Matematika persamaan variabel

1. PERSAMAAN &
PERTIDAKSAMAAN 1 dan 2
VARIABEL
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MURIA KUDUS
Tika Aniffartur Rif’ah (202233224)
Winny Apriliana (202233229)
Ziyad Arzaq Abdani (202233243)
Linda Dwi Cahyani (202233248)
Sandrina Mefiani (202233251)

2. 01
02
03
Variabel
Variabel dalam arti harfah disebut juga perubahan dalam
matematika SMP/MTS, perubahan itu dapat berupa huruf 𝑥, 𝑦
atau 𝑧, 𝑣 dan sebagainya.
Persamaan Linear
Persamaan linear adalah persamaan garis lurus.
Persamaan Linear satu Variabel (PLSV)
Persamaan linear satu variable adalah suatu kalimat matematika yang
memuat satu variabel berpangkat satu dan terdapat tanda sama dengn (=).
Bentuk Umum
𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐
dengan:
= a ≠ 0 ; 𝑥 disebut variabel/perubah
= semua suku di sebelah kiri tanda “=”
disebut ruas kiri
= semua suku di ruas kanan tanda “=”
disebut ruas kanan
Contoh:
5𝑥 + 6 = 16
Aturan Pada PLSV
𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐 ⇔ 𝑎𝑥 + 𝑏 – 𝑏 = 𝑐 – 𝑏
𝑎𝑥 − 𝑏 = 𝑐 ⇔ 𝑎𝑥 – 𝑏 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑏
𝑎𝑥 = 𝑐 ⇔
1
𝑎
× 𝑎𝑥 =
1
𝑎
× 𝑐
Penyelesaian PLSV
2𝑥 + 2 = 10
2𝑥 + 2 = ruas kiri
= 10 = ruas kanan

3. Perlu diingat bahwa pada ruas kiri baik itu menambah (+), mengurangi (-), mengali (×), dan membagi (:), harus lakukan juga pada ruas
kanan, begit juga sebaliknya.
Sistem pindah ruas:
2𝑥 + 2 = 10 ( kemudian kita pindahkan konstanta dengan konstanta)
2𝑥 = 10 – 2 (maka 2 yang tadinya positif (+), saat berpindah ruas jadi minus (-)
2𝑥 = 8 (2𝑥 itu sama dengan 2. 𝑥, maka saat berpindah ruas menjadi bagi (:)
𝑥 = 4
Contoh Soal:
1. Tentukan nilai dari 3𝑥+ 12 = 7𝑥 - 8 . Tentukan 𝑥 + 2
Pembahasan:
3𝑥 +12 = 7𝑥 - 8
3𝑥 - 7𝑥 = -12 – 8
- 4𝑥 = -20
𝑥= ˗20 : ˗ 4
𝑥= 5
Jadi, hasil dari 𝑥 + 2 = 5 + 2 = 7
2. Tentukan 𝑝 merupakan penyelesaian dari 6(2𝑥 – 3) = 3(3𝑥 + 5) – 3, nilai
dari 2𝑝−8 adalah?...
Pembahasan:
6(2𝑥 – 3) = 3(3𝑥 +5) – 3
12𝑥 – 18 = 9𝑥 +15 – 3
12𝑥 – 18 = 9𝑥 +12
12𝑥 - 9𝑥 = 12 + 18
3 𝑥 = 30
𝑥 = 10
𝑝 = 𝑥 = 10
Nilai dari 2𝑝 – 8 = 2 . 10 – 8 = 20 – 8 = 12
Jadi, nilai dari 2𝑝 – 8 adalah 12

