1. UNIVERSIDAD VERACRUZANA
Sandy G´mez y Miriam J. Morales
o
7 de Febrero a 10 de Febrero
TOPOLOG´ I
IA
0 PRELIMINARES
Muchos de los temas que abarca la Topolog´ involucran conceptos de C´lcu-
ıa a
lo, en esta secci´n recaudaremos las referencias que nos ser´n de ayuda en
o a
un futuro.
Iniciaremos con la estructura de los n´meros reales. ( , +, •, ≤) la cual
u
es un campo, que adem´s de la estructura algebraica, posee una relaci´n de
a o
orden total.
A partir de este orden podemos establecer los reales positivos ( ≥0 ) y los
reales negativos ( − ), los cuales forman la recta real.
Definimos el valor absoluto de la siguiente manera:
+
|| : −→ 


x −→ |x| = x si x ≥ 0
−x si x < 0


De este concepto, podemos definir la distancia entre dos n´meros reales:
u
∀x, y ∈ , d(x,y):= |x − y|
El campo de los reales , posee algunos problemas, con los que nos hemos
enfrentado algunas veces, por ejemplo ¿Qu´ pasa con una sucesi´n en la cual
e o
va decreciendo la distancia entre dos de sus elementos? es decir;
Si |xn − xm | < con m,n > ℵ , entonces ∃l ∈ tal que |xn − l| < para
> 0 y cualquier n > ℵ
Con esto estamos describiendo el comportamiento de una funci´n llamada
o
sucesi´n, dicha funci´n la describimos como:
o o
ϕ : ℵ −→
1

2. n −→ xn
Esta sucesi´n se va aproximando hacia un punto llamado l´
o ımite (l); el
concepto de limite es parte primordial del c´lculo, sin l´
a ımite no hay c´lculo.
a
Si una sucesi´n tiene l´
o ımite, entonces se dice que ´sta converge, y defini-
e
mos el l´
ımite como:
l´ x→x0 f (x) = L
ım
Es decir; Dado > 0, ∃δ > 0 tal que |f (x) − L| < cuando |x − xo | < δ
Ahora que tenemos definido el concepto de l´ ımite, podemos hablar de la
continuidad de una funci´n, es decir;
o
Una funcion f(x) es continua en x0 , si ∀ > 0, ∃δ > 0 tal que si 0 <
|x − x0 | < δ entonces |f (x) − f (x0 )| <
Estos conceptos de distancia, convergencia, l´ ımite y continuidad pueden ser
extra´ıdos, los podemos sacar del mundo de los n´meros reales y trasladarlos
u
a otros conjuntos. La Topolog´ va a partir de la experiencia del C´lculo,
ıa a
hist´ricamente ´sta nace de la necesidad de transportar las propiedades de
o e
los reales al espacio de los conjuntos, con ello la Topolog´ pretende dar res-
ıa
puesta a la pregunta ¿C´mo podemos distinguir un objeto geom´trico de
o e
otro?
´
I ESPACIOS METRICOS
Sea X un conjunto no vac´ ıo
≥0
Definici´n 1.1 Una distancia en X es una funci´n d:X × X−→
o o tal
que:
i) d(x, y) = 0 ssi x = y
ii) d(x, y) = d(y, x) para x, y ∈
iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (desigualdad del tri´ngulo)
a
Definici´n 1.2 Sea (X,d) un espacio m´trico (con la m´trica d y X un
o e e
conjunto).
Observaci´n: Se puede decir distancia en X o m´trica en X
o ´ e
Los elementos del conjunto cambiar´n de nombre y ahora se llamaran pun-
a
tos; es decir, por s´ s´los son elementos del conjunto, pero cuando cumplen
ı o
con una m´trica se llaman puntos.
e
Ejemplo: ( , )
2

