מצגת הקורס בלוגיקה למדעי המחשב, שנה ב'. במצגת המקורית היו הרבה סימני שאלה [?] אשר נועדו לרמוז שיש צורך בהסבר נוסף. זוהי גירסה מלאה של המצגת, כל השאלות נפתרו וכל הדפים פורמטו מחדש על ידי.

1. ‫מהי לוגיקה?‬
‫תורת ההיגיון‬ ‫•‬
‫תורת ההיסק מתארת טיעונים תקפים - טיעונים ששומרים על אמיתות.‬ ‫•‬
‫תקפות היא תכונה מבנית (תחבירית) של טיעונים‬
‫תנאיי-קדם ללוגיקה: שפה בעלת תחביר וסמנטיקה.‬ ‫•‬
‫תחביר – מבנה של ביטוים בשפה.‬
‫סמנטיקה – פשר (משמעות) של הביטויים, הקשר שבין השפה לבין מה שהיא‬
‫מדברת עליו.‬
‫לוגיקה במדעי המחשב‬
‫מחשב מחקה יכולת שכלית (היגיון)‬ ‫•‬
‫תוכנית מחשב - סוג של הוכחה.‬ ‫•‬
‫תורת התכנות- לוגיקה שימושית. אימות תוכנה.‬
‫תכנות לוגי.‬ ‫•‬
‫בינה מלאכותית‬ ‫•‬
‫טיעונים‬
‫אם רכבת מאחרת וגם אין מוניות זמינות בתחנה, אז אלי מאחר לפגישה.‬ ‫•‬
‫אבל אלי לא איחר לפגישה למרות שרכבת איחרה. לכן היו מוניות זמינות‬
‫בתחנה.‬
‫אם יורד גשם ולטלי אין מטריה איתה, אז היא מצטננת. טלי לא הצטננה‬ ‫•‬
‫למרות שהיה גשם. לכן לטלי הייתה מטריה.‬
‫מבנה הטיעון:‬
‫אם ‪ p‬וגם לא ‪ ,q‬אז ‪ .r‬לא ‪ r‬ו-‪ .p‬לכן ‪.q‬‬
‫‪(p¬q(→r, ¬r  p├ q‬‬

2. ‫תחשיב הפסוקים‬
‫נדון בפסוקיי חיווי, אשר יש להם בדיוק אחד משני ערכים: אמת (‪)True‬‬
‫או שקר (‪.)False‬‬
‫1. קנדה היא מדינה.‬
‫2. משה הוא כלב‬
‫3. סגור את הדלת!‬
‫4. ‪|X| = X‬‬
‫5. משפט זה הוא שקר.‬
‫מפסוקים יסודיים ניתן לבנות פסוקים מורכבים בתוספת מילות חיבור כגון:‬
‫ו, או, לא, וכו':‬
‫קנדה היא מדינה ומשה הוא כלב.‬
‫קשרים לוגיים‬
‫"לא ‪."P‬‬ ‫שלילה (‪: ¬P )negation‬‬ ‫•‬
‫"‪ P‬ו- ‪.“Q‬‬ ‫קוניונקציה (‪ ,conjunction‬גימום)‪:PQ‬‬ ‫•‬
‫“‪ P‬או ‪.“Q‬‬ ‫דיסיונקציה (‪ ,disjunction‬איווי) ‪: PQ‬‬ ‫•‬
‫אימפליקציה (‪ ,implication‬אימוז) ‪" : P→Q‬אם ‪ P‬אז ‪.“Q‬‬ ‫•‬
‫"‪ P‬אם ורק אם ‪.“Q‬‬ ‫שקילות (‪: P↔Q )equivalence‬‬ ‫•‬
‫תחביר‬
‫הגדרה: נוסחא נקראת בנויה היטב (‪ )well-formed formula‬אם ניתן ליצור אותה‬
‫לפי החוקים הבאים:‬
‫1. כל פסוק אטומי...,‪ p,q‬הוא נוסחא בנויה היטב.‬
‫2. קבוע ‪ ‬הוא נוסחא בנויה היטב.‬
‫3. אם ‪ A‬ו- ‪ B‬הן נוסחאות בנויות היטב,‬
‫אז גם (‪ (AB), (A  B), (A  B), (A  B) , )¬A‬הן נוסחאות בנויות היטב.‬
‫4. כל נוסחא בנויה היטב ניתן ליצור במס' סופי של צעדים ע"י שימוש בחוקים 3-1.‬

