Dokumen tersebut membahas tentang vektor, termasuk aturan segitiga dan jajargenjang untuk penjumlahan vektor secara geometris, serta penjumlahan dan pengurangan vektor secara aljabar. Dokumen tersebut juga membahas perkalian vektor dan skalar serta persamaan garis dan bidang di ruang vektor.

1. PBL MATEMATIKA: VEKTOR
XI.IA.3 SMAN1 Tanjungpinang
T.A. 2010/2011

2.  Aturan Segitiga
Jika diketahui dua buah vector misalnya ú dan vector ý
kita jumlahkan, maka akan kita dapatkan resultan dari
vektor ú dan ý , yaitu ć = ú + ý . Perhatikan gambar 4.7.
pada gambar tersebut, vektor ć merupakan resultan dari
vektor ú dan ý.
 Triangle Method
Given two of vectors of ú and ý. If both vectors are
added, then the result of the addition, or the resultan is ć
= ú + ý. In picture 4.7 vector ć is the resultan of vector ú
dan ý.

3. Pada aturan segitiga, vektor resultan diperoleh dengan
menempatkan titik pangkal salah satu vektor pada titik
ujung vektor yang lain, kemudian ditarik garis yang
menghubungkan kedua ujung kurva sehingga
membentuk sebuah segitiga. Pada gambar 4.7 terlihat
vektor ć merupakan vektor resultan dari penjumlahan
vektor ú dan vektor ý.
On triangle rules, resultan vector is obtained by placing
the starting point of one of the vector on the end point of
the other vector, then pull a line that connecting the both
ends of the curve therefore forming a triangle. On picture
4.7 can be seen the vector of ć is a resultan vector from
the addition of vector ú and ý.

4. (gambar 4.7 halaman 136)

5.  Aturan Jajargenjang
Pada aturan jajargenjang, vektor resultan diperoleh dengan
mengimpitkan titik pangkal kedua vektor yang dijumlahkan,
kemudian dibuat garis yang sejajar dengan kedua vektor
sehingga membentuk sebuah jajargenjang. Selanjutnya,
ditarik garis diagonal dari titik pangkal kedua vektor.
Perhatikan gambar 4.8. Vektor ć merupakan vektor resultan
yang dihasilkan.
 Parallelogram Rules
On parallelogram rules, resultant vector is obtained by
coincide the starting point of the two vectors that added, then
made a parallel line with the both vectors therefore forming a
parallelogram. Next, pulled out diagonal line from the starting
point of the both vectors. Consider picture 4.8 vector ć is
resultan vector that producted.

6. (gambar 4.8 halaman 138)

7. 2. Penjumlahan Vektor secara Aljabar
Misalkan vektor ú = ( ) dan vektor ý = ( ), maka
penjumlahan kedua vektor tersebut dapat diperoleh
dengan cara sebagai berikut :
U–v=u+v
 =( )

8. B. Pengurangan Vektor
1. Pengurangan Vektor secara geometri.
Sebelumnya, kita telah membahas tentang ‘dua vektor yang
berlawanan’, yaitu dua vektor yang mempunyai besar sama,
tapi arahnya berlawanan. Sebagai contoh, vektor –á
merupakan lawan dari vektor ádan vektor –þ merupakan
lawan dari vektor þ. Sementara itu, pada bilangan real berlaku
hubungan: a – b = a + (-b), dengan b merupakan invers
tambah dari b.
B. Vector Subtraction
1. Vector Subtraction by the Geometry
Before, we have discussed about ‘two vectors that againt’, that
are two vectors that has the same size, but the direction are
against each other. For instance, vector of –a is the opponent
from the vector of a and vector –b is the opponent of vector b.
Meanwhile, on the real number satisfies the relation of: a – b =
a + (-b), where b is a plus inverse from b.

9. Berdasarkan pengertian di atas, jika diketahui dua buah
vektor,misalnya vektor ú dan vektor v, maka ú – v artinya
sama dengan ú + ( -v).
Perhatikan gambar 4.9. vektor c merupakan vektor
resultan yang titik pangkalnya adalah titik pangkal vektor u
dan titik ujungnya adalah titik ujung vektor –v.
Based on the definition above, if given two vector, let
vector of u and vector v, then u – v means equals u + (-v)
Consider the Picture 4.9. vector of c is a resultant vector
which is the starting point is starting point of vector u and
the end point of vector –v.

