2. Construyendo un Tablero…………….
El equipo de fútbol de una escuela quiere hacer un tablero
de aglomerado rectangular
para colocar novedades y propuestas.
Dispone, para rodearlo, de 4 m. de varilla pintada con
los colores del equipo,
y desea abarcar con ella la mayor superficie posible para
pegar los carteles de sus anuncios.
¿Cuáles deberán ser la dimensiones del tablero para que
esto suceda?
3. ¿Cómo procedemos cuando no es
posible analizar la función a partir de
su gráfica para optimizarla ?
En estos casos nos valdremos de lo aprendido
hasta el momento y resolveremos la situación
problemática mediante la aplicación de
derivadas de primer y segundo orden. A éste
procedimiento se lo conoce con el nombre
de….….
4. Problemas de optimización
Hacemos un dibujo representando la situación
problemática a resolver .
x
yTablero
Designamos con "x ", "y " las longitudes de los lados del
rectángulo.
5. Planteamos la función que debemos
maximizar o minimizar.
¿Cuál de las siguientes funciones corresponde a la
función superficie del rectángulo?
S = x . y 2x + 2y = 4
6. Se debe maximizar la superficie “S” de un rectángulo
Estás en condiciones de
seguir avanzando….
7. La función elegida 2x + 2y = 4 corresponde al
perímetro del rectángulo
¿es la Función Perímetro la que deseamos optimizar?
SI NO
8. Construyendo un Tablero…………….
El equipo de fútbol de una escuela quiere hacer un tablero
de aglomerado rectangular
para colocar novedades y propuestas.
Dispone, para rodearlo, de 4 m. de varilla pintada con
los colores del equipo,
y desea abarcar con ella la mayor superficie posible para
pegar los carteles de sus anuncios.
¿Cuáles deberán ser la dimensiones del tablero para que
esto suceda?
10. Planteamos una ecuación que relacione las
distintas variables del problema, en el caso de
que haya más de una variable.
Como el perímetro del rectángulo debe ser 4 m.,
entonces la ecuación auxiliar es:
2x + 2y = 4 x + y = 2
Despejamos una variable de la ecuación
y = 2 – x
11. Sustituimos en la función a optimizar de modo
que nos quede de una sola variable.
S = x . y = x . (2 – x)
S (x) = 2 x – x2
Determinamos el dominio de esta función.
¿Cuál es el Dominio de la función S?
x (0;2) x R
14. Obtenemos la primera derivada de la
Función Superficie
S´ (x) = 2 – 2 x
Para determinar los valores críticos, y hallar los
extremos locales, analizamos las dos condiciones
posibles:
x/S´ (x) = 0
x/no existe S´ (x)
15. Como pudiste comprobar, la función S´(x) está definida en
el mismo Dominio que S(x), por lo tanto existe ∀ x∈(0;2)
y S´(x)=0 si x=1
En x=1 hay un punto crítico
¿Eres capaz de analizar si este valor es máximo o mínimo?
16. Al ser S(x) una función cuadrática, a partir de su gráfica
en (0;2) podemos determinar cual es el valor máximo de
la misma que se encuentra en la abscisa del vértice.
A partir del gráfico
podemos observar que
el máximo de S(x) se
produce en x = 1, que
es el vértice de la
parábola, resultando
S(1)= y = 1 , con lo
que podemos decir que
el tablero de mayor
área es un cuadrado.
0 1 2 x
y
1
S(x) = 2x- x2
continuemos….
17. Si usamos el criterio de la primera derivada
podemos ver que:
para valores de x<1, la función S´(x) es positiva y
entonces S(x) es creciente en el intervalo (0;1)
para valores de x>1, la función S´(x) es negativa y
entonces S(x) es decreciente en el intervalo (1;2)
Ahora estás en condiciones de completar la siguiente oración
seleccionando una opción……..
En x=1 hay un punto crítico, éste es un valor
Máximo Mínimo
20. Si usamos el criterio de la segunda derivada
podemos ver que:
si S´´<0, la función S(x) es cóncava hacia abajo
si S´´>0, la función S(x) es cóncava hacia arriba
Ahora estás en condiciones de completar la siguiente
oración seleccionando una opción……..
