LIMIT FUNGSI (RPP & LKPD)

No. Dokumen : MA-FR-03-03-05 Tgl. Terbit : 01-01-2019 No. Revisi : 00 Hal :1/62
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
(RPP)
Nama Madrasah : MA Pondok Pesantren Al-Ikhlas Bone
Mata Pelajaran : Matematika Wajib
Kelas/Program : XI/MIPA
Semester : Genap
Materi Pokok : Limit Fungsi
Alokasi Waktu : ... JP (... Pertemuan)
A. Kompetensi Inti (KI)
1. Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.
2. Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong,
kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai
bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan
lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam
pergaulan dunia.
3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan
metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya,
dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait
penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang
kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.
4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan
pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan
kreatif serta mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.
B. Kompetensi Dasar dan Indikator Pencapaian Kompetensi :
Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi
3.7 Menjelaskan limit fungsi
aljabar (fungsi polinom
dan fungsi rasional)
secara intuitif dan
sifatsifatnya, menentukan
eksistensi.
3.7.1 Mengomunikasikan makna batas dalam konsep limit.
3.7.2 Menemukan contoh aplikasi limit fungsi dalam kehidupan
sehari-hari.
3.7.3 Menunjukkan limit kiri dan limit kanan pada suatu fungsi.
3.7.4 Menunjukkan limit suatu fungsi secara intuitif
berdasarkan gambar.
3.7.5 Menunjukkan bentuk tentu dan tak tentu suatu fungsi
pada titik tertentu dan menunjukkan dalam grafik.
3.7.6 Menemukan sifat-sifat limit suatu fungsi.
3.7.7 Menggunakan sifat-sifat suatu fungsi dalam menemukan
limit fungsi tersebut.
3.7.8 Menemukan limit suatu fungsi aljabar.

Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi
4.7 Menyelesaikan masalah
yang berkaitan dengan
limit fungsi aljabar.
4.7.1 Menggunakan konsep limit dalam menyelesaikan
masalah yang berkaitan dengan limit fungsi aljabar.
4.7.2 Menentukan limit suatu fungsi dengan menggunakan
cara pendekatan nilai, memfaktorkan atau dengan
pergantian fungsi.
C. Tujuan Pembelajaran :
Setelah mempelajari konsep limit fungsi melalui pengamatan, menalar, tanya jawab, mencoba
menyelesaikan persoalan, penugasan individu dan kelompok, diskusi kelompok, dan mengomu-
nikasikan pendapatnya, peserta didik dapat:
a. Menyebutkan contoh-contoh aplikasi limit fungsi dalam kehidupan sehari-hari
b. Menunjukkan limit kiri dan limit kanan pada suatu fungsi dengan tabel dan gambar.
c. Menunjukkan limit suatu fungsi secara intuitif berdasarkan gambar.
d. Memberi contoh fungsi yang mempunyai bentuk tentu dan tak tentu pada titik tertentu.
e. Menunjukkan bentuk tentu dan tak tentu suatu fungsi pada titik tertentu dan menunjukkan dalam
grafik.
f. Menemukan sifat-sifat limit suatu fungsi dan mengomunikasikannya dengan kata-kata sendiri.
g. Menggunakan sifat-sifat suatu fungsi dalam menemukan limit fungsi tersebut.
h. Menemukan limit suatu fungsi aljabar dengan pendekatan nilai dan manipulasi aljabar.
i. Menggunakan konsep limit dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi
aljabar (polinom dan rasional).
j. Menentukan limit suatu fungsi dengan menggunakan cara pendekatan nilai, memfaktorkan atau
dengan pergantian fungsi.
D. Materi Pembelajaran :
1. Fakta:
a. Konsep Limit Fungsi
Gambar 1: Sketsa pergerakan bola dan atlet voli
Seorang atlet bola voli sedang melakukan gerakan smash terhadap bola yang telah di-
over menuju ke arahnya. Atlet tersebut melompat dan bergerak menuju bola sehingga pada
saat tertentu dia akan menyentuh bola pada ketinggian tertentu, bukan? Atlet tersebut hanya
dapat menyentuh bola, jika ketinggian tangannya meraih bola sama dengan ketinggian bola.

Jika kita amati kasus ini dengan pendekatan koordinat, dapatkah kamu sketsa detik-detik
pergerakan bola dan atlet sampai tangan atlet menyentuh bola? Perhatikan gambar di atas!
Berdasarkan sketsa Gambar 1 kita dapat mengkaji lebih jauh gerakan objek tersebut
dengan memisalkan gerakan membentuk kurva atau sebuah fungsi. Dengan demikian, kita
akan lebih memahami konsep limit secara intuitif.
b. Menentukan Nilai Limit Fungsi
Gambar 2: Logam
Sebuah bidang logam dipanaskan di bagian tengah dan memuai sehingga mengalami
pertambahan luas sebagai fungsi waktu f(t) = 0,25t2 + 0,5t (cm2
). Kecepatan perubahan
pertambahan luas bidang tersebut pada saat t = 5 menit dapat diselesaikan menggunakan
konsep limit fungsi.
2. Konsep:
Misalkan 𝑓 sebuah fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 dan misalkan 𝐿 dan 𝑐 anggota himpunan bilangan real.
lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥) = 𝐿 jika dan hanya jika 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿 untuk semua 𝑥 mendekati 𝑐.
Catatan:
a. lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥) = 𝐿 dibaca limit fungsi 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 mendekati 𝑐 adalah 𝐿.
b. Kita menyatakan bahwa 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿 ketika 𝑥 mendekati 𝑐 yang terdefinisi pada
selang/interval yang memuat 𝑐 kecuali mungkin di 𝑐 sendiri.
c. Limit fungsi mempunyai sifat: lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥) = 𝐿 jika dan hanya jika lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥) = 𝐿 = lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥)
3. Prinsip:
Sifat 1
Misalkan 𝑓 suatu fungsi dengan 𝑓: 𝑅 → 𝑅 dan L, c bilangan real.
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥) = 𝐿, jika dan hanya jika 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐−
𝑓( 𝑥) = 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐+
𝑓( 𝑥).
Sifat 2
Misalkan 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi yang mempunyai limit pada 𝑥 mendekati c, dengan k dan c
adalah bilangan real serta n adalah bilangan bulat positif.
a. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑘 = 𝑘
b. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑥 = 𝑐
c. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
[ 𝑘𝑓( 𝑥)] = 𝑘 [lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥)]

d. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
[ 𝑓( 𝑥) ± 𝑔( 𝑥)] = [lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥)] ± [lim
𝑥→𝑐
𝑔( 𝑥)]
e. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
[ 𝑓( 𝑥) × 𝑔( 𝑥)] = [lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥)] × [lim
𝑥→𝑐
𝑔( 𝑥)]
f. lim
x→c
[
𝑓( 𝑥)
𝑔( 𝑥)
] = [
lim
x→c
𝑓( 𝑥)
lim
x→c
𝑔( 𝑥)
] dengan 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑔( 𝑥) ≠ 0
g. lim
x→c
[ 𝑓( 𝑥)]n = [lim
x→c
𝑓( 𝑥)]
n
h. lim
x→c
√𝑓( 𝑥)n
= √lim
x→c
𝑓( 𝑥)n
4. Prosedur:
Penyelesaian limit fungsi aljabar:
a. Cara Numerik
b. Cara substitusi langsung
c. Cara Pemfaktoran dan Cara Mengalikan dengan Faktor Sekawan
E. Metode dan Model Pembelajaran :
Model pembelajaran : Discovery Learning (Konsep Limit Fungsi)
Direct Instruction (Sifat-sifat Limit Fungsi)
Cooperative dengan strategi Quick on The Draw (Menghitung Nilai Limit)
Pendekatan : Scientific
Metode Pembelajaran : Diskusi, Tanya Jawab dan Penugasan
F. Media Pembelajaran :
Media : White Board, Tayangan Power Point dan Lembar Kerja Peserta Didik
Alat : Laptop, LCD
G. Sumber Belajar :
1. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2017 (Edisi Revisi 2017). Buku Guru Mata Pelajaran
Matematika (Wajib) kelas XI. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
2. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2017 (Edisi Revisi 2017). Buku Siswa Mata Pelajaran
Matematika (Wajib) kelas XI. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
3. Buku Pengayaan/Pendamping Buku Paket.
Djumanta W. dan R. Sudrajat. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 (BSE).
Jakarta: Pusat Perbukuan Dapartemen Pendidikan Nasional.
4. Kumpulan Soal-Soal UN atau SBMPTN.
H. Langkah-langkah Pembelajaran :
Konsep Limit Fungsi (Pertemuan ......../..... JP)
1. Kegiatan Pendahuluan (±15 menit):
Orientasi

a. Melakukan pembukaan dengan mengucapkan salam pembuka.
b. Meminta ketua kelas untuk memimpin doa sebelum memulai pembelajaran.
c. Memeriksa kehadiran peserta didik sebagai sikap disiplin.
d. Menyiapkan fisik dan psikis peserta didik dalam mengawali kegiatan pembelajaran.
Fase 1: Stimulation (Stimulasi/Pemberian Rangsangan)
Motivasi
a. Memberikan gambaran tentang pentingnya memahami konsep limit fungsi, serta memberikan
gambaran tentang penggunaannya dalam kehidupan sehari-hari.
b. Menyampaikan tujuan pembelajaran pada pertemuan yang berlangsung.
c. Mengajukan pertanyaan.
Apersepsi
a. Mengaitkan materi pembelajaran yang akan dilakukan dengan pengalaman peserta didik dengan
materi sebelumnya.
b. Mengingatkan kembali materi prasyarat dengan bertanya mengenai materi fungsi khsusunya
mengenai istilah domain dan range.
c. Mengajukan pertanyaan yang ada keterkaitannya dengan pelajaran yang akan dilakukan.
 Informasikan kepada peserta didik bahwa untuk mempelajari konsep limit fungsi sangat erat
kaitannya dengan materi fungsi di kelas X seperti istilah domain, range atau komposisi fungsi.
 Memberikan beberapa pertanyaan yang mengarah pada contoh yang berkaitan dengan limit
di kehidupan nyata:
 Pernahkah kalian mengungkapkan suatu kalimat yang memuat kata nyaris atau hampir?
Misalnya: Arim nyaris menjadi juara 1 di event olimpiade matematika tingkat provinsi,
sebab dari pengumuman diketahui bahwa selisih nilai Arim dengan sang juara 1 hanya
0,01.
 Bisakah kalian memberikan makna terhadap kata nyaris di kalimat tersebut?
 Berilah kesempatan kepada peserta didik untuk memikirkan makna kata nyaris/hampir yang
sering diungkapkan dalam percakapan di kehidupan sehari-hari.
 Informasikan kepada peserta didik bahwa kata nyaris/hampir tersebur berkaitan erat dengan
materi konsep limit fungsi yang akan dipelajari..
 Berdasarkan masalah dan kegiatan yang diberikan pada buku siswa, instruksikan peserta
didik agar mampu memahami materi konsep limit fungsi.
Pemberian Acuan
a. Memberitahukan materi pelajaran yang akan dibahas pada pertemuan saat itu.
b. Memberitahukan tentang kompetensi inti, kompetensi dasar, indikator, dan KKM pada pertemuan
yang berlangsung.
c. Pembagian kelompok belajar.
d. Menjelaskan mekanisme pelaksanaan pengalaman belajar sesuai dengan langkah-langkah
pembelajaran.