3. ‫פסוקים מורכבים‬
‫דוגמא: )‪)¬)¬p(( ,(pq) ,((pq))¬p(( ,))¬p(q‬‬
‫‪((p  q)), (p  q  r), ( p‬‬ ‫ולא‬
‫משפט (בלי הוכחה) (קריאה יחידה) כל נוסחה שייכת בדיוק ל1 מהסוגים הבאים:‬
‫פסוק אטומי.‬ ‫1.‬
‫)‪ )¬A‬עבור נוסחה אחת ויחידה ‪.A‬‬ ‫2.‬
‫)‪ (A ○ B‬עבור קשר בינארי ○ אחד ויחיד ונוסחאות יחידות ‪ A‬ו-‪.B‬‬ ‫3.‬
‫אינדוקציה על נוסחאות‬
‫אם תכונה ‪ P‬נכונה לכל הפסוקים האטומיים, ומהנחה ש-‪ P‬נכונה לנוסחאות ‪ A‬ו-‬
‫‪ B‬נובע ש-‪ P‬נכונה ל-(‪ ,(AB), (AB), (AB), (AB), )¬A‬אזי ‪P‬‬
‫נכונה לכל נוסחא בנויה היטב.‬
‫הסכם: אפשר להשמיט סוגריים חיצוניות וסוגריים‬
‫עבור ¬. לדוגמא נרשום ‪ ¬PQ‬במקום )‪))¬P(Q‬‬
‫הצרנה‬
‫זהו מקס או שההוא מוריץ ואני ליצן: ‪p  q  r‬‬ ‫•‬
‫אני אגיע הביתה ואביא תותים אם לא ירד גשם.‬ ‫•‬
‫אם לא יובל ולא איל יעברו את הבחינה, גם חגי לא יעבור.‬ ‫•‬
‫לא כולם (מהשלושה) יכשלו.‬ ‫•‬
‫סמנטיקה‬
‫פירוש או מודל הוא השמה }‪ - l: P  {F,T‬שיוך ערכיי אמת לפסוקים אטומיים.‬
‫פשר של הקשרים – פונקציות אמת:‬
‫}‪f : {F,T} n  {F,T‬‬
‫לא כל הפסוקים בשפה טבעית הם פונקציות אמת:‬
‫‪P ¬P‬‬
‫"אני יודע ש-‪" ,"P‬מחר יהיה ‪."P‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫שלילה. ‪ ¬P‬אמיתי אם ורק אם ‪ P‬שקרי.‬
‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫קבוע שקר. ‪l()=F‬‬

4. ‫קוניונקציה‬ ‫דיסיונקציה‬
‫‪ PQ‬אמיתי כאשר גם ‪ P‬וגם ‪Q‬‬ ‫‪ PQ‬שיקרי כאשר גם ‪ P‬וגם ‪Q‬‬
‫אמיתי, אחרת שקרי:‬ ‫שיקרי, אחרת אמיתי :‬
‫‪P‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪PQ‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪PQ‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬
‫אימפליקציה‬ ‫שקילות‬
‫‪P→Q‬‬ ‫‪P↔Q‬‬
‫שקרי כאשר ‪ P‬אמיתי ו- ‪ Q‬שקרי,‬ ‫אמיתי כאשר ל- ‪ P‬ול- ‪ Q‬יש אותו‬
‫אחרת אמיתי.‬ ‫ערך אמת, אחרת שקרי.‬
‫‪P‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪P→Q‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪P↔Q‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬
‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬
‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬
‫אם 3=1+1, אז פריס‬
‫היא בירת צרפת.‬

