Conjuntos e funções

1. CENTRO EDUCA MAIS JOSÉLIA
ALMEIDA RAMOS
MATEMÁTICA
1ª Série (100, 101 e 102)
1ª Série (100, 101 e 102)
CONJUNTOS
NUMÉRICOS
2023

2. Denominamos conjuntos numéricos os conjuntos cujos
elementos são números.
Estudaremos os conjuntos dos números naturais, dos inteiros,
INTRODUÇÃO
Estudaremos os conjuntos dos números naturais, dos inteiros,
dos racionais, dos irracionais, dos reais e dos complexos, com
algumas propriedades e aplicações.

3. O CONJUNTO ℕ
Os números naturais são utilizados para indicar contagens como
idade, dias de mês ou, ainda, para representar o número de uma
residência.
residência.
Começando por zero e acrescentando sempre uma unidade,
obtemos os elementos do conjunto dos números naturais,
indicado por ℕ.
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}

4. O CONJUNTO ℕ
O conjunto dos números naturais é infinito e podemos
representá-lo em uma reta orientada sobre a qual marcamos
pontos equidistantes.
pontos equidistantes.

5. O CONJUNTO ℕ
A respeito dos números naturais:
Todo número natural n tem seu sucessor n + 1, que é o
Todo número natural n tem seu sucessor n + 1, que é o
número natural que vem imediatamente depois dele.
O número natural que vem imediatamente antes de um
número natural diferente de zero é denominado antecessor.

6. RESPONDA
Qual é o único número natural que não tem antecessor?
0 (zero)

7. O CONJUNTO ℕ
Os números naturais n e n + 1 são denominados consecutivos.
Analogamente, dizemos que os números naturais n, n + 1, n + 2,
... são consecutivos.
O subconjunto de ℕ formado por todos os números naturais
O subconjunto de ℕ formado por todos os números naturais
diferentes de zero é denotado assim:
ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, .} = ℕ - {0}

8. O CONJUNTO ℤ
O conjunto dos números inteiros é
formado pelos números positivos,
negativos e zero e é representado por
ℤ.
ℤ = {...; - 4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4;...}
Observe que todo número natural é
também um número inteiro, isto é,
ℕ ⸦ ℤ ou ℤ ⸧ ℕ.

9. O CONJUNTO ℤ
Todo número inteiro tem um antecessor e um sucessor.
Dois números inteiros são opostos ou simétricos quando a
soma deles é igual a zero.

10. O CONJUNTO ℤ
• números inteiros não nulos: ℤ* = {...;-3; -2; -1; 1; 2; 3;...} = ℤ - {0}
• números inteiros não negativos: ℤ+= {0; 1; 2; 3; 4;...}
• números inteiros (estritamente) positivos: ℤ = {1; 2; 3; 4;...}

*
• números inteiros (estritamente) positivos: ℤ = {1; 2; 3; 4;...}
• números inteiros não positivos: ℤ- = {...;-5; -4; -3; -2; -1; 0}
• números inteiros (estritamente) negativos: ℤ = {...;-5; -4; -3; -2; -1}


*

11. O CONJUNTO ℤ
Módulo de um número inteiro
Se x ℤ, o módulo ou valor absoluto de x (indica-se: |x|) é definido
Se ℤ, o módulo ou valor absoluto de (indica-se: |x|) é definido
pelas seguintes relações:
• Se x ≥ 0, o módulo de x é igual ao próprio valor de x, isto é, |x| = x;
•Se x < 0, o módulo de x é igual ao oposto de x, isto é, |x| = - x.

12. Interpretação geométrica
Na reta numerada dos números inteiros, o módulo de x é a distância
entre x e a origem.
|7| = 7 |-12| = 12
O CONJUNTO ℤ
|7| = 7 |-12| = 12

13. ATIVIDADES
1. Considere os conjuntos A= {x ℕ | x ≤ 5} e B = {x ℤ | -2
≤ x < 3}. Em seguida:
a) Descreva os elementos dos dois conjuntos A e B;
b) Determine A

14. ATIVIDADES
2. Sejam os conjuntos C = {x ℤ | -3 < x ≤ 2} e D = {x ℕ | x
≤ 4}. Em seguida:
a) Descreva os elementos dos dois conjuntos C e D;
b) Determine C

15. O CONJUNTO ℚ
O conjunto dos números racionais, identificado por ℚ, é
inicialmente descrito como o conjunto dos quocientes entre
dois números inteiros, em que o divisor é diferente de zero.
O conjunto dos números racionais, que indicamos por ℚ, é
O conjunto dos números racionais, que indicamos por ℚ, é
aquele formado pelos números que podem ser expressos na
forma , sendo a e b inteiros e b≠0:
b
a
ℚ = {x | x = , com a ℤ e ℤ*}
b
a

16. O CONJUNTO ℚ
Podemos escrever os números inteiros
como frações com denominador 1. Assim,
todos os números inteiros pertencem ao
conjunto dos números racionais, ou seja,
o conjunto z é um subconjunto do
o conjunto z é um subconjunto do
conjunto q, como mostra o diagrama ao
lado.
ℤ ⸦ ℚ ou ℚ ⸧ ℤ.

