27.345.702
REPUBLICA BOLIVARIANADE VENEZUELA
I.U.P. “SANTIAGO MARIÑO”
SEDE BARCELONA
FACULTAD: ING. DE SISTEMAS
ECUACIONES PARAMETRICAS
2. INTRODUCCIÓN
En las siguientes dispositiva se presentaran las ecuaciones
paramétricas como tema de este, en las cuales los sistemas de
ecuaciones paramétricas permite representar una curva o
superficie en el espacio, mediante valores que recorren un
intervalo de números reales, mediante una variable , llamada
parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una
función dependiente del parámetro. Mediante este tema nos
centraremos en hablar sobre las generalidades de la algebra
vectorial que son las que se encargan de estudiar los sistemas de
ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus
transformaciones lineales también realizamos una presentación de
su grafica utilizando las generalidades del algebra vectorial.
3. GENERALIDADES DEL ÁLGEBRA
VECTORIAL
El álgebra vectorial es una rama de las matemáticas encargada de
estudiar sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices,
espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Se relaciona
con áreas como ingeniería, resolución de ecuaciones
diferenciales, análisis funcional, investigación de operaciones,
gráficas computacionales, entre otras.
Otra de las áreas que ha adoptado el álgebra lineal es la física, ya
que a través de esta se ha logrado desarrollar el estudio de
fenómenos físicos, describiéndolos mediante el uso de vectores.
Esto ha hecho posible una mejor comprensión del universo.
4. FUNDAMENTOS
El álgebra vectorial se originó del estudio de los cuaterniones 1, i, j, y k, así
como también de la geometría cartesiana promovida por Gibbs y
Heaviside, quienes se dieron cuenta de que los vectores servirían de
instrumento para representar varios fenómenos físicos.El álgebra vectorial
es estudiada a través de tres fundamentos:
Geométricamente: Los vectores son representados por rectas que tienen
una orientación, y las operaciones como suma, resta y multiplicación por
números reales son definidas a través de métodos geométricos.
Analíticamente: La descripción de los vectores y sus operaciones es
realizada con números, llamados componentes. Este tipo de descripción es
resultado de una representación geométrica porque se utiliza un sistema de
coordenadas.
5. Axiomaticamente: Se hace una descripción de los vectores,
independientemente del sistema de coordenadas o de cualquier
tipo de representación geométrica.
El estudio de figuras en el espacio se hace a través de su
representación en un sistema de referencia, que puede ser en
una o más dimensiones. Entre los principales sistemas se
encuentran:
– Sistema unidimensional, que se trata de una recta donde un
punto (O) representa el origen y otro punto (P) determina la
escala (longitud) y el sentido de esta:
6. – Sistema de coordenadas rectangulares (bidimensional), que está
compuesto por dos rectas perpendiculares llamadas eje x y eje y, que
pasan por un punto (O) origen; de esa forma el plano queda divido en
cuatro regiones llamadas cuadrantes. En este caso un punto (P) en el
plano es dado por las distancias que existen entre los ejes y P.
– Sistema de coordenadas polares (bidimensional). En este caso el
sistema es compuesto por un punto O (origen) que es llamado polo y una
semirrecta con origen en O llamada eje polar. En este caso el punto P del
plano, con referencia al polo y al eje polar, es dado por el ángulo (Ɵ), que
se forma por la distancia que existe entre el origen y el punto P.
7. – Sistema tridimensional rectangular, formado por tres rectas
perpendiculares (x, y, z) que tienen como origen un punto O en el
espacio. Se forman tres planos coordenados: xy, xz y yz; el espacio
quedará dividido en ocho regiones llamadas octantes. La referencia de
un punto P del espacio es dada por las distancias que existen entre los
planos y P.
8. ECUACIONES PARAMÉTRICAS
En general, podemos definir una curva en el plano xy en términos de
ecuaciones paramétricas:
Una curva plana C es un conjunto de puntos P(x, y) cuyas coordenadas
están dadas por las ecuaciones paramétricas
x = f( t ), y = g ( t ),
en donde f y g son funciones continuas en un intervalo [a,b].