5. ‫יחס ספיקות‬
‫הגדרה. (הרחבה של פירוש לפסוקים מורכבים)‬
‫• ‪l()=F‬‬
‫• ‪ l)¬A(=T‬אם ורק אם ‪l(A)=F‬‬
‫• ‪ l(AB)=T‬אם ורק אם ‪l(A)=l(B)=T‬‬
‫• ‪ l(AB)=T‬אם ורק אם ‪ l(A)=T‬או ‪l(B)=T‬‬
‫• ‪ l(AB)=T‬אם ורק אם ‪ l(A)=F‬או ‪l(B)=T‬‬
‫• ‪ l)A↔B(=T‬אם ורק אם )‪l(A)=l(B‬‬
‫פירוש ‪ l‬מספק ‪ ,A‬או ‪ l‬הוא מודל של ‪ ,A‬אם ‪l(A)=T‬‬
‫עובדה.‬
‫ערך האמת של פסוק מורכב היא פונקציה של ערכי האמת של הפסוקים אטומיים‬
‫שלו (קריאה יחידה !).‬
‫בעיות ספיקות ותקפות‬
‫• נוסחה נקראת ספיקה (או עקבית) אם יש לה מודל. נוסחה לא ספיקה‬
‫נקראת סתירה.‬
‫בעיית ספיקות (‪ :)SAT problem‬האם (ומתיי) הנוסחה ספיקה? ‪ SAT‬היא‬
‫בעיית ‪.NP‬‬
‫• נוסחה ‪ A‬נקראת תקפה, או טאוטולוגיה, אם כל פירוש הוא מודל של ‪.A‬‬
‫בעיית תקפות: האם נוסחה ‪ A‬תקפה?‬
‫‪ A‬היא טאוטולוגיה אם ורק אם ‪ ¬A‬היא לא ספיקה.‬
‫‪p q ¬ p  q‬‬ ‫טבלאות אמת‬
‫‪F F T F T F‬‬
‫טבלת אמת של פסוק מורכב מתארת את ערכי‬
‫‪F T T F T T‬‬ ‫האמת של הפסוק עבור כל פרוש.‬
‫‪T F F T F F‬‬ ‫אם הפסוק מורכב מ- ‪ m‬פסוקים אטומיים, אזי‬
‫יש ‪ ,2m‬צרופים ובטבלת האמת שלו‬
‫‪T T F T T T‬‬
‫תהיינה ‪ 2m‬שורות.‬
‫1 3 1 2‬

6. ‫טאוטולוגיות וסתירות‬
‫נוסחה המקבלת ערך אמת ‪ T‬לכל הצבה עבור המשתנים שלה היא טאוטולוגיה.‬
‫נוסחה המקבלת ערך ‪ F‬לכל הצבה כזאת היא סתירה.‬
‫‪p‬‬ ‫‪¬p‬‬ ‫‪p¬p‬‬ ‫‪pp‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬
‫ניתן להוכיח טאוטולוגיות וסתירות בשיטת השלילה.‬
‫דוגמא: )‪(AB( →)¬AB‬‬
‫שקילות של פסוקים‬
‫שני פסוקים נקראים שקולים אם יש להם אותם מודלים. פסוקים שקולים‬
‫מהבאים אותה טענה.‬
‫נסמן את השקילות ב- ‪ .‬בדוגמא: ‪.A  AA‬‬
‫משפט: נוסחאות ‪ A‬ו- ‪ B‬שקולות אם ורק אם ‪ AB‬היא טאוטולוגיה.‬
‫הוכחה נובעת מן ההגדרות:‬
‫כיוון ראשון: (נניח ‪ AB‬היא טאוטולוגיה.)‬
‫מהגדרת ‪ A  B‬נובע ש)‪ I(A  B‬אמת רק אם )‪ ,I(A)=I(B‬ומכך שזוהי‬
‫טאוטולוגיה נובע שזה נכון לכל ‪ .I‬לכן, בהכרח ל‪ A‬ול‪ B‬יש את אותם‬
‫המודלים. ולכן מהגדרת השקילות ‪.A  B‬‬
‫כיוון שני: (נניח ‪)A  B‬‬
‫אם ‪ A‬שקול ל‪ ,B‬אז יש ל‪ A‬ול‪ B‬את אותם המודלים. ומכאן שכל פירוש של‬
‫‪ A‬שווה לכל פירוש של ‪ .B‬לכן, מהגדרת ‪ ‬כל פירוש ‪ I‬יהיה מודל של‬
‫‪ AB‬ומכאן שזוהי טאוטולוגיה.‬

7. ¬)p  q))¬p  ¬q) -‫טבלת אמת ל‬
p q ¬ (p  q)  )¬ p  ¬ q)
F F T F F F T T F T T F
F T T F F T T T F T F T
T F T T F F T F T T T F
T T F T T T T F T F F T
3 1 2 1 4 2 1 3 2 1
‫תוך שימוש בשקילויות יסודיות ניתן להוכיח שקילויות חדשות בלי להשתמש‬
.‫בטבלאות אמת‬
‫שקילויות יסודיות‬
PP  P PP  P
(PQ) R  P(QR) (PQ) R  P (QR)
PQ  QP PQ  QP
P(QR) (PQ)(PR) P(QR) (PQ)(PR)
PP PTP
PTT P
P  ¬P  T P  ¬P  F
P  (PQ)  P P  (P  Q)  P
¬(P  Q)  ¬P  ¬Q ¬(P  Q)  ¬P  ¬Q
¬¬P  P