3. donde es un espacio m´trico y
e (x, y) = |x − y|
Definici´n 1.3 Sea X un espacio m´trico, x es un punto de X (x∈X) y
o e
+
r∈ llamamos bola abierta, de centro x y radio r, al conjunto:
Br (x) := {y ∈ X : d(x, y) < r}
Y bola cerrada de centro x y radio r al conjunto:
Br (x) := {y ∈ X : d(x, y) ≤ r}
Definici´n 1.4 Sean d1 y d2 dos m´tricas, sobre un conjunto no vac´ X,
o e ıo
decimos que:
d1 es equivalente a d2 si dado r∈ + ∃n r1 , r2 ∈ + tal que:
Br1 (x) ⊂ Br (x) con d2
Br2 (x) ⊂ Br (x) con d1
donde: Br1 (x) = {y ∈ X : d1 (x, y) < r1 }
Br2 (x) = {y ∈ X : d2 (x, y) < r2 }
Definici´n 1.5 Sea X es un espacio m´trico. U ⊂ X es un conjunto abierto
o e
+
en X si para cada x ∈ U ∃rx ∈ tal que Brx (x) ⊂ U
F ⊂ X es un conjunto cerrado si F c es un conjunto abierto.
F c :={y ∈ X : y ∈ F }
/
Teorema: En un espacio m´trico X, se tiene que toda bola abierta es un
e
conjunto abierto.
Demostraci´n:
o
Sea Br (x) una bola abierta en X con x ∈ X, r ∈ +
Sea y ∈ Br (x) un punto cualquiera.
Queremos probar que ∃Bs (y) ⊂ Br (x)
0 < d(x, y) < r
Sea s = r − d(x, y), nos falta ver que est´ contenida en Br (x)
a
Sea z ∈ Bs (y), entonces d(z, y) < s
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
d(x, z) ≤ r + s
d(x, z) ≤ r + r − d(x, y)
d(x, z) ≤ r + r − r
d(x, z) ≤ r
Por lo tanto Br (x) es un conjunto abierto.
TAREA 1.1
Teorema: En un espacio m´trico X toda bola cerrada es un conjunto
e
cerrado
3

4. Demostraci´n: o
Sea x0 ∈ X y r ≥ 0 con r ∈ +
Queremos probar que la bola cerrada Br (x0 ) es un conjunto cerrado, es
decir, que su complemento X − Br (x0 ) es un conjunto abierto.
Sea x ∈ X − Br (x0 ). Mostraremos que existe una bola abierta BR (x)
contenida en X − Br (x0 ).
Como x ∈ Br (x0 ) se tiene que d(x0 , x) > r Definimos R = d(x0 , x)−r > 0,
/
esto equivale a r = d(x0 , x) − R
Veamos que BR (x) ⊂ X − Br (x0 .
En efecto, sea y ∈ BR (x) se tiene entonces:
d(x, y) < R
as´ d(x0 , x) ≤ d(x0 , y) + d(y, x)
ı
d(x0 , x) ≤ d(x0 , y) + R
luego d(x0 , x) < R + d(x0 , y)
por lo tanto d(x0 , x) − R < d(x0 , y)
es decir r < d((x0 , y)
Esto significa que y ∈ Br (x0 ), es decir y ∈ X − Br (x0 )
/
Sandy
TAREA 1.2
2
Verificar que en el plano cartesiano , la funci´n:
o
((p1 , p2 ), (q1 , q2 )) −→ |p1 − q1 | + |p2 − q2 |
2
es una m´trica, llamada m´trica de Manhattan. En el espacio m´trico
e e e
describir geom´tricamente las bolas abiertas (resp. cerradas)
e
Demostraci´n:
o
Para que la funci´n sea una m´trica, debemos verificar las tres propieda-
o e
des de la definici´n de m´trica:
o e
i) d(p, q) = 0 ssi p = q con p = (p1 , p2 ) y q = (q1 , q2 )
=⇒) Si d(p, q) = 0, entonces |p1 − q1 | + |p2 − q2 | = 0
|p1 − q1 | = 0 y |p2 − q2 | = 0 esto implica que p1 = q1 y p2 = q2
por lo tanto p = q
⇐=) Si p = q, entonces d(p, p) = |p1 − p1 | + |p2 − q2 | = 0
ii) d(p, q) = d(q, p)
d(p, q) = |p1 − q1 | + |p2 − q2 | = |q1 − p1 | + |q2 − p2 | = d(q, p)
4

