Este documento presenta el modelo de minimización de red y dos algoritmos para resolver este problema: el algoritmo de Kruskal y el algoritmo de Prim. Brevemente describe cada algoritmo y proporciona ejemplos de su aplicación. También explica los principales términos relacionados con las redes y grafos. Finalmente, indica que este modelo se puede aplicar a problemas como la construcción de carreteras y redes de telecomunicaciones para encontrar la solución óptima con el menor costo total.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL
FEDERICO VILLARREAL
Facultad de Ciencias Económicas
Tema: Modelo de
minimización de red.
Integrantes:
▪ Inocente Cosme Yanina Karina
▪ Kutucalla Quispe Janeth
▪ Matta Sánchez Leonardo Franco
▪ Ñaupa Villanueva Pamela Joici
▪ Velarde Davila Milena

2. Contenido:
• Introducción modelo de redes.
• Importancia del modelo de redes.
• Definición del modelos minimización de red.
• Terminología.
• Algoritmo de Kruskal.
• Ejemplo
• Algoritmo de Prim.
• Ejemplo
• ¿En que áreas se aplica este modelo?
• Conclusión.

3. MODELO DE RED
Las redes son rutas invisibles sobre las cuales se van a mover los recursos o las
Entidades. Para que una red cumpla con su función, debe estar unida a las
locaciones por medio de interfaces.
Entre las redes más sobresalientes ,tenemos los siguientes:
El modelo de transporte, modelo de la ruta más corta, el modelo de
minimización de red, el modelo del flujo máximo, tienen una estructura específica
que surge con frecuencia en la práctica, el problema del flujo de costo mínimo
proporciona un enfoque unificador de muchas otras aplicaciones por su estructura
mucho más general , método del CPM y PERP.

4. IMPORTANCIA
• Muchos problemas comerciales pueden ser resueltos a través de
modelos redes.
• El resultado de un problema de redes garantiza una solución entera,
dada su estructura temática .No se necesitan restricciones
adicionales para obtener este tipo de solución.
• Problemas de redes pueden ser resueltos por pequeños algoritmos,
no importando el tamaño del problema, dada su estructura
matemática.

5. MINIMIZACIÓN DE RED
El algoritmo del árbol de expansión mínima es un modelo de
optimización de redes que consiste en enlazar todos los nodos
de la red de forma directa y/o indirecta con el objetivo de que
la longitud total de los arcos o ramales sea mínima (entiéndase
por longitud del arco una cantidad variable según el contexto
operacional de minimización, y que puede bien representar
una distancia o unidad de medida).

6. TERMINOLOGÍA
Nodos
Red:
Grafos
Consiste en una serie de nodos enlazados con arcos. Cada red se asocia algún tipo de flujo, en
general, el flujo en una red esta limitado por la capacidad de sus arcos.
Puntos (o vértices). Usualmente son representados por un circulo.
Representación simbólica de los elementos constituidos de un sistema o conjunto, mediante
esquemas gráficos.
Arista:
Corresponde a una relación entre dos nodos de un grafo.

7. Red dirigida
Red no dirigida
Trayectoria:
Ciclo:
Red conexa:
Red que tiene sólo arcos dirigidos.
Todos sus arcos son no dirigidos.
Sucesión de arcos distintos que conectan nodos.
Trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo.
Red en la que cada par de nodos está conectado.

8. Árbol:
Árbol de expansión
Capacidad del arista
Nodo fuente:
Nodo destino:
Red que tiene sólo arcos dirigidos.
Todos sus arcos son no dirigidos.
Cantidad máxima de flujo (quizá infinito), que puede circular en una arista.
Trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo.
Red en la que cada par de nodos está conectado.

9. EL ALGORITMO DE KRUSKAL
Se siguen estos pasos:
1. Se marca la arista con menor valor.
2. De las aristas restantes se marca el de menor valor, si hay mas de
una se elige cualquiera.
3. Repetir el paso 2, siempre que las aristas no formen un ciclo.
El proceso termina cuando ya no haya mas aristas que marcar.
• Este algoritmo se utiliza para encontrar un camino mínimo
en un grafo, uniendo todos los nodos.
• Es un algoritmo de optimización en donde se busca reducir
el costo total de unir una serie de nodos.

10. Ejemplo:
En una ciudad cuenta con 8 subdivisiones que son a, b, c, d, e, f, g y z. El alcalde
desea instalar líneas telefónicas, para asegurar la comunicación entre todas las
subdivisiones. En la figura se dan las distancias entre cada subdivisión. ¿Cuál es
la longitud mínima necesaria de la línea telefónica?