10. 1. Pengurangan vektor secara aljabar
Misalkan vektor u = ( ) dan v = ( ), maka pengurangan
vektor u oleh vektor v dapat diperoleh dengan cara
sebagai berikut :
U – v = u + (-v)
=( )
1. Vector Subtraction by Algebraic
Suppose vector of u = ( ) and v = ( ), then the vector
subtraction of u by the vector of v can be obtained by the
following way :
U – v = u + (-v)
=( )

11. SCALAR AND VEKTOR
Scalar quantity is described only by large only (temperature, length)
The quantity of vector magnitude and direction necessary to explain it
(style, speed)
- Represented by an arrow, long arrow associated with large vector
- Head of the arrow indicates the direction vector
SKALAR DAN VEKTOR
Kuantitas skalar dijelaskan hanya oleh besar saja (temperatur, panjang)
Kuantitas vektor perlu besar dan arah untuk menjelaskannya
(gaya, kecepatan)
-direpresentasikan oleh sebuah panah, panjang panah berkaitan dengan
besar vektor
- kepala panah menunjukkan arah vector

12. Multiplication or division of Vector by Scalar
Characteristics:
_ Multiplication or division of vectors by scalar is a vector. Vector can only be
multiplied or divided by scalar
_if Positive scalar, then the direction vector results multiplication or division of the
direction of the vector initial
_if Negative scalar, then the direction vector results multiplication or division in
the opposite direction with initial vector
Perkalian atau Pembagian Vektor oleh Skalar
Ciri-ciri :
_Hasil perkalian atau pembagian vektor oleh skalar adalah sebuah vector.
Besar vektor hanya dapat dikali atau dibagi oleh skalar
_Jika skalar positif, maka arah vektor hasil perkalian atau pembagian
searah dengan vektor awal
_Jika skalar negatif, maka arah vektor hasil perkalian atau pembagian
berlawanan arah dengan vektor awal

13. Scalar
scalar multiplication is also often called point multiplication of two vectors
produces scalar quantity where applicable: A. B = AB cosθ
As a result of scalar multiplication is a business, potential energy,
fluksmagnet, and others.
SKALAR
Perkalian scalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua buah vector
menghasilkan besaran scalar dimana berlaku: A.B= AB cosθ
Sebagai hasil perkalian scalar adalah usaha, tenaga potensial, fluksmagnet, dan
lain-lain.
C= A x B
B PERKALIAN VEKTOR
Perkalian vector atau perkalian silang dari dua
buah vector menghasilkan besaran vector lain
dimana berlaku:
A×B= C
A

14. DUA DIMENSI
  
Y A AX AY
ˆ
j A Xˆ A Yˆ
i j
 
Berapakah Ax dan Ay ?
AY A
AX A cos
ˆ
i AY A sin
 X
AX AX A sin
AY A cos
Jadi Atau
 
A A cos ˆ A sin ˆ
i j A A cos ˆ A sin ˆ
i j

15. RUANG VEKTOR
Space Vector
Arti geometris dari determinan
Geometric meaning of the determinant
Jika A matriks 3x3, |det(A)| = volume dari parallepipedum dibentuk oleh 3
vektor.
If A 3x3 matrix, | det (A) | = volume of parallepipedum formed by 3
vectors.
Persamaan garis dan bidang di ruang
Equations of lines and fields in space
Bidang di ruang dimensi 3:
Diperlukan inklinasi (kemiringan) dan titik yang dilalui.
Untuk menyatakan inklinasi adalah satu vektor yang tegak
lurus terhadap bidang.
Field in space dimension 3:Required inclination (slope) and point
traversed.
To declare a vector inclination is upright
straight to the plane.

17. Misal suatu bidang melalui titik Po (xo , yo , zo ) dan mempunyai
Vektor normal n =(a b c). Misal P(x,y,z) suatu titik berada padabidang.
Suppose a plane through the point Po (xo, yo, zo) and hasnormal vector
n = (a b c). Suppose P(x, y, z) a point located atfield.
1. Persamaan bidangnya adalah
1. Field equation is
n . Po P=0
2. atau bentuk normal persamaan bidang:
2. or normal form field equation:
a(x – xo ) + b( y - yo ) + c(z - zo ) = 0
3. atau bentuk vektor persamaan bidang:
3. or vector form field equation:
n . (r - ro ) = 0 di mana ro = OPo , r = OP
4. atau bentuk parameter persamaan bidang:
4. or shape parameter field equation:
x = xo + ta, y = yo + tb, z = zo tc
di mana titik Po (xo , yo , zo ) dilalui bidang dan vektor(traversed the field
and vector) v = (a,b, c) paralel dengan bidang(parallel with the field.).

18. PENJUMLAHAN, PENGURANGAN , DAN
PERKALIAN VEKTOR DAN SKALAR
1. Penjumlahan Vektor
a. Penjumlahan vektor secara geometri
Penjumlahan du buah vector atau lebih secara geometri dapat
dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan aturan segitiga dan
aturan jajar genjang.
1. Addition of vectors
a. Geometrical Addition of Vectors
Geometrical addition of two vectors or more can be done by
two ways i.e. ‘triangle method’ and ‘parallelogram method’.