4. Contoh Soal:
3. Tentukan nilai dari 3𝑥+ 12 = 7𝑥 - 8 . Tentukan 5𝑥 + 6
Pembahasan:
3𝑥 +12 = 7𝑥 - 8
3𝑥 - 7𝑥 = -12 – 8
- 4𝑥 = -20
𝑥 = 5
Jadi, hasil dari 5𝑥 + 6 = (5 *5) + 6 = 31
4. Tentukan 𝑝 merupakan penyelesaian dari 6(2𝑥 – 3) = 3(3𝑥
+ 5) – 3, nilai dari 5𝑝−8 adalah?...
Pembahasan:
6(2𝑥 – 3) = 3(3𝑥 +5) – 3
12𝑥 – 18 = 9𝑥 +15 – 3
12𝑥 – 18 = 9𝑥 +12
12𝑥 - 9𝑥 = 12 + 18
3 𝑥 = 30
𝑥 = 10
𝑝 = 𝑥 = 10
Nilai dari 5𝑝 – 8 = 5 . 10 – 8 = 50 – 8 = 42
Jadi, nilai dari 5𝑝 – 8 adalah 42
Contoh Soal:
5. Tentukan nilai dari 2𝑥+ 12 = 4𝑥 - 8 . Tentukan 2𝑥 + 5
Pembahasan:
2𝑥 +12 = 4𝑥 - 8
2𝑥 - 4𝑥 = -12 – 8
- 2𝑥 = -20
𝑥 = 10
Jadi, hasil dari 2𝑥 + 5 = (2 * 10) + 5 = 25
6. Tentukan 𝑝 merupakan penyelesaian dari 6(2𝑥 – 3) = 3(3
𝑥 + 5) – 3, nilai dari 5𝑝−15 adalah?...
Pembahasan:
6(2𝑥 – 3) = 3(3𝑥 +5) – 3
12𝑥 – 18 = 9𝑥 +15 – 3
12𝑥 – 18 = 9𝑥 +12
12𝑥 - 9𝑥 = 12 + 18
3 𝑥 = 30
𝑥 = 10
𝑝 = 𝑥 = 10
Nilai dari 5𝑝 – 15 = 5 . 10 – 15 = 50 – 15 = 35
Jadi, nilai dari 5𝑝 – 15 adalah 35

5. 04
Pertidaksamaan Linear satu Variabel (PtLSV)
Pertidaksamaan linear satu variabel adalah pertidaksamaan yang hanya
memuat satu variabel saja, misalnya variabel 𝑥. Jika suatu psamaan ditandai
dengan sama dengan “=”, maka pertidaksamaan ditandai dengan “<” ( lebih
kecil dari ), “>” ( lebih besar dari ), “≤ “ ( lebih kecil sama dengan ), “≥”( lebih
besar sama dengan ).
Bentuk Umum
𝑎𝑥 + 𝑏 < 𝑐
𝑎𝑥 + 𝑏 > 𝑐
𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 𝑐 atau
𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 𝑐, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎, 𝑏, 𝑐 € 𝑹, 𝑎 ≠ 0
Penyelesaian PtLSV
• Menyederhanakan terlebih dahulu operasi yang ada. Berlaku juga pada operasi
bertanda kurung.
• Gabungkan suku yang megandung variabel ke dalam satu ruas.
• Menambah atau mengurangi kedua ruas dengn bilangan yang sama tanpa mengubah
tanda ketidaksamaan.
• Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan postif yang sama tanpa
mengubah tanda ketidaksamaan.
• Mengalikan atau mmbagi kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama, tapi tanda
ketidaksamaanya berubah, dimana:
a. > menjadi <, dan sebaliknya
b. < menjadi >, dan sebaliknya

