Aplicación del Método de Newton Raphson

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS
Escuela Profesional de Informática
Análisis del Principio de la “Esfera sumergida
en Agua” mediante el uso del método de Newton
Raphson
CURSO:
Computación Simbólica y Numérica
INTEGRANTES:
- Bobadilla Alva, José
- Chávez Castro, Nataly
- Meregildo Leiva, Lucero
- Pastor Salazar, Cristian
DOCENTE:
Ing. José Díaz Pulido
TRUJILLO-PERÚ
2018

2. i
CONTENIDO GENERAL
RESUMEN ..............................................................................................................................................1
1 INTRODUCCIÓN.............................................................................................................................2
2 MARCO TEÓRICO...........................................................................................................................4
2.1 TEORÍA DE ARQUÍMEDES ....................................................................................................................4
2.2 REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES...................................................................................................5
2.3 REGLA DE LAGUERRE ........................................................................................................................5
2.4 MÉTODO NEWTON RAPHSON..............................................................................................................6
2.5 DESARROLLO DEL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON ..................................................................................7
3 REALIDAD PROBLEMÁTICA ............................................................................................................1
4 INGENIERÍA DEL PROYECTO...........................................................................................................8
4.1 APLICACIÓN DEL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON...................................................................................8
4.2 APLICACIÓN EN MATLAB ..................................................................................................................12
5 CONCLUSIONES ...........................................................................................................................14
6 BIBLIOGRAFÍA..............................................................................................................................15

3. ii
CONTENIDO DE ILUSTRACIONES
Ilustración 1: Representación gráfica de Principio de Arquímedes .............................................. 4
Ilustración 2: Isaac Newton........................................................................................................... 6
Ilustración 3: Grafica del Método de Newton Raphson................................................................ 7
Ilustración 4: Porción de la bola de radio r que es sumergida hasta una altura d.......................... 1
Ilustración 5: Métoddo Newton Raphson en Matlab................................................................... 13

4. 1
RESUMEN
Este presente trabajo tiene como finalidad describir la aplicación de un método numérico
en un contexto real, en este caso el método de Newton Raphson, que es utilizado en la ingeniería
civil, enfocado más en la rama de la hidráulica.
El trabajo consta sobre el principio de la esfera sumergida en agua, que es de utilidad en
empresas donde trabajan con flotadores que funcionan como válvulas de cierre para el paso de
agua, como para tanques, cisternas, piezas para baños, etc. En el contenido se referencian y
explican las reglas, principios y leyes físicas que intervienen en el caso de una esfera sumergida
en agua.
Finalmente se llega a una función polinómica que, es lo que principalmente se utiliza en
el método de Newton Raphson al ingresarse en un aplicativo en MATLAB con el respectivo
método de iteración, se logra determinar una aproximación de la profundidad que alcanza la esfera
dependiendo de su radio y masa, logrando una convergencia en 3 iteraciones. Por lo tanto, este
trabajo permitirá verificar y contrastar que existen métodos numéricos que proporcionan una
convergencia en menor tiempo.

5. 2
1 INTRODUCCIÓN
El presente trabajo tiene por objetivo mostrar el importante papel que juegan los métodos
numéricos en la resolución de problemas en ingeniería. En este caso usaremos el método iterativo
de Newton Raphson, junto con el apoyo de otras ciencias básicas para su desarrollo.
Principalmente se busca determinar a qué profundidad desciende entre el agua, un cuerpo
esférico macizo, de un material con una determinada densidad. Para esto se hace un recuento de
las leyes, reglas y principios implicados en esta situación de estudio, que permitan llegar a un
polinomio que tenga como incógnita la profundidad a la cual se sumerge la esfera.
Se usa inicialmente el principio de Arquímedes para obtener el polinomio y seguidamente la
regla de los signos de Descartes para determinar la cantidad de raíces del polinomio, y la regla de
Laguerre para saber cuáles de estas raíces tienen valores positivos.
Y finalmente, obtener una función que representa las condiciones de una esfera sumergida
en agua, dicha ecuación permite establecer la posición de la esfera según su peso específico.

