O documento discute conceitos fundamentais da trigonometria como ciclo trigonométrico, arco trigonométrico e a associação de números reais a pontos no ciclo. Explica que no ciclo trigonométrico o raio é considerado a unidade de medida e que a medida de qualquer arco é numericamente igual à sua medida em radianos. Apresenta exemplos de como marcar pontos correspondentes a números no ciclo.

2. Relacionando lados e ângulos
 Até agora trabalhamos com o conceito de arco
geométrico. A medida de um arco geométrico é
restrita ao intervalo [0, 2π].
 A partir de agora vamos atribuir um significado a
medidas de arcos fora daquele intervalo. Passarão
a fazer sentido, então, medidas de arcos menores
que 0 e maiores que 2π.
 Para chegar a essa generalização, introduziremos
dois conceitos importante: arco trigonométrico e
ciclo trigonométrico.

3. Ciclo trigonométrico
a
b
O A
B
1
A’
B’
1
–1
–1
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante

4. Ciclo trigonométrico
 No ciclo trigonométrico, o raio é considerado
como unidade de medida.
 Sendo o raio r = 1, o comprimento do ciclo é:
 C = 2πr = 2π.1 = 2π. Isso significa que
O comprimento de um arco qualquer do ciclo é
numericamente igual à sua medida, em radianos.
 Por isso, vamos deixar de usar, a partir de agora, o
símbolo rad, ao expressar a medida de um arco em
radianos.

5. Associando números a pontos do ciclo
 A cada número real x, vamos associar a um ponto
do ciclo trigonométrico.
a
b
O A
B
A’
B’
+
–
Origem
1. Ao número real x = 0,
associamos o ponto
A, origem do ciclo.
2. A um número real x
qualquer associamos
um ponto P, final do
percurso sobre o
ciclo.
3. O ponto P é chamado
de imagem de x no
ciclo trigonométrico.

6. B’
A’
Exemplos
 Marcar no ciclo trigonométrico, as imagens dos
números inteiros 0, 1 ,2, 3, 4, 5 e 6 e dos
irracionais π/2, π, 3π/2 e 2π.
O A
B
+
0
1
2
3
4
5
6
π/2
π
3π/2
2π
 Os números reais
que acabamos de
marcar pertencem à
1ª volta positiva do
ciclo. Corresponde ao
intervalo [0, 2π[.

7. –2π
B’
A’
Exemplos
 Marcar no ciclo trigonométrico, as imagens dos
números inteiros –1, –2, –3, –4, –5 e –6 e dos
irracionais –π/2, –π, –3π/2 e –2π.
O A
B
–
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–3π/2
–π
–π/2
 Os números reais
que acabamos de
marcar pertencem à
1ª volta negativa do
ciclo. Corresponde ao
intervalo [–2π, 0[.

8. B’
A’
Exemplos
 Marcar no ciclo trigonométrico e identificar o
quadrante a que pertence a imagem do real 4π/3.
O A
B
+
P
4π/3
4π
3
rad = 4
3
.180º = 240º

9. B’
A’
Exemplos
 Marcar no ciclo trigonométrico e identificar o
quadrante a que pertence a imagem do real –π/4.
O A
B
–P
-π/4
–π
4
rad =–1
4
.180º = –45º

10. Q
5
Exemplos
 Um pentágono regular está inscrito no ciclo
trigonométrico conforme figura. Determine os
números reais que tem como imagem cada vértice
do pentágono.
B’
A’ O A
B
P
R S
PB = BQ = QR = RS = SP =
2π
P:
π
2
–
2π
5
=
π
10
Q:
π
2
+
2π
5
=
9π
10
R: 9π
10
+
2π
5
=
13π
10
S: 13
π10
+
2π
5
=
17π
10

11. Observação
 Os pontos A, B, A’ e B’ na figura dividem o ciclo
trigonométrico em 4 partes iguais. Cada parte mede
π/2 ou 90º. Veja
B’
A’ A
B
π/2
0
π
3π/2
O
+

12. Observação
 Os pontos A, P, Q, A’, R e S na figura dividem o ciclo
trigonométrico em 6 partes iguais. Cada parte mede
π/3 ou 60º. Veja
A’ A
P
π/3
0
2π/3
π O
+
4π/3 5π/3
Q
R S

13. 5π/4
R
Observação
 Os oito pontos assinalados na figura dividem o ciclo
trigonométrico em 8 partes iguais. Cada parte mede
π/4 ou 45º. Veja
A’ A
P
π/4
0
3π/4
π O
+
7π/4
Q
S
B’
B
π/2
3π/2

14. Observação
 Os pontos A, P, Q, A’, R e S na figura dividem o ciclo
trigonométrico em 6 partes iguais. Cada parte mede
π/3 ou 60º. Percorrendo o ciclo no sentido negativo
fica:
A’ A
P
–7π/3
0
–5π/3
–π O
–2π/3 –π/3
Q
R S
–