1. 27
Apostila 6º Ano - CPII
4. ÂNGULOS
4.1.Conceito, elementos e notação.
CONCEITO
ELEMENTOS
NOTAÇÃO
V
A
C
B
D
Observe que na figura ao lado temos:
Duas retas concorrentes AC e BD no plano ;
O ponto V, interseção entre as duas retas;
As regiões AVB, BVC, CVD e DVA do plano.
^ ^ ^ ^
DEFINIÇÃO: Ângulo é a região do plano situada entre duas semirretas distintas de mesma origem.
Vamos destacar a região BVC:
^
Complete:
VB é uma .SEMIRRETA ... de origem em...V...........
VC é uma SEMIRRETA.........de origem em ..V....................
V
C
B
Os elementos de um ângulo são:
Vértice Ponto de origem das duas semirretas.
Lados Cada uma das semirretas.
Abertura Região interna determinada pelas semirretas.
V
Vértice
C
B
Abertura
Lado
Lado C
V
C
B
Um ângulo pode ser identificado dos seguintes modos:
a) BVC
b) BVC
c) V
^
^ ATENÇÃO: Lembre-se que, na notação, a letra
que corresponde ao vértice fica sempre entre as
outras duas: BVC.
^
2. 28
Apostila 6º Ano - CPII
4. ÂNGULOS
EXERCÍCIOS
1. Indique os elementos do ângulo dado:
3. Para cada ângulo dado, indique o vértice e os lados:
Vértice: ...V............................. Vértice: ...D............................. Vértice: ....P...........................
Lados: .VM..e...VA..................... Lados: .DB e DF........................ Lados: PK e PT......................
5. Trace, com o auxílio da régua, os ângulos pedidos:
M
V
A
B
D
F
K
P
T
2. Desenhe os ângulos ABC
e BCD
e pinte suas
regiões internas de azul e amarelo, respectivamente:
A
+
C
+
+
B
+
D
4. Relacione a coluna da direita com os ângulos 1, 2 e 3 abaixo:
(..2..) BAC
(..3...) ACB
(..1..) ABC
C
A
B
( 1 )
B
A
C
( 2 )
C
A
B
( 3 )
R
+
P
+
+
S
b) RPS
^
c) EHL
+
E
+
L
H
+
^
ABERTURA
VÉRTICE
LADO
LADO
PINTAR DE
AZUL
PINTAR DE
AMARELO
a) ABC
A
+
B
+
+ C
^
3. 29
Apostila 6º Ano - CPII
4. ÂNGULOS
6. Identifique os ângulos abaixo:
7. Observe a imagem abaixo e complete as lacunas:
8. Identifique os ângulos que existem na figura:
9. Observe a imagem ao lado (reprodução da obra Geraldo de
Barros - Função Diagonal - 1952) e destaque os ângulos
pedidos, contornando-os:
a) Ângulo é a região do plano situada entre duas ..SEMIRRETAS...
distintas de mesma ORIGEM.........
b) Os elementos desse ângulo são: um .VÉRTICE... (ponto A), dois
LADOS... (semirretas ..AC... e ..AB.....) e a ABERTURA...., região
interna do ângulo.
c) Esse ângulo pode ser identificado: . BAC., . BAC.. ou A
A
C
B
a)
...............
R
S
T
b)
...............
E
F
D
c)
...............
O
M N
Ângulos: . MPN, MPO, NPO
........................................................................................... .
M
N
O
P
A
B
C
D
E
F
G
a) BEF de azul;
b) EDB de vermelho;
c) BCA de verde.
^
^
^
TRS EDF OMN
^
^
^ ^
4. 30
Apostila 6º Ano - CPII
4. ÂNGULOS
4.2.USO DO TRANSFERIDOR
MEDIDAS DE ÂNGULOS
Podemos, também, indicar o ângulo utilizando uma letra minúscula do alfabeto grego acompanhada de um
arco ligando seus lados. Este arco indica a região do ângulo a ser medida (onde começa e termina o ângulo), e a letra
grega representa esta medida.
Para medir ângulos utilizamos um instrumento chamado transferidor e sua unidade de medida é o grau.
Existem dois tipos de transferidores facilmente encontrados no mercado: o de 180º e o de 360º.