8. ‫שלמות פונקציונאלית‬
:‫-מקומית‬n ‫ מגדירה פונקצית אמת‬A(p1,…,pn) ‫כל נוסחה‬
g(l(p1(,…,l)pn))=l(A) ,l ‫לכל‬
:‫דוגמה‬
(p  q  ¬r()¬p  q  r)
p q r A
T T T F
T T F T
T F T F
T F F F
F T T T
F T F F
F F T F
F F F F

9. ‫משפט השלמות הפונקציונאלית‬
‫משפט (שלמות פונקציונאלית). לכל פונקצית אמת קיימת נוסחה המגדירה אותה.‬
‫הוכחה:‬
‫תהיה ‪ f‬פונקצית אמת ‪-n‬מקומית.‬
‫נגדיר }‪( Hf={(a1,a2,…,an){F,T}n :f(a1,…,an)=T‬תמונה הפוכה של ‪T‬‬
‫ביחס ל- ‪.)f‬‬
‫לכל )‪ x=(a1,a2,…,an‬נשייך נוסחה ‪ ř1ř2… řn = Ax‬כך ש:‬
‫‪ ři‬הוא ‪ ri‬אם ‪ ,T=ai‬אחרת ‪ ři‬הוא ‪ .¬ri‬אז פירוש ‪ l‬מספק את ‪ Ax‬אם"ם‬
‫))‪,x=(l(r1),...,l(rn‬‬
‫כלומר אם"ם ‪.I(r1) = a1, I(r2) = a2, …, I)rn) = an‬‬
‫מהגדרת הקוניונקציה פירוש ‪ I‬ייתן ‪ I(Ax(=T‬אם"ם ‪ I)řj(=T‬לכל ‪ j‬ומהדרך בה‬
‫הגדרנו את הליטרלים, זה יתקיים אך ורק מתי ש ‪ I(rj) = aj‬לכל ‪.j‬‬
‫נגדיר ‪ Af= Ax1Ax2 … Axk‬עבור כל ‪ xi‬מ- ‪.Hf‬‬
‫אז, לכל פירוש ‪ l(Af)=T ,l‬אם"ם קיים ‪ x  Hf‬כך ש ))‪x=(l(r1),...,l(rn‬‬
‫זאת היות ומהגדרת הדיסיונקציה ‪ l(Af)=T‬אם"ם קיים ‪ Axj‬שעבורו‬
‫‪l(Axj)=T‬והראנו שזה מתקיים אם"ם ))‪ ,xj=(l(r1),...,l(rn‬ז"א‬
‫)‪.f(l(r1(,…,l)rn))=l(Af‬‬
‫הסבר נוסף:‬
‫‪ …. I)Axk)=T‬או ‪ I(Ax2)=T‬או ‪l(Af)=T  I(Ax1)=T‬‬
‫אם כך, עבור ‪ j‬כלשהו:‬
‫‪I(Axj)=T ‬‬
‫נזכיר ש: ‪ Axj= ř1ř2… řn‬ומכאן:‬
‫‪ …. I)řn)=T ‬וגם ‪ I(ř2)=T‬וגם ‪I(ř1ř2… řn)=T  I(ř1)=T‬‬
‫‪I(r1)= a1, I(r2)= a2, …. , I)rn)= an ‬‬
‫‪xj=(a1, a2, …, an)=(I(r1), I(r2(, …. , I(rn)) ‬‬
‫נזכיר ש: ‪xjЄHf‬‬
‫‪(I(r1), I(r2(=, …. , I)rn)) ЄHf ‬‬
‫‪F(I(r1), I(r2(=, …. , I)rn))=T‬‬

