La serie de Taylor representa una función como una suma infinita de términos que involucran las derivadas sucesivas de la función en un punto. Si la serie converge a la función en cierto intervalo, la función se dice analítica. La serie de Taylor permite aproximar funciones, derivar e integrar series, y es la mejor aproximación posible de una función analítica.

1. SERIE DE TAYLOR En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto ( a - r , a + r ) se define como la siguiente suma: Aquí, n ! es el factorial de n y f ( n ) ( a ) indica la n-ésima derivada de f en el punto a .

3. Una aproximación de octavo orden de la función coseno en el plano de los complejos.

4. EJEMPLO Usando los términos de la serie de Taylor centrada en cero, aproxime la función f(x)=SEN X con base en el valor de la función f y sus derivadas en el punto x=0,5. Empiece con solo el termino n=0 agregando sucesivamente un término hasta el error porcentual sea menor que la tolerancia, tomando 3 cifras significativas.

5. EJEMPLO Remplazando la función tenemos: Sen X= sen (0)+cos(o)x - sen (0) X^2/2! - cos (o) X^3 /3! + sen(0) X^4/4! Entonces, Sen X= X – X^3/3! - X^5/5! …… Ahora remplazamos termino por termino para ver el error y de esta forma llegar a la tolerancia permitida Sen X 1 = 0.5 Sen X 2 = 0.479 Sen X 3 = 0.478

6. EJEMPLO Con el tercer termino cumplimos con la tolerancia exigida.

7. EJEMPLO Con el tercer termino cumplimos con la tolerancia exigida.