Graph

1. นิยามกราฟ
• กราฟ เป็ นโครงสร้างที่นามาใช้เพื่อแสดงความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุ โดย
ํ
แทนวัตถุดวยเวอร์เท็กซ์ และเชื่อมโยงความสัมพันธ์ดวยเอดจ์
้ ้
บทที่ 7 • เขียนในรู ปของสัญลักษณ์ได้เป็ น G = (V,E)
• ซึ่ง V(G) คือ เซตของเวอร์เทกซ์ที่ไม่ใช่เซ็ตว่าง และมีจานวนจํากัด
ํ
กราฟ (Graph) • E(G) คือ เซตของเอดจ์ ซึ่ งเขียนด้วยค่ของเวอรเทกซ
คอ เซตของเอดจ ซงเขยนดวยคู องเวอร์เท็กซ์
เอดจ์
A B
เวอร์เท็กซ์ เวอร์เท็กซ์
องค์ ประกอบโครงสร้ างข้ อมูลแบบกราฟ ตัวอย่ าง
เวอร์ เท็กซ์ V(G) ได้ แก่ A B C D E
A B เอดจ์ E(G) ได้ แก่
เส้ นที่เชื่อมโยงจาก A ไป B
เส้้ นที่เี ชืื่อมโยงจาก A ไป C
โ
เส้ นที่เชื่อมโยงจาก A ไป D
เส้ นที่เชื่อมโยงจาก A ไป E
C D E เส้ นที่เชื่อมโยงจาก B ไป E
V = {1, 2, 3, 4} V(G) = {A, B, C, D, E}
E = {(1,2), (1,4), (2,3), (3,4)} E(G) = {(A,B), (A,C), (A,D), (A,E), (B,E)}
กราฟแบบไม่ มีทิศทาง
7.1.2 ชนิดของกราฟ
1) กราฟแบบไม่มีทิศทาง (Undirected Graph) จะเป็ น
กราฟที่มีเส้นเชื่อมโยงระหว่างเวอร์เทกซ์ท้ง 2 ซึ่ งไม่มีทิศทางว่าจากเวอร์
ั
เทกซ์ใดไปยังเวอร์เทกซ์ใด การเขียนเซตของเส้นเชื่อมโยงจะเขียนอยูใน ่
เครองหมายวงเลบ
เครื่ องหมายวงเล็บ
V(G) = {a, b, c, d}
E(G) = {(a,b) , (b,c), (c,d), (d,b), (a,c)}
หรือ
E(G) = {(b,a) , (c,b), (d,c), (b,d), (c,a)}
1

2. ภาพตัวอย่ างกราฟไม่ มีทิศทาง ภาพตัวอย่ างกราฟไม่ มีทิศทาง
V(G) = {1, 2, 3, 4, 5}
E(G) = {(1,2) , (2,4), (4,5), (5,3), (3,4), (2,3)}
กราฟทีมีทศทาง (Digraph)
่ ิ กราฟแบบมีทิศทาง
V(G) = {a, b, c, d}
• กราฟแบบมีทศทาง = กราฟที่มีเอดจ์ เป็ นหัวลูกศร ซึ่ งแสดงทิศทาง
ิ E(G) = {<a,b> , <a,c>, <b,d>, <d,c>, <c,b>}
จากเวอร์ เท็กซ์ หนึ่ง ไปยังอีกเวอร์ เท็กซ์ หนึ่ง (Directed Graph)
A B
กรุงเทพ เวียงจันทร์
จากภาพ มีเส้นทางจากกรุ งเทพไปเวียงจันทร์ แต่ไม่มีเส้นทางจากเวียงจันทร์
ไปกรุ งเทพ
ภาพตัวอย่ างกราฟแบบมีทิศทาง ภาพตัวอย่ างกราฟแบบมีทิศทาง
2

3. ระดับขั้นเข้ าและระดับขั้นออก
ระดับขั้นเข้า (In-degree) คือ จํานวนของเอดจ์ที่เข้าไป
ยังเวอร์เทกซ์น้ น ๆ
ั
ระดับขั้นออก(Out-degree) คือ จํานวนของเอดจ์ที่ออกจาก
เวอรเทกซนน
เวอร์เทกซ์น้ น ๆ
ั
กราฟสมบูรณ์
• กราฟที่ทุกเวอร์เท็กซ์มีเอดจ์เชื่อมโยงไปยังเวอร์เท็กซ์ที่เหลือ
ทั้งหมด
A
B C
ในกราฟสมบูรณ์ สามารถคํานวณจํานวนเอดจ์ ได้ จาก N*(N-1)/2
3

