The proof of pointwise estimates of slutions to the wave equation in even space dimensions (Japanese).

1. Theorem 5 の証明（n が偶数のとき）
（続き）
Case 2（t ≥ max{1, 4R} かつ |t − |x|| < 2R のとき）
この領域では 1 ≤ (1 + |t − |x||) ≤ 1 + 2R なので，
|u(t, x)| ≤ Ct− n−1
2
を示せばよい．
解表示の第 2 項を計算すると，
1
t
∂t
n−2
2
tn−1
Z
|y|≤1
u1(x + ty)
p
1 − |y|2
dy
≤
n−2
2
X
ℓ=0
tℓ+1
Z
|y|≤1
1
p
1 − |y|2
X
|α|=ℓ
Cα∂α
u1(x + ty)yα
dy .
∵ ℓ 回の微分が u1 にかかり，残りの n−2
2 − ℓ 回の微分が t のべきにかかる．最
終的な t のべきは，
n − 1 −
n − 2
2
−
n − 2
2
− ℓ
= ℓ + 1.
奏理音ムイ（Vtuber） 1 / 7

2. z = ty と変数変換すると，
n−2
2
X
ℓ=0
tℓ+1
Z
|y|≤1
1
p
1 − |y|2
X
|α|=ℓ
Cα∂α
u1(x + ty)yα
dy
≤
n−2
2
X
ℓ=0
tℓ+1
X
|α|=ℓ
Cα
Z
|z|≤t
1
p
1 − |z|2/t2
∂α
u1(x + z)
z
t
α
t−n
dz
≤ C
n−2
2
X
ℓ=0
tℓ−n+2
X
|α|=ℓ
Z
|z|≤t
1
p
t2 − |z|2
∂α
u1(x + z)
z
t
α
dz
= C
n−2
2
X
ℓ=0
tℓ−n+2
X
|α|=ℓ
Z
|z|≤t
1
p
t − |z|
1
p
t + |z|
∂α
u1(x + z)
z
t
α
!
dz .
次にこの積分の部分を評価する．
奏理音ムイ（Vtuber） 2 / 7

3. 極座標変換と部分積分により，
Z
|z|≤t
1
p
t − |z|
1
p
t + |z|
∂α
u1(x + z)
z
t
α
!
dz
=
Z t
0
Z
|ω|=1
1
√
t − ρ
1
√
t + ρ
∂α
u1(x + ρω)
ρω
t
α
ρn−1
dσ(ω)dρ
=
Z t
0
Z
|ω|=1
∂ρ −2
√
t − ρ
1
√
t + ρ
∂α
u1(x + ρω)
ρω
t
α
ρn−1
dσ(ω)dρ
= 2
Z t
0
Z
|ω|=1
√
t − ρ ∂ρ
1
√
t + ρ
∂α
u1(x + ρω)
ρω
t
α
ρn−1
dσ(ω)dρ.
次に
∂ρ
1
√
t + ρ
∂α
u1(x + ρω)
ρω
t
α
ρn−1
の部分を評価する．
奏理音ムイ（Vtuber） 3 / 7

4. 2
Z t
0
Z
|ω|=1
√
t − ρ ∂ρ
1
√
t + ρ
∂α
u1(x + ρω)
ρω
t
α
ρn−1
dσ(ω)dρ.
ここで，Case 2 の条件（t ≥ max{1, 4R} かつ |t − |x|| 2R）を思い出す．上の
積分範囲において，|x + ρω| ≤ R と |x| ≥ t − 2R が成立していることから
ρ = |ρω| ≥ |x| − |x + ρω| ≥ t − 2R − R = t − 3R ≥
t
4
.
すなわち t ≥ ρ ≥ t/4 が成立している．これより，
∂ρ
1
√
t + ρ
≤ Ct− 3
2 ,
∂ρ
ρω
t
α
ρn−1
≤ C
ρ|α|+n−2
t|α|
≤ C
ρn−1
t
.
つまり，∂α
u1(x + ρω) 以外の項に ∂ρ が作用すると t のべきが一つ落ちる（良く
なる）
．また， √
t − ρ ≤
p
t − (t − 3R) ≤
√
3R
が成立することにも注意する．
奏理音ムイ（Vtuber） 4 / 7

5. したがって，
2
Z t
0
Z
|ω|=1
√
t − ρ ∂ρ
1
√
t + ρ
∂α
u1(x + ρω)
ρω
t
α
ρn−1
dσ(ω)dρ
≤ Ct− 1
2
X
|α|≤ℓ+1
∥∂α
u1∥L1 .
以上より，解表示の第 2 項は，
1
t
∂t
n−2
2
tn−1
Z
|y|≤1
u1(x + ty)
p
1 − |y|2
dy
≤ C
n−2
2
X
ℓ=0
tℓ−n+2
X
|α|=ℓ
Z
|z|≤t
1
p
t − |z|
1
p
t + |z|
∂α
u1(x + z)
z
t
α
!
dz
≤ C
n−2
2
X
ℓ=0
tℓ−n+ 3
2
X
|α|≤ℓ+1
∥∂α
u1∥L1
≤ Ct− n−1
2
X
|α|≤ n
2
∥∂α
u1∥L1 .
奏理音ムイ（Vtuber） 5 / 7

6. 同様にして，解表示の第 1 項について，
∂t
1
t
∂t
n−2
2
tn−1
Z
|y|≤1
u0(x + ty)
p
1 − |y|2
dy ≤ Ct− n−1
2
X
|α|≤ n+2
2
∥∂α
u0∥L1
を得る（必要な微分回数が一つ増えるだけ）
．
奏理音ムイ（Vtuber） 6 / 7

7. Case 3（t ≤ max{1, 4R} のとき）
この領域では
|u(t, x)| ≤ C
を示せばよい．Case 2 の最初と全く同様に計算した後，Case 3 の条件を使えば，
1
t
∂t
n−2
2
tn−1
Z
|y|≤1
u1(x + ty)
p
1 − |y|2
dy
≤
n−2
2
X
ℓ=0
tℓ+1
Z
|y|≤1
1
p
1 − |y|2
X
|α|=ℓ
Cα∂α
u1(x + ty)yα
dy
≤ C
X
|α|≤ n−2
2
∥∂α
u1∥L∞
Z
|y|≤1
dy
p
1 − |y|2
≤ C
X
|α|≤ n−2
2
∥∂α
u1∥L∞ .
同様に， ∂t
1
t
∂t
n−2
2
tn−1
Z
|y|≤1
u0(x + ty)
p
1 − |y|2
dy ≤ C
X
|α|≤ n
2
∥∂α
u0∥L∞ .
奏理音ムイ（Vtuber） 7 / 7