Ejemplo:
x = f (t) = t2 y = g(t) = t3 en [-1,2]
9. PENDIENTE DE LA RECTA
TANGENTE
La pendiente de la recta tangente a una curva y = f (x) es, como ya
sabemos, m = f '(a).
Teorema 23: Pendiente de funciones paramétricas
Sean x = f (t), y = g (t) funciones diferenciables.
Entonces:
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑔`(𝑡)
𝑓`(𝑡)
10. LONGITUD DE UNA CURVA
En esta sección veremos como calcular la longitud de una curva dada
en forma paramétrica. Primero necesitamos introducir cierta
terminología.
Se dice que una curva C, dada paramétricamente por x = f(t), y = g(t) en
[a,b] es alisada si f ' y g' son continuas en [a,b] y no son
simultáneamente nulas en (a,b).
Si C es una curva alisada, entonces podemos calcular su longitud de
la siguiente manera:
Hacemos una partición del intervalo [a,b] (del parámetro t) dada por
a = t0 < t1 < t2 < ... < tn = b
A cada valor de t en la partición le corresponde un punto sobre la
curva. Uniendo los puntos consecutivos con una recta obtenemos una
aproximación a la curva, y la suma de las longitudes de las rectas es
una aproximación a la longitud de la curva.
12. GRAFICA DE ECUACIONES
PARAMETRICAS
Las ecuaciones paramétricas son aquellas ecuaciones en que las
variables x y y, cada
una separadamente, están expresadas en función de la misma tercera
variable. Según
esto, designando por la letra z la tercera variable, comúnmente llamada
variable
paramétrica. Una curva plana C es un conjunto de puntos P(x, y) cuyas
coordenadas
están dadas por las ecuaciones paramétricas. x = f( t ), y = g ( t ). en
donde f y g son
funciones continuas en un intervalo [a,b].
13. Graficación de
ecuaciones
paramétricas
:Considera las ecuaciones paramétricas para
Grafica las ecuaciones en papel cuadriculado.
Solución
Usa las ecuaciones para calcular los valores x y y que corresponden
a los valores t en el intervalo
Después grafica los puntos a medida que t aumenta,
conectando cada punto con el anterior.
14. GRAFICA
CARTESIANA
Observe que una parametrización
también especifica (mediante el valor del
parámetro) cuándo la partícula que se
mueve a lo largo de la curva se ubica en
un punto específico
de ésta.se llega al punto (2, 4)
cuando t = 4 el punto se alcanza
“antes”, cuando t = 2
EJEMPLO: Obtenga la parametrización de la recta que pasa
por el punto (a, b) y que tiene
una pendiente m.
Solución
La ecuación cartesiana de la recta es y - b = m(x
- a). Siestablecemos el parámetro t = x - a,
encontramos que x = a + t y y - b = mt. Es decir,
15. Comparación grafica de ecuación paramétrica y de
Cartesiano
En general, una curva plana se define por dos variables, a saber, x e y.
Tal plano se conoce como plano
Cartesiano y su ecuación se llama ecuación Cartesiana.
Las ecuaciones paramétricas son aquellas definidas en términos de un solo
parámetro, generalmente, este parámetro es ‘t’. Una curva que represente
tal ecuación es llamada curva paramétrica. Para ello, las variables de la
ecuación Cartesiana son transformadas con el fin de representar el
parámetro ‘t’ como:x = f(t) y = g(t)
16. Una curva paramétrica puede ser dibujada de muchas formas
diferentes y la más
conveniente entre ellas es la selección de ciertos valores de t y
obtener los valores correspondientes de f(t) y g(t), es decir, x e y.
Entonces estos son después trazados en coordenadas
Cartesianas.
17. Aplicación de ecuaciones vectoriales paramétricas
para la determinación de las características
cinemáticas de una partícula en movimiento
Ejercicio1:
El movimiento de una partícula viene dado por la ecuación: x = -8
+ 2t en el S.I.
A. ¿Donde se encuentra inicialmente?.
B. ¿En qué dirección se mueve y hacia donde se dirige?.
C.¿Cual es la posición de la partícula a los 5 s?.
D.¿Qué espacio ha recorrido en 5 s?.