10. ‫קבוצות שלמות של קשרים‬
‫הגדרה: קבוצה של קשרים שבאמצעותם ניתן לתאר כל פונקצית אמת נקראת שלמה.‬
‫)‪P  Q  (PQ)  (QP‬‬
‫‪P  Q  ¬P  Q‬‬ ‫‪P  Q  ¬P  Q‬‬
‫(‪P  Q  ¬)¬P¬Q‬‬ ‫(‪P  Q  ¬)¬P¬Q‬‬
‫מסקנה. }‪ {¬, }, {¬, }, {¬, ‬הן קבוצות שלמות של קשרים.‬
‫ממשפט השלמות הפונקציונאלית נובע שהקבוצה }‪ Q={¬, , ‬היא‬
‫קבוצה שלמה של קשרים‬
‫( השתמשנו אך ורק בקשרים אלו והראנו שאנו יכולים לבנות כל פונקציית אמת).‬
‫ע"מ להראות שהקבוצות הנתונות הן קבוצות שלמות של קשרים, מספיק להראות‬
‫שנוכל לבנות באמצעותן את הקבוצה ‪.Q‬‬
‫}‪ - {¬, ‬נוכל להשיג קוניונקציה ע"י (‪P  Q  ¬)¬P¬Q‬‬
‫}‪ - {¬, ‬נוכל להשיג דיסיונקציה ע"י (‪P  Q  ¬)¬P¬Q‬‬
‫}‪ - {¬, ‬נוכל להשיג דיסיונקציה ע"י ‪ P  Q  ¬P  Q‬וע"י כך נבנה את }‪.{¬, ‬‬
‫קבוצות לא שלמות של קשרים‬
‫למה. }‪ {,,, ‬היא קבוצה לא שלמה של קשרים. (כי אי אפשר ליצור שלילה)‬
‫הוכחה. להבדיל מ-‪ ,¬p‬כל נוסחה הבנויה מ- }‪ {,,, ‬היא אמיתית כאשר כל‬
‫הפסוקים האטומיים שלה אמיתיים. [באינדוקציה על מספר הקשרים בנוסחה – נוכיח‬
‫שתמיד אמת (אין מצב של שלילה)].‬
‫טענה: כל נוסחה הבנויה מ }‪ {,,, ‬היא אמיתית כאשר כל הפסוקים‬
‫האטומיים שלה אמיתיים.‬
‫הוכחה: (באינדוקציה)‬
‫בסיס: משתמשים ב-0 קשרים, אז הנוסחה היא מהצורה ‪ P‬כאשר ‪ P‬אטום ולכן‬
‫כאשר ‪ P‬אמיתי, הנוסחה אמיתית.‬
‫הנחה: כאשר אנו משתמשים ב-‪ n‬קשרים או פחות, אם כל הפסוקים האטומיים‬
‫אמיתיים, אז גם הנוסחה אמיתית.‬
‫צעד: תהי ‪ A‬נוסחה בעלת 1+‪ n‬קשרים, אם כך, ‪ A‬היא מהצורה:‬
‫‪(a) B  C (b) B  C (c) B  C (d) B  C‬‬
‫ב-‪ B‬וב-‪ C‬יש אם כך פחות מ1+‪ n‬קשרים, לכן, מהנחת האינדוקציה, כאשר כל‬
‫הפסוקים האטומיים ב‪ A‬אמיתיים, אז גם ‪ B‬ו-‪ C‬אמיתיים ומכאן שלפי הגדרת‬
‫הקשרים }‪ ,{,,, ‬גם ‪ A‬אמיתית.‬

11. ‫קבוצות לא שלמות של קשרים‬
‫למה. }¬,‪ {‬היא קבוצה לא שלמה של קשרים.‬
‫קוניונקציה יוצרת טבלת אמת בה יש מספר אי זוגי של שורות שנותנות ‪.T‬‬
‫נוכיח באינדוקציה על כמות הקשרים כי כל טבלת אמת עם יותר מאטום אחד‬
‫של נוסחה הבנויה מהקשרים }¬,‪ {‬הינה בעלת כמות זוגית של שורות‬
‫המקבלות את הערך ‪ ,T‬ולכן לא ניתן לבנות קוניוקציה באמצעות קשרים אלו.‬
‫בסיס: (קשר יחיד) הנוסחא היא מהצורה ‪ q  p‬או ‪. ¬p‬‬
‫במצב זה טבלאות האמת יתאימו לטענה:‬
‫‪p‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪¬p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪qp‬‬
‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬
‫הנחה: נניח כי עבור נוסחאות בעלות ‪ N‬קשרים או פחות (מהקבוצה }¬,‪,){‬‬
‫הטענה מתקיימת, כלומר, יש כמות זוגית של שורות בטבלת האמת של‬
‫נוסחאות אלו המקבלות ‪.T‬‬
‫צעד: תהי ‪ A‬נוסחה בעלת 1+‪ N‬קשרים מהקבוצה }¬,‪,{‬‬
‫א. ‪ ¬B‬ב. ‪B C‬‬ ‫אז ‪ A‬היא מהצורה:‬
‫מקרה א. מהנחת האינדוקציה, ‪( B‬בעלת ‪ N‬קשרים) היא בעלת כמות זוגית‬
‫של שורות בטבלת האמת שלה שנותנות ‪ .T‬ולכן, מהגדרת השלילה, ‪A‬‬
‫תהיה בעלת מס' זוגי של שורות שיתנו ‪ ,F‬והיות ובטבלת אמת מס' זוגי של‬
‫שורות סה"כ, אז גם מס' זוגי של שורות שיתנו ‪.T‬‬
‫מקרה ב. נסמן ב*‪ B‬את קבוצת השורות של טבלת האמת של ‪ B‬שיתנו ‪,T‬‬
‫ו*‪ ,C‬באופן דומה. מהנחת האינדוקציה |*‪ |B‬ו- |*‪ |C‬זוגיים, כלומר ‪,|B*| =2k‬‬
‫‪ .|C*| =2t‬בסה"כ בטבלת האמת של ‪ A‬יש מספר זוגי של שורות ‪( 2m‬מהיותה‬
‫טבלת אמת). כמות השורות שבהן ‪ A‬אמת היא כמות השורות בהן ‪ B‬ו-‪C‬‬
‫שקר יחד, בנוסף לכמות השורות בהן ‪ B‬ו-‪ C‬אמת יחד, כלומר‬
‫|*‪ 2m - |B*C*| + |B*C‬שורות בהן ‪ A‬נותנת אמת.‬
‫אך מתקיים |*‪ ,|B*C*| = |B*| + |C*| - |B*C*| = 2k + 2t - |B*C‬ולכן‬
‫|*‪ 2 m - |B*C*| + |B*C*| = 2 m - 2k - 2t + 2 |B*  C‬זוגי.‬