17. O CONJUNTO ℚ
Um número racional pode ser
representado de duas formas:
-Forma fracionária;
Representação decimal das
frações:
-Decimais exatos;
-Forma fracionária;
-Forma decimal.
-Decimais exatos;
-Decimais periódicos (dízimas
periódicas).

18. O CONJUNTO ℚ
Fração geratriz:
Se uma fração é equivalente a uma dízima periódica,
ela é chamada geratriz dessa dízima.
ela é chamada geratriz dessa dízima.
Exemplos:
1 - Seja a dízima x = 0,8888...
2 – Seja a dízima z = 2,313131...

19. O CONJUNTO ℚ
Representação geométrica do conjunto dos números racionais:

20. O CONJUNTO ℚ
• números racionais não nulos: ℚ*
• números racionais não negativos: ℚ +
• números racionais positivos: ℚ 
*
• números racionais positivos: ℚ
• números racionais não positivos: ℚ -
• números racionais negativos: ℚ


*

21. O CONJUNTO Ⅰ
Assim como existem números decimais que podem ser escritos como
frações com numerador e denominador inteiros, há os que não admitem tal
representação. Trata-se dos números decimais que possuem representação
infinita não periódica.
infinita não periódica.
Um número cuja representação decimal infinita não é periódica é chamado
número irracional, e o conjunto desses números é representado por I.
Exemplos: ...
41421356
,
1
2 

22. O CONJUNTO ℝ
Reunindo os números racionais
aos números irracionais,
formamos o conjunto dos
números reais, representado por
ℝ.
ℝ.
Assim, os conjuntos dos números
naturais, inteiros, racionais e
irracionais estão contidos no
conjunto dos números reais, ou
seja, são subconjuntos de ℝ.
ℕ ⸦ ℤ ⸦ ℚ ⸦ ℝ e Ⅰ ⸦ ℝ
ou seja, ℚ Ⅰ = ℝ

23. O CONJUNTO ℝ
A reta assim construída é denominada reta numérica ou reta real.

24. O CONJUNTO ℝ
A respeito dos números reais:
A soma de dois números reais é um número real.
A diferença de dois números reais é um número real.
O produto de dois números reais é um número real.
O produto de dois números reais é um número real.
O quociente de dois números reais, sendo o divisor diferente de zero, é
um número real.
Os conceitos de números opostos e de números inversos vistos nos
conjuntos numéricos anteriores também são válidos para os números reais.

25. O CONJUNTO ℝ
No conjunto ℝ dos números reais, destacamos os seguintes
subconjuntos:
números reais não nulos: ℝ* = ℝ - {0}
números reais não negativos: ℝ + = {x ℝ | x ≥ 0}
números reais não positivos: ℝ- = {x ℝ | x ≤ 0}
números reais positivos: ℝ = {x ℝ | x > 0}
números reais negativos: ℝ = {x ℝ | x < 0}

*

*

26. INTERVALOS REAIS
Existem subconjuntos de r, chamados de intervalos reais, que são
determinados por desigualdades.
Os intervalos podem ser representados de diversas maneiras, como
Os intervalos podem ser representados de diversas maneiras, como
veremos a seguir.
Dados dois números reais a e b, chamados de extremos do
intervalo, com a < b, temos:

27. INTERVALOS REAIS
Dados dois números reais a e b, com a < b, definimos:
a) Intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto

28. INTERVALOS REAIS
b) Intervalo fechado de extremos a e b é o conjunto

29. Intervalos semiabertos
c) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de extremos a
e b é o conjunto

30. Intervalos semiabertos
d) Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda de extremos a
e b é o conjunto

31. Intervalos ilimitados

32. Operações com intervalos
Na resolução de inequações e de outros problemas em que são
necessárias operações como união, interseção etc. entre intervalos,
podemos utilizar uma representação gráfica.
Dados os intervalos:
A = {x ℝ | -1 ≤ x <3}, B = {x ℝ | x >1} e C = ] - ꝏ, 2]
determine B ∩ C e A U B.

