1. 1
Опорні факти Геометрія 9 клас
Косинусом, синусом кута α (00
≤ α ≤ 1800
)
називають відповідно абсцису х і ординату у точки
М одиничного півкола, яка відповідає куту α.
0 ≤ sin α ≤ 1
-1 ≤ cos α ≤ 1
Формули зведення
sin(900
– α) = cos α
cos(900
– α) = sin α
tg(900
– α) = ctg α
ctg(900
– α) = tg α
sin(1800
– α) = sin α
cos(1800
– α) = - cos α
tg(1800
– α) = - tg α
ctg(1800
– α) = - ctg α
Формули
sin2
α + cos2
α = 1
2
cos1sin
2
sin1cos
cos
sin
tg
sin
cos
ctg
2
2
cos
1
1 tg
2
2
sin
1
1 ctg
tgα ∙ ctgα = 1
α < α/
→ C є BD
ADAC
BDAB
BDBC
coscos /
AC
AB
AD
AB
300
450
600
sin α 2
1
2
2
2
3
cos α
2
3
2
2
2
1
tg α
3
1
1 3
ctg α 3 1
3
1
якщо α ↑, то cos α ↓
якщо α ↑, то sin α ↑
корінь квадратний з номеру
стовпчика поділити на 2
sin
cos
cos
sin
ctg
tg
2. 2
00
300
450
600
900
1200
1350
1500
1800
sin α 0
2
1
2
2
2
3
1
2
3
2
2
2
1
0
cos α 1
2
3
2
2
2
1
0
2
1
2
2
2
3
-1
tg α 0
3
1
1 3 - 3 -1
3
1
0
ctg α - 3 1
3
1
0
3
1
-1 3 -
Метричні співвідношення в прямокутному трикутнику
cc bah 2
cbb c 2
caa c 2
Теотема1: (теорема косинусів)Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі
квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін і косинус кута
між ними.
a2
= b2
+ c2
– 2bc∙cosα
Теорема 2 (наслідок з теореми косинусів) Нехай а, b і с –
сторони трикутника, причому а – його найбільша
сторона. Якщо a2
< b2
+ c2
, то трикутник є гострокутним.
Якщо a2
> b2
+ c2
, то трикутник є тупокутним. Якщо a2
=
b2
+ c2
, то трикутник є прямокутним.
Теорема 3: Сума квадратів діагоналей
паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх
його сторін.
Формула медіани трикутника
cbb
caa
bah
c
c
cc
середнє геометричне
або
середнє пропорційне
3. 3
ab
cba
ac
bca
bc
acb
2
cos
2
cos
2
cos
222
222
222
Формули для визначення кутів трикутника за трьома сторонами.
Теорема 4: (теорема синусів) Сторони
трикутника пропорційні синусам
протилежних кутів.
sinsinsin
cba
Лема: Хорда кола
дорівнює добутку діаметра на синус будь-якого вписаного
кута, який спирається на цю хорду.
Наслідок. Радіус описаного
кола трикутника можна
обчислити за формулою
sin2
a
R , де а – сторона
трикутника, α – протилежний їй кут.
1. Висоти не
прямокутного трикутника АВС перетинаються в
точці Н. Радіуси кіл описаних навколо трикутників
АНВ, ВНС, АНС, АВС – рівні.
Теорема 5: (формула Ейлера) Відстань d між
центрами вписаного і описаного кіл трикутника
обчислюється за формулою RrRd 22
, де r і R
- відповідно радіуси його вписаного і описаного
кіл.
2. (теорема тангенсів) Відношення суми двох
сторін трикутника до їх різниці дорівнює відношенню тангенсів півсуми
протилежних кутів до тангенса піврізниці тих самих кутів.
2
2
tg
tg
ba
ba
4. 4
3. (теорема Стюарта)
4. (формули Мольвейде) Так
називаються дві пропорції, що являють
собою відношення суми й різниці двох
сторін трикутника до третьої
сторони:
2
cos
2
sin
;
2
sin
2
cos
c
ba
c
ba
Розв’язування трикутників
Розв’язати трикутник – це знайти невідомі сторони і кути за відомими його
сторонами і кутами.
1. Розв’язування трикутників за стороною і двома кутами
1) за двома
відомими кутами
знайти величину
третього кута;
2) за теоремою
синусів з відношень
sinsinsin
cba
знайдіть значення
невідомих сторін трикутника.
2. Розв’язування трикутників за двома сторонами і кутом між ними
1) за теоремою
косинусів знайдіть невідому
(третю) сторону
трикутника;
2) з теореми косинусів
знайдіть косинуси (двох
інших ) невідомих кутів.
5. 5
3. Розв’язування трикутників за двома сторонами і кутом, протилежним одній із
них
1) за теоремою синусів
знаходимо кут протилежний
другій відомій стороні;
2) за теоремою про суму
кутів трикутників знаходимо
третій кут;
3) за теоремою синусів
знаходимо третю невідому
сторону.