6. 1
2 REALIDAD PROBLEMÁTICA
En la actualidad existen muchas entidades, que trabajan con flotadores que funcionan como
válvulas de cierre para el paso de agua, como para tanques, cisternas, piezas para baños, etc.
Principalmente se busca determinar a qué profundidad desciende en el agua, un cuerpo
esférico macizo, de un material con una determinada densidad. Por ejemplo, tenemos el siguiente
caso en específico:
Una empresa que se encarga de fabricar flotadores que funcionan como válvula de cierre para
tanques de almacenamiento de agua necesita determinar cuánto se hundirá en agua y por su propio
peso, una esfera plástica que tiene una gravedad específica de 0.6 y un radio de 5.5 cm.
Ilustración 1: Porción de la bola de radio r que es sumergida hasta una altura d.
La masa de agua desplazada cuando la esfera se sumerge en agua y ésta alcanza la altura
d hasta la superficie libre, está dada por la siguiente ecuación:
𝑉𝑎 = ∫ 𝜋[ 𝑟2
− ( 𝑦 − 𝑟)2 ] 𝑑𝑦
𝑑
0
𝑉𝑎 = ∫ 𝜋[𝑟2
− 𝑥2
− 𝑟2
+ 2𝑥𝑟]𝑑𝑥
𝑑
0
𝑉𝑎 = 𝜋 ∫ 2𝑥𝑟𝑑𝑥 − ∫ 𝑥2
𝑑𝑥
𝑑
0
𝑑
0
𝑉𝑎 = 𝜋 [
2𝑟𝑑2
2
−
𝑑3
3
]

7. 2
𝑉𝑎 =
3𝜋𝑟𝑑2
− 𝜋𝑑3
3
𝑉𝑎 =
𝜋𝑑2
(3𝑟 − 𝑑)
3
Así que la masa del agua desplazada es:
𝑀 𝑎 = 𝑉 𝑎
𝑀 𝑎 = ꓑ 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑉𝑎 =
𝜋𝑑2
(3𝑟 − 𝑑)
3
Y la masa de la esfera es:
𝑀𝑒= 𝑉𝑒. 𝜌 𝑒
𝑀𝑒 =
4𝜋𝑟2
3
𝜌 𝑒
𝑀𝑒 =
4𝜋𝑟2
3
(0.6)
𝑀𝑒 =
2.4𝜋𝑟2
3
Aplicando la ley de Arquímedes, según la cual: (“Volumen del líquido desplazado es
igual al volumen del cuerpo sumergido”), se genera la ecuación:
𝑀 𝑎 = 𝑀 𝑒
3𝜋𝑟𝑑2
− 𝜋𝑑3
3
=
2.4𝜋𝑟2
3
Reemplazando los valores r=5.5 cm. Para la profundidad “d” estará dada en metros y, a
los cuales la bola se sumerge debajo del agua, se tiene:
3(0.055)𝑑2
− 𝑑3
= 2.4(0.055)2
F (d) = 𝑑3
− 0.165𝑑2
+ 3.993 × 10−4

8. 3
Se utilizará el método de Newton-Raphson para encontrar las raíces de ecuación y poder
determinar:
a) La profundidad a la cual se sumerge la bola debajo del agua.
b) El error aproximado relativo absoluto al final de cada iteración.
c) El número de dígitos significativos por los menos correctos al final de cada iteración.
Antes de ingresar la ecuación obtenida debemos aplicar el método Raphson y también se
utilizara la regla de Descartes y Laguerre para identificar los números de raíces y máximos de
raíces positivas respectivamente.
Aplicando la regla de Descartes, observamos dos cambios siguientes:
F (d) = + 𝑑3
− 0.165𝑑2
+ 3.99 × 10−4
Quiere decir que existen al menos dos raíces positivas para esta ecuación o polinomio y
corroborando por Laguerre:
1 −0.165 +0
2 4.33
1 2.165 4.33
+3.99
8.66
12.65
Comprobamos que el máximo número de raíces positivas es 2
Por ser un polinomio de grado 3 podemos inferir que tiene tres soluciones la ecuación. Como
2 de ellas son positivas
2

