Aula de Fluxos em Redes - Problema do Transporte SIMPLEX

MÉTODO SIMPLEX PARA O PROBLEMA DE TRANSPORTE
PARTE II

SIMPLEX NA FORMA MATRICIAL
• Exemplo 1:
• Min Z = - 5x1 - 2x2
• x1 ≤ 3
• Suj a: x2 ≤ 4
• x1 + 2x2 ≤ 9
• x1, x2 ≥ 0
• Forma Padrão:
• Min Z = - 5x1 - 2x2
• x1 + x3 = 3
• Suj a: x2 + x4 = 4
• x1 + 2x2 + x5 = 9
• x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

• Tablô Inicial:
• Base x1 x2 x3 x4 x5 b Base x1 x2 x3 x4 x5 b
• x3 1 0 1 0 0 3
• x4 0 1 0 1 0 4 xB A b
• x5 1 2 0 0 1 9
• ----------------------------------------------- -----------------------------------------------
• -5 -2 0 0 0 Z c Z
•
• Base x1 x2 x3 x4 x5 b
• b = (bB1, bB2, bB3);
• xB N B b cN = (c1, c2); cB = (c3, c4, c5);
•
• -----------------------------------------------
• cN cB Z

•
• Dado uma problema de programação linear temos:
• Tablô inicial
• A b B N b O problema está na forma padrão mas não
• --------------- = ------------------- corresponde a uma solução no Simplex,
• c z cN cB Z porque o tablô não está na forma canônica.
•
•
• Pré-multiplicando a matriz referente às restrições por B-1 temos:
•
• I B-1 N B-1 b
• --------------------------------
• cB cN Z

•
• Pré-multiplicando por ( – cB ) e somando com a linha da função objetivo temos:
•
• I B-1 N B-1 b
• ------------------------------------------------------------------- valor da solução atual
• 0 ത
𝒄N = cN - cB B-1 N Z - cBB-1 b
• custos relativos das valor atual da função objetivo
• variáveis não-básicas
• Escrevendo a expressão vetorial dos custos relativos individualmente para cada variável não-básica:
• ҧ
𝑐j = cj - cB B-1 aj para todo j Є NB onde NB é conjunto das variáveis não-básicas atuais.
• onde aj é a coluna da variável xj na matriz A.

MÉTODO U - V
Dado uma solução viável básica devemos determinar se a solução é ótima ou selecionar uma
variável para entrar na base.
Cálculo do custo relativo ഥ
𝑐ij para cada variável não-básica:

POSTO DA MATRIZ A
Sabemos que Posto (A) = m + n – 1. Ou seja, a matriz A não possui posto completo. Logo, temos
(m+n–1) restrições linearmente independente, para o qual uma base existe.
Para aplicarmos o método Simplex devemos completar o posto de A. Isso é feito pela adição
de uma variável artificial em uma das restrições.
Selecionamos a última restrição e aumentamos a matriz A com uma nova variável artificial ou
arco raiz xa tendo uma coluna em+n. Daqui em diante, A0 = (A, em+n).
Esse arco raiz sempre vai estar na base.

PROBLEMA DE TRANSPORTE
• Origens Destinos
• (centros de produção) (centros consumidores)
•
•
• . .
• . .
• . .
• ]]
• . .
• . .
• . .
• arco
• raiz
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
1
1
1
1
m
1
1
1
1
i
1
1
1
1
i
1
1

BASE PARA O PROBLEMA DE TRANSPORTE
Portanto, uma base para o problema de transporte será formada por (m+n) variáveis básicas,
sendo que a variável artificial xa associada ao arco raiz em+n sempre vai estar na base com
fluxo zero (xa = 0). Devido xa = 0 sempre então podemos atribuir qualquer valor para o seu
custo. Atribuímos ca = 0 para facilitar os cálculos.
Seja cB o vetor de custos das variáveis básicas, então
cB = (cB1 , cB2 , ..., cB(m+n)), portanto, com (m+n) elementos.