2. Kegiatan Inti (±60 menit):
 Peserta didik bergabung bersama teman kelompoknya dengan tertib dan hemat waktu.
 Peserta didik mendapatkan motivasi agar tetap tekun, serius dan kompak dalam belajar.
 Peserta didik memperhatikan ilustrasi untuk menanamkan konsep limit fungsi. Peserta didik di
arahkan memaknai kata nyaris dan hampir yang sering dipakai dalam percakapan sehari-hari
dan keterkaitannya dengan materi konsep limit fungsi..
 Peserta didik mencermati Informasi bahwa konsep limit fungsi hanya bisa dipelajari atau dikuasai
dengan baik, apabila peserta didik telah menguasai materi fungsi yang telah dipelajari di kelas X.
 Memaparkan mengenai notasi limit dan cara membacanya.
Fase 2: Problem Statement (Pernyataan/Identifikasi Masalah)
Gambar 6.1
a. Peserta didik diarahkan melihat dan diberi kesempatan mengamati gambar tersebut. Peserta
didik diberikan pertanyaan, apakah jika melihat benda yang bergerak semakin jauh maka ukuran
objek seakan-akan semakin kecil? Peserta didik diberi kesempatan untuk memberikan komentar!
b. Peserta didik memperhatikan dengan saksama informasi bahwa bukan ukuran benda yang
semakin kecil tetapi mata yang mempunyai batas melihat benda-benda yang jauh.
c. Peserta didik diarahkan memahami hubungan Gambar 6.1 dengan Gambar 6.2. Gambar 6.2
adalah sketsa sederhana visual bentuk badan jalan sesuai dengan Gambar 6.1 dengan posisi
memandang di tengah jalan, sehingga tampak lebar jalan seakan-akan menyempit dari kiri dan
kanan badan jalan. Tujuannya adalah memberikan ilustrasi pendekatan kiri dan kanan.
Konsep Limit Fungsi
Masalah 6.1
a. Peserta didik diarahkan memahami Masalah 6.1 dalam menemukan konsep limit. Beri kasus
yang sama dengan pendekatan ke bilangan yang lain.
b. Peserta didik diajak untuk mencari bilangan bulat yang dekat ke 3. Peserta didik diajak kembali
mencari bilangan real yang dekat ke 3. Peserta didik dipandu memahami dan mencari jawaban
dengan Gambar 6.3.
c. Berdasarkan Gambar 6.3, misalkan bilangan real yang dekat ke 3 adalah 2,75 atau 3,25. jika
interval 2,75 sampai 3,25 diperbesar sehingga diperoleh bahwa ada bilangan real lain yang lebih
dekat ke 3, tetapi jika diperbesar kembali interval 2,99 sampai 3,01 maka akan lebih mudah
melihat kembali bilangan yang dekat ke 3 dan seterusnya.
d. Peserta didik dituntun memahami bahwa banyak bilangan real yang sangat dekat ke 3.
e. Peserta didik dipandu memahami pemisalan x sebagai bilangan-bilangan yang mendekati 3
sehingga tertulis x → 3. Perkenalkan simbol ”x → 3”. Perkenalkan pendekatan kiri dengan simbol
”x → 3 serta pendekatan kanan dengan simbol ” x → 3”.
f. Peserta didik memperhatikan contoh kasus yang sama sebagai pembanding agar lebih mudah
memahami.
Masalah 6.2
a. Peserta didik memahami Masalah 6.2 dan memahami Gambar 6.4.

b. Peserta didik diarahkan untuk menganalisa maksud gambar bahwa andaikan gerak lintasan bola
dan gerak lintasan atlet dimisalkan kurva. Bola dan tangan atlet sama-sama bergerak saling
mendekati pada saat dan ketinggian tertentu. Peserta didik diarahkan memberikan ide-ide secara
bebas dan terbuka. Peserta didik dipandu untuk membangun sebuah konsep limit fungsi dan
pendefinisian tentang limit fungsi.
c. Peserta didik dipandu menjelaskan pergerakan bola menuju atlet dan pergerakan atlet menuju
bola akan bertemu disuatu saat, misalkan di saat tertentu itu adalah 𝑥 = 𝑐 dan ketinggian di saat
tertentu itu adalah 𝑦 = 𝐿. Arahkan kembali ke Gambar 6.4 (b).
Pemahaman Intuitif Limit Fungsi
Limit Fungsi untuk 𝒇( 𝒙) = 𝒙 + 𝟏 untuk 𝒙 ∈ ℝ
a. Peserta didik mengingat kembali konsep fungsi (daerah asal, daerah kawan, daerah hasil dan
sketsanya di bidang koordinat kartesius).
b. Peserta didik diarahkan memahami limit fungsi secara intuitif, dengan memperkenalkan limit kiri
dan limit kanan dengan mem perlihatkannya pada gambar. Peserta didik membuat kesepakatan
bahwa sebelah kiri suatu titik pada garis bilangan horizontal adalah kiri, dan arah sebaliknya
adalah kanan.
c. Peserta didik dipandu memahami limit secara intuitif pada 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 untuk 𝑥 ∈ 𝑅 berdasarkan
Tabel 6.1 dan Gambar 6.5.
d. Peserta didik memperhatikan demonstrasi proses pengisian setiap sel pada Tabel 6.1. Peserta
didik diarahkan mengamati gerakan bilangan dari kiri dan kanan bilangan 2.
e. Peserta didik menunjukkan dan menjelaskan pergerakan bilangan dari kiri dan kanan bilangan 2
di sumbu x akan mempengaruhi gerakan bilangan dari atas dan bawah bilangan 3 di sumbu y.
f. Peserta didik diberikan stimulus dan motivasi agar mengidentifikasi sebanyak mungkin perta-
nyaan yang berkaitan dengan materi yang telah didemonstrasikan oleh pendidik dan termotivasi
untuk bertanya.
g. Peserta didik mengajukan pertanyaan berdasarkan hasil identifikasinya dalam memahami
masalah.
h. Peserta didik lainnya diarahkan memberi komentar sebelum pendidik memberi tanggapan dan
jawaban atas pertanyaan yang diajukan.
i. Pendidik memperhatikan peserta didik yang belum berani memberi komentar dan mengarah-
kannya berkomunikasi.
Fase 3: Data Collection (Pangumpulan Data)
a. Dengan proses yang sama, peserta didik berdiskusi, menalar limit fungsi untuk:
𝑓( 𝑥) =
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
; 𝑥 ≠ 1, 𝑥 ∈ ℝ
b. Dengan panduan yang sama untuk 𝑓( 𝑥) =
𝑥2−1
𝑥−1
; 𝑥 ≠ 1, 𝑥 ∈ ℝ peserta didik mengamati Gambar
6.6 dan Tabel 6.2. arahkan peserta didik fokus mengamati nilai pendekatan ke-2 di sumbu 𝑥 dan
pendekatan ke-3 di sumbu 𝑦 pada Tabel 6.2.

c. peserta didik melakukan pengamatan pergerakan bilangan dari kiri dan kanan angka 1 di sumbu
𝑥 akan berpengaruh pada pergerakan bilangan dari atas dan bawah angka 2 di sumbu 𝑦.
d. Peserta didik mendiskusikan nilai 𝑓(1). Peserta didik mengamati hubungan Tabel 6.2 dan
Gambar 6.6.
e. Sesuai dengan hasil diskusi kelompok, peserta didik menyajikan pendapatnya atau memberi
komentar mereka akan limit fungsi 𝑓( 𝑥) =
𝑥2−1
𝑥−1
; 𝑥 ≠ 1, 𝑥 ∈ ℝ.
f. Peserta didik menjelaskan bentuk limit fungsi:
𝒇( 𝒙) = {
𝑥2 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≤ 1
𝑥 − 1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 > 1
; 𝑥 ∈ ℝ.
g. Peserta didik memperhatikan demonstrasi pendidik mengenai proses pengisian setiap sel pada
Tabel 6.3. Peserta didik diarahkan mengamati pergerakan bilangan dari kiri dan kanan bilangan 1
pada sumbu x dan pergerakan hasil f(1) pada sumbu y.
h. Peserta didik menuunjukkan dan menjelaskan gerakan bilangan dari kiri dan kanan bilangan 1 di
sumbu x akan berpengaruh pada gerakan bilangan dari atas dan bawah f(1) di sumbu y. Peserta
didik diarahkan untuk mencari nilai f(1)? dan dilanjutkan dengan memberi komentar tentang nilai
f(1) tersebut.
i. Peserta didik memperkuat pemahaman tentang limit kiri dan limit kanan dengan menggunakan
Gambar 6.7.
j. Peserta didik dipandu memahami bahwa fungsi tersebut tidak mempunyai limit di x = 1. Kenapa?
Peserta didik diperkenalkan bentuk tentu dan tak tentu suatu limit pada titik tertentu. pendidik
memberikan contoh-contoh fungsi yang dimaksud.
k. Peserta didik diberikan kesempatan untuk menjelaskan dengan kata-kata sendiri tentang limit kiri
dan limit kanan berdasarkan pemahaman pada contoh-contoh di atas.
l. Peserta didik bersama-sama membangun Definisi 6.1:
Misalkan 𝑓 sebuah fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 dan misalkan 𝐿 dan 𝑐 anggota himpunan bilangan real.
lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥) = 𝐿 jika dan hanya jika 𝑓(𝑥) mendekati 𝐿 untuk semua 𝑥 mendekati 𝑐.
Fase 4: Data Processor (Pengelolahan Data)
a. Untuk mendapatkan tingkat pemahaman peserta didik akan konsep limit fungsi, minta peserta
didik menyelesaikan masalah yang disajikan di LKPD (Kode 7a).
b. Peserta didik diarahkan untuk memanfaatkan materi pengantar konsep limit fungsi yang baru
saja dipelajari.
c. Peserta didik diharapkan dapat membentuk jejaring dengan berdiskusi dalam kelompoknya,
mengidentifikasi masalah dan menalar bagaimana cara menemukan solusi.
d. Peserta didik menuliskan informasi yang terdapat pada masalah tersebut secara teliti dengan
menggunakan bahasa sendiri yang mudah dipahami.
e. Peserta didik untuk mencermati dan memahami contoh 6.1.
f. Berkeliling ke semua kelompok untuk melihat diskusi yang dilakukan peserta didik, melihat
keterlibatan semua peserta didik dalam kelompok dan mengarahkan jika ada kelompok yang
melenceng dari pekerjaannya.