9. 4
3 MARCO TEÓRICO
3.1 TEORÍA DE ARQUÍMEDES
Es un principio físico que afirma “Un cuerpo total o parcial sumergido en un fluido en
reposo recibe un empuje de abajo hacia arriba igual al peso del volumen Del fluido Qué desaloja.”
(Medina Hernández, 2000). Está fuerza recibe el nombre de empuje hidrostático o de Arquímedes,
La expresión se formula así
𝐸 = 𝑚 ∗ 𝑔 = 𝜌 𝑓
∗ 𝑔 ∗ 𝑉
Donde:
E = empuje
𝜌 𝑓 = Densidad del fluido.
V = Volumen del fluido desplazado por un cuerpo parcial o totalmente sumergido en él.
g = aceleración de la gravedad
m = masa del cuerpo sumergido
De este modo, el empuje depende de la densidad del fluido, del volumen del cuerpo y de
la gravedad existente en ese lugar.
Ilustración 2: Representación gráfica de Principio de Arquímedes

10. 5
3.2 REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES
“El número de raíces reales positivas de una ecuación polinómica con coeficientes reales
igualada a cero es, como mucho, igual al número de cambios de signo que se produzcan entre sus
coeficientes, o disminuido en ese número una cantidad entera par (obviamos los ceros)” (Sullivan,
1997). Tomando como ejemplo el siguiente polinomio:
Tomando de ejemplo el siguiente polinomio:
𝑃(𝑥) = 2𝑥5
+ 3𝑥3
− 5𝑥2
+ 𝑥 − 9
Igualándolo a cero
2𝑥5
+ 3𝑥3
− 5𝑥2
+ 𝑥 − 9 = 0
Al observar los cambios de signo entre cada termino y obviando el que completaría el grado 4
que falta en el polinomio; se aprecian 3 cambios de signo
2𝑥5
+ 3𝑥3
− 5𝑥2
+ 𝑥 − 9 = 0
Por esta regla se puede estimar que el máximo número de raíces positivas de la ecuación es tres
o una.
3.3 REGLA DE LAGUERRE
Esta regla enuncia lo siguiente: “Sea L un número real positivo. Si al dividir f(x) por (x-
L) resultan positivos o ceros todos los coeficientes del cociente y del resto, entonces “L” es una
cota superior de las raíces positivas de la ecuación f(x)=0”. (Hewitt, 2009).
En el ejemplo anterior:
2𝑥5
+ 3𝑥3
− 5𝑥2
+ 𝑥 − 9 = 0
Al dividirlo en 1 nos da un resto negativo, pero al dividirlo en 2 todos los coeficientes y
el resto quedan como ceros o valores positivos.

11. 6
2 + 0 + 3 − 5 + 1 − 9
2 4 8 22 34 70
2 4 11 17 35 61
Entonces se concluye que la cota máxima o la máxima cantidad de valores positivos para P(x)
es de 2.
3.4 MÉTODO NEWTON RAPHSON
El método de Newton fue descrito por Isaac Newton en De analysi per aequationes número
terminorum infinitas (escrito en 1669, publicado en 1711 por William Jones) y en De metodis
fluxionum et serierum infinitarum (escrito en 1671, traducido y publicado como Método de las
fluxiones en 1736 por John Colson)
Newton aplicaba el método solo a polinomios, y no consideraba las aproximaciones
sucesivas xn, sino que calculaba una secuencia de polinomios para llegar a la aproximación de la
raíz x. Finalmente, Newton ve el método como puramente algebraico y falla al no ver la conexión
con el cálculo.
Ilustración 3: Isaac Newton

12. 7
3.5 DESARROLLO DEL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
El método a utilizar en este proyecto es el Newton-Raphson, para hallar las raíces de la
ecuación f(x) = 0, es el más conocido, y a menudo, el más efectivo. Se requiere que las funciones
sean diferenciables, y por tanto, continuas, para poder aplicar este método.
El método de Newton consiste en tomar una aproximación inicial, x0, y a continuación
obtener una aproximación más refinada mediante la fórmula:
𝑥𝑗+1 = 𝑥𝑗 +
𝑓(𝑥𝑗)
𝑓′(𝑥𝑗)
Hay que determinar un número máximo de iteraciones. Normalmente esto se hace
considerando una “tolerancia”, esto es:
El valor absoluto de la diferencia de la debe ser menor que la tolerancia o el
resultado de alguna fórmula de error debe ser menor que la tolerancia dada. Una de las fórmulas
de error más útiles es la del error relativo porcentual aproximado:
𝑒 𝑟(%) = |
𝑥 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎 − 𝑥 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟
𝑥 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎
| × 100
Sin embargo, el método de Newton-Raphson algunas veces no converge, sino que oscila.
Esto ocurre si no hay raíz real, si la raíz es un punto de inflexión o si el valor inicial está muy
alejado de la raíz buscada y alguna otra parte de la función “atrapa” la iteración.
Ilustración 4: Grafica del Método de Newton Raphson