4. สู ตรหาจํานวนเอดจ์ ของกราฟไม่ มทิศทาง = (N * (N – 1)) / 2
ี สู ตรหาจํานวนเอดจ์ ของกราฟมีทศทาง
ิ = N * (N –1)
จากภาพที่ (ข) ซึ่ งเป็ นกราฟแบบมีทิศทาง และจํานวนเวอร์เทกซ์ที่มี
กราฟแบบไม่มีทิศทาง และจํานวนเวอร์เทกซ์ท่ีมีท้ งหมด เท่ากับ 4 เวอร์เทกซ์ จึง
ั ทั้งหมดเท่ากับ 4 เวอร์เทกซ์ จึงคํานวณหาจํานวนเอดจ์ได้ดงนี้
ั
คํานวณหาจํานวนเอดจ์ได้ดงนี้
ั
สู ตรหาจํานวนเอดจ์ของกราฟไม่มีทิศทาง = (N * (N – 1)) / 2
สูตรหาจํานวนเอดจ์ของกราฟมีทิศทาง = N * (N –1)
= (4 * (4 – 1)) / 2 = 4 * ( 4 – 1)
= (4 * 3 ) / 2 =4*3
= 12 / 2 = 12 เส้น
= 6 เส้น
กราฟทีมีนําหนัก (Weighted Graphs)
่ ้ กราฟที่มีนําหนัก
้
• กราฟที่แต่ ละเอดจ์ จะมีค่าบ่งบอกถึงความหมายอย่างใดอย่างหนึ่ง
เช่น ระยะทาง ความเร็ว เวลาเดินทาง ค่ าโดยสาร เป็ นต้น
101
ปทมธานี
ุ สระบรี
ุ
46 101 58
107 นครนายก
กรุงเทพ
100 29
82
ฉะเชิงเทรา 76 ปราจีนบุรี
เส้ นทาง (Path) ของกราฟ คือ ลําดับของเวอร์เทกซ์ที่ถูกเชื่อมต่อ
ด้วยเอดจ์ โดยเริ่ มตั้งแต่เวอร์เทกซ์แรกไปจนถึงเวอร์เทกซ์สุดท้ายหรื อ การแทนกราฟด้ วยอะเรย์สองมิติ
เวอร์เทกซ์ที่ตองการ
้
B
A B C D
A
0 1 1 1
A C B
1 0 0 1
C 1 0 0 1
เส้ นทางจาก A ไป E
D 1 1 1 0
P1 = (A, B, C, D, E) ความยาวของเส้นทางเท่ากับ 4 D
เส้ นทางจาก A ไป H
P2 = (A, B, C, F, G, H)ความยาวของเส้นทางเท่ากับ 5
4

5. การแทนที่กราฟ
การแทนที่กราฟ
การแทนที่กราฟ การท่ องไปในกราฟ (Graph traversal)
• การท่ องไปในกราฟ (graph traversal) คือ กระบวนการเข้าไป
เยือนโหนดในกราฟ โดยมีหลักในการทํางานคือ แต่ละโหนดจะถูก
เยือนเพียงครั้งเดียว สําหรับการท่องไปในทรี เพื่อเยือนแต่ละโหนดนั้น
จะมเสนทางเดยว แตในกราฟระหวางโหนดอาจจะมหลายเสนทาง
จะมีเส้นทางเดียว แต่ในกราฟระหว่างโหนดอาจจะมีหลายเส้นทาง
ดังนั้นเพือป้ องกันการท่ องไปในเส้ นทางทีซํ้าเดิมจึงจําเป็ นต้ องทํา
่ ่
เครื่องหมายมาร์ คบิตบริเวณทีได้ เยือนเสร็จเรียบร้ อยแล้วเพื่อไม่ให้เข้า
่
ไปเยือนอีก สําหรับเทคนิคการท่องไปในกราฟมี 2 แบบดังนี้
สํ าหรับเทคนิคการท่ องไปในกราฟมี 2 แบบดังนี้
การท่ องไปในกราฟแนวกว้ าง
• การท่ องแบบกว้าง (Breadth first traversal) วิธีน้ ีทาโดยเลือกโหนด
ํ การท่ องไปแนวกว้าง = A G B H E C F D
ั
ที่เป็ นจุดเริ่ มต้น ต่อมาให้เยือนโหนดอื่นที่ใกล้กนกับโหนดเริ่ มต้นทีละ
ระดับ จนกระทังเยือนหมดทุกโหนดในกราฟ ตัวอย่างแสดงเส้นทาง
่
การท่องแบบกว้างทีละโหนดตามลําดับ
A การท่่ องไปแนวกว้้าง A B C D E F
ไป
B C D
E F
5