g. Kelompok yang mengalami kesulitan diberi bimbingan langsung oleh pendidik atau bimbingan
secara klasikal.
Fase 5: Verification (Pembuktian)
a. Menunjuk salah satu kelompok secara acak untuk mempresentasikan hasil diskusinya.
b. Kelompok yang terpilih, selanjutnya bermusyawarah dengan hemat waktu untuk menentukan
seorang diantara mereka yang akan bertindak sebagai juri bicara.
c. Juru bicara yang terpilih menyajikan hasil diskusi kelompoknya di depan kelas dan anggota
kelompok yang tidak bertindak sebagai juru bicara dipersiapkan untuk menjawab tanggapan
ataupun pertanyaan dari kelompok lain.
d. Kelompok lain diberikan kesempatan untuk mengajukan pertanyaan mengenai hal-hal yang tidak
dipahami atau terdapat hal-hal yang berbeda antara hasil diskusi dalam kelompok dan presentasi
yang telah dilakukan oleh juru bicara.
e. Anggota kelompok penyaji (kecuali presenter) diberikan kesempatan untuk menanggapi atau
memberi respons terhadap pertanyaan yang masuk.
f. Peserta didik dilibatkan untuk mengevaluasi jawaban kelompok penyaji serta masukan dari
peserta didik lain dan membuat kesepakatan, bila jawaban yang disampaikan sudah tepat.
3. Kegiatan Penutup (±15 menit):
Fase 6: Generalization (Menarik Kesimpulan/Generalisasi)
a. Peserta didik menalar dan membuat jejaring bersama pendidik dengan cara menyimpulkan dari
beberapa hasil presentasi tentang konsep limit fungsi dan cara menyelesaikan masalah terkait.
b. Memberi penegasan mengenai kesimpulan yang dikemukakan peserta didik.
c. Secara individu peserta didik melakukan refleksi (penilaian diri) tentang apa saja yang telah
dipelajari, mengidentifikasi manfaatnya, mengidentifikasi hal-hal yang sudah dan belum dipahami
untuk ditindak lanjuti.
d. Memberikan tugas.
e. Memberikan kuis.
f. Mengakhiri kegiatan belajar dan berpesan untuk mempelajari materi sifat-sifat limit fungsi yang
akan dibahas pada pertemuan selanjutnya.
g. Bersama-sama dengan peserta didik berdoa untuk bersyukur kepada Allah SWT telah diberi
pengetahuan tentang pembelajaran yang telah dilakukan.
h. Mengakhiri pembelajaran dengan mengucapkan salam.
Sifat-sifat Limit Fungsi (Pertemuan ......../..... JP)
Orientasi

Fase 1: Menyampaikan Tujuan dan Mempersiapkan Peserta Didik
Motivasi
a. Memberikan gambaran tentang pentingnya memahami sifat-sfat limit fungsi, serta memberikan
gambaran tentang penggunaannya dalam kehidupan sehari-hari.
Apersepsi
materi sebelumnya.
b. Mengingatkan kembali materi prasyarat dengan bertanya mengenai materi definisi limit, limit kiri
dan limit kanan.
 Informasikan kepada peserta didik materi sifat-sifat limit fungsi.
 Berikan kesempatan kepada peserta didik memikirkan sifat yang mungkin berlaku pada limit
fungsi, pandu peserta didik untuk mengungkapkan alasannya.
 Berdasarkan masalah dan kegiatan yang diberikan pada buku siswa, instruksikan peserta
didik agar mampu memahami materi sifat-sifat limit fungsi.
Pemberian Acuan
yang berlangsung.
pembelajaran.
 Peserta didik bergabung bersama teman kelompoknya dengan tertib dan hemat waktu.
 Peserta didik diarahkan menyebutkan sifat-sifat yang berlaku pada limit fungsi, peserta didik
dipandu untuk memberikan alasan terhadap sifat yang disebutkan.
Fase 2: Mendemonstrasikan Keterampilan atau Mempresentasikan Pengetahuan
a. Peserta didik mengingat kembali definisi limit fungsi, limit kiri dan limit kanan.
b. Peserta didik memperhatikan demonstrasi sifat-sifat yang berlaku pada limit fungsi secara
singkat, padat dan jelas.
c. Peserta didik diberikan kesempatan untuk mengajukan pertanyaan.
Fase 3: Membimbing Pelatihan
Sifat 1
a. Peserta didik mengingat kembali materi sebelumnya. Berdasarkan Gambar 6.1, Masalah 6.1,
Masalah 6.2, pemahaman limit fungsi secara intuitif serta Definisi 6.1, peserta didik diarahkan
untuk membangun Sifat 6.1.

Misalkan 𝑓 sebuah fungsi 𝑓: 𝑅 → 𝑅 dan 𝐿, 𝑐 bilangan real 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥) = 𝐿 jika dan hanya jika
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐−
𝑓( 𝑥) = 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥)
b. Peserta didik diperkenalkan mengenai simbol penulisan limit kiri 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥) dan limit kanan
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥).
Sifat 2
a. Peserta didik memperhatikan demonstrasi pendidik mengenai Contoh 6.2 dan mengamati Tabel
6.6. dengan menggunakan konsep limit, peserta didik diarahkan membangun sifat 6.2.
Misalkan 𝑓( 𝑥) = 𝑘 adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada 𝑥 mendekati 𝑐, dengan 𝑘
dan 𝑐 adalah bilangan real, maka 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑘 = 𝑘.
b. Peserta didik memperoleh pemahaman tambahan akan Sifat 6.2 dengan menggunakan gambar
fungsi 𝑦 = 𝑓( 𝑥) = 𝑘.
c. Peserta didik mengomunikasikan Sifat 6.2 dengan kalimat sendiri.
Sifat 3
6.7 dengan menggunakan konsep limit, peserta didik diarahkan membangun Sifat 6.3.
Misalkan 𝑓( 𝑥) = 𝑥 adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada 𝑥 mendekati 𝑐, dengan 𝑐
adalah bilangan real, maka 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑥 = 𝑐
fungsi 𝑦 = 𝑓( 𝑥) = 𝑘.
c. Peserta didik mengomunikasikan sifat 6.3 dengan kalimat sendiri.
Sifat 4
6.8 dengan menggunakan konsep limit, mengarahkan peserta didik membangun Sifat 6.4.
Misalkan 𝑓 adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada 𝑥 mendekati 𝑐, dengan 𝑘 dan 𝑐
𝑥→𝑐
[𝑘𝑓( 𝑥)] = 𝑘[𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥)]
fungsi 𝑦 = 𝑓( 𝑥) = 𝑘𝑥 dengan mengambil sebarang nilai 𝑘 bilangan real.
Sifat 5
Misalkan 𝑓, 𝑔 adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada 𝑥 mendekati 𝑐,
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
[𝑓( 𝑥) 𝑔(𝑥)] = [𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥)] [𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑔( 𝑥)]
fungsi 𝑓( 𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 dan 𝑔( 𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥.
Sifat 6

6.10 dan Tabel 6.11 dengan menggunakan konsep limit, mengarahkan peserta didik membangun
Sifat 6.6.
Misalkan 𝑓, 𝑔 adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada 𝑥 mendekati 𝑐, 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
[𝑓( 𝑥) ±
𝑔(𝑥)] = [𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥)] ± [𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑔( 𝑥)]
fungsi 𝑓( 𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 dan 𝑔( 𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥
Sifat 7
Misalkan 𝑓, 𝑔 adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada 𝑥 mendekati 𝑐, dengan 𝑐
𝑥→𝑐
[
𝑓( 𝑥)
𝑔( 𝑥)
] =
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥)
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑔( 𝑥)
; 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑔( 𝑥) ≠ 0
b. Peserta didik mengomunikasikan sifat 6.7 dengan kalimat sendiri.
Menalar 8
Misalkan 𝑓 adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada 𝑥 mendekati 𝑐, dengan 𝑐 adalah
bilangan real dan 𝑛 adalah bilangan positif maka 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
[ 𝑓( 𝑥)] 𝑛 = [𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥)] 𝑛
fungsi 𝑦 = 𝑓( 𝑥) = 8𝑥3.
Fase 4: Mengecek Pemahaman dan Memberikan Umpan Balik
a. Untuk mengecek tingkat pemahaman peserta didik mengenai sifat-sifat limit fungsi maka
pendidik membagikan LKPD (Kode 7b) kepada setiap kelompok untuk didiskusikan.
b. Peserta didik memperoleh motivasi agar terlibat aktif dalam memecahkan masalah, sebab
nantinya akan dipilih secara acak peserta didik untuk mempresentasikan hasil diskusinya..
c. Peserta didik memperhatikan dengan saksama informasi masalah yang akan diamati.
d. Peserta didik mengamati dan mencermati masalah.
e. Peserta didik menuliskan informasi yang diperoleh dari hasil mengamati masalah.
f. Peserta didik diberikan stimulus dengan cara memberikan pertanyaan yang memerlukan analisis,
misalnya sifat limit fungsi apa saja yang dibutuhkan untuk menyelesaikan masalah di LKPD.
g. Peserta didik menanya atau mendiskusikan (antar peserta didik dalam satu kelompok atau diluar
kelompok, dan/atau pendidik) tentang masalah yang diamati.
h. Peserta didik berdiskusi kelompok untuk menyelesaikan masalah.