APLICAÇÃO 1:
• Considere uma companhia distribuidora de bebidas que tem 2 centros de produção – Araraquara e São
José dos Campos e 3 mercados consumidores principais – São Paulo, Belo Horizonte e Rio de Janeiro. O
custo unitário cij de se transportar uma unidade do produto de cada centro de suprimento a cada
mercado consumidor é dado na tabela abaixo. Nessa tabela, também são apresentadas as demandas
bj de cada mercado e a quantidade máxima disponível do produto em cada centro de produção ai no
próximo período.
Centro de
suprimento/Mercado
São Paulo (1) Belo Horizonte (2) Rio de Janeiro (3) Suprimento
disponível (ai )
Araraquara (1) 4 2 5 800
S. J. Campos (2) 11 7 4 1000
Demanda dos
mercados (bj )
500 400 900

FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
• Definindo a variável xij como a quantidade do produto a ser enviada do centro de produção i, i = 1
(Araraquara), 2 (São José dos Campos), ao mercado j, j = 1 (São Paulo), 2 (Belo Horizonte, 3 (Rio de
Janeiro), o modelo que representa o problema é dado por:
• Minimizar z = 4x11 + 2x12 + 5x13 + 11x21 + 7x22 + 4x23
• Sujeito a: x11 + x12 + x13 = 800 (1)
• x21 + x22 + x23 = 1000 (2)
• x11 + x21 = 500 (3)
• x12 + x22 = 400 (4)
• x13 + x23 = 900 (5)
x11 ≥ 0, x12 ≥ 0, x13 ≥ 0, x21 ≥ 0, x22 ≥ 0, x23 ≥ 0 (6)

• Na matriz de restrição cada coluna está associada a uma variável xij. Dessa forma, reescrevendo a
matriz de restrição A do problema temos:
• Suj a: x11 + x12 + x13 = 800
• x21 + x22 + x23 = 1000
• x11 + x21 = 500
• x12 + x22 = 400
• x13 + x23 = 900
x11 ≥ 0, x12 ≥ 0, x13 ≥ 0, x21 ≥ 0, x22 ≥ 0, x23 ≥ 0
Observe que as colunas da matriz de restrições A tem dois 1´s e o restante dos elementos são zero. Ou seja,
a coluna de A associada a variável xij tem 1 na i-ésima e j-ésima posições.
Onde i está associado as origens e j associado aos destinos.

PROBLEMA DE TRANSPORTE
Adição do arco raiz
• Origens Destinos
• (centros de produção) (centros consumidores)
•
• c11
• c12
•
• c21
•
• c23
•
•
• c33 arco
• raiz
•
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
1
1
1
1
3
1
1
1
1
2
1
1
2

• Adicionando na matriz A uma variável artificial (arco raiz) xa tendo como coluna em+n = e5.
• Suj a: x11 + x12 + x13 = 800
• x21 + x22 + x23 = 1000
• x11 + x21 = 500
• x12 + x22 = 400
• x13 + x23 + xa = 900
• x11 ≥ 0, x12 ≥ 0, x13 ≥ 0, x21 ≥ 0, x22 ≥ 0, x23 ≥ 0, xa ≥ 0.

MATRIZ A DO PROBLEMA
• Cada coluna associada a uma variável xij. Temos a coluna da variável xa associada ao arco raiz e5.
• x11 x12 x13 x21 x22 x23 xa
• 1 1 1 0 0 0 0 i = 1, 2
• 0 0 0 1 1 1 0
• A = 1 0 0 1 0 0 0
• 0 1 0 0 1 0 0 j = 1, 2, 3
• 0 0 1 0 0 1 1
Observe que as colunas da matriz A tem dois 1´s e o restante dos elementos são zero. Ou seja, a coluna de
A associada a variável xij tem 1 na i-ésima e j-ésima posições.
Onde i está associado as origens e j associado aos destinos.

CALCULO DOS CUSTOS RELATIVOS ҧ
𝑐ij
• Escrevendo a expressão vetorial dos custos relativos individualmente para cada variável não-básica:
• ҧ
𝑐j = cj - cB B-1 aj para todo j Є NB onde NB é conjunto das variáveis não-básicas
atuais.
• onde aj é a coluna da variável xj na matriz A.
• Entretanto, as variáveis no problema de transporte tem dois índices. Logo, reescrevendo a expressão
acima, temos:
• ҧ
𝑐ij = cij - cB B-1 aij para todo (i, j) Є NB onde NB é conjunto das variáveis não-básicas
atuais.
• onde aij é a coluna da variável xij na matriz A.