5. por lo tanto d(p, q) = d(q, p)
iii) d(p, r) + d(r, q) ≥ d(p, q) con r = (r1 , r2 )
d((p1 , p2 ), (r1 , r2 )) + d((r1 , r2 ), (q1 , q2 )) ≥ |p1 − r1 | + |p2 − r2 | + |r1 − q1 | +
|r2 − q2 |
Por el valor absoluto se dan los siguientes casos:
1. (p1 −r1 )+(p2 −r2 )+(r1 −q1 )+(r2 −q2 ) ≥ p1 −r1 +p2 −r2 +r1 −q1 +r2 −q2 ≥
p1 + p2 − q1 − q2 ≥ d(p, q)
2. (r1 −p1 )+(r2 −p2 )+(q1 −r1 )+(q2 −r2 ) ≥ r1 −p1 +r2 −p2 +q1 −r1 +q2 −r2 ≥
q1 + q2 − p1 − p2 = d(q, p) = d(p, q)
Por lo tanto d(p, r) + d(r, q) ≥ d(p, q)
Ahora veamos como se ven las bolas abiertas y cerradas en 2 con esta
m´trica.
e
Sea Br (a, b) = {(p, q) ∈ 2 : d((p, q), (a, b)) ≤ r} con p > a y q > b
d((p1 , q1 ), (p2 , q2 )) = |p1 − p2 | + |q1 − q2 |
Br (a, b) = |p − a| + |q − b|
A saber tenemos 4 casos:
i) Si p − a ≥ 0 y q − b ≥ 0
=⇒ p − a + q − b > r
=⇒ p + a > r + a + b
ii) Si p − a ≤ 0 y q − b ≤ 0
=⇒ a − p + b − q < r
=⇒ −(p + q) > r − a − b
=⇒ p + q > a + b − r
iii) Si p − a ≤ 0 y q − b ≥ 0
=⇒ a − p + q − b < r
=⇒ q − p < r + b − a
iv) Si p − a ≥ 0 y q − b ≤ 0
=⇒ p − a + b − q < r
=⇒ q − p < r + b − a
5

6. =⇒ p − q < r + a − b
2
Por lo que se tiene que las bolas en con esta m´trica son rombos
e
Miriam
TAREA 1.3) ¿Son m´tricas sobre las funciones d1 , d2 definidas en
e x
respectivamente por
(x, y) −→ max(|x − y| , 1) y (x, y) −→ min(|x − y| , 1)
Demostraci´n:
o
Para (x, y) −→ max(|x − y| , 1)
Supongamos que x = y, sea (x, y) = (x, x), entonces por definici´n:
o
d(x, y) = max(|x − x| , 1)
d(x, y) = max(0, 1) = 1
As´ d(x, y) = 0
ı
Por lo tanto d1 no es una m´trica.
e
Para (x, y) −→ min(|x − y| , 1)
Veamos si d2 es una m´trica. Es decir, si cumple las tres propiedades de
e
la definici´n de m´trica.
o e
Tenemos que d2 = min(|x − y| , 1)
i)P.D. d(x, y) = 0 ssi x = y
=⇒) Supongamos que d(x, y) = 0
As´ min(|x − y| , 1) = 0 es decir, |x − y| = 0 A saber se tienen dos casos:
ı
Si x − y > 0 se tiene que:
x − y = 0 =⇒ x = y
Y si x − y ≤ 0 se tiene que:
y − x = 0 =⇒ y = x
Por lo tanto x = y
⇐=) Supongamos que x = y
as´ min(|x − y| , 1) = min(|x − x| , 1) = min(0, 1) = 0
ı
Por lo tanto d(x, y) = 0
ii) P.D. d(x, y) = d(y, x)
d(x, y) = min(|x − y| , 1)
d(x, y) = min(|y − x| , 1)
6

7. Por lo tanto d(x, y) = d(y, x)
iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) con z ∈
min(|x − y| , 1) ≤ min(|x − z| , 1) + min(|z − y| , 1)
Si |x − z| ≥ 1 y |z − y| ≥ 1
entonces: min(|x − y| , 1) ≤ 1 + 1
min(|x − y| , 1) ≤ 2
1≤2
Ahora, si |x − z| < 1 y |z − y| < 1
entonces: min(|x − y| , 1) ≤ 1
1≤1
As´ tenemos que se cumple la desigualdad del tri´ngulo.
ı a
Por lo tanto d2 es una m´trica.
e
7