i. Berkeliling ke semua kelompok untuk melihat diskusi yang dilakukan peserta didik, melihat
keterlibatan semua peserta didik dalam kelompok serta mengarahkan jika ada kelompok yang
j. Setiap kelompok diberikan kesempatan untuk mengamati, berpikir, dan bertanya berkaitan
dengan materi yang diberikan.
k. Peserta didik diarahkan untuk mengamati kembali contoh-contoh yang ada pada buku siswa.
l. Peserta didik diminta memanfaatkan semua sumber belajar yang dimiliki (termasuk buku atau
literatur lain yang berkaitan dengan masalah).
m. Kelompok yang mengalami kesulitan diberi bimbingan langsung atau bimbingan secara klasikal.
n. Kelompok yang telah menemukan penyelesaian masalahnya diinstruksikan untuk memeriksa
kembali secara detail solusi yang diperoleh.
o. Peserta didik yang ditunjuk sebagai ketua dalam kelompoknya diingatkan untuk meyakinkan
bahwa tiap anggota telah mengetahui dan memahami masalah yang didiskusikan.
Fase 5: Memberikan Kesempatan untuk Pelatihan Lanjutan dan Penerapan
a. Satu kelompok dipilih secara acak untuk mempresentasikan hasil diskusinya.
b. Kelompok yang terpilih, selanjutnya bermusyawarah dengan hemat waktu untuk menentukan
seorang diantara mereka yang akan bertindak sebagai juri bicara.
c. Juru bicara yang terpilih menyajikan hasil diskusi kelompoknya di depan kelas dan anggota
kelompok yang tidak bertindak sebagai juru bicara dipersiapkan untuk menjawab tanggapan
ataupun pertanyaan dari kelompok lain.
d. Kelompok lain diberikan kesempatan untuk mengajukan pertanyaan mengenai hal-hal yang tidak
dipahami atau terdapat hal-hal yang berbeda antara hasil diskusi dalam kelompok dan presentasi
yang telah dilakukan oleh juru bicara.
e. Anggota kelompok penyaji (kecuali presenter) diberikan kesempatan untuk menanggapi atau
memberi respons terhadap pertanyaan yang masuk.
f. Pendidik menjadi fasilitator dan menjaga keadaan kelas tetap terarah pada pembelajaran.
g. Pendidik mengamati kebenaran jawaban dan konsep.
h. Pendidik melakukan penilaian.
i. Peserta didik dilibatkan untuk mengevaluasi jawaban kelompok penyaji serta masukan dari
peserta didik lain dan membuat kesepakatan, bila jawaban yang disampaikan sudah tepat.
a. Peserta didik diminta menyimpulkan sifat-sifat limit fungsi dengan bahasa sendiri:
b. Memberi penegasan tentang kesimpulan yang telah disampaikan peserta didik.
d. Memberikan tugas.

e. Mengakhiri kegiatan belajar dan berpesan untuk mempelajari materi menentukan nilai limit fungsi
yang akan dibahas pada pertemuan selanjutnya.
f. Pendidik bersama-sama dengan peserta didik berdoa untuk bersyukur kepada Allah SWT telah
diberi pengetahuan tentang pembelajaran yang telah dilakukan.
g. Mengakhiri pembelajaran dengan mengucapkan salam.
Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Cara Pemfaktoran (Pertemuan ......../..... JP)
Orientasi
Fase 1: Menyampaikan Tujuan dan Memotivasi Peserta Didik
Motivasi
a. Memberikan gambaran tentang pentingnya memahami materi menentukan nilai limit fungsi
dengan cara pemfaktoran, serta memberikan gambaran tentang penggunaannya dalam kehi-
dupan sehari-hari.
Apersepsi
materi sebelumnya.
b. Mengingatkan kembali materi prasyarat dengan bertanya mengenai materi konsep dan sifat-sifat
limit fungsi.
 Informasikan kepada peserta didik macam-macam bentuk tak tentu.
 Berikan informasi tambahan kepada peserta didik bahwa suatu fungsi dapat terdefinisi pada
𝑥 = 𝑐 dapat pula tidak terdefinisi pada 𝑥 = 𝑐.
 Berikan penjelasan bahwa fungsi yang tidak terdefinisi tersebut memiliki bentuk tak tentu
seperti yang telah dipaparkan sebelumnya.
 Berikan stimulus kepada peserta didik untuk bertanya “apakah bentuk tak tentu tersebut
adalah nilai limit fungsi yang dimaksud”. Pandu peserta didik untuk mengemukakan cara
menemukan bentuk tentu dari suatu limit fungsi.
Pemberian Acuan
yang berlangsung.

pembelajaran.
Fase 2: Mendemosntrasikan Keterampilan atau Mempresentasikan Informasi
a. Peserta didik diberikan motivasi untuk menyelesaikan soal di bawah ini dengan menggunakan
sifat-sifat limit fungsi yang telah dipelajari sebelumnya:
lim
𝑥→2
𝑥2 − 3 dan lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
b. Peserta didik mengomunikasikan hasil yang diperoleh dari dua soal tersebut.
c. Peserta didik diberi kesempatan untuk mengomentari hasil yang diperoleh secara bergantian
dengan bahasa yang sopan dan hemat waktu.
d. Peserta didik memperhatikan dengan saksama penjelasan fungsi yang berbentuk tentu dan tak
tentu pada titik tertentu serta alasannya. Peserta didik mengamati bentuk tentu dan tak tentu
dengan gambar.
e. Peserta didik mencari fungsi lainnya yang mempunyai bentuk tentu dan tak tentu pada titik
tertentu dan memaparkannya. Peserta didik mengingat kembali sifat-sifat limit fungsi.
f. Peserta didik mendiskusikan proses penyelesaian Contoh 6.9 dan Contoh 6.10.
g. Peserta didik diarahkan untuk mendapatkan nila-nilai pada setiap sel pada Tabel 6.14, Tabel
6.15 dan Tabel 6.16.
h. Peserta didik mengamati pergerakan nilai x dan y mendekati dari kiri dan kanan pada Tabel 6.14,
mengamati pergerakan nilai x dan y mendekati1dari kiri dan kanan pada Tabel 6.15, dan
mengamati pergerakan nilai x dan y mendekati –1 dari kiri dan kanan Tabel 6.16.
i. Peserta didik untuk mengajukan pertanyaan terkait materi yang telah didemon-strasikan oleh
pendidik.
j. Pendidik mengamati peserta didik yang kurang aktif dalam pembelajaran.
k. Peserta didik diberikan kesempatan menjawab pertanyaan temannya, sebelum pendidik
memberikan penegasan.
Fase 3: Mengorganisasikan Peserta Didik ke dalam Kelompok
a. Peserta didik bergabung bersama teman kelompoknya dengan tertib dan hemat waktu.
b. Peserta didik diberikan motivasi agar tetap tekun, serius dan kompak dalam belajar.
Fase 4: Membimbing Kelompok Bekerja dan Belajar
a. Peserta didik menyelesaikan permasalahan yang serupa dengan materi yang didemonstrasikan
pendidik secara individu atau berkelompok.
b. Peserta didik diarahkan untuk berani menyampaikan hasil kerjanya.
c. Peserta didik mengerjakan Latihan 6.3 secara berkelompok dan menyajikan hasil kerjanya di
depan kelas.
d. Peserta didik diarahkan untuk menyelesaikan masalah tersebut dengan cara numerik dan
faktorisasi.
e. Peserta didik membaca dan mengikuti petunjuk yang ada pada buku siswa.

f. Satu atau dua peserta didik memaparkan hasil kerjanya secara hemat waktu dan menggunakan
bahasa yang sopan.
a. Peserta didik yang lain diberikan kesempatan untuk bertanya atau mengomentari hasil yang
diperoleh temannya.
b. Pendidik mengawasi jalannya proses pembelajaran dan memberikan motivasi pada peserta didik
yang belum menunjukkan sikap aktif.
c. Pendidik mengarahkan proses diskusi serta memberi penegasan terhadap solusi Latihan 6.3.
Menyelesaikan LKPD
a. Membagikan LKPD Kode 7c kepada masing-masing kelompok.
b. Peserta didik diarahkan untuk memanfaatkan informasi yang diperoleh dari beberapa contoh
menentukan nilai limit fungsi dengan cara faktorisasi.
c. Peserta didik diharapkan dapat membentuk jejaring dengan berdiskusi dalam kelompoknya,
d. Peserta didik menuliskan informasi yang terdapat pada masalah tersebut secara teliti dengan
e. Berkeliling ke semua kelompok untuk melihat diskusi yang dilakukan peserta didik, melihat
f. Kelompok yang mengalami kesulitan diberi bimbingan langsung atau bimbingan secara klasikal.
g. Peserta didik mengamati Contoh 6.11 dan Contoh 6.12 beserta alternatif penyelesaiannya pada
buku siswa.
h. Kelompok yang telah yakin dengan solusi yang diperoleh segera menuliskannya di LKPD .
Quick on The Draw
a. Jika setiap kelompok telah menyelesaikan masalah yang diberikan di LKPD maka pendidik
mempersiapkan kartu soal dengan warna yang berbeda untuk tiap kelompok.
b. Membagi tugas tiap peserta didik pada peserta kelompok serta menjelaskan aturan permainan.
Dengan kata “mulai”, pendidik mempersilahkan anggota bernomor satu dari tiap kelompok untuk
mengambil pertanyaan pertama di meja pendidik menurut warna yang telah ditentukan.
c. Memberikan motivasi dan semangat kepada peserta didik dalam menyelesaikan masalah.
d. Kelompok yang mengalami kesulitan diberi bimbingan oleh pendidik.
e. Setelah kartu soal pertama selesai dikerjakan, pendidik meminta anggota bernomor dua mewakili
untuk memberikan jawaban kelompoknya.
f. Memeriksa jawaban kelompok yang telah selesai mengerjakan kartu soal pertama, jika jawaban
benar maka pendidik mempersilahkan anggota kelompok bernomor dua untuk mengambil kartu
soal kedua. Begitu seterusnya sampai semua kartu soal selesai dikerjakan.
Fase 5: Evaluasi
a. Membahas solusi dari masalah pada kartu soal dengan cara menunjuk kelompok yang paling
sedikit menjawab kartu soal untuk menyampaikan jawaban dari kartu soal bernomor satu,

