Finite propagation property and the Huygens principle for the wave equation (in Japanese)

1. 有限伝播性と Huygens の原理
n ≥ 2 とし，空間 n 次元の波動方程式の初期値問題を考える．





∂2
u
∂t2
(t, x) − ∆u(t, x) = 0, (t, x) ∈ Rn+1
,
u(0, x) = u0(x),
∂u
∂t
(0, x) = u1(x), x ∈ Rn
.
Theorem 3 (有限伝播性)
初期値は u0 ∈ C[n
2 ]+2
(Rn
), u1 ∈ C[n
2 ]+1
(Rn
) をみたし（Theorems 1,2 の仮定）
，
さらに台がコンパクト：
∃R > 0 s.t. supp u0, supp u1 ⊂ {x ∈ Rn
; |x| < R}
であるとする．このとき，任意の t ≥ 0 に対し，
supp u(t, ·) ⊂ {x ∈ Rn
; |x| < t + R}.
奏理音ムイ（Vtuber） 1 / 5
興
ー

2. 証明
Theorems 1, 2 により，奇数次元・偶数次元のとき解 u はそれぞれ
u(t, x) =
1
(n − 2)!!ωn
%
∂t
&
1
t
∂t
'n−3
2
(
tn−2
)
|y|=1
u0(x + ty) dσ(y)
*
+
&
1
t
∂t
'n−3
2
(
tn−2
)
|y|=1
u1(x + ty) dσ(y)
*+
,
u(t, x) =
2
(n − 1)!!ωn+1
%
∂t
&
1
t
∂t
'n−2
2
(
tn−1
)
|y|≤1
u0(x + ty)
,
1 − |y|2
dy
*
+
&
1
t
∂t
'n−2
2
(
tn−1
)
|y|≤1
u1(x + ty)
,
1 − |y|2
dy
*+
で与えられた．
奏理音ムイ（Vtuber） 2 / 5

3. ここで，|x| ≥ t + R とすると，任意の |y| ≤ 1 に対し
|x + ty| ≥ |x| − t|y| ≥ |x| − t ≥ R
となり，初期値の台の条件 supp u0, supp u1 ⊂ {x ∈ Rn
; |x| < R} から解表示の
積分について
)
|y|=1
uj (x + ty) dσ(y) = 0,
)
|y|≤1
uj (x + ty)
,
1 − |y|2
dy = 0 (j = 0, 1)
となる．したがって u(t, x) = 0 となる．
奏理音ムイ（Vtuber） 3 / 5

4. Theorem 4 (Huygens の原理)
Theorem 3 の仮定のもと，さらに n が 3 以上の奇数ならば，任意の t ≥ 0 に対し
supp u(t, ·) ⊂ {x ∈ Rn
; t − R < |x| < t + R}
が成立する．
奏理音ムイ（Vtuber） 4 / 5
"
I
11
"

5. 証明
奇数次元 (n ≥ 3) での解表示
u(t, x) =
1
(n − 2)!!ωn
%
∂t
&
1
t
∂t
'n−3
2
(
tn−2
)
|y|=1
u0(x + ty) dσ(y)
*
+
&
1
t
∂t
'n−3
2
(
tn−2
)
|y|=1
u1(x + ty) dσ(y)
*+
,
において，|x| < t − R とすると，任意の |y| = 1 に対し
|x + ty| ≥ t|y| − |x| = t − |x| > t − (t − R) = R
となり，初期値の台の条件から
)
|y|=1
uj (x + ty) dσ(y) = 0 (j = 0, 1)
を得る．したがって u(t, x) = 0．
奏理音ムイ（Vtuber） 5 / 5

6. 注意
Theorems 1,2 の解表示は t ≤ 0 でも成立する（波動方程式の時間反転対称性）こ
とから，t ≤ 0 でも有限伝播性：
supp u(t, ·) ⊂ {x ∈ Rn
; |x| < |t| + R}
および奇数次元（n ≥ 3）における Huygens の原理：
supp u(t, ·) ⊂ {x ∈ Rn
; |t| − R < |x| < |t| + R}
が得られる．
奏理音ムイ（Vtuber） 6 / 5
*
"
N
1 ll 1 ,