CALCULO DOS CUSTOS RELATIVOS cij
• ҧ
𝑐ij = cij - cB B-1 aij para todo (i, j) Є NB onde NB é conjunto das variáveis não-básicas
atuais.
• onde aij é a coluna da variável xij na matriz A.
• Fazendo w = cB B-1 onde w = (u1, u2 ,... , um, v1, v2 ,..., vn)
• ҧ
𝑐ij = cij - waij
• Temos, para toda variável (i, j) não-básica ҧ
𝑐ij = cij - ( ui + vj ) (1)

CALCULO dos ui´s e vj´s
Para toda variável básica xij, ҧ
𝑐ij = 0. logo,
•
• ҧ
𝑐ij = cij - ( ui + vj ) → cij - ( ui + vj ) = 0
• Ou seja, ui + vj = cij ∀ (i , j) básico. (2)
• Devemos resolver o sistema linear (2), o qual é de ordem (m+n), para encontrar os
valores de ui´s e vj´s.
• Obtido os valores de ui´s e vj´s aplica-se na fórmula (1) para calcular os custos
relativos das variáveis não-básicas.
A resolução do sistema linear (2) é fácil e imediata porque a matriz associada é
formada por 1´s e 0´s e está na forma triangular.

MÉTODO U - V
Exemplo 1:
Considere três armazéns que devem abastecer quatro mercados. A capacidade dos
armazéns são a1 = 3, a2 = 7, a3 = 5. A demanda nos mercados são b1 = 4, b2 = 3, b3 = 4, b4 = 4.
Os custos de transporte são:
σ𝑖=1
3
𝑎𝑖 = σ𝑗=1
4
𝑏𝑗 = 15
M1 M2 M3 M4
A1 2 2 2 1
A2 10 8 5 4
A3 7 6 6 8

SOLUÇÃO VIÁVEL BÁSICA INICIAL OBTIDA PELO REGRA DO CANTO NOROESTE
• x11 = 3; x21 = 1; x22 = 3; x23 = 3; x33 = 1; x34 = 4; z = 93
• A presente solução é ótima?
• Devemos calcular os custo relativos ҧ
𝑐ij para toda variável não-básica.
Armazéns/Mercados M1 M2 M3 M4 Oferta
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 =1 x22 = 3 x23 = 3 x24
7
A3
x31 x32 x33 = 1 x34 = 4
5
Demanda 4 3 4 4
2 2 2
10 8 5
7 6 6
1
4
8

TEMOS QUE ANTES CALCULAR OS uí´s e vj´s.
• uí + vj = cij para toda variável básica (i, j).
• u1 + v1 = c11
• u2 + v1 = c21
• u2 + v2 = c22
• u2 + v3 = c23
• u3 + v3 = c33
• u3 + v4 = c34
• v4 = ca
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 =1 x22 = 3 x23 = 3 x24
7
A3
x31 x32 x33 = 1 x34 = 4
5
Demanda 4 3 4 4
2 2 2
10 8 5
7 6 6
1
4
8

TEMOS QUE ANTES CALCULAR os uí´s e vj´s.
• u1 + v1 = 2
• u2 + v1 = 10
• u2 + v2 = 8
• u2 + v3 = 5
• u3 + v3 = 6
• u3 + v4 = 8
• v4 = 0
• v4 = 0; u3 = 8; v3 = -2; u2 = 7; v2 = 1; u1 = -1; v1 = 3;
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 =1 x22 = 3 x23 = 3 x24
7
A3
x31 x32 x33 = 1 x34 = 4
5
Demanda 4 3 4 4
2 2 2
10 8 5
7 6 6
1
4
8

CALCULAR OS CUSTO RELATIVOS ҧ
𝑐IJ PARA TODA VARIÁVEL NÃO-BÁSICA.
• ҧ
𝑐ij = cij - ( ui + vj ) para toda variável não-básica (i, j).
•
• u1 = -1
•
• u2 = 7
•
• u3 = 8
•
•
• v1 = 3 v2 = 1 v3 = -2 v4 = 0
• ҧ
𝑐12 = c12 - ( u1 + v2 ); ҧ
𝑐12 = 2 - ( -1 + 1 ) = 2
•
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 =1 x22 = 3 x23 = 3 x24
7
A3
x31 x32 x33 = 1 x34 = 4
5
Demanda 4 3 4 4
2 2 2
10 8 5
7 6 6
1
4
8