kemudian menunjuk kelompok urutan ke-2 dari yang paling sedikit menjawab kartu soal untuk
menyampaikan jawaban dari kartu soal bernomor dua dst.
b. Peserta didik diberi kesempatan untuk mengajukan pertanyaan.
c. Peserta didik diberi kesempatan untuk menjawab pertanyaan yang masuk.
d. Peserta didik dituntun menyimpulkan materi pelajaran dari hasil diskusi.
e. Peserta didik mengajukan pertanyaan, atau pendidik melemparkan beberapa pertanyaan.
Fase 6: Memberi Penghargaan
a. Memberikan pujian pada kelompok yang paling aktif dan paling banyak menjawab kartu soal
dengan tepat dan berpesan agar lebih semangat lagi pada pembelajaran berikutnya.
b. Memberikan motivasi kepada kelompok lain agar lebih tekun lagi sehingga dapat meraih prestasi.
beberapa hasil presentasi tentang menentukan nilai limit fungsi dengan cara faktorisasi.
d. Memberikan kuis
e. Memberikan tugas.
f. Mengakhiri kegiatan belajar dan berpesan untuk mempelajari materi menentukan nilai limit
dengan cara mengalikan faktor sekawan yang akan dibahas pada pertemuan selanjutnya.
Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Cara Mengalikan dengan Sekawan (Pertemuan ....../.....JP)
Orientasi
Fase 1: Menyampaikan Tujuan dan Memotivasi Peserta Didik
Motivasi
a. Memberikan gambaran tentang pentingnya memahami materi menentukan nilai limit fungsi
dengan cara mengali dengan faktor sekawan, serta memberikan gambaran tentang pengguna-
annya dalam kehidupan sehari-hari.

Apersepsi
materi sebelumnya.
b. Mengingatkan kembali materi prasyarat dengan bertanya mengenai materi konsep limit fungsi,
sifat-sifat limit fungsi dan menentukan nilai limit fungsi dengan cara pemfaktoran.
 Menginstruksikan peserta didik untuk menyelesaikan soal berikut:
lim
𝑥→2
𝑥 − 2
√ 𝑥 + 2 − 2
 Informasikan kembali macam-macam bentuk tak tentu.
 Pendidik menanyakan hasil dan cara yang digunakan peserta didik untuk memperoleh solusi.
 Berikan stimulus dengan mengajukan pertanyaan “apakah soal tersebut dapat diselesaikan
dengan cara pemfaktoran?”.
 Memberikan kesempatan peserta didik untuk memikirkan cara yang digunakan untuk mem-
peroleh bentuk tentu dari limit fungsi tersebut.
 Informasikan bahwa cara faktorisasi bukan satu-satunya cara yang dapat digunakan untuk
menemukan bentuk tentu dari suatu limit fungsi. Khusus pertemuan hari ini akan dibahas
cara mengalikan dengan faktor sekawan.
Pemberian Acuan
yang berlangsung.
pembelajaran.
Fase 2: Mendemosntrasikan Keterampilan atau Mempresentasikan Informasi
a. Peserta didik diberikan motivasi untuk menyelesaikan soal di bawah ini:
lim
𝑥→1
√3𝑥 − 1 − √ 𝑥 + 1
√2𝑥 − 1 − √ 𝑥
dan lim
𝑥→0
3 − √9 − 9𝑥
3𝑥
b. Peserta didik mengomunikasikan hasil yang diperoleh dari dua soal tersebut.
c. Peserta didik diberikan kesempatan untuk mengomentari hasil yang diperoleh secara bergantian
dengan bahasa yang sopan dan hemat waktu.
d. Peserta didik memperhatikan penjelasan bahwa jika lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥)
𝑔( 𝑥)
diperoleh bentuk tak tentu
0
0
untuk
𝑥 = 𝑐 dan sulit memfaktorkan 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥), lakukan perkalian dengan faktor sekawan dari 𝑔(𝑥)
atau 𝑓(𝑥).
e. Peserta didik menyelesaikan contoh soal yakni menyelesaikan soal yang diberikan pada bagian
apersepsi.

f. Peserta didik diarahkan untuk mengoreksi sendiri terlebih dahulu jawaban yang diperoleh berda-
sarkan pada demonstrasi materi yang telah dilakukan oleh pendidik.
g. Seorang peserta didik menuliskan jawabannya di papan tulis dan dilanjutkan dengan penjelasan
tahap demi tahap penyelesaian.
h. Pendidik memberi penegasan terhadap alternatif penyelesaian dari soal yang diberikan.
i. Peserta didik diarahkan untuk mengajukan pertanyaan terkait materi yang telah didemon-
strasikan oleh pendidik serta solusi yang dipresentasikan oleh temannya.
j. Pendidik mengamati peserta didik yang kurang aktif dalam pembelajaran.
k. Memberikan kesempatan peserta didik menjawab pertanyaan temannya, sebelum pendidik
memberikan penegasan.
Fase 3: Mengorganisasikan Peserta Didik ke dalam Kelompok
a. Peserta didik bergabung bersama teman kelompoknya masing-masing dengan tertib dan hemat
waktu.
b. Peserta didik diberikan motivasi agar tetap tekun, serius dan kompak dalam belajar.
Fase 4: Membimbing Kelompok Bekerja dan Belajar
a. Membagikan LKPD Kode 7d kepada masing-masing kelompok.
b. Peserta didik diharapkan dapat membentuk jejaring dengan berdiskusi dalam kelompoknya,
c. Peserta didik menuliskan informasi yang terdapat pada masalah tersebut secara teliti dengan
d. Berkeliling ke semua kelompok untuk melihat diskusi yang dilakukan peserta didik, melihat
e. Peserta didik diarahkan untuk memanfaatkan berbagai sumber belajar tersedia yang memuat
materi menentukan nilai limit fungsi dengan cara mengalikan faktor sekawan.
f. Kelompok yang mengalami kesulitan diberi bimbingan langsung atau bimbingan secara klasikal.
g. Kelompok yang telah yakin dengan solusi yang diperoleh segera menuliskannya di LKPD .
Quick on The Draw
a. Jika setiap kelompok telah menyelesaikan masalah yang diberikan di LKPD maka pendidik
mempersiapkan kartu soal dengan warna yang berbeda untuk tiap kelompok.
b. Membagi tugas tiap peserta didik pada peserta kelompok serta menjelaskan aturan permainan.
Dengan kata “mulai”, pendidik mempersilahkan anggota bernomor satu dari tiap kelompok untuk
mengambil pertanyaan pertama di meja pendidik menurut warna yang telah ditentukan.
c. Memberikan motivasi dan semangat kepada peserta didik dalam menyelesaikan masalah.
d. Kelompok yang mengalami kesulitan diberi bimbingan oleh pendidik.
e. Setelah kartu soal pertama selesai dikerjakan, pendidik meminta anggota bernomor dua mewakili
untuk memberikan jawaban kelompoknya.

f. Memeriksa jawaban kelompok yang telah selesai mengerjakan kartu soal pertama, jika jawaban
benar maka pendidik mempersilahkan anggota kelompok bernomor dua untuk mengambil kartu
soal kedua. Begitu seterusnya sampai semua kartu soal selesai dikerjakan.
Fase 5: Evaluasi
a. Membahas solusi dari masalah pada kartu soal dengan cara menunjuk kelompok yang paling
sedikit menjawab kartu soal untuk menyampaikan jawaban dari kartu soal bernomor satu,
kemudian menunjuk kelompok urutan ke-2 dari yang paling sedikit menjawab kartu soal untuk
menyampaikan jawaban dari kartu soal bernomor dua dst.
b. Peserta didik diberikan kesempatan untuk mengajukan pertanyaan.
c. Peserta didik diberikan kesempatan untuk menjawab pertanyaan yang masuk.
d. Peserta didik dituntun untuk menyimpulkan materi pelajaran dari hasil diskusi.
e. Peserta didik mengajukan pertanyaan, atau pendidik melemparkan beberapa pertanyaan.
Fase 6: Memberi Penghargaan
a. Memberikan pujian pada kelompok yang paling aktif dan paling banyak menjawab kartu soal
dengan tepat dan berpesan agar lebih semangat lagi pada pembelajaran berikutnya.
b. Memberikan motivasi kepada kelompok lain agar lebih tekun lagi sehingga dapat meraih prestasi.
beberapa hasil presentasi menentukan nilai limit fungsi dengan cara mengalikan faktor sekawan.
d. Memberikan kuis
e. Memberikan tugas.
f. Mengakhiri kegiatan belajar dan berpesan untuk mempelajari materi turunan yang akan dibahas
pada pertemuan selanjutnya.
I. Penilaian Hasil Pembelajaran :
1. Teknik Penilaian: melalui pengamatan dan tes tertulis
2. Prosedur Penilaian:
No Aspek yang Dinilai
Teknik
Penilaian
Waktu
Penilaian
1 Ketrampilan:
1. Terampil menggunakan konsep limit dalam
Pengamatan
Penyelesaian
kelompok dan

No Aspek yang Dinilai
Teknik
Penilaian
Waktu
Penilaian
menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan limit fungsi aljabar (polinom dan
rasional).
2. Terampil menentukan limit suatu fungsi
dengan menggunakan cara pendekatan
nilai, memfaktorkan atau dengan pergantian
fungsi.
saat diskusi
2 Pengetahuan:
1. Mengomunikasikan makna batas dalam
konsep limit.
2. Menemukan contoh aplikasi limit fungsi
dalam kehidupan sehari-hari.
3. Menunjukkan limit kiri dan limit kanan pada
suatu fungsi.
4. Menunjukkan limit suatu fungsi secara intuitif
berdasarkan gambar.
5. Menunjukkan bentuk tentu dan tak tentu
suatu fungsi pada titik tertentu dan
menunjukkan dalam grafik.
6. Menemukan sifat-sifat limit suatu fungsi.
7. Menggunakan sifat-sifat suatu fungsi dalam
menemukan limit fungsi tersebut.
8. Menemukan limit suatu fungsi aljabar.
Tes tertulis dan
Lisan
Penyelesaian
tugas kelompok
3. Instrumen Penilaian
a. Ketrampilan : Terlampir.
b. Pengetahuan : Terlampir.
Ujung, ........................................
Guru Mata Pelajaran,
MUH. ALFIANSYAH, S.Pd., M.Pd.