6. การท่ องแบบลึก (Depth first traversal) การท่ องไปในกราฟแนวลึก
• การทํางานคล้ายกับการท่องทีละระดับของทรี โดยกําหนดเริ่มต้ นที่
โหนดแรกและเยือนโหนดถัดไปตามแนววิถีน้ันจนกระทังนําไปสู่ ปลาย
่
วิถีน้ัน จากนั้น ย้อนกลับ (backtrack) ตามแนววิถีเดิมนั้น จนกระทัง ่
สามารถดําเนินการต่อเนื่องเข้าสู่แนววิถีอื่น ๆ เพื่อเยือนโหนดอื่น ๆ
ต่อไปจนครบทุกโหนด
A
B C D
8
E F
ABECFD
• Spanning Tree คือต้นไม้ที่ประกอบด้วยโหนดทุกโหนดของ
การท่ องไปแนวลึก = A B C D E F G H กราฟ โดยแต่ ละคู่ของโหนดจะต้ องมีเส้ นเชื่อมเพียงเส้ นเดียว นันคือไม่ มี
่
loop หรือ cycle
• สมมติสถานการณ์ให้กราฟแสดงเส้นทางการบินระหว่าง 7 เมือง แต่ดวย ้
เหตุผลทางธุรกิจทําให้ตองปิ ดเส้นทางการบินไปให้มากที่สุดแต่ยงคง
้ ั
สามารถเชื่อมต่อถึงกันได้หมด
a b a b a b
1. ห้ามมี 2 เส้น
c d c d c d
2. ห้ามตัดเส้นออก
e e f e f 3. ห้ามมี cycle
f
g g g
Minimum spanning tree
MST หมายถึงเวทจ์กราฟและเป็ นสแปนนิ่งทรี ที่มีค่านํ้าหนักรวมกัน Minimum spanning tree
แล้วมีค่าน้อยที่สุด
• Representation
.29 2 .29 2
0 0 .29 2 0 1 2 3 4 5 6 7
.51 .51
.31 .31 0 .51 0 * .32 .29 * * .60 .51 .31
6 6 .31
6 1 .32 * * * * * * .21
.32 7 .25
25 .32 7 .25
25 .32 7 .25
.21 .21 .60
.21
2 .29 * * * * * * *
.60 .60 1 .51
3 * * * * .34 .18 * *
1 .51 1 .51 .46
.46 .46
4 * * * .34 * .40 .51 .46
3 5
.34
.60 * * .18 .40 * * *
.18
3 3 .40
6 .51 * * * .51 * * .25
5 4 7 .31 .21 * * .46 * .25 *
.34 .34
.18 .18
.40 .40
5 4 5 4
6

