1. GIẢI TÍCH 12 GV: Vũ Thị Hồng Hạnh LHP
9
BÀI 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I. KHÁI NIỆM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
ĐỊNH NGHĨA
Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D (D ) và x0 D.
a) x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b)
D, f liên tục trên (a; b) và f(x) < f(x0) với mọi x (a; b) {x0}.
Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực đại (còn gọi là cực đại) của hàm số f.
Ta cũng nói điểm M(x0, f(x0)) là điểm cực đại của đồ thị hàm số f.
b) x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho (a; b)
D, f liên tục trên (a; b) và f(x) > f(x0) với mọi x (a; b) { x0}.
Khi đó f(x0) được gọi là giá trị cực tiểu (còn gọi là cực tiểu) của hàm số f.
Ta cũng nói điểm M(x0, f(x0)) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số f.
c) * Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
* Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị.
* Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì ta cũng nói hàm số f đạt cực trị tại x0.
2. GIẢI TÍCH 12 GV: Vũ Thị Hồng Hạnh LHP
10
CHÚ Ý:
a) Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x0) của hàm số f nói chung không phải là GTLN (GTNN) của hàm số
f trên tập xác định D, mà f(x0) chỉ là GTLN (GTNN) của hàm số f trên khoảng (a; b) nào đó chứa x0. Vì
vậy, việc trong 1 hàm số có 1 cực đại bé 1 hơn cực tiểu cũng là điều bình thường, chẳng hạn hàm f(x) = x
+ 2sinx trên (đồ thị ở hình vẽ bên).
b) Một hàm số f có thể đạt cực đại hay cực tiểu tại nhiều điểm trên tập xác định D và các cực trị
nói chung là khác nhau. Hàm số f cũng có thể không có cực trị trên một tập hợp cho trước.
II. ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ
ĐỊNH LÝ 1
Giả sử hàm số f có đạo hàm tại điểm x0. Khi đó:
Nếu f đạt cực trị tại x0 thì f ’(x0) = 0.
Nói cách khác, khi hàm số f có đạo hàm tại điểm 0
x thì điều kiện cần để f đạt cực trị tại 0
x x là 0
x
nghiệm của đạo hàm. Như vậy nếu hàm số f có đạo hàm và đạo hàm vô nghiệm thì f không có cực trị.
Điều ngược lại của Định lý 1 nói chung là không đúng.
Chẳng hạn, có những hàm số có đạo hàm bằng 0 tại x0 nhưng tại x0 hàm số không đạt cực trị (thậm chí hàm
số không có cực trị).
Ví dụ: Cho hàm số f(x) = 3
x có tập xác định D = .
Ta có f ’(x) = 2
3 0,
x x và phương trình f’(x) = 0 chỉ có 1 nghiệm nên f(x) đồng biến trên . Do
đó hàm số f không đạt cực trị tại điểm x = 0.
Đương nhiên, có nhiều hàm số có đạo hàm bằng 0 tại x0 và tại x0 hàm số đạt cực trị.
Ví dụ: Cho hàm số f(x) = 2
x có tập xác định D = .
Ta có f ’(x) = 2x nên f ’(0) = 0 và f(x) > f(0), ( 1,1) {0}
x nên hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x = 0.
Nếu f(x) không có đạo hàm tại x0 thì ta không có kết luận gì.
Chẳng hạn, có những hàm số đạt cực trị tại một điểm mà tại điểm đó hàm số không có đạo hàm.
Ví dụ: Xét hàm số f(x) = x có tập xác định D = .
Ta có f(0) = 0 và f(x) > f(0) với mọi x ( 1;1) 0 nên f đạt cực tiểu
tại điểm x = 0, nhưng hàm số f không có đạo hàm tại x = 0 (hàm số f
có đồ thị không trơn tại x = 0).
Cũng có những hàm số không đạt cực trị tại một điểm mà tại điểm đó
hàm số không có đạo hàm.
Ví dụ: Hàm số ( ) 3 2
f x x x không có đạo hàm tại x = 0 và
cũng không đạt cực trị tại x = 0.
3. GIẢI TÍCH 12 GV: Vũ Thị Hồng Hạnh LHP
11
III. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ
ĐỊNH LÝ 2
Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a, b) nào đó chứa x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a; x0) và
(x0; b) (hàm số có thể có hoặc không có đạo hàm tại x0). Khi đó:
Điều kiện cần và đủ để f đạt cực trị tại x0 là f ’(x) đổi dấu khi x qua x0.