12. ‫קבוצות קשרים שלמות‬
 - "..-‫ – "לא וגם‬NAND
P Q PQ PQ  ¬)PQ) ‫ מוגדרת ע"י‬PQ
F F T
F T T -‫קל לראות ש‬
PP  ¬P
T F T
(PQ)  (PQ)  ~(PQ)  PQ
T T F (PP)(QQ)  PQ
.‫{ היא קבוצת קשרים שלמה‬} ‫לכן‬
 - "‫ – "לא או‬NOR
P Q PQ
PQ  ¬)PQ) ‫ מוגדר ע"י‬PQ
F F T
F T F P  P  ¬P :‫מתקיים‬
T F F (PQ)(PQ)  PQ
(PP)(QQ)  PQ
T T F
.‫{ היא קבוצת קשרים שלמה‬} ‫לכן‬

13. )gates( ‫שערים‬
a ¬a :NOT ‫שער‬
a ab :AND ‫שער‬
b
a :OR ‫שער‬
b ab
(ab))¬a¬b( :‫רשת לתיאור הנוסחה‬
a
b
a
b
‫שערים נוספים‬
a ¬)ab)=¬a¬b :NAND ‫שער‬
b
a ¬)ab)=¬a¬b
b :NOR ‫שער‬
a :‫דוגמא‬
ab
b

14. ‫צורות נורמאליות‬
‫אם ‪ p‬הוא פסוק אטומי, אז ‪ p‬ו-‪ ¬p‬הם ליטרלים.‬
‫הגדרה. נוסחה בצורה דיסיונקטיבית נורמאלית )‪ (DNF‬היא דיסיונקציה של‬
‫קוניונקציות של ליטרלים.‬
‫דוגמא: (‪(p¬qr)(rp)  (r¬q¬p‬‬
‫מסקנה 1. כל נוסחה שקולה לנוסחה בצורת ‪.DNF‬‬
‫הוכחה 6. אם ‪ f‬היא פונקצית אמת המוגדרת ע"י נוסחה ‪ , B‬אז הנוסחה ‪ Af‬שבנינו‬
‫בהוכחת משפט השלמות הפונקציונאלית שקולה ל-‪ , B‬והיא בצורת ‪.DNF‬‬
‫דואליות‬
‫הגדרה: תהי ‪ A‬נוסחה שמכילה ‪ , , , ,T‬ו- ¬ בלבד.‬
‫נוסחה דואלית ל- ‪ A‬מתקבלת ממנה בהחלפת כל ‪ ‬ב- ‪ ‬וכל ‪ ‬ב- ‪ ,‬כל ‪ T‬ב-‬
‫‪ ‬וכל ‪ ‬ב-‪T‬‬
‫נוסחה דואלית‬ ‫נוסחה‬
‫‪(PQ)R‬‬ ‫‪(PQ)R‬‬
‫((‪¬)PQ)(P)¬Q¬S‬‬ ‫((‪¬)PQ)(P)¬Q¬S‬‬
‫למת עזר. השלילה של נוסחה שקולה לנוסחה דואלית שבה כל משתנה‬
‫מוחלף בשלילה שלו.‬
‫שקול להפעלת דה-מורגן מבחוץ פנימה.‬
‫דוגמא: ‪¬))PQ)R)  ¬(PQ)¬R  )¬P¬Q(¬R‬‬

