1. 1
Relações Métricas no Triângulo (Δ) Retângulo.
Observe que o triângulo ABC é
retângulo em Â, isto é a medida de
 é 90º, e como a soma dos ângulos
internos de qualquer triângulo é
180º, concluímos que a soma dos
ângulos B e Ĉ é 90º.ˆ
Ângulo de 90º

2. 2
Ao dividirmos o triângulo
ABC, pela altura relativa a sua
hipotenusa, formamos os triângulos
ABH e ACH, veja que são
retângulos em Ĥ. E assim, desta
forma verificamos que acabamos
por dividir o ângulo  nos dois
ângulos já conhecidos do triângulo
ABC que são Ĉ e B.
ˆ
Quando dois
triângulos, possuírem ao
menos dois ângulos de
mesma medida, significa
que são semelhantes.

3. 3
Observem agora os lados deste triângulo.
Lado AB
Lado BC
Lado AC
O lado AB “ vai do ângulo de 90º até o ângulo pintado de amarelo”.
O lado AC “ vai do ângulo de 90º até o ângulo pintado de vermelho”.
O lado BC “ vai do ângulo pintado de amarelo até o ângulo pintado de
vermelho”.
Ângulo de 90º

4. 4
Observe que dividimos o triângulo ABC em dois
novos triângulos ABH e ACH, que são semelhantes
entre si, pois seus ângulos são congruentes “iguais” e
seus lados são proporcionais.

5. 5
Vamos agora comparar o triângulo ABC com o triângulo ABH.
Como são semelhantes, seus lados são proporcionais, logo temos
as seguintes relações:
Lados do ΔABC
Lados do ΔABHm
c
h
b
c
a

6. 6
m
c
h
b
c
a
Deduzimos as seguintes relações:
2ª) bm = ch
3ª) cc = am
1ª) ah = cb
Não se esqueça que: “para passar o número que esta
dividindo para o outro lado do sinal de igual o
fazemos passar, multiplicando do outro lado”.
Das proporções obtidas dos lados dos
Δs semelhantes que são:ABC e ABH.

7. 7
Comparando o triângulo ABC com o triângulo ACH.
b
a
h
c
n
b
Como são semelhantes, seus lados são proporcionais, logo temos
as seguintes relações:
Lados do ΔABC
Lados do ΔACH

8. 8
Das proporções obtidas dos lados dos
Δs semelhantes que são:ABC e ACH.
Deduzimos as seguintes relações:
b
a
h
c
n
b
1ª) bh = cn
2ª) bb = an
3ª) bc = ah

9. 9
Comparando o triângulo ABH com o triângulo ACH.
h
m
n
h
b
c Lados do ΔABH
Lados do ΔACH
Como são semelhantes, seus lados são proporcionais, logo temos
as seguintes relações:

10. 10
Das proporções obtidas dos lados dos
Δs semelhantes que são:ABH e ACH.
Deduzimos as seguintes relações: 1ª) bh = cn
2ª) ch = bm
3ª) hh = mn
h
m
n
h
b
c

11. 11
Outra relação métrica é: a = m + n, ou seja
m (segmento BH) é a projeção do cateto c
sobre a hipotenusa e n (segmento CH) é a
projeção do cateto b sobre a hipotenusa, logo
a soma de m (BH) + n (CH) é igual a
hipotenusa a (segmento BC).
Imagine estas
projeções sendo
como o sol
“batendo”numa
ripa de madeira
inclinada numa
parede, isto
produz uma
sombra, a qual
chamaremos de
projeção.

12. 12
Teorema de Pitágoras
Hipotenusa
Cateto
Cateto
Ângulo de 90º
Os lados AB e AC do ΔABC são chamados de Catetos.
O lado BC do ΔABC é contrário (está de frente) com o ângulo de
90º, por esse motivo leva o nome especial de Hipotenusa.

13. 13
Temos a relação: hipotenusa ao quadrado é igual a
soma dos quadrados dos catetos.
Hip2 = cat2 + cat2
a2 = b2 + c2
Teorema de Pitágoras.

14. 14
Resumo das fórmulas das relações
métricas no Δ retângulo.
1ª) ah = bc
2ª) c2 = am
3ª) bm = ch
4ª) bh = cn
5ª) b2 = an
6ª) h2 = mn
7ª) a = m + n
8ª) a2 = b2 + c2

15. 15
Espero que tenham gostado da aula em slides:
Autor: Prof. Jose Fabio Braga Szmelcynger.
E-mail: fabio@uli.com.br - fone 0xx1938079073
Data: 22/02/2004. Amparo-SP.