13. 8
4 INGENIERÍA DEL PROYECTO
4.1 APLICACIÓN DEL MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
Sea f (d) = 0 la ecuación cuya raíz se desea hallar:
𝑓(𝑑) = 𝑑2
− 0.165 𝑑2
+ 3.993 𝑥 10−4
𝑓′(𝑑) = 3𝑑2
− 0.33𝑑
Se supone Se supone la estimación inicial de la raíz es f (d) = 0, =0.05 m. Esto es una
estimación razonable, como los valores de los extremos de la profundidad seria 0 y el diámetro
(0.11 m) de la esfera.
Evaluando la expresión.
- Se tiene que:
𝑑1 = 𝑑0 −
𝑓(𝑑0)
𝑓′(𝑑0)
𝑑0 = 0.05
- Formula del valor absoluto:
| 𝑒 𝑎| = |
𝑑1 − 𝑑0
𝑑1
| x 100
1° Iteración
- La estimación de la raíz es:
𝑑1 = 0.05 −
0.053
− 0.165(0.05)2
+ 3.993𝑥10−4
3(0.05)2 − 0.33(0.05)
𝑑1 = 0.05 −
1.118𝑥10−4
−9𝑥(10−3)
𝑑1 = 0.05 − (−0.0124222222)
𝑑1 = 0.0624222222
- Entonces el error aproximado relativo absoluto | 𝑒 𝑎| al final de la primera iteración:

14. 9
| 𝑒 𝑎| = |
𝑑1 − 𝑑0
𝑑1
| x 100
| 𝑒 𝑎| = |
0.06242 − 0.05
0.06242
| x 100
| 𝑒 𝑎| = 19.89 %
2° Iteración
- La estimación de la raíz es:
𝑑2 = 0.06242 −
0.062423
− 0.165(0.06242)2
+ 3.993𝑥10−4
3(0.06242)2 − 0.33(0.06242)
𝑑2 = 0.06242 −
−3.993𝑥10−7
−8.9097𝑥10−3
𝑑2 = 0.062377577
- Entonces el error aproximado relativo absoluto | 𝑒 𝑎| al final de la segunda iteración
es:
| 𝑒 𝑎| = |
0.062377577 − 0.06242
0.062377577
| x 100
| 𝑒 𝑎| = 0.071 %
3° Iteración
- La estimación de la raíz es:
𝑑3 = 0.062377577 −
0.0623775773
− 0.165(0.062377577)2
+ 3.993𝑥10−4
3(0.062377577)2 − 0.33(0.062377577)
𝑑3 = 0.062377577 −
−3.993𝑥10−7
−8.9097𝑥10−3
𝑑3 = 0.062377582
- Entonces el error aproximado relativo absoluto | 𝑒 𝑎| al final de la tercera iteración
es:

15. 10
| 𝑒 𝑎| = |
0.062377582 − 0.062377577
0.062377582
| x 100
| 𝑒 𝑎| = 0.000007968 %
3° Iteración
- La estimación de la raíz es:
𝑑3 = 0.062377582 −
0.062377582 − 0.165(0.062377582)2
+ 3.993𝑥10−4
3(0.062377582)2 − 0.33(0.062377582)
𝑑3 = 0.062377577 −
−3.993𝑥10−7
−8.9097𝑥10−3
𝑑3 = 0.062377582
- Entonces el error aproximado relativo absoluto | 𝑒 𝑎| al final de la tercera iteración
es:
| 𝑒 𝑎| = |
0.062377582 − 0.062377577
0.062377582
| x 100
| 𝑒 𝑎| = 0.000007968 %
4° Iteración
- La estimación de la raíz es:
𝑑4 = 0.062377582 −
0.0623775823
− 0.165(0.062377582)2
+ 3.993𝑥10−4
3(0.062377582)2 − 0.33(0.062377582)
𝑑4 = 0.062377582 −
−3.993𝑥10−7
−8.9097𝑥10−3
𝑑4 = 0.062377582
- Entonces el error aproximado relativo absoluto | 𝑒 𝑎| al final de la cuarta iteración es:

16. 11
| 𝑒 𝑎| = |
0.062377582 − 0.062377582
0.062377582
| x 100
| 𝑒 𝑎| = 0 %
Por lo tanto esto equivale que la raíz es: 𝑑4 = 0.062377582
El número de dígitos significativos por lo menos correcto es de 6, ya que solo 6 dígitos
significativos se tomarán a través de todos los cálculos.
En este caso 0.06 es una buena aproximación al valor en metros que se hundirá en el agua la
esfera con las características descritas.

17. 12
4.2 APLICACIÓN EN MATLAB
disp(' ------------------------- ');
disp(' Metodo de Newton - Rapson ');
disp(' ------------------------- ');
syms x;
f0 = input('Ingrese la funcion: ');
x1 = input('Ingrese valor inicial: ');
tol = input('Ingrese error relativo: '); %tol = tolerancia de
error
%derivada de la funcion
d=diff(f0,x);
d = inline(d);
f = inline(f0);
x0=0; %variable inicial de la esfera si no se sumerge
xm=0.11;% variable final i la esfera se sumerge por completo
ea=100; % error inicial
i=0; %numero de iteraciones
fprintf('nttn tttx0 ttt x1 ttt xi ttt xf
tttean')
while ea>=tol
xi = x1-(f(x1)/d(x1)); %calculo de la raiz
fprintf('t %2d t %11.7f t %11.7f t %11.7f t %11.7f t
%11.7f n',i+1,x0,x1,xi,xm,ea);
ea = abs(((xi-x1)/xi)*100); % calculo del error absoluto
x1 = xi; %asignamos la nueva raiz inicial
i=i+1;
end
xi = x1-(f(x1)/d(x1));
fprintf('t %2d t %11.7f t %11.7f t %11.7f t %11.7f
t %11.7f n',i+1,x0,x1,xi,xm,ea);
ea = abs((xi-x1)/xi)*100;
x1 = xi;
i=i+1;
fprintf('nRaiz =%11.7f en %d iteraciones n',x1,i);

18. 13
Como se puede observar en la ilustración 5, se obtienen los mismos valores calculados
anteriormente, con solo ingresar la función general, un valor inicial y en este caso el diámetro de
la esfera ya especificado internamente.
Ilustración 5: Métoddo Newton Raphson en Matlab

19. 14
5 CONCLUSIONES
 En general el campo de la ingeniería requiere del apoyo de otras ciencias básicas, tal es
el caso de las matemáticas y sus diferentes ramas compuestas. Hoy en día la combinación
de esta rama ofrece mejores resultados cuando se combinan con la computación, ya que
se obtienen más rápido los procesos iterativos.
 Se logró determinar por el medio del método numérico de newton raphson, una
aproximación a un problema hidráulico, basados en el principio de Arquímedes y
ayudados por la regla de descartes y Laguerre.
 Se hizo uso del aplicativo de Matlab para el método en mención, de modo que el resultado
obtenido ayudó a establecer la posición de la esfera según su peso especificado.

20. 15
6 BIBLIOGRAFÍA
 M. C. José Antonio Medina Hernández, Departamento de Matemáticas y Física
Universidad Autónoma de Aguascalientes, disponible en
http://www.cns.gatech.edu/~luzvela/epigrafe/flotamiento.pdf
 Sullivan, Michael. (1997) PRECALCULO. Pearson Education. Primera edición. Hewitt,
Paul G., (2009), Conceptos de Física, Editorial Limusa S.A. de C.V.
 Representación grafica de Principio de Arquímedes, disponible en
http://es.wikipedia.org/wiki/Principio_de_Arqu%C3%ADmedes#mediaviewer/File:Sub
merged-and-Displacing.svg
 Aplicativo programado en Geogebra para método numérico Newton Raphson, disponible
en: http://tecnologica.udistrital.edu.co/moodle/mod/forum/discuss.php?d=7815.