El documento resume las características clave de las funciones cuadráticas, incluyendo que el coeficiente a determina la concavidad, el coeficiente c determina el punto de intersección con el eje y, el vértice se calcula como -b/2a, y el discriminante determina el número de soluciones de la ecuación cuadrática correspondiente. Luego, presenta un ejemplo gráfico de una función cuadrática particular para ilustrar estas características.

1. “ECUACIÓN CUADRÁTICA II”
CURSO: 3° MEDIO
ASIGNATURA: MATEMÁTICA
PROFESORA: BRENDA VARGAS
COLEGIO PARTICULAR BLUMENTHAL
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATEMÁTICA

2. Gráfica, vértice y ejes de simetría de la
Función Cuadrática
Características de la parábola
 La forma de la parábola está totalmente determinada por los coeficientes de la función
cuadrática a, b y c.
 El coeficiente a, que acompaña al x2, determinara si las ramas de la parábola van hacia
arriba o hacia abajo, es decir:
Concavidad hacia arriba
y hacia abajo

3. Intersección eje Y
 El coeficiente c , el que no tiene x, cumple la misma labor que en la función afín, es
conocido como intercepto, pues es el valor por donde la parábola atraviesa el eje y, es
decir:

4. Intersección eje x
 Los lugares por donde la parábola atravesará el eje de las abscisas o eje x, serán los
puntos donde la función sea 0, pues recordemos que los puntos sobre el eje x tienen
coordenada e igual a cero, por lo tanto debemos encontrar que valores de x cumplen que:
f (x) = 0
ax2 + bx + c = 0
 Y esos valores de x son precisamente las raíces de la ecuación de segundo grado que
determina a la función. Sin embargo éstas raíces no siempre existen, o a veces solo existe
una, en el primer caso la parábola nunca corta el eje x, y en el segundo lo toca una sola
vez.
Recordar
presentación
anterior
Recuerdo de solución de la ecuación cuadrática:

5. Recordemos que la cantidad de raíces de
una ecuación de segundo grado viene
dado por su discriminante , por lo tanto
se tiene que:
Discriminante
∆ = 𝑏2 − 4 𝑎 𝑐

6. Vértice
 Otra parte importante de la parábola es el punto donde cambia de dirección, conocido
como vértice.
 Este punto tiene la particularidad que si a > 0 entonces es un mínimo y si a < 0 es un
máximo para la función.
 Las coordenadas del vértice de una parábola de ecuación f (x) = ax2 + bx + c
 Gráficamente es algo así:
Para una función con
a>0

7. Observaciones importantes
 Si b = 0, el eje y es el eje de simetría de la parábola.
 Si a > 0 y b > 0, el vértice de la parábola se encontrará a la izquierda del eje y,
pues
−𝑏
2𝑎
< 0
 Si a > 0 y b < 0, el vértice de la parábola se encontrará a la derecha del eje y.,
pues
−𝑏
2𝑎
> 0
 Si a < 0 y b < 0, el vértice de la parábola se encontrará a la izquierda del
 eje y., pues
−𝑏
2𝑎
< 0
 Si a < 0 y b > 0, el vértice de la parábola se encontrará a la derecha del eje y.,
pues
−𝑏
2𝑎
> 0

8. Ejemplo
 Representa gráficamente la siguiente función, determinando la concavidad, el intercepto
con el eje y, el vértice y los cortes sobre el eje x.
y = x2 − 4x + 5
Reconocemos:
a= 1
b=-4
c= 5
* Como 𝑎 > 0 es cóncava hacia arriba
* Como c = 5, intercepta al eje y en (0,5)
* Vértice
−
−4
2 ∙1
, 5 −
(−4)2
4∙1
→ 2, 1
En ese punto está el
vértice

9. *Cortes sobre eje x
Primero analizaremos el discriminante:
∆ = 𝑏2
− 4 𝑎 𝑐
∆ = −4 2 − 4 ∙ 1 ∙ 5
∆ = 16 − 20
∆ = −4
Como el discriminante es menor que 0, no seguiré buscando los cortes en eje x, puesto que no
existen dichos cortes.
Si quieren comprobar se puede realizar la solución de la ecuación:
𝑥 =
−−4± −4 2 −4 ∙1 ∙5
2∙1
→ 𝑥 =
4± 16−20
2
→ 𝑥 =
4± −4
2
Me ayuda a saber cuántas
soluciones hay
Como la raíz salió negativa no
hay solución a la ecuación

10. 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
f(x) = x2 − 4x + 5
Tabla Gráfica
Tal como habíamos calculado anteriormente
es cóncava hacia arriba (feliz), no intercepta
el eje x, intercepta al eje y en 5 y su vértice
está en (2,1)

11. Para más información
 https://www.youtube.com/watch?v=gnAdna_tLK0
 https://www.youtube.com/watch?v=6JQw45YO3Fs
 https://www.youtube.com/watch?v=5rULePpw5lA
 https://www.youtube.com/watch?v=TIf3NW_gph4