19. ATURAN SEGITIGA
Jika diketahui dua buah vector misalnya ú dan vector ý kita
jumlahkan, maka akan kita dapatkan resultan dari vektor ú
dan ý , yaitu ć = ú + ý . Perhatikan gambar 4.7. pada gambar
tersebut, vektor ć merupakan resultan dari vektor ú dan ý.
Pada aturan segitiga, vektor resultan diperoleh dengan
menempatkan titik pangkal salah satu vektor pada titik ujung
vektor yang lain, kemudian ditarik garis yang menghubungkan
kedua ujung kurva sehingga membentuk sebuah segitiga.
Pada gambar 4.7 terlihat vektor ć merupakan vektor resultan
dari penjumlahan vektor ú dan vektor ý.

20. TRIANGLE METHOD
Given two of vectors of ú and ý. If both vectors are added,
then the result of the addition, or the resultan is ć = ú + ý. In
picture 4.7 vector ć is the resultan of vector ú dan ý.
On triangle rules, resultan vector is obtained by placing the
starting point of one of the vector on the end point of the other
vector, then pull a line that connecting the both ends of the
curve therefore forming a triangle. On picture 4.7 can be seen
the vector of ć is a resultan vector from the addition of vector ú
and ý.

22. ATURAN JAJARGENJANG
Pada aturan jajargenjang, vektor resultan diperoleh
dengan mengimpitkan titik pangkal kedua vektor
yang dijumlahkan, ke mudian dibuat garis yang
sejajar dengan kedua vektor sehingga membentuk
sebuah jajargenjang. Selanjutnya, ditarik garis
diagonal dari titik pangkal kedua vektor. Perhatikan
gambar 4.8. Vektor ć merupakan vektor resultan
yang dihasilkan.

23. PARALLELOGRAM METHOD
On parallelogram rules, resultant vector is obtained
by coincide the starting point of the two vectors that
added, then made a parallel line with the both
vectors therefore forming a parallelogram. Next,
pulled out diagonal line from the starting point of the
both vectors. Consider picture 4.8 vector ć is
resultan vector that producted

25. B. Penjumlahan Vektor secara Aljabar
Misalkan vektor ú = ( ) dan vektor ý = ( ), maka penjumlahan kedua
vektor tersebut dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut :
U–v=u+v
=( )

26. PENGURANGAN VEKTOR
A. Pengurangan Vektor secara geometri
Sebelumnya, kita telah membahas tentang ‘dua vektor yang
berlawanan’, yaitu dua vektor yang mempunyai besar sama,
tapi arahnya berlawanan. Sebagai contoh, vektor –á
merupakan lawan dari vektor á dan vektor –þ merupakan
lawan dari vektor þ. Sementara itu, pada bilangan real berlaku
hubungan: a – b = a + (-b), dengan b merupakan invers
tambah dari b.
Berdasarkan pengertian di atas, jika diketahui dua buah
vektor,misalnya vektor ú dan vektor v, maka ú – v artinya
sama dengan ú + ( -v).
Perhatikan gambar 4.9. vektor c merupakan vektor resultan
yang titik pangkalnya adalah titik pangkal vektor u dan titik
ujungnya adalah titik ujung vektor –v.

27. VECTOR SUBSTRACTION
A. Vector Subtraction by the Geometry
Before, we have discussed about ‘two vectors that againts, that
are two vectors that has the same size, but the direction are
against each other. For instance, vector of –a is the opponent
from the vector of a and vector –b is the opponent of vector b.
Meanwhile, on the real number satisfies the relation of: a – b =
a + (-b), where b is a plus inverse from b.
Based on the definition above, if given two vector, let vector of u
and vector v, then u – v means equals u + (-v)
Consider the Picture 4.9. vector of c is a resultant vector which is
the starting point is starting point of vector u and the end point
of vector –v.

28. B. Pengurangan vektor secara aljabar
Misalkan vektor u = ( ) dan v = ( )
maka pengurangan vektor u oleh vektor v dapat
diperoleh dengan cara sebagai berikut :
U – v = u + (-v)
=( )

29. B. Vector Subtraction by Algebraic
Suppose vector of u = ( ) and v = ( )
then the vector subtraction of u by the vector
of v can be obtained by the following way :
U – v = u + (-v)
=( )

30. PERKALIAN VEKTOR
Perkalian vector atau perkalian silang dari dua buah
vector menghasilkan besaran vector lain dimana
berlaku:
A×B= C
Besar vector C adalah : C = AB sin θ
Arah vector C selalu tegak lurus dengan bidang yang
dibentuk oleh vektorA dan vektorB. Untuk
menentukan arah vektorC dapat diperhatikan
gambar dibawah ini.

