Квадратні рівняння. Теорема Вієта

Квадратні рівнянняКвадратні рівняння..
Теорема Вієта.Теорема Вієта.

План урокуПлан уроку
Повторення теорії
Розв'язування квадратних рівнянь
Цікаві історичні факти
Вивчення нової теми ”Теорема Вієта”
Розв'язування квадратних рівнянь за
теоремою Вієта
Комп'ютерне тестування ”Екзаменатор”
П'ятихвилинки для життя

рівняння виду ах2
+ bх +с = 0,
де х –змінна,
a, b і с деякі числа, а 0.≠
ОЗНАЧЕННЯ:
Квадратним рівнянням називається

 3х2
-2х+5=0
 5х-3х3
–х2
=0
 2х-5х2
-1=0
 х(х-1)=0
 2х-3=0
 (х-3)2
+2=0

а) 6х2
– х + 4 = 0
б) 12х - х2
+ 7 = 0
в) 8 + 5х2
= 0
г) х – 6х2
= 0
д) - х + х2
= 15
а = 6, в = -1, с = 4;
Визначіть коефіцієнтиВизначіть коефіцієнти
квадратного рівняння:квадратного рівняння:
а = -1, в = 12, с = 7;
а = 5, в = 0, с = 8;
а = -6, в = 1, с = 0;
а = 1, в = -1, с = -15;

ПОВНІ
КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ
НЕПОВНІ
а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0 а ≠ 0, b = 0, с = 0
2х2
+5х-7=0
6х+х2
-3=0
Х2
-8х-7=0
25-10х+х2
=0
3х2
-2х=0
2х+х2
=0
125+5х2
=0
49х2
-81=0

Рівняння виду: ах2
= 0
5х2
= 0,
х2
= 0,
х = 0
Відповідь: 0.

+ с = 0
2х2
– 8 = 0,
2х2
= 8
Х2
= 4,
Х1 = 2,
Х2 = - 2.
Відповідь:- 2; 2.

+ вх = 0
х2
+ 2х = 0,
х(х + 2) = 0,
х = 0 або х + 2 = 0
х1 = 0 х2 = - 2
Відповідь: - 2, 0.

Алгоритм розвАлгоритм розв''язуванняязування
квадратного рівняння заквадратного рівняння за
формулоюформулою
0,02
≠=++ acbxax
acbD 42
−=
Визначити дискримінант за
формулою

a
acbb
x
2
42
1
−+−
=
a
acbb
x
2
42
2
−−−
=
Рівнянння не має
дійсних
коренів
a
b
x
2
−
=

Приклади розвПриклади розв’язуванння’язуванння
квадратного рівняння заквадратного рівняння за
2x2x22
+4x+7=0+4x+7=0
D=bD=b22
-4a;-4a;
D=16-56=-40;D=16-56=-40;
D<0, немаєD<0, немає
дійсних коренів.дійсних коренів.
XX22
-9x+20=0-9x+20=0
D=bD=b22
-4a;-4a;
D=81-80=1;D=81-80=1;
XX11=5; X=5; X22=4=4
Відповідь: 4;5.Відповідь: 4;5.
ЗнайтиЗнайти
XX11+X+X22=?=?
XX11·X·X22=?=?
99
2020

РозвРозв‘яжи‘яжи квадратне рівняння заквадратне рівняння за
 xx22
- 4x -21=0- 4x -21=0
 4x4x22
- x +1=0- x +1=0
 8x(1+2x)=-18x(1+2x)=-1

1)1) xx22
- 4x -21 =0- 4x -21 =0
D=100; xD=100; x11=-3; x=-3; x22=7=7
2)2) 4x4x22
–x +1 =0–x +1 =0
D=-15; немає дійсних коренівD=-15; немає дійсних коренів
3)3) 8x(1+2x)=-18x(1+2x)=-1
16x16x22
+ 8x + 1=0+ 8x + 1=0
D=0; x=-0,25D=0; x=-0,25
xx11+ x+ x22==44
xx11· x· x22==-21-21