R: (- 8,0); dirección del eje X, en sentido positivo; (2,0) m; 10 m
18. Ejercicio 2:
Una partícula efectúa un movimiento cuya ecuación vectorial está
determinada por: r(t)=3ti+(2t2+3)j, expresada en
unidades del Sistema Internacional. Determinar:
El vector de posición en el instante inicial.
La posición en el instante t = 5 s.
La ecuación de la trayectoria.
El vector desplazamiento que corresponde al intervalo entre 0 y 5
s.
Respuesta:
a) 3jm
b) r5 = 15 i + 53 j (m)
c) y= 2x2/9 +3
d) ∆r = 15 i + 50 j (m)
19. TRANSFORMAR LAS ECUACIONES
PARAMÉTRICAS A LAS
CARTESIANAS
Para pasar de ecuaciones cartesianas a paramétricas de un sub espacio
basta resolver el sistema de ecuaciones por el método de Gauss Jordan.
Recíprocamente, para pasar de paramétricas a cartesianas, se trata de
determinar un sistema de ecuaciones homogéneo del que las paramétrica
dadas sean su solución. El método mas cómodo es el de la eliminación
de parámetros.
Partamos, por ejemplo, de una paramétrica:
Partimos de 4 ecuaciones y 2 parámetros, en cada caso
tendremos una ecuación menos y un parámetro menos
para ello usaremos una de la ecuaciones en que aparece
el parámetro por ejemplo en la primera, la usamos para
eliminar de las restantes y esa ecuación ya no la
ponemos.
21. Consieramos la base estándar B = de entonces:
LA MATRIZ CUYA COLUMNAS SON ESTAS COORDENADAS ES:
22. Una base de U esta formada por los vectores cuyas coordenadas
respecto de B son las columnas no nulas de esta matriz, esto es :
Unas ecuaciones paramétricas de U vendrán dadas por:
Eliminamos parámetros
23. LONGITUD DE ARCO EN ECUACIONES
PARAMÉTRICAS.
En matemática, la longitud de arco, también llamada
rectificación de una curva, es lamedida de la distancia o
camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión
lineal.
Para encontrar la longitud de arco de una curva,
construimos una integral
de la forma:
Cuando y son funciones de una nueva
variable, el parámetro para poder usar la
integral de longitud y obtenemos y en
terminos de
Se sustituye estas expresiones en la integral
y factoría el término fuera del radical.
24. Longitud de una curva paramétrica
Considera la curva parametrizada por las siguientes ecuaciones:
Si dejamos que varíe de la curva resultante se ve así:
25. Determinar la longitud de arco de
una curva a través de sus
ecuaciones paramétricas.
Ejercicio:
26.
27. Las ecuaciones paramétricas son sistema de ecuaciones
que permite representar una curva o superficie en el
espacio, mediante valores que recorren un intervalo de
números reales, mediante una variable , llamada
parámetro, considerando cada coordenada de un punto
como una función dependiente del parámetro. Se relaciona
con áreas como ingeniería, resolución de ecuaciones
diferenciales, análisis funcional, investigación de
operaciones y gráficas computacionales.
CONCLUSION
29. BIBLIOGRAFÍA
Autor: Dr. Sergio M. Terrazas ,
Titulo: Ecuaciones paramétricas
Dirección:
http://www3.uacj.mx/CGTI/CDTE/JPM/Documents/IIT/sterraza/mate2016/ecsparam/ecspm_lo
ng.html
Autor: Vincenzo Jesús D'Alessio Torres, Año 2015
Titulo (Álgebra Vectorial: Fundamentos, Magnitudes, Vectores)
Dirección: https://www.lifeder.com/algebra-vectorial-fundamentos-magnitudes-vectores
Autor: Cesar Ruiz, Año 2016
Titulo: Longitud de una curva paramétrica
Dirección: http://www.mat.ucm.es/~cruizb/MMI/Apuntes-i/Apuntes-16/Ap-Integral-18.pdf
Autor: S.F,
Titulo: Expresiones de un subespacio
Dirección: https://www.ugr.es/~lmerino/2-3.html