6. Sifat-Sifat
ketidaksamaan
1. Sifat penjumlahan
Untuk 𝑎∈𝑅
Jika 𝑎 < 𝑏 maka 𝑎+𝑐 < 𝑏+𝑐
Jika 𝑎 > 𝑏 maka 𝑎+𝑐 > 𝑏+𝑐
Jika kedua ruas pertidaksamaan dijumlahakan dengan bilangan real yang sama
maka tidak mengubah tanda ketidaksamaan
Contoh:
1) -7 < 3 2) x – 3 < 7
⇔ -7 + 3 < 3 + 3 ⇔ x – 3 + 3 < 7 + 3
⇔ -4 < 6 ⇔ x < 10
2. Sifat Perkalian
Jika 𝑎 < b , 𝑐 > 0 maka 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐
Jika 𝑎 > b , 𝑐> 0 maka 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐
Jika 𝑎 < b, 𝑐< 0 maka 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐
Jika 𝑎 > b, 𝑐 < 0 maka 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐
Jika kedua ruas dikalikan dengan bilangan real positif yang sama maka
tidak akan mengubah tanda ketidaksamaan, sedangkan jika dikalikan
dengan bilangan real negatif maka akan mengubah tanda
ketidaksamaan. Sifat ini berlaku juga untuk ≤ dan ≥.
Contoh:
1) -6 < 3 2) 9 > 4
⇔ -6 × 2 < 3 × 2 ⇔ 9 × (-2) < 4 × (-2)
⇔ -12 < 6 ⇔-18 < -8

7. 3. Sifat Pembagian
Jika 𝑎 < 𝑏, 𝑐 > 0 𝑚𝑎𝑘𝑎
𝑎
𝑏
<
𝑏
𝑐
Jika 𝑎 > 𝑏, 𝑐 > 0 maka
𝑎
𝑐
>
𝑏
𝑐
Jika 𝑎 < 𝑏, 𝑐 < 0 maka
𝑎
𝑐
>
𝑏
𝑐
Jika 𝑎 > 𝑏, 𝑐 < 0 maka
𝑎
𝑐
<
𝑏
𝑐
Sifat ini berlaku juga untuk ≤ dan ≥ Jika kedua ruas dibagi bilangan real poitif tidak akan mengubah tanda
ketidaksamaan,
sedangkan jika dibagi dengan bilanga real negatif maka akan megubah tanda ketidaksamaan.
Contoh:
1) 7 > 5 2) -4 ≤ 9
⇔
7
3
>
5
3
⇔
−4
−1
≤
9
−1
⇔ 4 ≥ -9
Contoh Soal:
Tentukn HP dari pertidaksamaan 4𝑎 – 4 > 6𝑎 + 8 dengan 𝑎 adalah bilangan real.
Penyelesaian:
4𝑎 – 4 > 6𝑎 + 8
⇔4𝑎 – 4 – 6𝑎 > 6𝑎 + 8 – 6𝑎 (𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛𝑔𝑖 6𝑎)
⇔−2𝑎 − 4 + 4 > 8 + 4 (𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑡𝑎𝑚𝑏𝑎ℎ 4)
⇔-2𝑎 > 12 (𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 − 2)
⇔𝑎 < −6
Jadi, HP = {𝑎│𝑎 < −6, 𝑎 € R}

8. Cara menggambar HP dari PtLSV dalam garis bilangan
Berikut ini langkah-langkah menggambar garis bilangan untuk
menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu
variabel:
a. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaaan linear satu variabel
b. Buat garis bilangan yang memuat satu bilangan sebagai Batasan
nilai x
c. Buat bulatan penuh (●) jika bilanhan (x) pada titik tersebut
termasuk anggota himpunan penyelesaian atau buat dengan
dengan bulatan kosong (○) jika bilangan (x) pada titik tersebut tidak
termasuk anggota himpunan penyelesaian.
d. Buat garis panah sepanjang titik-titik yang termasuk himpunan
penyelesaian.
Perhatikan tabel hubungan antar bilangan real a, b, (dengan a < b) dan
nilai x berikut:
2. Tentukn HP dari pertidaksamaan 2𝑎 – 2 > 4𝑎 + 6
dengan 𝑎 adalah bilangan real.
Penyelesaian:
2𝑎 – 2 > 4𝑎 + 6 2𝑎 – 2 – 4𝑎 > 4𝑎 +
6 – 4𝑎 (𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑘𝑢𝑟𝑎𝑛𝑔𝑖 4𝑎)
⇔−2𝑎 − 2 + 2 > 6 + 2 (𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑡𝑎𝑚𝑏𝑎ℎ 2)
⇔-2𝑎 > 8 (𝑘𝑒𝑑𝑢𝑎 𝑟𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑏𝑎𝑔𝑖 − 2)
⇔𝑎 < −4
Jadi, HP = {𝑎│𝑎 < −4, 𝑎 € R}