Квадратні рівняння в ДавньомуКвадратні рівняння в Давньому
ВавілоніВавілоні
► Квадратні рівняння вміли розвКвадратні рівняння вміли розв’язувати’язувати близько 2000 років до нашоїблизько 2000 років до нашої
ери вавілоняни.ери вавілоняни.
► Правило розвПравило розв''язку квадратних рівнянь, викладене в вавілонськихязку квадратних рівнянь, викладене в вавілонських
текстах, співпадає з сучасними, але невідомо, яким чином дійшлитекстах, співпадає з сучасними, але невідомо, яким чином дійшли
вавілоняни до цього правила.вавілоняни до цього правила.
Незважаючи на високий рівеньНезважаючи на високий рівень
розвитку алгебри в Вавілонії, врозвитку алгебри в Вавілонії, в
клинописних текстах відсутніклинописних текстах відсутні
понятття відпонятття від’ємного’ємного числа і загальнічисла і загальні
методи розвметоди розв’язування’язування квадратнихквадратних
рівнянь.рівнянь.

Квадратні рівняння в ІндіїКвадратні рівняння в Індії
1.Перші згадування про квадратні рівняння в Індії1.Перші згадування про квадратні рівняння в Індії
зустрічаються вже в 499 році. В Давній Індії набулизустрічаються вже в 499 році. В Давній Індії набули
розповсюдження публічні змагання з розврозповсюдження публічні змагання з розв ‘язку‘язку складних задач.складних задач.
2.Задача знаменитого індійського математика Бхаскари:2.Задача знаменитого індійського математика Бхаскари:
Обезьянок резвая стаяОбезьянок резвая стая
Всласть поевши, развлекаясь.Всласть поевши, развлекаясь.
Их в квадрате часть восьмаяИх в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.На поляне забавлялась.
А 12 по лианам…А 12 по лианам…
Стали прыгать, повисая.Стали прыгать, повисая.
Сколько было обезьянок,Сколько было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?Ты скажи мне, в этой стае?

Розв‘язування задачі Бхаскари:
Нехай було x мавп,
тоді на галявині забавлялось –
Складемо рівняння:
2
8





 x
Відповідь: 16 , 48 мавп.
012
64
2
=+− x
x
06412642
=⋅+− xx
0768642
=+− xx
32
10247684644 22
=
=⋅−=−=
D
acbD
16
2
3264
48
2
3264
2
1
=
−
=
=
+
=
x
x
x
x
=+





12
8
2

Квадратні рівняння в ЄвропіКвадратні рівняння в Європі
1.1. Формули розвФормули розв ’язування’язування квадратнихквадратних
рівняннь в Європі вперше були викладенірівняннь в Європі вперше були викладені
в 1202 роціу італійським математикомв 1202 роціу італійським математиком
Фібоначчі.Фібоначчі.
2.2. Правило розвПравило розв ’язування’язування квадратнихквадратних
рівнянь було сформульоване в Європірівнянь було сформульоване в Європі
лише в 1544г. Штифелем.лише в 1544г. Штифелем.
3.3. Завдяки працям Декарта, Ньютона ,ВієтаЗавдяки працям Декарта, Ньютона ,Вієта
та інших вчених способу розвта інших вчених способу розв ’язування’язування
рівнянь надано сучасний вигляд.рівнянь надано сучасний вигляд.

ФРАНСУА ВІЄТ
1540-1603
Знаменита теорема, що
встановлює зв’язок
коефіцієнтів квадратного
рівняння з його коренями,
була оприлюднена в 1591 г.
Тепер вона носить ім’я Вієта.
Теорема ВієтаТеорема Вієта

Дано: х₁ и х₂ -
корені рівняння
Сума коренів
зведеного
квадратного
рівняння дорівнює
другому
коефіцієнту,
взятому з
протилежним
знаком, а добуток
коренів дорівнює
Довести:

План доведення:
1. Записати формули для знаходження
x₁и x₂;
2. Знайти суму коренів: x + x₁ ₂;
3. Знайти добуток коренів: x₁· x₂.