VAMOS CONHECER O TRANSFERIDOR!
Este instrumento tem os seguintes elementos:
LINHA DE FÉ: Reta que liga as graduações dos ângulos de 0º e 180º.
CENTRO DO TRANSFERIDOR: Ponto médio da linha de fé.
LIMBO: Região do transferidor que contém a graduação dos ângulos.
Observe os ângulos ao lado:
Eles são diferentes uma vez que não têm a mesma abertura.
Então, podemos dizer que eles possuem medidas diferentes.
α ≠ β ou BAC ≠ EDF
^ ^
Colégio Pedro II
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180 0
Colégio Pedro II
0 - 360
350
330
320
340
310
300
290
280
270
260
250
240
230
220
210
200
190
180
170
160
150
140
130
120
110
100 90 80
70
60
50
40
30
20
10
LIMBO
LINHA
DE FÉ
CENTRO DO
TRANSFERIDOR
Transferidor de 360º
Transferidor de 180º
CENTRO DO
TRANSFERIDOR
LINHA
DE FÉ
E
F
D
β
α
A
C
B
5. 31
Apostila 6º Ano - CPII
4. ÂNGULOS
BÔA = ...47º..........
Vamos medir o ângulo BÔA!
O
A
B
Para medir o ângulo com o transferidor:
Coloque o transferidor sobre o ângulo, fazendo coincidir o centro
do instrumento com o vértice do ângulo e, a linha de fé, com um
dos lados do ângulo.
Iniciando a contagem sempre do zero, verifique o número da
graduação que se encontra no outro lado do ângulo. O valor
indicado é a medida do ângulo.
Se achar necessário prolongue os lados com a régua.
Atenção: Comece a contar do 0°
e cada marcação vale 1º.
Para saber quanto mede o
ângulo BÔA, olhe o outro lado
do ângulo (outra semirreta).
O A
B
0
Colégio Pedro II
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180 0
10
20
30
40
50
60
70
80 90 100
110
120
130
140
150
160
170
180
0
Colégio Pedro II
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180 0
10
20
30
40
50
60
70
80 90 100
110
120
130
140
150
160
170
180
Coincida o centro do transferidor
com o vértice do ângulo.
O A
B
Coincida a linha de fé com
um dos lados do ângulo.
6. 32
Apostila 6º Ano - CPII
4. ÂNGULOS
AGORA É SUA VEZ !
Quanto mede os ângulos abaixo:
S
R
T
0
Colégio Pedro II
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180 0
10
20
30
40
50
60
70
80 90 100
110
120
130
140
150
160
170
180
RST = .... 110º.........
^
L
M
N
0
Colégio Pedro II
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
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120
130
140
150
160
170
180 0
10
20
30
40
50
60
70
80 90 100
110
120
130
140
150
160
170
180
NLM = ....70º...
^
ATENÇÃO:
Comece a contar do 0° que está na
semirreta (lado) apoiada na linha de fé.
S
R
T
RST = ..110º..........
^
Cuidado! Lembre-se que além do centro do transferidor ser coincidente com o vértice, a linha de fé deve SEMPRE
estar sobre um dos lados do ângulo. Sendo assim, a posição do transferidor deverá acompanhar a posição do
ângulo. Observe o ângulo RST em outra posição:
^
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
0
10
20
30
40
50
60
70 80 90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
S
R
T
7. 33
Apostila 6º Ano - CPII
4. ÂNGULOS
CONSTRUINDO UM ÂNGULO COM O TRANSFERIDOR:
Também podemos construir ângulos com as medidas que desejamos, usando o transferidor.
Vamos traçar o ângulo EDF de 130°.
^
D E
D E
1º passo: Trace uma semirreta de
origem no ponto D.
2º passo: Posicione corretamente o transferidor,
coincidindo o seu centro com o ponto D e a linha
de fé com a semirreta DE. Marque com um traço
o ângulo desejado (130°).
0
Colégio Pedro II
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180 0
10
20
30
40
50
60
70
80 90 100
110
120
130
140
150
160
170
180
D E
3º passo: Retire o transferidor. Trace
o segundo lado do ângulo ligando, com
o auxílio da régua, o traço marcado
com o ponto D.