• ҧ
𝑐ij = cij - ( ui + vj ) para toda variável não-básica.
•
• u1 = -1
•
• u2 = 7
•
• u3 = 8
•
•
• v1 = 3 v2 = 1 v3 = -2 v4 = 0
• ҧ
𝑐13 = c13 - ( u1 + v3 ); ҧ
𝑐12 = 2 - ( -1 + (-2)) = 2 – (-3) = 5
•
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 =1 x22 = 3 x23 = 3 x24
7
A3
x31 x32 x33 = 1 x34 = 4
5
Demanda 4 3 4 4
2 2 2
10 8 5
7 6 6
1
4
8

• ҧ
•
• u1 = -1
•
• u2 = 7
•
• u3 = 8
•
•
• v1 = 3 v2 = 1 v3 = -2 v4 = 0
• ҧ
𝑐14 = c14 - ( u1 + v4 ); ҧ
𝑐12 = = 1 – (-1+0) = 2
•
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 =1 x22 = 3 x23 = 3 x24
7
A3
x31 x32 x33 = 1 x34 = 4
5
Demanda 4 3 4 4
2 2 2
10 8 5
7 6 6
1
4
8

• ҧ
•
• u1 = -1
•
• u2 = 7
•
• u3 = 8
•
•
• v1 = 3 v2 = 1 v3 = -2 v4 = 0
• ҧ
𝑐24= c24 - ( u2 + v4 ); ҧ
𝑐24 = 4 – (7+0) = -3
•
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 =1 x22 = 3 x23 = 3 x24
7
A3
x31 x32 x33 = 1 x34 = 4
5
Demanda 4 3 4 4
2 2 2
10 8 5
7 6 6
1
4
8

• ҧ
•
• u1 = -1
•
• u2 = 7
•
• u3 = 8
•
•
• v1 = 3 v2 = 1 v3 = -2 v4 = 0
• ҧ
𝑐31= c31 - ( u3 + v1 ); ҧ
𝑐31 = 7 – (8+3) = -4
•
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 =1 x22 = 3 x23 = 3 x24
7
A3
x31 x32 x33 = 1 x34 = 4
5
Demanda 4 3 4 4
2 2 2
10 8 5
7 6 6
1
4
8

• ҧ
•
• u1 = -1
•
• u2 = 7
•
• u3 = 8
•
•
• v1 = 3 v2 = 1 v3 = -2 v4 = 0
• ҧ
𝑐32= c32 - ( u3 + v2 ); ҧ
𝑐32 = 6 – (8+1) = -3
•
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 =1 x22 = 3 x23 = 3 x24
7
A3
x31 x32 x33 = 1 x34 = 4
5
Demanda 4 3 4 4
2 2 2
10 8 5
7 6 6
1
4
8

• A variável x31 entra na base.
•
• u1 = -1
•
• u2 = 7
•
• u3 = 8
•
•
• v1 = 3 v2 = 1 v3 = -2 v4 = 0
• Precisamos fazer o Teste da Razão para saber que variável deve sair da base.
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 =1 x22 = 3 x23 = 3 x24
7
A3
x31 x32 x33 = 1 x34 = 4
5
Demanda 4 3 4 4
2 2 2
10 8 5
7 6 6
1
4
8

𝜃 é aumentado o máximo possível de modo que a solução permaneça não-negativa.
O máximo valor de 𝜃 é limitado pelas variáveis básicas que decrescerão de 𝜃.
A variável básica que se tornará zero primeiro, é removida da base.
•
•
•
•
•
•
•
•
• 𝜃 = min {1, 1} = 1 ; Neste caso o valor máximo de 𝜃 é 1, e a variável básica x21 sai da base,
enquanto a variável x31 entra na base.
• Devido ter dado empate no Teste da Razão, temos duas variáveis candidatas a deixar a
base. A escolha é arbitrária. Neste caso a variável x33 permanece na base com valor zero.
Armazéns/Mercado
s
M1 M2 M3 M4 Oferta
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 =1
1- 𝜽
x22 = 3 x23 = 3
3+ 𝜽
x24
7
A3
x31
+ 𝜽
x32 x33 = 1
1- 𝜽
x34 = 4
5
Demanda 4 3 4 4