11. DESARROLLO:

12. Las instalaciones se deberán hacer en las aristas pintadas de rojo, con un total de
29km de cableado.
SOLUCIÓN:
NODOS ARISTAS
ad 5
dc 4
cb 2
bf 4
fe 3
ez 5
bg 6
SUMA 29

13. EL ALGORITMO DE PRIM
El algoritmo de Prim es un algoritmo perteneciente a la teoría de los grafos para
encontrar un árbol recubridor mínimo en un grafo conexo, no dirigido y cuyas
aristas están etiquetadas.
Esto es importante en los juegos para que todos los jugadores
conozcan la posición más reciente de cada uno de los otros
jugadores. Es importante también en la radio por Internet
para que todos los oyentes que estén sintonizados estén
recibiendo todos los datos que necesitan para reconstruir la
canción que estén escuchando.

14. El algoritmo fue diseñado en 1930 por el matemático Vojtech Jarnik y luego
de manera independiente por el científico computacional Robert C. Prim en
1957 y redescubierto por Dijkstra en 1959. Por esta razón, el algoritmo es
también conocido como algoritmo DJP o algoritmo de Jarnik.

15. Ejemplo:
• La siguiente secuencia de figuras (Figura 11 a Figura 17) muestra el algoritmo
en funcionamiento sobre nuestro árbol de ejemplo. Comenzamos con A
como vértice inicial. Las distancias a todos los otros vértices se inicializan en
infinito. Observando a los vecinos de A podemos actualizar las distancias a
dos de los vértices adicionales B y C porque las distancias a B y C, a través de
A, son menores que infinito. Esto mueve a B y C al frente de la cola de
prioridad. Actualizamos los enlaces a los predecesores para B y C haciendo
que apunten a A. Es importante tener en cuenta que todavía no hemos
añadido formalmente a B ni a C al árbol de expansión. Un nodo sólo se
considera parte del árbol de expansión cuando es eliminado de la cola de
prioridad.

16. • Puesto que B tiene la menor distancia, examinamos después a B.
Examinando a los vecinos de B vemos que D y E pueden ser
actualizados. Tanto D como E obtienen nuevos valores de
distancia y se actualizan sus enlaces a los predecesores. Pasando
al siguiente nodo en la cola de prioridad encontramos a C. El
único nodo al que C es adyacente está todavía en la cola de
prioridad, es F, por lo tanto, podemos actualizar la distancia a F y
ajustar la posición de F en la cola de prioridad.

17. • Ahora examinemos los vértices adyacentes al nodo D. Encontramos que podemos
actualizar E y reducir la distancia a E de 6 a 4. Cuando hacemos esto cambiamos el enlace
al predecesor en E para que apunte a D, preparándolo así para ser injertado en el árbol de
expansión, pero en un lugar diferente. El resto del algoritmo continúa como se esperaría,
agregando cada nuevo nodo al árbol.

22. ¿EN QUE ÁREAS SE APLICA ESTE MODELO?
1.- Construcción de carreteras pavimentadas que unen varias
ciudades.
2.- Camino entre dos poblaciones pasando por poblaciones
adicionales.
3.- Diseño de redes de telecomunicación (redes de fibra óptica,
de computadoras, telefónicas, de televisión por cable, etcétera).
Algunas aplicaciones de este modelo:

23. Aplicación del algoritmo de Kruskal:
• Una de las aplicaciones más comunes del algoritmo de Kruskal está en el diseño de redes telefónicas,
ya que al querer interconectar unas líneas telefónicas con otras se utiliza el algoritmo para realizar la
interconexión al menor costo.
• El algoritmo de Kruskal también ha sido aplicado para hallar soluciones en diversas áreas como es el
diseño de redes de transporte, telecomunicaciones, TV por cable, sistemas distribuidos,
interpretación de datos climatológicos, visión artificial, entre otros .
• Otra aplicación menos conocida del algoritmo de Kruskal es que el árbol de coste total mínimo que
se obtiene puede ser usado como solución aproximada al problema del viajante de comercio, ya que
la manera formal de definir este problema es encontrar la trayectoria más corta para visitar cada
punto al menos una vez. Nótese que, si se visitan todos los puntos exactamente una vez, lo que se
tiene es un tipo especial de árbol.

24. Conclusión:
1. En este trabajo se ha podido apreciar la utilidad del modelo de
minimización de red o árbol de expansión aplicado al ámbito económico.
2. La aplicación de esta teoría ha optimizado la ruta inicial a través del
cambio de la secuencia de visitas planteada en la ruta inicial,
demostrando que puede mejorarse dicha ruta mediante los algoritmos.
3. También muestra que la gestión de rutas es una de las áreas de gestión de
la empresa que permite reducir costes si se optimizan eficazmente.

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