D E
D E
F Finalize marcando o ponto F e
reforçando o traçado.
8. 34
Apostila 6º Ano - CPII
4. ÂNGULOS
EXERCÍCIOS
1. Meça os ângulos e indique suas medidas:
2. Sobre o desenho do transferidor, construa os ângulos pedidos:
ATENÇÃO: Observe que, para cada ângulo, existem duas opções de direção. Escolha uma direção diferente para
cada um.
3. Com a régua e o transferidor, desenhe os ângulos com as seguintes medidas:
a) = ..48º......
b) = 136º........
c) = ..80º........
0
Colégio Pedro II
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20
30
40
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60
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80
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100
110
120
130
140
150
160
170
180 0
10
20
30
40
50
60
70
80 90 100
110
120
130
140
150
160
170
180
a) OPQ = 67°
^
b) EFG = 153°
^
0
Colégio Pedro II
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
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130
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150
160
170
180 0
10
20
30
40
50
60
70
80 90 100
110
120
130
150
160
170
180
Atenção: Na medição de ângulos, às vezes é necessário prolongar os
lados da figura, com traços bem suaves, para alcançar o limbo e obter
uma leitura mais precisa.
F
G
V
A
d) AVB = 83°
^
c) JFG = 65°
^
Q A
R H
b) PQA = 120°
^
a) RHT= 30°
^
T
P
J B
P
O
Q
F
E
G
9. 35
Apostila 6º Ano - CPII
4. ÂNGULOS
4. Meça os ângulos a seguir, utilizando o transferidor. Escreva as medidas dentro do ângulo:
5. A professora da turma de Rafaela pediu aos seus alunos que traçassem um ângulo de 125°. No entanto, alguns
alunos ficaram com dúvida na hora de traçar este ângulo.
Marque com (X) o ângulo que corresponde a 125°:
6. Trace o ângulo CÔB = 75° nas duas semirretas abaixo, observe que eles irão ficar para duas direções diferentes:
M C T S
L J E Y
O
B
O
B
a. ( )
0
Colégio Pedro II
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180 0
10
20
30
40
50
60
70
80 90 100
110
120
130
150
160
170
180
0
Colégio Pedro II
10
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70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180 0
10
20
30
40
50
60
70
80 90 100
110
120
130
150
160
170
180
b. (X)
180º
90º
65º
120º 70º
33º 75º 35º
180º
C C
10. 36
Apostila 6º Ano - CPII
4. ÂNGULOS
14bis
Como se sabe, o Desenho Geométrico está presente nas mais diversas áreas do conhecimento. O
desenvolvimento das ciências tecnológicas, particularmente, necessitam de traçados precisos, uma vez que um mínimo
problema de inexatidão, mesmo que milimétricos, podem levar a danos de grandes proporções.
Observe como os ângulos são importantes no ramo da aviação, por exemplo:
7. No ano de 1906, um brasileiro chamado Alberto Santos Dumont, realizou pela primeira vez a proeza de voar com um
aparelho mais pesado que o ar, uma engenhoca batizada como 14 Bis. Estava homologado, então, o primeiro vôo da
história. Construa com precisão a trajetória do 14 Bis, sabendo que suas rodas saíram do chão no ponto A em uma
decolagem que fazia 17° com o solo:
8. Do Distrito Federal partem três vôos de uma determinada Companhia Aérea. Trace no mapa as direções dessas rotas
sabendo que elas fazem 45º, 105° e 150° com a semirreta que tem origem no ponto B. A seguir, escreva os estados
sobrevoados pelas aeronaves que cumprem essas três rotas:
I
A
Os aviões que cumprem as rotas citadas sobrevoam os seguintes estados brasileiros:
45° - ......................................................................................................................................
105° - ....................................................................................................................................
150° - ....................................................................................................................................
Sentido da
medição, no
transferidor.
B
GO; BA; PE; PB; RN
GO; TO; PA; AP
GO; MT; AM
11. 37
Apostila 6º Ano - CPII
4. ÂNGULOS
4.3. C
CL
LA
AS
SS
SI
IF
FI
IC
CA
AÇ
ÇÃ
ÃO
O DE ÂNGULOS
Os ângulos são classificados de acordo com a abertura (medida) que possuem.