15. ‫צורות נורמליות - המשך‬
‫‪r¬q¬p‬‬ ‫פסוקית (‪ )clause‬היא דיסיונקציה של ליטרלים:‬
‫הגדרה. נוסחה בצורה קוניונקטיבית נורמאלית )‪ (CNF‬היא קוניונקציה של פסוקיות.‬
‫דוגמא: )‪(p¬qr)(rp) (r¬q¬p‬‬
‫מסקנה 2. כל נוסחה שקולה לנוסחה בצורת ‪.CNF‬‬
‫הוכחה.‬
‫נניח ש- ‪ f‬היא פונקצית אמת המוגדרת ע"י נוסחה ‪ ,¬B‬ו- ‪ Af‬היא הנוסחה‬
‫המקבילה ב-‪ . DNF‬אז ‪ ¬Af‬שקולה ל-‪ ,B‬וניתן להפוך ‪ ¬Af‬לנוסחה דואלית‬
‫בצורת ‪ CNF‬כי השלילה של נוסחה שקולה לנוסחה דואלית שבה כל משתנה‬
‫מוחלף בשלילה שלו, כל ‪ ‬מוחלף ב ‪ ‬ולהיפך כך שעוברים מ‪ DNF‬ל‪.CNF‬‬
‫‪CNF‬‬
‫‪p‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪A‬‬ ‫)‪A  (pq) )¬p¬q‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪pq‬‬ ‫כל פסוקית מתאים לשורה עם ערך ‪F‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫בטבלת אמת.‬
‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫לכל משתנה ‪ p‬אנו רושמים ‪ p‬אם ערכו‬
‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪¬p¬q‬‬ ‫‪ F‬ו- ‪ ¬p‬אם ערכו ‪ T‬בשורה זו.‬
‫אלגוריתמים לבניית ‪ DNF‬ו-‪CNF‬‬
‫• סילוק ‪ ‬ו- ‪;‬‬
‫• הכנסת שלילה פנימה (צורת ‪(NNF‬‬
‫• פריסה של ‪ ‬או ‪.‬‬
‫‪((p  q) ¬)q  r))  s‬‬ ‫דוגמה:‬
‫‪¬))p  q) ¬)q  r))  s‬‬
‫‪)¬)p  q) (q  r))  s‬‬
‫‪))¬p  ¬q( (q  r))  s‬‬
‫)‪)¬p  ¬q  s) ((q  r)  s‬‬
‫)‪)¬p  ¬q  s) (q  s)  (r  s‬‬

16. ‫פסוקיות הורן‬
‫פסוקית הורן )‪ (Horn clause‬היא פסוקית שמכילה לא יותר מליטרל חיובי אחד.‬
‫) ‪p¬q1...¬qn (  (q1... qn)  p‬‬
‫) ‪¬q1...¬qn (  (q1... qn)  ‬‬
‫)‪p (Tp‬‬
‫נוסחת הורן היא קוניונקציה של פסוקיות הורן.‬
‫אלגוריתם הכרעה לנוסחאות הורן‬
‫אלגוריתם ‪ HORN‬להכרעת ספיקות:‬
‫נסמן אטומים בנוסחת הורן לפי כללים הבאים:‬
‫נסמן ‪ T‬אם הוא קיים בנוסחה.‬ ‫1.‬
‫אם יש פסוקית ‪ (Q1... Qn)  P‬בנוסחה כך שכל ‪ Qi‬בו מסומן,‬ ‫2.‬
‫נסמן גם ‪ P‬ונחזור ל-2, אחרת נעבור ל-3.‬
‫הנוסחה היא ספיקה אם ורק אם ‪ ‬לא מסומן.‬ ‫3.‬
‫משפט. אלגוריתם ‪ HORN‬מכריע בעיית ספיקות לנוסחאות הורן.‬
‫הוכחה. אם בנוסחת הורן ‪ A‬יש ‪ n‬אטומים, האלגוריתם מסיים בלא יותר מ-)1+‪(n‬‬
‫צעדים. נוכיח:‬
‫כל ‪ P‬מסומן הוא אמיתי בכל מודל של ‪ A‬באינדוקציה על מספר הצעדים של‬
‫האלגוריתם. בסיס (צעד 1): ‪ T‬אמיתי בכל מודל.‬
‫אם בפסוקית ‪ (Q1... Qn)P‬כל ‪ Qi‬מסומן, אז גם הפסוקית וגם כל ‪( Qi‬בהנחת‬
‫אינדוקציה) חייבים להיות אמיתיים בכל מודל של ‪ .A‬לכן גם ‪ P‬חייב להיות‬
‫אמיתי בכל מודל של ‪ A‬וזה נובע ישירות מהגדרת האימפליקציה.‬
‫(א) אם ‪ ‬מסומן, ‪ A‬לא ספיקה, כי ‪ ‬לא יכול להיות אמיתי.‬
‫(ב) אם ‪ ‬לא מסומן, נגדיר פירוש ‪ l‬שבו האטומים המסומנים, ורק הם, אמיתיים.‬
‫נניח ש-‪ l‬הוא לא מודל של ‪ .A‬אז קיימת פסוקית ‪ (Q1... Qn)P‬של ‪ A‬שהיא‬
‫שקרית ב- ‪.l‬אבל זה אפשרי רק כאשר כל ‪ Qi‬אמיתי (מסומן) ו-‪ P‬שקרי (לא‬
‫מסומן) – סתירה זוהי סתירה לדרך בה הגדרנו את האלגוריתם, שכן בו אם‬
‫)‪ (Q1... Qn‬מסומנים אז נסמן גם את ‪ P‬ולכן ‪ P‬חייב להיות אמיתי במודל ‪I‬‬
‫ומכאן הסתירה. לכן ‪ l‬הוא מודל של ‪ A‬ומכאן ‪ A‬ספיקה.‬