En x=1 hay un punto crítico, éste es un valor
Máximo Mínimo
23. Para tener en cuenta……
• En caso que la función presente varios puntos
críticos, debemos evaluar la misma en cada uno de
ellos.
• En caso que la función esté definida en un un
intervalo cerrado, debemos evaluar la misma en los
extremos del intervalo.
• Comparamos los valores obtenidos anteriormente y
determinamos cuál verifica la condición planteada (de
ser un valor máximo o mínimo de la función)
24. Verificamos que el valor obtenido cumpla con las
condiciones dadas en el problema
Si x=1 entonces y=1.
Resolvimos el problema y estamos en
condiciones de responder a la pregunta
establecida en el enunciado del problema
Las dimensiones del tablero rectangular que desean
construir los jugadores de fútbol obteniendo la mayor
superficie y perímetro 4 m. resulta ser un cuadrado
de lado 1.
25. Proponemos un problema para
aplicar lo aprendido:
Se desea construir una pecera con forma de
prisma de base cuadrada y
con una capacidad de 1 m3 de agua.
El vidrio con que se construirá cuesta $6 el m2.
¿Qué dimensiones de la pecera
hacen mínimo el costo?
26. Hacemos un dibujo representando la situación
problemática a resolver .
Designamos con
"x “las longitud
de las aristas de
la base y con "y
" la longitud de
la altura de la
pecera.
x
x
y
27. La función que se quiere minimizar es la función
costo, y ella está directamente relacionada con la
cantidad de vidrio necesario para la construcción
de la pecera.
¿Cuál de las siguientes funciones corresponde a la
función superficie del rectángulo?
A = 4. x.y + x2
V = x2.y = 1
28. La función que se quiere minimizar es la función costo, y
ella está directamente relacionada con la cantidad de vidrio
necesario para la construcción de la pecera
Estás en condiciones de
seguir avanzando….
29. La función elegida corresponde al volumen de la
pecera
¿es la Función Volumen la que deseamos optimizar?
SI NO
30. Construyendo una pecera muy
económica………….
Se desea construir una pecera con forma
de prisma de base cuadrada y
con una capacidad de 1 m3 de agua.
El vidrio con que se construirá cuesta
$6 el m2.
¿Qué dimensiones de la pecera
hacen mínimo el costo?
31. Inténtalo de nuevo
No olvides que se desea obtener el
costo mínimo y éste se relaciona
con el área!!!
32. Planteamos una ecuación que relacione las
distintas variables del problema:
Despejamos “y” de la ecuación del Volumen
y =
Sustituimos ahora en la función área :
A = 4. x. + x2
2
x
1
2
x
1
33. Resulta una función en una sóla variable:
A =
cuyo valor mínimo debemos encontrar.
¿Cuál es el Dominio de la función A(x)?
x >0 x R
2
3
x
x4
36. Obtenemos la primera derivada de la
Función Area
Para determinar los valores críticos analizamos las dos
condiciones posibles:
x/S´ (x) = 0
x/no existe S´ (x)
Te pedimos que realices las gráficas en excel
para poder determinar los puntos críticos de la
función área
A’(x) =
2
3
x
4-2x
Ir a Excel
37. Como pudiste comprobar, la función A´(x) está definida en
el mismo Dominio que A(x), por lo tanto existe ∀ x>0 y
A´(x)=0 si x=
¿Eres capaz de analizar si este valor es máximo o mínimo?
Te proponemos que utilices los recursos aprendidos
de Excel, puedes usar el que prefieras!!!!
A´´(x)A´(x)A(x)
3
2
38. Ahora estás en condiciones de completar la
siguiente oración seleccionando una
opción……..
Hay un punto crítico en x=
y es un valor
Máximo Mínimo
3
2
41. Vemos, que al pasar por x = , la función cambia de
decreciente a creciente, por lo tanto la misma presenta
en x = un mínimo local.
Si x = , resulta y = 3
4
1
3
2
3
2
Por lo tanto las dimensiones de la pecera para que el
costo de su construcción resulte mínimo son: m de
arista de la base y m de altura.
3
2
3
2
3
4
1