Lampiran A
Instrumen Penilaian Keterampilan
LEMBAR PENGAMATAN PENILAIAN KETERAMPILAN
Mata Pelajaran : Matematika
Materi : Limitf Fungsi
Kelas/Semester : XI/Genap
Tahun Pelajaran : ................................
Waktu Pengamatan : Penyelesaian Tugas Kelompok dan Saat Diskusi
No. Nama Peserta Didik
Skor Keterampilan
Jumlah NilaiMenggunakan
Konsep Limit
Menentukan Limit
Pendekatan Nilai Memfaktorkan Pergantian Fungsi

Indikator terampil menerapkan konsep limit fungsi.
1. Kurang terampil jika sama sekali tidak dapat menerapkan konsep dan strategi pemecahan masalah
yang relevan yang berkaitan dengan limit fungsi.
2. Cukup terampil jika menunjukkan mampu menerapkan konsep dan strategi pemecahan masalah
yang relevan yang berkaitan dengan limit fungsi namun membutuhkan waktu lebih lama.
3. Terampil, jika menunjukkan mampu menerapkan konsep dan strategi pemecahan masalah yang
relevan yang berkaitan dengan limit fungsi dalam waktu normal.
4. Sangat terampil, jika menunjukkan mampu menerapkan konsep dan strategi pemecahan masalah
yang relevan yang berkaitan dengan limit fungsi dalam waktu yang lebih singkat.
Indikator terampil menentukan limit suatu fungsi dengan menggunakan pendekatan nilai.
1. Kurang terampil jika sama sekali tidak dapat menentukan limit suatu fungsi dengan menggunakan
pendekatan nilai.
2. Cukup terampil jika menunjukkan mampu menentukan limit suatu fungsi dengan menggunakan
pendekatan nilai namun membutuhkan waktu lebih lama.
3. Terampil, jika menunjukkan mampu menentukan limit suatu fungsi dengan menggunakan
pendekatan nilai dalam waktu normal.
4. Sangat terampil, jika menunjukkan mampu menentukan limit suatu fungsi dengan menggunakan
pendekatan nilai dalam waktu yang lebih singkat.
Indikator terampil menentukan limit suatu fungsi dengan menggunakan memfaktorkan.
memfaktorkan.
memfaktorkan namun membutuhkan waktu lebih lama.
3. Terampil, jika menunjukkan mampu menentukan limit suatu fungsi dengan menggunakan
memfaktorkan dalam waktu normal.
memfaktorkan dalam waktu yang lebih singkat.
Indikator terampil menentukan limit suatu fungsi dengan menggunakan pergantian fungsi.
pergantian fungsi.
pergantian fungsi namun membutuhkan waktu lebih lama.
3. Terampil, jika menunjukkan mampu menentukan limit suatu fungsi dengan menggunakan pergantian
fungsi dalam waktu normal.
pergantian fungsi dalam waktu yang lebih singkat.

Lampiran B
Instrumen Penilaian Pengetahuan
TEKNIK TES TERTULIS
Satuan Pendidikan : MA Pondok Pesantren Al-Ikhlas Bone
Mata Pelajaran : Matematika
Kompetensi Dasar : 3.7. Menjelaskan limit fungsi aljabar (fungsi polinom dan fungsi rasional)
secara intuitif dan sifatsifatnya, menentukan eksistensi.
Indikator : 3.7.1 Mengomunikasikan makna batas dalam konsep limit.
3.7.2 Menemukan contoh aplikasi limit fungsi dalam kehidupan sehari-hari.
3.7.3 Menunjukkan limit kiri dan limit kanan pada suatu fungsi.
3.7.4 Menunjukkan limit suatu fungsi secara intuitif berdasarkan gambar.
3.7.5 Menunjukkan bentuk tentu dan tak tentu suatu fungsi pada titik tertentu
dan menunjukkan dalam grafik.
3.7.6 Menemukan sifat-sifat limit suatu fungsi.
3.7.7 Menggunakan sifat-sifat suatu fungsi dalam menemukan limit fungsi
tersebut.
3.7.8 Menemukan limit suatu fungsi aljabar
Materi : Limit Fungsi
Petunjuk:
1. Kerjakan soal berikut secara individu, dilarang bekerja sama dan dilarang menyontek.
2. Selesaikanlah soal-soal berikut ini.
A. Konsep Limit Fungsi (Pertemuan...............................)
Tunjukkan pada gambar berikut, fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) mempunyai nilai limit atau tidak pada saat 𝑥
medekati 𝑐! Berikan alasan!

B. Sifat-sifat Limit Fungsi (Pertemuan...............................)
Hitunglah nilai limit berikut dengan menggunakan teorema (sifat-sifat) limit dan berikan
penjelasannya!
1. lim
x→2
( 𝑥2 + 2𝑥 − 1)
2. lim
x→−1
2𝑥+1
𝑥2+3𝑥+4
C. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Cara Pemfaktoran (Pertemuan...............................)
Hitunglah nilai limit berikut!
1. lim
x→3
𝑥−3
𝑥2−9
2. lim
x→−
5
3
6𝑥2+𝑥−15
3𝑥+5
D. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Cara Mengalikan Faktor Sekawan
(Pertemuan...............................)
Hitunglah nilai limit berikut!
1.
1
3423
lim
1 

 x
xx
x
2.
2
23
lim
2
2 

 x
xx
x

ALTERNATIF PENYELESAIAN
TEKNIK TES TERTULIS
A. Konsep Limmit Fungsi
a. Grafik pada gambar ini memiliki nilai limit karena limit kirinya sama dengan limit kanannya, atau
dengan kata lain keduanya menuju suatu titik yang sama.
b. Grafik pada gambar ini tidak memiliki nilai limit karena limit kirinya tidak sama dengan limit
kanannya atau dengan kata lain keduanya menuju titik yang berbeda.
c. Grafik pada gambar ini tidak memiliki nilai limit karena limit kirinya dan limit kanannya tidak
bertemu ke sebuah titik, melainkan menuju ke tak berhingga.
d. Grafik pada gambar ini memiliki nilai limit karena limit kirinya sama dengan limit kanannya, yakni
menuju pada suatu titik yang sama, walaupun nilai fungsinya berbeda pada titik tersebut.
e. Grafik pada gambar ini bukanlah fungsi sehingga tidak mungkin memiliki nilai limit fungsi.
f. Grafik pada gambar ini tidak memiliki nilai limit karena limit kirinya dan limit kanannya tidak
menuju pada suatu titik yang sama, melainkan menuju tak hingga.
B. Sifat-sifat Limit Fungsi
1. Solusi
lim
x→2
( 𝑥2 + 2𝑥 − 1) = lim
x→2
𝑥2 + lim
x→2
2𝑥 − lim
x→2
1 (Sifat 4)
lim
x→2
( 𝑥2 + 2𝑥 − 1) = (lim
𝑥→2
𝑥)
2
+ 2.lim
x→2
𝑥 − 1 (Sifat 7, 3, dan 1)
lim
x→2
( 𝑥2 + 2𝑥 − 1) = (2)2 + 2.2 − 1 (Sifat 2)
lim
x→2
( 𝑥2 + 2𝑥 − 1) = 4 + 4 − 1 = 7
2. Solusi:
lim
x→−1
2𝑥 + 1
𝑥2 + 3𝑥 + 4
=
lim
x→−1
(2𝑥 + 1)
lim
x→−1
( 𝑥2 + 3𝑥 + 4)
(Sifat 6)
lim
x→−1
2𝑥 + 1
𝑥2 + 3𝑥 + 4
=
lim
x→−1
2𝑥 + lim
x→−1
1
lim
x→−1
𝑥2 + lim
x→−1
3𝑥 + lim
x→−1
4
(Sifat 4)
lim
x→−1
2𝑥 + 1
𝑥2 + 3𝑥 + 4
=
2. lim
x→−1
𝑥 + 1
( lim
x→−1
𝑥)
2
+ 3. lim
x→−1
𝑥 + 4
(Sifat 1,3, dan 7)
lim
x→−1
2𝑥 + 1
𝑥2 + 3𝑥 + 4
=
2.(−1) + 1
(−1)2 + 3.(−1) + 4
lim
x→−1
2𝑥 + 1
𝑥2 + 3𝑥 + 4
=
−2 + 1
1 − 3 + 4
=
−1
2
C. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Cara Pemfaktoran
1. Solusi:
lim
x→3
𝑥 − 3
𝑥2 − 9
= lim
x→3
𝑥 − 3
(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)
; 𝑥 ≠ 3

lim
x→3
𝑥 − 3
𝑥2 − 9
= lim
x→3
1
(𝑥 + 3)
lim
x→3
𝑥 − 3
𝑥2 − 9
=
1
6
2. Solusi
lim
x→−
5
3
6𝑥2 + 𝑥 − 15
3𝑥 + 5
= lim
x→−
5
3
(2𝑥 − 3)(3𝑥 + 5)
3𝑥 + 5
; 𝑥 ≠ −
5
3
lim
x→−
5
3
6𝑥2 + 𝑥 − 15
3𝑥 + 5
= lim
x→−
5
3
2𝑥 − 3
lim
x→−
5
3
6𝑥2 + 𝑥 − 15
3𝑥 + 5
= −
19
3
D. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Cara Mengalikan dengan Faktor Sekawan
3.
1
3423
lim
1 

 x
xx
x
=
1
3423
lim
1 

 x
xx
x
.
3423
3423


xx
xx
=
   
  34231
3423
lim
22
1 

 xxx
xx
x
=
  34231
1
lim
1 

 xxx
x
x
=
 
  34231
1
lim
1 

 xxx
x
x
=
3423
1
lim
1 

 xxx
=
31.421.3
1


=
11
1


=
11
1


=
2
1

4.
2
23
lim
2
2 

 x
xx
x
= 2
23
lim
2
2 

 x
xx
x
2
2
.