Eles podem ser: reto, agudo, obtuso, raso ou meia volta, reentrante ou côncavo e pleno ou volta completa.
VAMOS CONHECER CADA UM DELES:
ÂNGULO RETO
Observe a figura:
O círculo foi dividido em quatro regiões congruentes.
Um círculo inteiro tem 360°, cada uma dessas regiões tem 90°.
A cada um desses ângulos denominamos ângulo reto.
E suas semirretas são perpendiculares entre si.
ÂNGULO AGUDO
Todo ângulo menor que o ângulo reto é chamado de ângulo agudo.
Assim, a medida de um ângulo agudo é menor que 90°.
ÂNGULO OBTUSO
Todo ângulo maior que o ângulo reto é chamado ângulo obtuso.
Assim, a medida de um ângulo obtuso é maior que 90° e menor que 180°.
Ângulo RETO
Medida = 90°
Ângulo AGUDO
Medida < 90°
Ângulo OBTUSO
Medida > 90° e < 180°
12. 38
Apostila 6º Ano - CPII
4. ÂNGULOS
ÂNGULO RASO OU ÂNGULO DE MEIA-VOLTA
Todo ângulo cuja medida é igual a 180° é chamado de ângulo raso.
O ângulo raso é o dobro do ângulo reto.
ÂNGULO REENTRANTE OU CÔNCAVO
Todo ângulo maior que o ângulo de 180
0
e menor que 360
0
é chamado
ângulo côncavo ou reentrante.
ÂNGULO PLENO OU ÂNGULO DE VOLTA COMPLETA
Todo ângulo cuja medida é igual a 360
0
é chamado ângulo pleno ou
ângulo de volta completa.
Ângulo RASO
Medida = 180°
Ângulo PLENO
Medida = 360°
Ângulo CÔNCAVO
Medida > 180° e < 360°
13. 39
Apostila 6º Ano - CPII
4. ÂNGULOS
EXERCÍCIOS
1. Com auxílio do transferidor, meça os ângulos abaixo e, a seguir, classifique-os quanto às suas aberturas:
OBS: Lembre-se de prolongar os lados dos ângulos para conseguir medi-los.
2. Dados as medidas dos ângulos, classifique-os:
3. Complete a colméia dos ângulos:
a) Ângulo com abertura maior que 180º e menor que 360º
b) Ângulo com abertura menor que 90º
c) Ângulo com abertura maior que 90º e menor que 180º
d) Ângulo com abertura igual a 360º
e) Ângulo com abertura igual a 180º
π = .32º...
Classificação:
........AGUDO............
γ = .. 118º....
Classificação:
........OBTUSO.............
β = 90º....
Classificação:
..........RETO...................
α = . 62º....
Classificação:
........AGUDO...............
β
α
γ
π
a) RST = 180
º
..............RASO ...............….. e) ABD = 95
º
............OBTUSO....................
b) GHF = 78
º
..........AGUDO ........................ f) MOP = 135
º
............. OBTUSO................
c) JLH = 360
º
.......PLENO ....................…... g) QRS = 230
º
........... CÔNCAVO.................
d) EFG = 25
º
..... AGUDO ...................... h) TUV = 90
º
.............. RETO.................
^
^
^
^
^
^
^
^
G
N
Â
U
L
O
a)
b)
c)
d)
e)
C C
A
A
Ô O
O
O O
O
A
V
U D
B T S
R S
P E N
14. 40
Apostila 6º Ano - CPII
4. ÂNGULOS
4. Construa, com auxílio da régua e do transferidor, os ângulos com as seguintes medidas e depois classifique-os:
5. Dadas as retas s e m, desenhe os ângulos pedidos, com auxilio do transferidor e da régua:
T
U
b) RTU = 135°
^
Classificação: ........OBTUSO..............................
F
H
c) GHF = 25°
^
Classificação: ............ AGUDO.......................
B
C
d) BCD = 90°
^
Classificação: ............RETO..................
M
N
a) MNO= 45°
^
Classificação: ......AGUDO...........................
m
s
a) DÊF = 90
0
, tal que EF está contido na reta s. b) NÔP = 120
0
, sabendo que OP está contido na reta m.
E
D
F
P
O
N
G
D
R
O