9. 05
Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Peramaan linear dua variabel adalah persamaan yang memuat
dua variabel dengan pangkat satu.
Bentuk Umum
𝑎𝑥 +𝑏𝑦 = 𝑐
dengan:
a, b dan c bilangan rill
Contoh:
2𝑥 + 𝑦 = 8
(1, 6) atau 𝑥 = 1 dan 𝑦 = 6
merupakan penyelesaian karena 2 × 1 +
6 = 8
(3, 4) atau 𝑥 = 3 dan 𝑦 = 4 bukan
penyelesaian karena 2 × 3 + 4 ≠ 8
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel berupa
pasangan bilangan yang memenuhi semua persamaan.
Contoh:
Sistem persamaan linear dua variabel : 2𝑥 + 𝑦 = 8
𝑥 + 𝑦 = 1
(3, 2) atau 𝑥 = 3 dan 𝑦 = 2 merupakan penyelesaian karena
2 × 3 + 2 = 8 dan 3 – 2 = 1.
a. Metode Grafik
Jika menggunakan metode grafik, kita harus mnggambar grafik dari kedua persamaan, kemudian
titik potong kedua grafik tersebut merupkan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel.
Contoh soal:
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linear dua variabel berikut dengan metode grafik!
𝑥 + 𝑦 = 2
3𝑥 + 𝑦 = 6

10. Penyelesaian:
Kita menentukan dulu titik potong terhadap sumbu X dan Y
1. Persamaan 𝑥 + 𝑦 = 2
Titik potong terhadap sumbu X, berarti y = 0
𝑥 + 𝑦 = 2
⇔ 𝑥 + 0 = 2
⇔ 𝑥 = 2
Jadi, titik potong terhadap sumbu X (2, 0).
Titik potong terhadap sumbu Y, berarti 𝑥 = 0
𝑥 + 𝑦 = 2
⇔ 0 + 𝑦 = 2
⇔ 𝑦 = 2
Jadi, titik potong terhadap sumbu Y (0, 2).
2. Persamaan 3𝑥 + 𝑦 + 6
Titik potong terhadap sumbu X, berarti 𝑦 = 0
3𝑥 + 𝑦 = 6
⇔3𝑥 + 0 = 6
⇔ 3𝑥 = 6
⇔ 𝑦 = 6
Jadi, titik potong terhadp sumbu Y (0, 6).
Gambarkan titik-titik potong tersebut ke dalam bidang koordinat kartesius.
Menentukan himpunan penyelesaian SPLDV tersebut dengan melihat
titik potong antara garis 𝑥 + 𝑦 = 2 dan 3𝑥 + 𝑦 = 6 yaitu titik (2, 0).
Jadi, himpunan penyelesaian adalah {(3, 0)}.

11. b. Metode substitusi
Dilakukan dengan cara menyatakan salah satu variabel dalam bentuk variabel yang lain, kemudian nilai variabel
tersebut menggantikan variabel yang sama dalam persamaan yang lain.
Tentukan penyelesaian SPLDV berikut dengan metode substitusi! 3𝑥 + 𝑦 = 7, 𝑥 + 4𝑦 = 6
Penyelesaian:
Langkah pertama, tuliskan masing-masing persamaan dalam bentuk persamaan (1) dan (2).
3 + 𝑦 = 7……(1)
𝑥 + 4𝑦 = 6…..(2)
Langkah kedua, pilih salah satu persamaan, misalkan persamaan (1), lalu nyatakan dalam bentuk variabel lainnya.
3𝑥 + 𝑦 = 7 ⇔ 𝑦 = 7 – 3𝑥 …..(3)
Langkah ketiga, nilai variabel y pada persamaan (3) disubstitusikan pada persamaan (2).
𝑥 + 4𝑦 = 6
⇔𝑥 + 4 (7 – 3𝑥) = 6 ⇔ 𝑥 – 12𝑥 = 6 − 28
⇔ 𝑥 + 28 – 12𝑥 = 6 ⇔-11𝑥 = -22 ⇔ 𝑥 = 2
Langkah keempat, nilai x disubstitusikan pada salah satu persamaan awal, misalkan persamaan (1).
3𝑥 + 𝑦 = 7
⇔ 3(2) + 𝑦 = 7 ⇔ 𝑦 = 7 – 6
⇔ 6 + 𝑦 = 7 ⇔ 𝑦 = 1
Dari uraian diperoleh nilai 𝑥 = 2 dan 𝑦 = 1.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2,1)}.