x
x
=
  
 2
2
2
2
223
lim



x
xxx
x
=
   
 2
221
lim
2 

 x
xxx
x
=   21lim
2


xx
x
=   022.12 

RUBRIK PENILAIAN TES TERTULIS
Konsep Limit Fungsi (Pertemuan .....................)
No. Aspek Penilaian Rubrik Penilaian Skor Skor Maksimal
1 Pemahaman
terhadap konsep
limit fungsi
Jawaban dan alasan benar. 5
5
Jawaban benar, namun alasan kurang tepat. 3
Jawaban benar, namun tidak menuliskan alasan. 2
Jawaban dan alasan salah. 1
Tidak ada respons jawaban. 0
Skor Maksimal 5
Skor Minimal 0
Catatan:
 Jadi, skor maksimal untuk keenam butir soal adalah 30.
Sifat-sifat Limit Fungsi & Menentukan Nilai Limit Fungsi (Pertemuan .......... & ...........)
No. Aspek Penilaian Rubrik Penilaian Skor Skor Maksimal
1 Pemahaman
terhadap konsep
limit fungsi
Penyelesaian dihubungkan dengan konsep limit
fungsi.
5
5
Sudah menghubungkan penyelesaian dengan
konsep limit fungsi namun belum benar.
3
Penyelesaian sama sekali tidak dihubungkan
dengan konsep limit fungsi.
1
Tidak ada respons jawaban. 0
2 Kebanaran
jawaban akhir soal
Jawaban benar 5
5
Jawaban hampir benar 3
Jawaban salah 1
Tidak ada respons jawaban 0
3 Proses
perhitungan
Proses perhitungan benar 5
5
Proses perhitungan sebagian besar benar 3
Proses perhitungan sebgaian kecil saja yang
benar
2
Proses perhitungan sama sekali salah 1
Tidak ada respons jawaban 0
Skor Maksimal 15
Skor Minimal 0
Catatan:
 Jadi, skor maksimal untuk kedua butir soal adalah 30.

TUGAS
A. Konsep Limit Fungsi (Pertemuan ...................)
Kerjakan Uji Kompetensi 6.1 (halaman 235-236) nomor 1 dan 2 pada buku siswa.
B. Sifat-sifat Limit Fungsi (Pertemuan ...................)
Kerjakan Uji Kompetensi 6.1(halaman 236) nomor 6 pada buku siswa.
C. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Cara Pemfaktoran (Pertemuan ...................)
Kerjakan Uji Kompetensi 6.2 (halaman 244-245) nomor 1, 2 dan 3 pada buku siswa.
D. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Cara Mengalikan Faktor Sekawan
(Pertemuan ...................)
1. lim
x→0
√ 𝑥−𝑥
√ 𝑥+𝑥
2. lim
x→1
1−√ 𝑥
1−𝑥2

Mata Pelajaran/Materi : Matematika/Limit Fungsi
Alokasi Waktu : 30 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡
Nama Kelompok : ......................................
Nama Anggota Kelompok
1.…………………………………
2.…………………………………
3.…………………………………
4.…………………………………
5.…………………………………
6.…………………………………
1. Melatih sikap sosial berani bertanya, berpendapat, mau mendengar orang lain, bekerja sama dalam
diskusi di kelompok sehingga terbiasa berani bertanya, berpendapat, mau mendengar orang lain,
bekerja sama dalam aktivitas sehari-hari.
2. Menunjukkan rasa ingin tahu selama mengikuti proses pembelajaran.
3. Bertanggung jawab terhadap kelompoknya dalam menyelesaikan tugasnya.
4. Menyebutkan contoh-contoh aplikasi limit fungsi dalam kehidupan seharihari
5. Menunjukkan limit kiri dan limit kanan pada suatu fungsi dengan tabel dan gambar.
6. Menunjukkan limit suatu fungsi secara intuitif berdasarkan gambar.
1. Bagaimana konsep limit fungsi?
2. Bagaimana sifat-sifat limit fungsi?
3. Bagaimana cara menentukan nilai limit fungsi yang berbentuk tentu dan tak tentu?
1. Kertas
2. Alat Tulis
1. Isilah nama dan anggota kelompoknya pada tempat yang telah disediakan.
2. Baca dan pahami pernyataan-pernyataan dari masalah yang disajikan dalam LKPD berikut, kemudian
pikirkan kemungkinan jawabannya.

3. Silahkan melakukan diskusi kelompok terhadap tugas telah disajikan tersebut dan catatlah jawaban
kalian pada tempat yang telah disediakan .
4. Jika terdapat masalah yang tidak dapat diselesaikan, tanyakan kepada guru.
5. Tugas dikerjakan selama maksimal 30 menit.
6. Setelah diskusi kelompok selesai, persiapkan seorang anggota kelompok untuk menjadi juru bicara.
7. Juru bicara yang terpilih akan mempresntasikan hasil diskusi dari kelompoknya, sementara anggota
kelompoknya mempersiapkan diri memberi jawaban atau tanggapan dari kelompok lain.
Berdasar mitologi Yunani, terdapat cerita tentang pahlawan
Perang Troya yang terkenal yaitu Achilles. Jago lari ini berlomba
lari dengan seekor kura‐kura yang telah menempati posisi
setengah dari jarak yang mesti ditempuh oleh Achilles.
Katakan saja jarak yang akan ditempuh keduanya 2 km.
Pada posisi start, Achilles berada 0 km dari titik start, sehingga
kura‐kura berada pada posisi 1 km di depannya. Kecepatan
Achilles dua kali kecepatan kura‐kura. Begitu Achilles sampai 1
km, kura‐kura telah sampai pada posisi 1,5 km. Pada saat
Achilles mencapai 1,5 km, kura‐kura telah sampai pada posisi
1,75 km. Begitu Achilles sampai di posisi 1,75 km, kura‐kura
telah sampai pada posisi 1,875 km.
1. Kalau kegiatan tersebut diteruskan secara terus‐menerus, apakah Achilles tidak akan pernah
dapat menyusul kura-kura? berikan komentar!
……………………………………………………………………………………………………………………..
.…………………………………………………………………………………………………………………….
..…………………………...........................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
2. Uraikanlah cerita tersebut dalam bentuk matematis.
……………………………………………………………………………………………………………………..
.…………………………………………………………………………………………………………………….
..…………………………...........................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
Jarak yang ditempuh achiles adalah:
1 + 1,5 + …. + …. + …. + …. + ….
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
Jadi, jarak yang ditempuh Achiles mendekati ………………………………………………….

Pandanglah suatu luasan berbentuk persegi yang sisinya 1 satuan panjang.
Suatu persegi panjang sisinya 1 satuan, sehingga luasnya 1 satuan luas.
Luas persegi yang diarsir tebal adalah
1
2
satuan luas.
1
2
+ ⋯ satuan luas.
1
2
+ ⋯+ ⋯ satuan luas.
Jadi hasil penjumlahan dari
1
2
+. .. …+. .. …+.. .… +.. .… +... …+. .. …+. ..… +.. .… + mendekati .....
∴ Pengertian limit secara intuitif berangkat dari pengertian mendekati dari dua kasus di atas.
Seorang Satpam berdiri mengawasi mobil
yang masuk pada sebuah jalan tol. Ia berdiri sambil
memandang mobil yang melintas masuk jalan
tersebut. Kemudian dia memandang terus mobil
sampai melintas di kejauhan jalan tol. Dia melihat
objek seakan akan semakin mengecil seiring
dengan bertambah jauhnya mobil melintas. Akhirnya
dia sama sekali tidak dapat melihat objek tersebut.
Coba kamu lihat gambar di atas. Kita melihat bahwa bukan hanya ukuran mobil di kejauhan yang
seakan-akan semakin kecil, tetapi lebar jalan raya tersebut juga seakan-akan semakin sempit.
1. Kemudian coba kamu analisis kembali gambar tersebut, secara visual, apakah perbandingan
ukuran lebar jalan dengan ukuran mobil tersebut tetap? Berikan komentarmu!
……………………………………………………………………………………………………………………..
.…………………………………………………………………………………………………………………….
..…………………………...........................................................................................................................
.................................................................................................................................................................

2. Jika kita analisis lebih lanjut, untuk pendekatan berapa meterkah jauhnya mobil melintas agar
penjaga pintu masuk jalan tol sudah tidak dapat melihatnya lagi?
……………………………………………………………………………………………………………………..
.…………………………………………………………………………………………………………………….
..…………………………...........................................................................................................................
Di bawah ini disajikan salah satu alternatif penyajian limit dengan bantuan grafik fungsi.
Pandanglah fungsi 𝑓( 𝑥) =
𝑥2−4
𝑥−2
dengan domain 𝐷ƒ = { 𝑥| 𝑥 ∈ 𝑅, 𝑥 ≠ 2}.
Pada 𝑥 = 2, nilai fungsi 𝑓(2) =
0
0
(tidak tentu)
Jika Anda mencari nilai‐nilai 𝑓(𝑥) untuk 𝑥
mendekati 2, tentukanlah nilai fungsi f(x)
di sekitar 𝑥 = 2 dengan mengisi tabel berikut.
Dari tabel di atas dapat disimpulkan bahwa untuk x mendekati 2 baik dari kiri maupun dari kanan,
nilai fungsi tersebut makin mendekati …., tetapi untuk 𝑥 = 2 nilai 𝑓( 𝑥) ….
Dari sini dapat dikatakan bahwa limit f(x) untuk x mendekati 2 sama dengan …, dan ditulis dengan
notasi:
lim
𝑥→2
𝑓( 𝑥) = lim
𝑥→2
𝑥2 − 4
𝑥 − 2
= ⋯
Pengertian limit yang seperti inilah yang disebut pengertian limit secara intuitif, yang secara umum
dapat kita nyatakan sebagai berikut.
Definisi limit secara intuitif, bahwa 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄
𝒇( 𝒙) = 𝑳 artinya bahwa bilamana 𝒙 ....................................
............................... 𝒄, maka nilai 𝒇(𝒙)....................................................... 𝑳.
Mari kita amati kembali konsep limit fungsi tersebut dengan
mengambil strategi numerik, berikut ini adalah langkah-langkahnya.
1. Tentukanlah titik-titik x yang mendekati c dari kiri dan kanan!
2. Hitung nilai f(x) untuk setiap nilai x yangdiberikan?
3. Kemudian amatilah nilai-nilai f(x) dari kiri dan kanan.
4. Ada atau tidakkah suatu nilai pendekatan f(x) pada saat x
mendekati c tersebut?