PIVOTEAMENTO.
• Consiste em somente ajustar os valores das variáveis básicas.
• 𝜃 = min {1, 1} = 1; a variável básica x21 sai da base, enquanto a variável x31 entra na base.
•
•
•
•
•
•
•
•
• Observação: Temos uma solução viável básica degenerada. Isso acontece frequentemente
em problemas de Fluxo em Redes.
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 x22 = 3 x23 = 4 x24
7
A3
x31 =1 x32 x33 = 0 x34 = 4
5
Demanda 4 3 4 4

NOVA SOLUÇÃO VIÁVEL BÁSICA
• x11 = 3; x22 = 3; x23 = 4; x31 = 4; x33 = 0; x34 = 4; z = 6 + 24 + 20 + 7 + 32 = 89
•
•
•
•
•
• A presente solução é ótima?
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 x22 = 3 x23 = 4 x24
7
A3
x31 =1 x32 x33 = 0 x34 = 4
5
Demanda 4 3 4 4

Calcular os ui´s e vj´s
•
•
• u1 = 3
•
• u2 = 7
• u3 = 8
v1 = -1 v2 = 1 v3 = -2 v4 = 0
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 x22 = 3 x23 = 4 x24
7
A3
x31 =1 x32 x33 = 0 x34 = 4
5
Demanda 4 3 4 4
2 2 2 1
10 8 5 4
7 6 6 8

Calcular os custo relativos ҧ
𝑐ij para toda variável não-básica.
ҧ
𝑐12 = -2; ҧ
𝑐13 = 1; ҧ
𝑐14 = -2; ҧ
𝑐24 = -3; ҧ
𝑐32 = -3.
•
•
u1 = 3
•
• u2 = 7
•
•
• u3 = 8
•
v1 = -1 v2 = 1 v3 = -2 v4 = 0
• A variável x32 entra na base.
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 x22 = 3 x23 = 4 x24
7
A3
x31 =1 x32 x33 = 0 x34 = 4
5
Demanda 4 3 4 4
2 2 2 1
10 8 5 4
7 6 6 8

• x32 entra na base; Qual variável deve sair da base?
•
• Teste da razão 𝜽 = min { 0, 3} = 0;
•
•
•
•
•
•
•
• A variável x33 sai da base.
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 x22 = 3- 𝜽 x23 = 4+ 𝜽 x24
7
A3
x31 =1 x32 + 𝜽 x33 = 0 - 𝜽 x34 = 4
5
Demanda 4 3 4 4
2 2 2 1
10 8 5 4
7 6 6 8

Pivoteamento - Ajuste dos valores das variáveis básicas.
•
•
•
•
•
• Observação: Executamos um pivoteamento degenerado. Ou seja, a variável x33 sai da base
com valor zero. Enquanto, a variável x32 entrou na base com valor zero.
• A atual solução é ótima?
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 x22 = 3 x23 = 4 x24
7
A3
x31 =1 x32 = 0 x33 x34 = 4
5
Demanda 4 3 4 4
2 2 2 1
10 8 5 4
7 6 6 8

• Cálculo dos ui e vj´s
•
•
•
• u1 =3
•
• u2 = 10
• u3 = 8
•
• v1 = -1 v2 = -2 v3 = -5 v4 = 0
•
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 x22 = 3 x23 = 4 x24
7
A3
x31 =1 x32 = 0 x33 x34 = 4
5
Demanda 4 3 4 4
2 2 2 1
10 8 5 4
7 6 6 8

𝑐ij para toda variável não-básica
•
• ҧ
𝑐12 = 1; ҧ
𝑐13 = 4; ҧ
𝑐14 = -2; ҧ
𝑐21 = 1; ҧ
𝑐24 = -6; ҧ
𝑐33 = 3
•
•
•
•
• u1 = 3
• u1 =3
• u2 = 10
•
•
u3 = 8
• v1 = -1 v2= -2 v3= -5 v4 = 0
•
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x2 x22 = 3 x23 = 4 x24
7
A3
x31 =1 x32 = 0 x33 x34 = 4
5
Demanda 4 3 4 4
2 2 2 1
10 8 5 4
7 6 6 8