Доведення:
х ² + pх + q = 0
1. х₁ = , х₂ =
=
= = -p
3. x₁ ∙ x₂ = ∙ = =
=
, D = p² -4q.
= = = q
2. x₁+x₂= + =

Що дозволяє знаходити
доведена теорема?
Що повинно бути відомо
до застосування теореми?

x² + px + q = 0
x² - (х₁ + х₂)х + х₁ ∙ х₂ = 0
Завдання 1. Виберіть рівняння ,сума
коренів якого дорівнює -6, а добуток
-11
1) х² - 6х + 11 = 0
2) х² + 6х - 11 = 0
3) х² + 6х + 11 = 0
4) х² - 11х - 6 = 0
5) х² + 11х - 6 = 0

• Завдання 2. Якщо х = -5₁ и х = -1₂ -
корені рівняння х² + px +q = 0, то
1) p = -6, q = 5
2) p = 5, q = 6
3) p = 6, q = 5
4) p = -5, q = -6
5) p = 5, q = -6
6) p = -6, q = -5

рівняння вкажіть,
якщо це можливо
суму і добуток
коренів
1. х² – 2х – 8 = 0
Для кожного
рівняння спробуйте
підібрати два числа
х і х так, щоб₁ ₂
виконувались
отримані рівності.
2. х² + 7х + 12 = 0
3. y² – 8y – 9 = 0
D > 0, p = -2, q = -8
x + x = 2₁ ₂
x ∙ x = -8₁ ₂
D > 0, p = 7, q = 12
x + x = -7₁ ₂
x ∙ x = 12₁ ₂
D > 0, p = -8, q = -9
y + y = 8₁ ₂
y ∙ y = -9₁ ₂
x = -2₁
x = 4₂
2 ∙ (-
4)
-2 ∙ 4
1 ∙ (-
8)
-1 ∙ 8
x₁ = -3
x₂ = -4
y = -1₁
y = 9₂

РозвРозв’’яжіть рівняння за допомогоюяжіть рівняння за допомогою
теореми Віетатеореми Віета
xx22
-5x+6=0-5x+6=0
xx22
+7x+12=0+7x+12=0
xx22
+2008x-2009=0+2008x-2009=0

xx22
- 5x+6=0- 5x+6=0; x; x11+x+x22=5; x=5; x11=2=2
xx11xx22=6; x=6; x22=3=3
xx22
+7x+12=0;+7x+12=0; xx11+x+x22=-7; x=-7; x11=-3=-3
xx11xx22=12; x=12; x22=-4=-4
xx22
+2008x-2009=0;+2008x-2009=0; xx11+x+x22=-2008;=-2008;
xx11xx22=-2009=-2009
xx11=-2009; x=-2009; x22=1=1

Теорема Вієта
Числа х и х є коренями₁ ₂
квадратного рівняння
aх² + bх + с =0
тоді і тільки тоді, коли
х + х =₁ ₂
х ∙ х =₁ ₂
По праву достойна в стихах
быть воспета
О свойствах корней теорема
Виета.
Что лучше, скажи, постоянства
такого:
Умножишь ты корни — и дробь
уж готова?
В числителе с, в знаменателе а
А сумма корней тоже дроби
равна.
Хоть с минусом дробь, что за
беда!
В числителе в, в знаменателе а.
à
b
−
à
c

Ну і задачі !Ну і задачі !

Квадратні рівняння. Теорема Вієта

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (20)

Similaire à Квадратні рівняння. Теорема Вієта

Similaire à Квадратні рівняння. Теорема Вієта (20)

Plus de Olexandr Lazarets

Plus de Olexandr Lazarets (20)

Dernier

Dernier (14)

Квадратні рівняння. Теорема Вієта