12. Matematika
c. Metode eliminasi
Jika menggunakan metode eliminasi, kita terlebih dahulu harus menghilngkan (mengeliminasi) salah satu
variabel dari sistem persamaan tersebut. Jika variabelnya 𝑥 dan 𝑦, untuk menentukan variabel 𝑥 kita harus
mengeliminasi variabel 𝑦 terlebih dahulu atau sebaliknya. Perhatikan bahwa jika koefisien dari salah satu
variabel sama, kita dapat mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel tersebut, untuk selanjutnya
menentukan variabel yang lain.
Contoh soal:
Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV berikut dengan metode eliminasi!
2𝑥 − 𝑦 = 6
𝑥 + 𝑦 = 3
Penyelesaian:
Mengeliminasi variabel x Mengeliminasi variabel 𝑦
2𝑥 − 𝑦 = 6 × 1 2𝑥 − 𝑦 = 6 2𝑥 – 𝑦 = 6
𝑥 + 𝑦 = 3 × 2 2𝑥 + 2𝑦 = 6 𝑥 + 𝑦 = 3
-3𝑦 = 0 ⇔ 𝑦 = 0 3𝑥 = 9 ⇔ 𝑥 = 9
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(3,0)}.

13. d. Metode gabungan eliminasi dan substitusi
Jika menggunakan metode gabungan, kita tinggal menggabungkan metode eliminasi dan substitusi.
Contoh soal:
Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV berikut dengan metode gabungan eliminasi dan substitusi!
2𝑥 + 3𝑦 = 12
𝑥 + 𝑦 = 3
Penyelesaian:
Mengeliminasi variabel 𝑥
2𝑥 + 3𝑦 = 12 × 1 2𝑥 + 3𝑦 = 12
𝑥 + 𝑦 = 3 × 2 2𝑥 + 2𝑦 = 6
𝑦 = 6
Substitusikan nilai y pada salah satu persamaan.
2𝑥 + 3𝑦 = 12
⇔ 2𝑥 + 18 = 12
⇔ 2𝑥 = −6
⇔ 𝑥 = −3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(-3, 6)}.
Penerapan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali permasalahan yang dapat
dipecahkan menggunakan SPLDV. Pada umumnya permasalahan tersebut berkaitan
dengan masalah aritmetika sosial, misalnya menentukan harga satuan barang, menentukan
Panjang atau lebar sebidang tanah, dan sebagainya.
Untuk menyelesaikan prmasalahan sehari-hari yang memerlukan pengguaan
matematika, maka langkah pertama yang harus dilakukan adalah menyusun model
matematika dari pemasalahan tersebut. Data yang terdapat dalam permasalahan itu
diterjemahkan ke dalam satu atau beberapa PLDV. Selanjutnya penyelsaian dari SPLDV
digunakan untuk memecahkan permasalahan tersebut.