17. ‫אלגוריתם הורן – הוכחת ההכרעה‬
‫באינדוקציה על מס' הצעדים‬
‫(הסבר נוסף)‬
‫טענה: במהלך האלגוריתם אנו מסמנים פסוקים ‪ P1... Pn‬הטענה שלנו היא‬
‫שכל פסוק שסומן אמיתי בכל מודל של ‪ – A( A‬הנוסחה שלנו).‬
‫נוכיח זאת באינדוקציה על מס' הצעדים של האלגוריתם.‬
‫בסיס: בצעד הראשון אנחנו מסמנים את ‪ T‬ו-‪ T‬אמיתי בכל מודל.‬
‫הנחה: בצעד ה-‪ ,n‬הפסוקים שסימנו עד כה אמיתיים בכל מודל של ‪.A‬‬
‫צעד: בצעד ה-1+‪ n‬נבדוק אם בפסוקית מסויימת מהצורה ‪(Q1... Qn)  P‬‬
‫כל ‪ Qi‬מסומן.‬
‫אם כולם מסומנים אז על מנת שהפסוקית תהיה אמת בהכרח ‪ P‬חייב‬
‫להיות אמת. אנו נמצאים ב‪ CNF‬ולכן ע"מ ש-‪ A‬יהיה אמיתי אז כל‬
‫הפסוקיות חיבות להיות אמיתיות (מתכונת הקוניונקציה), לכן על מנת ש‪A‬‬
‫יהיה אמיתי, ‪ P‬חייב להיות אמיתי ולכן ‪ P‬אמיתי בכל מודל של ‪.A‬‬
‫הוכחנו שכל פסוק שמסומן באלגוריתם אמיתי בכל מודל.‬
‫כעת נוכיח שכאשר האלגוריתם מסתיים, התשובה שהוא נותן נכונה.‬
‫מקרה א': ‪ ‬מסומן. אם כך, אז ‪ A‬לא ספיקה, כי ‪ ‬לא יכול להיות אמיתי, וזה‬
‫סותר את הטענה הקודמת.‬
‫מקרה ב': ‪ ‬לא מסומן. נגדיר פירוש ‪ l‬שבו האטומים המסומנים, ורק הם,‬
‫אמיתיים. נניח ש-‪ l‬הוא לא מודל של ‪ .A‬אז קיימת פסוקית ...‪(Q1‬‬
‫‪ Qn)P‬של ‪ A‬שהיא שקרית ב- ‪.l‬אבל זה אפשרי רק כאשר כל ‪ Qi‬אמיתי‬
‫(מסומן) ו-‪ P‬שקרי (לא מסומן) – סתירה זוהי סתירה לדרך בה הגדרנו את‬
‫האלגוריתם, שכן בו אם )‪ (Q1... Qn‬מסומנים אז נסמן גם את ‪ P‬ולכן ‪P‬‬
‫חייב להיות אמיתי במודל ‪ I‬ומכאן הסתירה.. לכן ‪ l‬הוא מודל של ‪ A‬ומכאן‬
‫‪ A‬ספיקה.‬