1. Perhatikan fungsi berikut:
a. Jika y = f(x) maka nilai-nilai pendekatan f(x) untuk nilai-nilai x mendekati 1 secara numerik
adalah:.....……………………………………………………………………………………………….
........……………………………………………………………………………………………………
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
b. Apakah fungsi f(x) mempunyai limit? berikan komentar:
....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................
c. Gambarkan grafik fungsi f(x) tersebut:

2. Perhatikan dan amati beberapa gambar berikut! Gambar manakah yang menunjukkan bentuk
fungsi yang mempunyai limit pada saat x mendekati c? Jelaskanlah jawabanmu?
……………………………………………………………………………………………………………………..
.…………………………………………………………………………………………………………………….
..…………………………...........................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
……………………………………………………………………………………………………………………..
.…………………………………………………………………………………………………………………….
..…………………………...........................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
..…………………………...........................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
..…………………………...........................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
T O K O H
Augustin Louis Cauchy (1789 – 1857), seseorang yang sangat
besar jasanya dalam pengembangan kalkulus. Definisi limit yang
kita kenal sekarang ini adalah salah satu hasil pemikiran
Cauchy.
Augustin Louis Cauchy lahir di Paris dan mengenyam
pendidikan di Ecole Polytechnique. Karena kesehatannya yang
buruk, maka dinasihati untuk memusatkan pikirannya pada
matematika saja. Salah satu penemuannya adalah kalkulus.
Secara historis, kalkulus telah ditemukan pada abad ketujuh
belas. Namun demikian, sampai pada masa
Cauchy dirasa bahwa landasan kalkulus dirasa belum mantap. Berkat upaya yang dilakukan oleh
Cauchy dan para sahabatnya seperti Gauss, Abel, dan Bolzano maka dapat ditentukan ketelitian
baku. Kepada Cauchy, kita patut berterima kasih atas andilnya meletakkan landasan yang kokoh
untuk pengembangan kalkulus yakni definisi konsep limit secara formal yang fundamental.

Nama Kelompok : ......................................
1.…………………………………
2.…………………………………
3.…………………………………
4.…………………………………
5.…………………………………
6.…………………………………
4. Menemukan sifat-sifat limit suatu fungsi dan mengomunikasikannya dengan kata-kata sendiri.
5. Menggunakan sifat-sifat suatu fungsi dalam menemukan limit fungsi tersebut.
1. Sifat-sifat apakah yang berlaku pada limit fungsi?
2. Bagaimanakah cara menggunakan sifat-sifat limit fungsi tersebut dalam menyelesaikan masalah?
1. Alat Tulis
2. Kertas
3. Penggaris
4. Kertas/buku berpetak

Misalkan f suatu fungsi dengan f : R → R dan L, c bilangan real.
lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥) = 𝐿 ika dan hanya jika ƒ(x) mendekati L untuk semua x mendekati c.
Masalah 1
a. Jika f(x) = 2 maka nilai pendekatan f(x) pada saat x mendekati 1 dapat ditunjukkan dengan
mengisi kolom-kolom pada tabel berikut. Diberikan beberapa nilai-nilai x yang mendekati 1.
Tabel Nilai pendekatan f(x) = 2, pada saat x mendekati 1
Apa yang kamu peroleh dari Tabel di atas?
Kita dapat mengamati pergerakan nilai-nilai x dan f(x) pada tabel tersebut, jika x mendekati 1
dari kiri dan kanan maka nilai y akan mendekati … dari kiri dan kanan. Hal ini dapat kita tuliskan
secara matematika, dengan,
lim
𝑋→1−
2 = ⋯ = lim
𝑋→1+
2 …… … (1)
b. Jika f(x) = x maka nilai pendekatan f(x) pada saat x mendekati 1 dapat ditunjukkan dengan
mengisi kolom-kolom pada tabel berikut.
Tabel Nilai pendekatan f(x) = x, pada saat x mendekati 1
Kita dapat mengamati pergerakan nilai-nilai x dan f(x) pada tabel tersebut. Perhatikanlah, jika x
mendekati 1 dari kiri dan kanan maka nilai y akan mendekati … dari kiri dan kanan. Hal ini dapat
ditulis secara matematika:
lim
𝑋→1−
𝑥 = ⋯ = lim
𝑋→1+
𝑥 … … … (2)
Berdasarkan (1) dan (2) secara induktif diperoleh sifat berikut.

Misalkan 𝑓 dan 𝑔 adalah fungsi yang mempunyai limit pada 𝑥 mendekati c, dengan k dan c adalah
bilangan real serta n adalah bilangan bulat positif.
1. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑘 = 𝑘
2. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑥 = 𝑐
3. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
[ 𝑘𝑓( 𝑥)] = 𝑘 [lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥)]
4. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
[ 𝑓( 𝑥) ± 𝑔( 𝑥)] = [lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥)] ± [lim
𝑥→𝑐
𝑔( 𝑥)]
5. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
[ 𝑓( 𝑥) × 𝑔( 𝑥)] = [lim
𝑥→𝑐
𝑓( 𝑥)] × [lim
𝑥→𝑐
𝑔( 𝑥)]
6. lim
x→c
[
𝑓( 𝑥)
𝑔( 𝑥)
] = [
lim
x→c
𝑓( 𝑥)
lim
x→c
𝑔( 𝑥)
] dengan 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑔( 𝑥) ≠ 0
7. lim
x→c
[ 𝑓( 𝑥)]n = [lim
x→c
𝑓( 𝑥)]
n
8. lim
x→c
√𝑓( 𝑥)n
= √lim
x→c
𝑓( 𝑥)n
Masalah 2
1. Jika 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 2𝑥 maka dengan menggunakan sifat-sifat limit dan strategi numerik nilai,
tunjukkanlah nilai pendekatan 𝑓(𝑥) pada saat 𝑥 mendekati 1.
Alternatif Penyelesaian
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
2. Jika 𝑓(𝑥) = 7𝑥5 maka dengan menggunakan sifat-sifat limit dan strategi numerik nilai,
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
3. Jika 𝑓(𝑥) = ( 𝑥3 − 1)( 𝑥2 − 3) maka dengan menggunakan sifat-sifat limit dan strategi numerik
nilai, tunjukkanlah nilai pendekatan 𝑓(𝑥) pada saat 𝑥 mendekati 0.
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
4. Jika 𝑓(𝑥) =
2
2𝑥2−𝑥
maka dengan menggunakan sifat-sifat limit dan strategi numerik nilai,
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
5. Jika 𝑓( 𝑥) = 𝑥5 − 𝑥4 + 3𝑥3 − 2𝑥2 − 2 maka dengan menggunakan sifat-sifat limit dan strategi
numerik nilai, tunjukkanlah nilai pendekatan 𝑓(𝑥) pada saat 𝑥 mendekati 1.
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................

Nama Kelompok : ......................................
1.…………………………………
2.…………………………………
3.…………………………………
4.…………………………………
5.…………………………………
6.…………………………………
4. Memberi contoh fungsi yang mempunyai bentuk tentu dan tak tentu pada titik tertentu.
5. Menunjukkan bentuk tentu dan tak tentu suatu fungsi pada titik tertentu dan menunjukkan dalam
grafik.
6. Menemukan limit suatu fungsi aljabar dengan pendekatan nilai dan manipulasi aljabar.
7. Menggunakan konsep limit dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi aljabar
(polinom dan rasional).
8. Menentukan limit suatu fungsi dengan menggunakan cara pendekatan nilai, memfaktorkan atau
dengan pergantian fungsi.
1. Bagaimanakah yang dimaksud dengan bentuk tentu dan tak tentu pada limit fungsi?
2. Bagaimanakah cara mencari bentuk tentu pada limit fungsi?.
3. Bagaimanakah cara menentukan nilai limit fungsi dengan cara faktorisasi?
1. Alat Tulis
2. Kertas

Sebuah pesawat berpenumpang akan men-
darat di landasan pacu dalam jarak sekitar 500
meter semakin dekat ke landasan. Berapakah
besarnya kecepatan pesawat pada saat telah
mendarat jika fungsi kecepatan saat pesawat
akan mendarat adalah:
𝑓( 𝑠) =
𝑠2 − 497𝑠 − 1500
𝑠 − 500
Alternatif Penyelesaian:
……………………………………………………………………………...……………………………………
……………………………………………………………………...……………………………………………
……………………………………………………………...……………………………………………………
……………………………………………………...……………………………………………………………
……………………………………………...…………………………….......................................................
......................................................................................................................................................................
……………………………………………………………………………...……………………………………
……………………………………………………………………...……………………………………………
……………………………………………………………...……………………………………………………
……………………………………………………...……………………………………………………………
……………………………………………………...……………………………………………………………
Jika lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥) = 0 dan lim
𝑥→𝑎
𝑔( 𝑥) = 0 Sehingga lim
𝑥→𝑎
𝑓( 𝑥)
𝑔(𝑥)
=
0
0
maka harus diuraikan𝑓(𝑥) atau 𝑔(𝑥) terlebih
dahulu.

Hitunglah nilai limit fungsi berikut!
1. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥2−4
𝑥−2
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
2. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥2−5𝑥+6
𝑥2+3𝑥−10
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
3. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→4
𝑥3−64
𝑥−4
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
4. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑥2−6𝑥+8
𝑥−2
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................

LIMIT FUNGSI (RPP & LKPD)

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à LIMIT FUNGSI (RPP & LKPD)

Similaire à LIMIT FUNGSI (RPP & LKPD) (20)

Plus de Muhammad Alfiansyah Alfi

Plus de Muhammad Alfiansyah Alfi (20)

Dernier

Dernier (20)

LIMIT FUNGSI (RPP & LKPD)