14. Contoh soal:
1. Eka membeli sebuah buku tulis dan sebuah buku gambar seharga Rp8.000,00. Di lain hari Eka
membeli dua buku tulis dan sebuah buku gambar seharga Rp11.000,00. Berapa harga sebuah buku
tulis dan sebuah buku gambar yang dibeli Eka tersebut?
Diperoleh model matematika:
𝑥 + 𝑦 = 8.000
2𝑥 + 𝑦 = 11.000
Mengeliminasi variabel 𝑦 Substitusikan nilai 𝑥 pada salah satu persamaan.
𝑥 + 𝑦 = 8.000 𝑥 + 𝑦 = 8.000
2𝑥 + 𝑦 = 11.000 ⇔3.000 + 𝑦 = 8.000
−𝑥 = −3.000 ⇔𝑦 = 8.000 – 3.000
𝑥 = 3.000 ⇔𝑦 = 5.000
Jadi, harga sebuah buku tulis adalah Rp3.000 dan harga sebuah buku gambar adalah Rp5.000.
2. Ika membeli sebuah Bolpen dan Pensil seharga Rp 5.000,00. Di lain hari Ika membeli 2 Bolpen dan
sebuah Pensil seharga Rp 8.000,00. Berapa harga sebuah Bolpen dan sebuah pensil yang dibeli Ika
tersebut?
Diperoleh model matematika:
𝑥 + 𝑦 = 5.000
2𝑥 + 𝑦 = 8.000
Mengeliminasi variabel 𝑦 Substitusikan nilai 𝑥 pada salah satu persamaan.
𝑥 + 𝑦 = 5.000 𝑥 + 𝑦 = 5.000
2𝑥 + 𝑦 = 8.000 ⇔3.000 + 𝑦 = 5.000
−𝑥 = −3.000 ⇔ 𝑦 = 5.000 – 3.000
𝑥 = 3.000 ⇔ 𝑦 = 25.000
Jadi, harga sebuah Bulpen adalah Rp3.000 dan harga sebuah Pensil adalah Rp 2.000

15. 06
Pertidaksamaan Linear Dua variabel
Pertidaksamaan linear dua variabel adalah pertidaksamaan linear yang
memuat dua variabel, yaitu 𝑥 dan 𝑦. Contoh pertidaksamaan linear dua
variabel adalah 3𝑥 + 2𝑦 < 5 dan 𝑥 + 𝑦 ≥ 9.
Bentuk Umum
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≤ 𝑐
Dengan:
𝑎 = koefisien 𝑥
𝑏 = koefisien 𝑦
𝑐 = konstanta
Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Himpunan penyelesaian dari suatu sistem pertidaksamaan linear dua
variabel merupakan irisan atau interseksi dari himpunan penyelesaian
pertidaksamaan linear yang terdapat dalam sistem tersebut.
Contoh:
Tentukan daerah yang memenuhi himpunan penyelesaian pertidaksamaan
𝑥 + 2𝑦 ≥ 8 dengan x, y ∈ R
Penyelesaian :
Sebelum kita menentukan daerah penyelesaiannya, kita perlu melukis
batas-batas daerahnya yaitu grafik 𝑥 + 2𝑦 = 8, dengan cara:
Menentukan titik potong dengan sumbu x, berarti y = 0
𝑥 + 2𝑦 = 8
⇔ 𝑥 + 2.0 = 8 ⇔ 𝑥 = 8
Titik potong dengan sumbu x adalah ( 8 , 0 )
Menentukan titik potong dengan sumbu y, berarti
x = 0 𝑥 + 2𝑦 = 8
⇔ 0 + 2𝑦 = 8 ⇔ 2𝑦 = 8
⇔ 𝑦 = 4
Titik potong dengan sumbu y adalah ( 0 , 4 ). Hal ini dapat diringkas
dalam sebuah tabel, yaitu:

16. Aritmatika Sosial
Harga pembelian adalah harga yang ditetapkan berdasarkan jumlah uang yang diberikan pada saat membeli suatu barang. Harga
penjualan adalah harga yang ditetapkan berdasarkan jumlah uang yang diterima pada saat menjual suatu barang.
a. Untung
Untung adalah selisih antara harga penjualan dengan pembelian jika harga penjualan lebih dari harga pembelian.
Untung = Harga penjualan – Harga pembelian
Persentase Untung
% Untung =
𝑼𝒏𝒕𝒖𝒏𝒈
𝑯𝒂𝒓𝒈𝒂 𝑷𝒆𝒎𝒃𝒆𝒍𝒊𝒂𝒏
× 100%
Seorang pedagang membeli minyak goreng seharga Rp12.000,00 kemudian dijual dengan harga Rp14.000. Berapakah besar
persentase keuntungan pedagang tersebut?
Penyelesaian:
Harga pembelian: Rp12.000,00; Harga penjualan: Rp14.000,00; Besarnya keuntungan: Harga jual – Harga beli
Rp14.000 – Rp12.000 = Rp2.000
Persantase keuntungan:
Untung
Harga pembelian
× 100%
=
2000
12000
× 100% =16,6%
b. Rugi
Rugi adalah selisih antara harga penjualan daengan harga pembelian jika harga penjualan kurang dari harga pembelian.
Rugi = Harga pembelian – Harga penjualan
● Persentase Rugi % Rugi = 𝐑𝐮𝐠𝐢/(𝐇𝐚𝐫𝐠𝐚 𝐏𝐞𝐦𝐛𝐞𝐥𝐢𝐚𝐧) × 𝟏𝟎𝟎%

17. Contoh:
Selusin buku dibeli dengan harga Rp60.000,00. Buku itu dijual semua dengan harga Rp48.000.00. Berapa persen kerugiannya?
Penyelesaian:
Harga pembelian : Rp 60.000,00 Harga penjualan : Rp 48.000,00
Besarnya kerugian : Harga pembelian – Harga penjualan
=Rp 60.000 - Rp48.000 = Rp12.000 Persentase kerugian
12000
60000
×100% = 20%
c. Bunga
Bunga adalah jasa berbentuk uang yang diberikan oleh pihak peminjam kepada pihak yang meminjamkan modal dengan persetujuan
Bersama. Bunga memiliki dua jenis, yaitu Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk. Bunga tunggal memiliki arti bunga yang hany terdapat
pada modalnya saja, selanjutnya bunganya tidak akan berbung lagi. Apabil bunganya turut berbunga maka jenis bunga tersebut disebut
bunga majemuk. Sedangkan suku bunga tunggal adalah suku bunga yang besarnya tetap dari waktu ke waktu.
Rumus Bunga Tunggal
Misalkan: 𝑀 = besar tabungan awal 𝑃% = Persentase bunga per tahun
○ Bunga 1 tahun =
𝑃
100
× 𝑀 ○ Bunga 𝑏 bulan =
𝑏
12
×
𝑝
100
× 𝑀
○ Bunga ℎ hari =
ℎ
365
×
𝑝
100
× 𝑀
Contoh:
1. Aqief menabung uang di Bank sebesar Rp1.000.000,00 dengan suku bunga tunggal sebesar 15% per tahun. Bunga tunggal adalah
bunga yang besarnya tetap dari waktu ke waktu.
a. Tentukan bunga yang diperoleh setelah menabung selama 2 tahun!
b. Tentukan bunga yang diperoleh setelah menabung selama 6 bulan!
Penyelesaian:
a. Diket: 𝑀 = Rp1.000.000 𝑃% = 15%

18. Jawab:
Bunga tahun pertama:
𝑃
100
× 𝑀
=
15
100
× Rp1.000.000,00
= Rp150.000,00
Bunga tahun kedua:
2 × Rp150.000,00
= Rp300.000,00
b.
𝑏
12
×
𝑝
100
× 𝑀
=
6
12
×
15
100
× Rp1.000.000,00
= Rp75.000,00
2. Ali menabung uang di Bank sebesar Rp 2.000.000,00 dengan suku bunga
tunggal sebesar 15% per tahun. Bunga tunggal adalah bunga yang besarnya
tetap dari waktu ke waktu.
a. Tentukan bunga yang diperoleh setelah menabung selama 2 tahun!
b. Tentukan bunga yang diperoleh setelah menabung selama 6 bulan!
Penyelesaian:
a. Diket: 𝑀 = Rp 2.000.000 𝑃% = 10%
Jawab:
Bunga tahun pertama:
𝑃
100
× 𝑀
=
10
100
× Rp 2.000.000,00
= Rp 200.000,00
Bunga tahun kedua:
2 × Rp200.000,00
= Rp 400.000,00
b.
𝑏
12
×
𝑝
100
× 𝑀
=
6
12
×
10
100
× Rp2.000.000,00
= Rp100.000,00