•
• x24 entra na base.
• Teste a razão 𝜽 = min {3,4} = 3.
•
•
•
•
•
•
•
•
• x22 sai da base.
Armazéns/Mercados M1 M2 M3 M4 Ofert
a
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 x22 = 3- 𝜽 x23 = 4 x24 + 𝜽
7
A3
x31 =1 x32 = 0+ 𝜽 x33 x34 = 4- 𝜽
5
Demanda 4 3 4 4

.
• Pivoteamento – Ajuste dos valores das variáveis básicas
• Nova solução viável básica z = 71
•
•
•
•
•
•
•
•
• A atual solução é ótima?
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 x22 x23 = 4 x24 = 3
7
A3
x31 =1 x32 = 3 x33 x34 = 1
5
Demanda 4 3 4 4

.
• Calcular os ui´s e vj´s
•
•
• u1=3
•
•
• u2 = 4
• u3 = 8
•
v1= -1 v2 = -2 v3 = 1 v4 = 0
•
•
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 x22 x23 = 4 x24 = 3
7
A3
x31 =1 x32 = 3 x33 x34 = 1
5
Demanda 4 3 4 4
2 2 2 1
10 8 5 4
7 6 6 8

•
• ҧ
𝑐12 = 1; ҧ
𝑐13 = -2; ҧ
𝑐 14 = -2; ҧ
𝑐21= 7; ҧ
𝑐22 = 6; ҧ
𝑐 33 = -3
•
•
•
• u1 =3
•
• u2 = 4
•
u3 = 8
•
•
v1= -1 v2 = -2 v3 = 1 v4 = 0
•
• A variável x33 entra na base
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 x22 x23 = 4 x24 = 3
7
A3
x31 =1 x32 = 3 x33 x34 = 1
5
Demanda 4 3 4 4
2 2 2 1
10 8 5 4
7 6 6 8

Teste da Razão:
x33 entra na base;
• 𝜽 = min {1,4} = 1.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• A variável x34 sai da base
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 x22 x23 = 4- 𝜽 x24 = 3+ 𝜽
7
A3
x31 =1 x32 = 3 x33 + 𝜽 x34 = 1- 𝜽
5
Demanda 4 3 4 4
2 2 2 1
10 8 5 4
7 6 6 8

PIVOTEAMENTO
• Nova solução viável básica
•
•
•
•
•
•
•
•
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 x22 x23 = 3 x24 = 4
7
A3
x32 = 3 x33 = 1 x34
5
Demanda 4 3 4 4
2 2 2 1
10 8 5 4
7 6 6 8

.
• Cálculo dos ui´s e vj´s
•
•
• u1 = 0
•
•
• u2 = 4
• u3 = 5
•
v1= 2 v2 = 1 v3 = 1 v4 = 0
•
•
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 x22 x23 = 3 x24 = 4
7
A3
x31 =1 x32 = 3 x33 = 1 x34
5
Demanda 4 3 4 4
2 2 2 1
10 8 5 4
7 6 6 8

• ҧ
𝑐12 = 1; ҧ
𝑐13 = 1; ҧ
𝑐14 = 1; ҧ
𝑐21 = 4; ҧ
𝑐22 = 3; ҧ
𝑐34 = 3.
•
•
•
u1=0
•
•
• u2 =4
•
•
• u3 = 5
•
v1= 2 v2 = 1 v3 = 1 v4 = 0
•
• Como todos os custos relativos das variáveis não-básica são não negativos, então a solução
atual é ótima.
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 x22 x23 = 3 x24 = 4
7
A3
x31 =1 x32 = 3 x33 = 1 x34
5
Demanda 4 3 4 4
2 2 2 1
10 8 5 4
7 6 6 8

SOLUÇÃO ÓTIMA
• x*11 = 3; x*23 = 3; x*24 = 4; x*31 = 1; x*32 = 3; x*33 = 1; z* = 68
•
•
•
•
•
•
•
•
•
• .
A1
x11 = 3 x12 x13 x14
3
A2
x21 x22 x23 = 3 x24 = 4
7
A3
x31 =1 x32 = 3 x33 = 1 x34
5
Demanda 4 3 4 4
2 2 2 1
10 8 5 4
7 6 6 8

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