3. Задачи:
1.Умение применять общие приёмы
решения уравнений (разложение на
множители; замена переменной).
2.Закрепление умений и навыков при
решении уравнений с использованием
свойств и теорем в решении уравнений.
3.Сформировать постепенный переход
от пошагового контроля к
самоконтролю.

4. Уравнения
Логарифмические
Иррациональные
Показательные

5. Иррациональные уравнения
Уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня,
называется иррациональным уравнением .
Решение уравнений, содержащих неизвестное под знаком
корня, основано на следующих основных теоремах:
f(x)=g(x)
f 2(x)= g 2 (x)
f(x)=g(x)
f 3(x)= g 3 (x)
X ∈R
f ( x) = g ( x)
f (x)= g 2(x)
g(x) ≥ 0
f ( x) = g ( x)
f(x)=g(x)
g(x) 0
≥
Если уравнение без нахождения ООУ
Необходима проверка!

6. 1). 2 х + 5 = х − 1
2). 2 х − х − 6 = х − 1
2
3 ). х − х + 6 = х
* 3
2
4 ). х + 5 − х + 3 −
*
*Примеры:
х+ 3+ х− 2 = 1

7. *ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ
уравнениями
*Показательными уравнениями,
называется уравнение вида
а
f ( x)
=a
УРАВНЕНИЯ
g ( x)
а- положительное число, а ≠1
*Решение уравнений, содержащих неизвестное в показатели
степени, основано на следующей теореме
а
f ( x)
a0
*Основные методы :
a ≠1
= a f ( x)
f ( x) = g ( x)
а ) Метод введение новой переменной
б) Метод разложения на множители
в) Если левая и правая части уравнения- произведения,
положительные на области определения уравнения, то

8. *Примеры:
1) 2
х +2
−2
х +1
= 12 + 2
х −1
1 х +1
1
1
2) 2
−( )
− х +2 +
= 84
х −1
2
2
4
х
х
х
3)12 ⋅ 4 − 35 ⋅ 6 +18 ⋅ 9 = 0
2 −х
х2
1−
2
1
4)( 11) ⋅
= 11
121
х
5).3 = 4
х
х −2
⋅2
х

9. *Решение уравнений, содержащих неизвестное под знаком
логарифма, основано на следующих теоремах:
log a f ( x) = g ( x)
f ( x) = a
g ( x)
log a f ( x) = log a g ( x)
f ( x) = g ( x)
f ( x)  0
log a ( f ( x)) 2 n = g ( x)
2n ⋅ log a f ( x) = g ( x)

10. *ПРИМЕРЫ:
1
1) log 3 (4 x − 1) = 2 − log 1
x +1
3
2) log
1
(2
x+2
− 4 ) = −4
x
2
3)2 ⋅ log 2 x + 5 = 3 ⋅ log x 2
1
4) log 9 x 2 (6 + 2 x − x ) =
2
lg x − 3
5) x
= 0,01
2

11. * Проверь себя
х +5 − х +3 −
Пусть
х + 3 + х − 2 =1
х +3 = t ≥ 0
t 2 = х +3
х = t 2 −3
Подставим вместо х выражение t 2 −3 в исходное уравнение получаем :
(
t 2 − 3 + 5 −t
) = (1 +
2
t + t 2 −3 − 2
)
t 2 −t + 2 =1 + 2 t + t 2 −5 + t 2 + t −5
− 2t + 6 = 2 t 2 + t −5
3 −t = t 2 + t −5
9 − 6t + t 2 = t 2 + t −5
0 ≤t ≤3
t =2
0 ≤t ≤3
х +3 = 2
х +3 = 4
х =1
Ответ 1
2

12. 3
х 2 −+ =
х
6
х
х ∈
R
х 2 − + =3
х
6
х
х 3 −2 + − =
х
х
6
0
±± ± ±
1
2
3
6
P ( )=− 1 − =5
1
1+
6
−
3 1
( 1)=1 − 1 − =9
−
− 1−
6
−
P ( )= − + − =
2
8
4
2
6
0
3
P
3
х 3 −2 + −
х
х
6
х - 2
х 3 −х 2
2
х
2
++
х
3
х2 +
х
х 2 - 2х
3х - 6
3х - 6
0
(
х
(
х
- 2) ( 2 + + =
⋅х
х
3)
0
- 2 )=
0
х =
2
Ответ 2
(
х
++ =
х
3)
0
Д  0
корней нет
2

13. * Проверь себя
12 ⋅ 4 х − 35 ⋅ 6 х + 18 ⋅ 9 х = 0
Функция у = 9 х положительна при любых действительных значениях х,
поэтому разделим = части
12 ⋅ 4 х − 35 ⋅ 6 х + 18 ⋅ 9 х обе 0 уравнения на 9 .
х
4х
6х
х
х
12 = − х ⋅
+ 18 = 0
Функция у⋅ 9 935положительна при любых действительных значениях х,
9
2х
х
2
2
поэтому разделимобе+части уравнения на 9 х .
12 ⋅   − 35 ⋅   18 = 0
12 ⋅
3
х
3
х
4 2 6
− 35 ⋅ = t + 18 = 0

9х  3 9х
х
212 ⋅ t − 35 ⋅ t + 18 = 0
х
х
2
 2
12 ⋅  
 3
 2
− 35 ⋅   + 18 = 0
2
 3t = 9
t=
D = 361
1
х
2
3
4
2
9
2
2
 2
  = t 3  = 3  3  = 4
 
 
 3
х =1
х =-2
Ответ 1; - 2
12 ⋅ t 2 − 35 ⋅ t + 18 = 0
D = 361
t 1=
2
3
х
2
 2
  =
3
 3
х =1
Ответ 1; - 2
х
х
t2 =
9
4
х
9
 2
  =
4
 3
х =-2

14. * Проверь себя
3 х = 4 х −2 ⋅ 2 х
( )
(
log 2 3 x = log 2 4 x −2 ⋅ 2 x
)
x ⋅ log 2 3 = ( x −2 ) log 2 4 + x log 2 2
x ⋅ log 2 3 = 2 x −4 + x
x ⋅ log 2 3 −3 x = −
4
x( log 2 3 −3) = −
4
−4
x=
log 2 3 −3
−4
Ответ
log 2 3 −3

15. (
)
log 9 x 2 6 + 2 x − x 2 =
6 + 2x − x 2  0
+
9x ≠ 1
2
х≠0
9x 2 = 6 + 2x − x 2
3x = 6 + 2 x − x 2
3x = 6 + 2 x − x 2
3 x = −6 − 2 x + x 2
x = −3 не удовл.
x=2
x = 6 не удовл.
x = −1
Ответ − 1; 2
1
2
1− 7
* Проверь себя
−
+
1+ 7

16. * Проверь себя
х lg x −3 = 0,01
Прологарифмируем обе части уравнение по основанию 10
х  0 ( *)
х ≠1
lg x lg x −3 = lg 0,01
( lg x − 3) ⋅ lg x = −2
lg x = t
( t − 3) ⋅ t = − 2
t 2 − 3t + 2 = 0
t=2
t =1
lgx = 2
x = 100
Ответ
lgx = 1
x = 10
10; 100