31. VECTOR TIMING
Cross-vector multiplication or multiplication of two
vectors produces another vector quantity where
applicable:
A×B=C
Large vector C is: C = AB sin θ
The direction of vector C is perpendicular to the
field formed by vektorA and vektorB. To determine
the direction of vektorC to note the picture below

32. C=B XA A
B
C = -C’ B
A
C’ = B X A
Diketahui bahwa hasil A ×B tidak It is known that the result of A × B
samad engan B ×A. Walaupun B × A isn’t the same. Although a
besar vector hasil perkalian large cross-vector multiplication
silang itu sama, tetapi arahnya results are equal, but it has
saling berlawanan opposite direction

33. PERKALIAN SKALAR 2 VEKTOR
Perkalian skalar dari dan baik di R2 mauapun di R3
menghasilkan bilangan real yang dapat ditentukan dengan
persamaan berikut.
Multiplication scalar of and in either R2 or in R3 results in a
real number that can be determined by the following equation
dan
 sudutmasing adalah vector vektor dan . Sementara
masing 
itu, adalah
besar
a bantara kedua tersebut
Where and are the magnitudes of vector and .
Meanwhile, is the angle between the two vectors
 
a b

34. PERBANDINGAN VEKTOR DI R3
1. System koordinat dalam Ruang
Sistem koordinat ruang terdiri dari 3 sumbu, yaitu sumbu X, Y,
dan Z yang saling tegak lurus. Ketiga sumbu bertemu pada satu
titik pangkal yang disebut pangkal koordinat (titik O)
Sistem koordinat ini mengikuti aturan putar tangan kanan.
Ketiga sumbu koordinat membentuk 3 bidang yaitu bidang XOZ,
XOY, dan YOZ yang membagi ruang menjadi 8 bagian yang
masing-masing disebut oktan I,II,III,…,VIII. Setiap titik dalam
koordinat ruang ditentukan oleh pasangnan terurut 3 bilangan,
misalnya A(x,y,z). tanda dari masing-masing oktan adalah
sebagai berikut (gambar 4.14 hal 148)

35. Coordinate System in a Space
Three Dimensional Coordinates system consists of three axis, X-
axis, Y-axis, and Z-axis that perpendicular to each other
This coordinate system follow the rules of right hand turning. The
three coordinates axis form three planes that are XOZ, XOY, and
YOZ. They divide the space into 8 parts, each of them called
octant I, II, III, …, VIII. An ordered pair of three numbers, for
example, A (x,y,z), defines each point in the coordinate space.
The sign of each octant is as follows : ( pic. 4.14 page 148)

41. Angle Between 2 Vectors
With the formula scalar product of two vectors, we can determine
the large angle between two vectors.
From a.b = | a | | b | cos q, we obtain:
a.b
cos
a b
SUDUT ANTARA 2 VEKTOR
Dengan rumus hasil kali skalar dua vektor, kita dapat menentukan
besar sudut antara dua vektor.
Dari a.b = |a||b|cos , kita peroleh:
a.b
cos
a b

42. Knowing the length of vectors and vector projection
In the field geometry, we have studied the notion of orthogonal
projection of a segment on another segment. Orthogonal
projection of line segment OA to OE line segment is a line
segment OC, with a length of OC is determined by the OC = OA
cos q. Definition orthogonal projection on the geometry of this
field can be used as a foundation for understanding the notion of
a vector projection ortogonal other.
Mengetahui Panjang vektor dan vektor proyeksi
Dalam geometri bidang, kita telah mempelajari pengertian
proyeksi ortogonal dari suatu ruas garis pada ruas garis yang lain.
Proyeksi ortogonal dari ruas garis OA pada ruas garis OE adalah
ruas garis OC, dengan panjang OC ditentukan oleh OC = OA cos q.
Pegertian proyeksi ortogonal pada geometri bidang ini dapat
dipakai sebagai landasan untuk memahami pengertian proyeksi
orrtogonal suatu vektor lain.

43. Perhatikan bahwa ruas garis berarah mewakili vektor c, sehingga
vektor c merupakan proyeksi vektor a pada arah vektor b. Vektor c ini
dinamakan proyeksi vektor ortogonal (biasanya disingkat dengan proyeksi
vektor saja). Dengan menggunakan definisi perkalian skalar, selanjutnya
dapat ditentukan bahwa :
•Proyeksi skalar orrtogonal dari vektor a pada arah vektor b adalah l c l,
dengan ||c|| dirumuskan oleh :
(2) Proyeksi vektor ortogonal dari vektor a pada arah vektor b
adalah c dirumuskan oleh :