19. d. Pajak
Pajak merupakan nilai suatu barang atau jasa yang harus dibayarkan oleh masyarakat kepada pemerintah.
● Rumus Pajak
PPh = %PPh × Penghasilan Kotor
Penghasilan Bersih = Penghasilan Kotor – PPh
PPN = %PPN × Harga Barang Awal
Harga Barang Akhir = Harga Barang Awal + PPN
Contoh:
1. Pak Iwan membeli sebuah lemari es denga harga Rp5.000.000,00 belum termasuk pajak. Berapakah uang yang harus dibayar Pak Iwan jika
pajak pertambahan nilai (PPN) yang dikenakan sebesar 10% dan Pak Iwan mendapatkan diskon 20%.
Penyelesaian:
Harga sebelum diskon = Rp5.000.000 × Harga bersih= (100% - 20%) × Rp5.000.000
= 80% × Rp5.000.000 = Rp4.000.000
PPN = 10% × Rp4.000.000= Rp400.000
Uang yang harus dibayar Pak Iwan = Rp 4.000.000 + Rp400.000 = Rp4.400.000
Jadi, uang yang hrus dibayar Pak Iwan adalah Rp4.400.000,00
2. Pak Agus membeli sebuah Mesin Cuci denga harga Rp 3.000.000,00 belum termasuk pajak. Berapakah uang yang harus dibayar Pak Iwan
jika pajak pertambahan nilai (PPN) yang dikenakan sebesar 10% dan Pak Iwan mendapatkan diskon 20%.
Penyelesaian:
Harga sebelum diskon = Rp 3.000.000 × Harga bersih= (100% - 20%) × Rp 3.000.000
= 80% × Rp 3.000.000,00 = Rp 2.400.000,00
PPN = 10% × Rp 2.400.000,00 = Rp 240.000,00
Uang yang harus dibayar Pak Agus = Rp 2.400.000,00 + Rp 240.000,00 = Rp 2.640.000,00
Jadi, uang yang hrus dibayar Pak Iwan adalah Rp 2.640.000,00

20. e. Diskon
Diskon adalah potongan harga retail yang diberikan di pusat perbelanjaan atas suatu pembelian eceran
atau tidak dalam jumlah besar. Biasanya pembelian ini dilakukan oleh konsumen.
● Rumus Diskon
Diskon =
𝑞
100
× Harga Jual
Contoh:
1. Bu Wigia membeli sepatu di sebuah toko dengan harga Rp200.000,00. Dalam rangka tahun baru, toko
tersebut memberikan potongan harga 40%. Berapa uang yang harus dibayar Bu Wigia?
Penyelesaian:
Diskon =
40
100
× Rp200.000,00 = Rp80.000
Jadi yang Harus dibayar Bu Wigia yaitu Rp 200.000 – Rp 80.000 = Rp 120.000
2. Bu Dian membeli Tas di sebuah toko dengan harga Rp 150.000. Dalam rangka tahun baru, toko tersebut
memberikan potongan harga 20%. Berapa uang yang harus dibayar Bu Dian?
Penyelesaian:
Diskon =
40
100
× Rp 150.000,00 = Rp 60.000
Jadi yang Harus dibayar Bu Wigia yaitu Rp 150.000 – Rp 60.000 = Rp 90.000
3. Diana membeli Tas di sebuah toko dengan harga Rp 300.000. Dalam rangka tahun baru, toko tersebut
memberikan potongan harga 50%. Berapa uang yang harus dibayar Diana?
Penyelesaian:
Diskon =
50
100
× Rp 300.000,00 = Rp 150.000
Jadi yang Harus dibayar Bu Wigia yaitu Rp 300.000 – Rp 150.000 = Rp 150.000

21. Thank you
Insert your subtitle here