Cụ thể :
a) Nếu f ’(x) < 0 với mọi x (a; x0) và f ’(x) > 0 với mọi x (x0; b) (tức là f ’(x) đổi dấu từ âm sang
dương khi x qua x0) thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.
x a x0 b
f’(x) – +
f(x)
f(x0)
CT
b) Nếu f’(x) > 0 với mọi x (a; x0) và f’(x) < 0 với mọi x (x0; b) (tức là
f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0) thì hàm số f đạt cực đại tại điểm
x0.
x a x0 b
f’(x) + –
f(x)
CĐ
f(x0)
c) Nếu f ’(x) không đổi dấu khi x qua x0
(chẳng hạn f ’(x) > 0 với mọi x (a;b){ x0}
hoặc f ’(x) > 0 với mọi x (a;b){x0}) thì f
không đạt cực trị tại điểm x0.
Định lý 2 được chứng minh bằng định nghĩa.
Từ định lí 2 ta có quy tắc tìm cực trị sau :
QUY TẮC 1
1) Tìm f’(x)
2) Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà tại đó f’(xi) = 0 (tức là tìm tất cả các nghiệm của phương trình
f’(x) = 0) hoặc tại đó hàm số f không liên tục hoặc không có đạo hàm.
3) Lập bảng biến thiên. Từ đó suy ra cực trị của hàm số.
Ví dụ 1: Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y = 3 2
3 9 1
x x x b) y =
2
1
2
x x
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Only
'=3ñt6n -9 is'=
:j::
HT
4. GIẢI TÍCH 12 GV: Vũ Thị Hồng Hạnh LHP
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nếu việc xác định sự thay đổi dấu của f’(x) khó khăn hơn việc xác định f’’(x) thì ta dùng Định lý 3 sau
đây, nó cũng là 1 hệ quả của Định lý 2.
Định lý 3: Cho hàm số f x có đạo hàm cấp 2 liên tục trên ;
a b , 0 ;
x a b .
Nếu
0
0
0
0
f x
f x
thì 0
x là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa:
Nếu
0
0
0
0
f x
f x
thì hàm số đạt cực tiểu tại 0
x .
Nếu
0
0
0
0
f x
f x
thì hàm số đạt cực đại tại 0
x .
Chú ý:
1. Hàm số bậc 3 có cực trị khi và chỉ khi 0
f x có 2 nghiệm phân biệt. Khi đó hàm số có 1 cực
đại và 1 cực tiểu.
2. Nếu 0
( ) 0
f x thì ta không dùng được định lý trên, khi đó hàm số f có thể đạt cực trị hoặc
không đạt cực trị tại điểm x0, lúc này ta có thể sử dụng Định lý 2 hoặc hệ quả của nó: Giả sử hàm
số f có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a; b) nào đó chứa x0 và f’(x0) = f’’(x0)= 0. Khi đó nếu
a) f’’(x0) < 0 với mọi x (a; b){x0} thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.
b) f’’(x0) > 0 với mọi x (a; b){x0} thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.
Các kết quả trên có thể được chứng minh dễ dàng bằng cách dùng Định lý 2 vẽ bảng biến thiên.
Chẳng hạn hàm số f(x) = 4
x , g(x) = 5
x tại điểm x = 0.
5. GIẢI TÍCH 12 GV: Vũ Thị Hồng Hạnh LHP
13
Từ định lý 3 ta có quy tắc 2 để tìm cực trị sau:
QUY TẮC 2
1) Tìm f’(x);
2) Tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …) của phương trình f’(x) = 0;
3) Tìm f’’(x) và tính f’’(xi)
* Nếu f’’(xi) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại xi.
* Nếu f’’(xi) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại xi.
Ví dụ 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = 2sin x x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TRẮC NGHIỆM
Ví dụ 1. Cho hàm số ( )
y f x có đồ thị như hình vẽ. Cực tiểu của hàm số có tọa độ là
x
y
2
-2
3
O
E
1
A. 3;2 . B. 1;2 . C. 3; 2 . D. 2; 3
Ví dụ 2. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau. Tung độ cực trị của hàm số f x là
A. 1. B. 2. C. 3. D. 1
x 1 0 1
y 0
y 1
3 2
3
-
y' = 2cosn -1 -1 Ecosse £1
-
g¥Éñ -2£ 2cosn £2
-3 f 2cosn-HA
YI Yi
Rs -
Iz
O
O