4. Розв’язування трикутників за трьома сторонами
Якщо виконується
нерівність трикутників, за
теоремою косинусів:
cos2
cos2
cos2
222
222
222
abbac
accab
bccba
Теорема 6: Площа трикутника дорівнює пів
добутку двох його сторін і синуса кута між ними
sin
2
1
abS
Теорема 7: (формула Герона) Площу S трикутника
АВС можна обчислити за формулою
cpbpappS , де a, b, c – сторони трикутника, р – його півпериметр.
Теорема 8: Площу S трикутника АВС можна
обчислити за формулою
R
abc
S
4
, де a, b, c – сторони
трикутника, R – радіус описаного кола трикутника
АВС.
5. Формула радіуса кола описаного навколо
трикутника
S
abc
R
4
6. 6
Теорема 9: Площа трикутника дорівнює добутку
його півпериметра на радіус вписаного кола: prS
6. Формула радіуса кола вписаного в трикутник
cba
S
r
2
Теорема 10: Площа описаного многокутника дорівнює
добутку його півпериметра на радіус вписаного кола: prS
Теорема 11: Площу S
паралелограма можна
обчислити за формулою
sinabS , де a, b – сусідні сторони
паралелограма, α – кут між ними.
Теорема 12: Площа опуклого
чотирикутника дорівнює пів добутку його
діагоналей і синуса кута між ними.
7. Площу трикутника модна обчислити за
формулою sinsinsin2 2
RS
8. cossin22sin
9. abS
2
1
, S – площа трикутника, a, b –
довжини його сусідніх сторін.
10. Довжину бісектриси трикутника АВС
можна обчислити за формулою
cb
bc
la
2
cos2
7. 7
Многокутник називають правильним, якщо у нього всі сторони і всі кути
рівні.
Теорема 13: Правильний многокутник є опуклим
многокутником.
Теорема 14: Будь-який правильний многокутник є одночасно
вписаним і описаним, причому центри його описаного і
вписаного кіл збігаються.
Формули радіусів вписаних та описаних кіл в правильний п-кутник
n
tg
a
r
n
a
R n
n
n
n 00
180
2
;
180
sin2
Формула для обчислення довжини кола C = 2πR (R – радіус кола)
Формула для обчислення довжини дуги кола 0
0
180
Rn
l
Формула для обчислення площі круга 2
RS
Формула для обчислення площі сектора 0
02
360
nR
S
n = 3 n = 4 n = 6
R
3
3a
2
4a
6a
r
32
3a
2
4a
2
36a
8. 8
Декартові координати на площині
А(х1; у1), В(х2; у2)
Відстань між
точками:
2
12
2
12 yyxxd
Координата середини
відрізка, С є АВ,
С(х0; у0)
2
;
2
21
0
21
0
yy
y
xx
x
Координата точки, що ділить відрізок у відношенні С є АВ, АС : СВ = λ, С(х0; у0)
1
;
1
21
0
21
0
yy
y
xx
x
11. Точки А(х1; у1), В(х2; у2), С(х3; у3) є вершинами трикутника АВС. Координата
точки М(х; у) перетину медіан цього трикутника обчислюється за формулою
3
;
3
321321 yyy
y
xxx
x
.
Рівняння кола: 222
Rbyax (О(a; b) – центр кола,
R – радіус кола)
Рівняння еліпса: 12
2
2
2
b
y
a
x
(a >b, a2
– b2
= c2
)
Рівняння гіперболи: 12
2
2
2
b
y
a
x
(b2
= c2
– a2
)
Рівняння прямої: cbyax
Рівняння Значення а, b, с Графік
cbyax b ≠ 0, а, с – будь-які невертикальна пряма
cbyax b = 0, a ≠ 0, с – будь-яке вертикальна пряма
cbyax a = b = c = 0 уся координатна пряма
cbyax a = b = 0, c ≠ 0 порожня множина
Рівняння прямої: bkxy (k – кутовий коефіцієнт)
tgk , α – кут, який утворює пряма з додатним
напрямом осі абсцис.
9. 9
12. Якщо прямі y = k1x + b1, y = k2x + b2 паралельні,
то k1 = k2, b1 ≠ b2.
Теорема 13: Прямі y = k1x + b1, y = k2x + b2 є
паралельними тоді і тільки тоді, коли k1 = k2, b1 ≠ b2
13. Якщо α < 900
, то k > 0.
14. Якщо α > 900
, то k < 0.
15. Рівняння прямої з даним кутовим коефіцієнтом, яка проходить через дану
точку М(х0; у0) 00 yxxky
16. Рівняння прямої, яка проходить через задані точки А(х1; у1), В(х2; у2)
12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
Теорема 14: Прямі y = k1x + b1, y = k2x + b2
перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли k1k2 = - 1 .
17. Відстань від точки
М(х0; у0) до прямої , заданої
рівнянням ах + by + c = 0, обчислюється за формулою
22
00
ba
cbyax
q
18. (формула Лейбніца) Нехай медіани трикутника
АВС перетинаються в точці М. Для довільної точки Х
виконується рівність
ХА2
+ ХВ2
+ ХС2
= МА2
+ МВ2
+ СМ2
+ 3ХМ2
19. ГМТ, різниця квадратів відстаней від яких до
двох даних точок А і В є величиною сталою.