33. Operações com intervalos

34. Noção de Funções por meio de
conjuntos:
conjuntos:
Noção intuitiva de função

35. Qual o valor pago
para encher o tanque
Quanto tempo leva
uma viagem de São
João dos Patos até
para encher o tanque
de combustível de um
automóvel?
João dos Patos até
São Luís?

36. Qual o valor pago
para encher o tanque
de combustível de um
automóvel?
Quanto tempo leva
uma viagem de São
João dos Patos até
São Luís?
automóvel? São Luís?
DEPENDE!!!

37. Qual o valor pago para encher o tanque de
combustível de um automóvel?
DEPENDE!!!
- Tamanho do tanque
DEPENDE!!!
- Tamanho do tanque
- Valor do
combustível

38. DEPENDE!!!
A viagem será feita de
carro? Ônibus?
Quanto tempo leva uma viagem de São João dos
Patos até São Luís?
DEPENDE!!! carro? Ônibus?
Avião?

39. Na matemática, FUNÇÃO é uma
relação de dependência entre duas
grandezas, na qual uma está em
grandezas, na qual uma está em
função da outra.

40. Exemplo:
1 - O valor cobrado na bomba
depende da quantidade de
combustível com a qual se
combustível com a qual se
abasteceu o carro.
Suponha que o preço do litro de
combustível seja R$ 6,10.

41. Se o preço do litro de combustível
for R$ 6,10.
Qual é a expressão matemática que
define o valor pago P (em R$) em
define o valor pago P (em R$) em
função da quantidade de litros
abastecida x?

42. Vamos fazer uma tabela:
Quantidade abastecida Valor pago (em R$)
1 litro 6,10 . 1 = 6,10
FUNÇÃO
1 litro 6,10 . 1 = 6,10
5 litros 6,10 . 5 = 30,50
10 litros 6,10 . 10 = 61,00
... ...
x litros 6,10 . x = p

43. Resumindo:
Quantidade
abastecida
Valor pago
(em R$)
1 litro 6,10
FUNÇÃO
1 litro 6,10
5 litros 30,50
10 litros 61,00
15 litros 91,50

44. Coloque em um conjunto:
Quantidade
abastecida
Valor pago
(em R$)
1 litro 6,10
5 litros 30,50
1
5
6,10
30,50
FUNÇÃO
5 litros 30,50
10 litros 61,00
15 litros 91,50
5
10
15
30,50
61,00
91,50

45. 2 - Um empreendedor produz salgadinhos para festa,
os PREÇOS DEPENDEM DA QUANTIDADE que
for encomendada, mais uma taxa fixa de R$ 15,00
para o frete. Sabendo que a cada 100 salgadinhos o
para o frete. Sabendo que a cada 100 salgadinhos o
valor cobrado é de R$ 35,00. Qual é a expressão que
nos fornece o valor a ser cobrado P em função da
quantidade vendida x.

46. Sabendo que a cada 100 salgadinhos o valor
cobrado é de R$ 35,00, mais uma taxa fixa de R$
15,00 para o frete.
SOLUÇÃO
P = 15 + 35.x
FRETE
VALOR
FIXO
CENTO
(CADA 100
UNIDADES)

47. Representação de
uma função através
de um diagrama
P = 15 + 35.x
1 . . 50 de um diagrama
1 .
1,5 .
2 .
Quantidade
. 50
. 67,5
. 85
Valor
cobrado

48. Observe que existe
apenas uma
correspondência da
“Quantidade” para o
P = 15 + 35.x
1 . . 50
“Quantidade” para o
“Valor cobrado”
1 .
1,5 .
2 .
Quantidade
. 50
. 67,5
. 85
Valor
cobrado

49. Alguma das relações a seguir representam função
de A em B?
a) b)
EXERCÍCIOS

50. Temos um elemento
Alguma das relações a seguir representam função
de A em B?
a)
Não
RESPOSTA
Temos um elemento
em A que está
associado a dois
elementos em B.

51. Alguma das relações a seguir representam função
de A em B?
b)
Não
Temos um elemento
RESPOSTA
Temos um elemento
em A que não está
associado a nenhum
elemento em B.

52. FUNÇÃO - Definição
Dados dois conjuntos não
vazios A e B, uma relação (ou
correspondência) que associa
correspondência) que associa
a cada elemento x A um
único elemento y recebe o
nome de função de A em B.