7. วิธีการในการหา Minimum Spanning Tree ที่นิยมใช้
มี 3 วิธี ดังต่ อไปนี้ Kruskal’s Algorithm
• เรียงลําดับ weight จากน้ อยไปมาก
1.Kruskal’s Algorithm 3-5 = .18 
Kruskal’s Algorithm ค้ นพบโดย Joseph Kruskal ในปี 1956 โดยมีหลักการ 1-7 = .21  .29 2
ดังต่ อไปนี้ 6-7 = .25  0 .51
.31
0-2 = .29  6
1. เลอก
1 เลือก Edge ใน Graph ที่มี Weight ตําสด เปน edge เริ่มต้ น
ทม ตาสุ ด เป็ น
่ เรมตน .32 7 .25
0-7 = .31  .60
.21
2. จากนั้นให้ เพิม Edge ที่มี Weight ตําสุ ดที่เหลืออยู่ ทีจะไม่ ทําให้ เกิด Simple Circuit
่ ่ ่ 0-1 = .32 เกิดวงจร 1
.46
.51
กับ Edge ที่เลือกไว้ แล้ ว ทําการหยุดหลังจากได้ n-1 Edge เลือกได้ n-1 edges 4.3 = .34 
3
4-5 = .40 เกิดวงจร
เลือก edge ที่ส้ันที่สุด .18
.34
เลือกได้ 4-7 = .46 
รวม edge นี้ ถ้ าไม่ เกิดวงจร 5 .40 4
n-1 edges 0-6 = .51
4-6 = .51
0-5 = .60
2.Prim’s algorithm Prim’s algorithm
• หลักการของ Prim’s Algorithm เริ่ มต้นจากเวอร์เท็กซ์ที่กาหนดแล้วํ
หาเวอร์เท็กซ์ขางเคียง เรี ยงตามค่านํ้าหนักของเอดจ์ มีข้นตอนดังนี้
้ ั - เลือก 1 จุด
- เลือก edge สั้นสุ ดที่ต่อกับที่ได้เลือกไว้
• 1. เลือก 1 จุด - รวม edge นี้ถาไม่เกิดวงจร
้
• 2. เลืือก edge สั้ นสุ ดทีี่ต่อกับทีี่ได้เ้ ลืือกไว้้
ั ั ไ
A A
• 3. รวม edge นี้ถาไม่เกิดวงจร
้ 14 8
1 14
8
1
13 7 13 7
B C D B C D
6 3 6 7
3 7
E 1 F E 1 F
3 Dijkstra’s algorithm Dijkstra’s algorithm
• single-source AD1 DE7 AC8
• วิธีการของ Dijkstra จะทําให้ได้สิ่งที่เรี ยกว่า single-source shortest shortest path
EC10 AB14 CB21
path หรื อเส้นทางที่ส้ นที่สุดจากจุดเดียว โดยใช้ priority queue ช่วยใน
ั DC8 DF8 EF8
การทํางาน มีข้นตอนดังนี้
ั 14
A
1
8 AB14 AC8 AD1
1. เลือกจุุดเริ่ มต้น B 13
C
7
D AD1 AC8 AB14 1
2. ตรวจสอบค่านํ้าหนักกับจุดที่เชื่อมต่อทุกจุด นําค่านํ้าหนักเก็บใน 3 6 7
priority queue แล้วเลือกเส้นที่มีค่าตํ่าสุ ด E F
DC8 DE7 DF8
1 DE7 AC8 DC8 DF8 AB14 2
3. เยียมจุดที่เลือกใหม่ แล้วทําซํ้า 2-3 จนกว่าจะเยียมครบทุกจุด
่ ่ A
1
ข้อกําหนด : การนําข้อมูลเก็บในคิว เป็ นไปตาม priority นันคือ ค่า่
14 EF8 EC10
8
13 7
นํ้าหนักน้อย มี priority สูงกว่า B C D 3 AC8 DC8 DF8 EF8 EC10 AB14
3 6 7 CB21
E 1 F 4 DC8 DF8 EF8 EC10 AB14 CB21
7

8. 4. จากกราฟต่อไปนี้ จงท่องไปในแนวลึก และ แนวกว้าง
แบบฝึ กหัด
โดยมีจุดเริ่ มต้นที่ เวอร์เทกซ์ B
• 1. จากภาพต่ อไปนี้ จงแทนกราฟด้ วยอะเรย์สองมิติ
B D
1 2
A
E
C
4 3
2. กราฟสมบูรณ์แบบไม่มีทิศทาง ประกอบด้วยเวอร์เทกซ์ท้ งหมด 7 เวอร์เทกซ์
ั G
F
จงคํานวณว่ากราฟนี้จะมีกี่เอดจ์
3. กราฟสมบูรณ์แบบมีทิศทาง ประกอบด้วยเวอร์เทกซ์ท้ งหมด 8 เวอร์เทกซ์
ั
จงคํานวณว่ากราฟนี้จะมีกี่เอดจ์
5. จากภาพต่อไปนี้ จงหาระยะทางโดยใช้วิธีการของ Dijkstra
โดยเริ่ มที่จุด B
2
A B 4
C
6 10
7
E 3
D
12
5 2
1
F G
8