Sistemas de coordenadas

1. Unidad IV
Sistemas de Coordenadas
Oscar Arroyo
Matemática II

2. Sistemas deCoordenadas
• Un sistema de coordenadas es un conjunto de
valores que permiten definir unívocamente la
posición de cualquier punto de un espacio
geométricorespecto de un punto
denominado origen. El conjunto de
ejes, puntos o planos que confluyen en el
origen y a partir de los cuales se calculan las
coordenadas de cualquier punto, constituyen
lo que se denomina sistema de referencia.

3. Coordenadas Polares
• Sistema de referencia constituido por un eje que
pasa por el origen. La primera coordenada es la
distancia existente entre el origen y el punto,
mientras que la segunda es el ángulo que forman
el eje y la recta que pasa por ambos puntos.
• Las coordenadas polares son un sistema que
definen la posición de un punto en un espacio
bidimensional consistente en un ángulo y una
distancia.

4. Ejemplo
• Por conveniencia, comencemos con un sistema dado de coordenadas xy, tomemos
después el origen como polo y el semieje no negativo de las x como eje polar.
Dado el polo O y el eje polar, el punto P cuyas coordenadas polares so r y q ,
escritas como par ordenado ( r, q ), se localiza como sigue.
• Encuentre el lado terminal del ángulo q, dado en radianes, medido en sentido
contrario de las manecillas del reloj ( si q > 0 ) a partir del semieje positivo de
abscisas ( eje polar) como lado inicial.
• Si r ³ 0 , P estará en el lado terminal a la distancia r del origen.
• Si r < 0, el punto P estará en ei rayo opuesto al lado terminal, a la distancia |r| = - r
del polo. Se puede describir la coordenada radial r como la distancia dirigida de P
al polo, sobre el lado terminal del ángulo q.
• Si r es positivo, el punto P estará en el mismo cuadrante que q .
• Si r es negativo, P estará en el cuadrante opuesto.
• Si r = 0, no importa cual sea el ángulo q, las coordenadas polares (
0, q ) representan al origen cualquiera que sea la coordenada angular q. Por
supuesto, el origen o polo es el único punto para el cual r = 0 para ejemplos ver el
archivo al final de la unidad

5. Conversión de Coordenadas
• La representación de un punto en el plano o el
espacio, se puede hacer mediante diferentes sistemas
de coordenadas. En estos momentos nos ocupan los
sistemas de coordenadas rectangulares y polares.
• Es lógico pensar que existe una equivalencia entre
los diferentes sistemas, en este caso nos ocuparemos
de la conversión del rectangular al polar y viceversa.
• En este tópico se incluyen algunas gráficas para
mostrar la ubicación de un punto en cada uno de los
sistemas respectivos.

6. Gráfica de una Ecuación Polar
• La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) es el conjunto de puntos
(x,y) para los cuales x = r cos θ , y = r sen θ y r = f (θ). En
otros términos, la gráfica de una ecuación polar es una gráfica en el
plano xy de todos los puntos cuyas coordenadas polares satisfacen
la ecuación dada.
• Comience por dibujar dos gráficas sencillas ( y familiares). La
clave para dibujar las mismas de una ecuación polar, es mantener
siempre presente que representan las coordenadas polares.
• Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el
sistema de coordenadas polares, podemos graficar funciones y no
sólo puntos. En este tipo de funciones la variable independiente
es θ y la dependiente es r, así que las funciones son del tipo r = r(θ).
El método para graficar estas funciones es el siguiente, primero
graficamos la función r = r(θ) en coordenadas rectangulares y a
partir de esa gráfica trazamos la correspondiente en polares.
Guiándonos con la dependencia de r con respecto a θ.

7. Calcular el área de una región Plana
• El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va paralelo al
de zonas en sistema de coordenadas rectangulares, pero con sectores de
un círculo en lugar de rectángulos como elementos básicos de dicha área.
En la figura se observa que la superficie de un sector circular de radio r
viene dada por: A= ½.°. R al cuadrado, donde ° en radianes.
• Consideremos la función dada por r= f(q), donde f es continua y no
negativa en el intervalo [ a , b ] . La región limitada por la gráfica para
hallar el área de esta región, partimos el intervalo [ a , b ] en n
subintervalos iguales a = q < q < q <........< q < q = b
• A continuación aproximamos el área de la región por la suma de las
mismas de los n sectores,
• Luego de haber notado el teorema anterior, podemos decir que usar la
fórmula para hallar el área de una región limitada por la gráfica de una
función continua no negativa. Sin embargo, no es necesariamente válida si
f toma valores positivos y negativos en el intervalo [ a , b ] .

8. Ejemplo De Graficas
• Este tipo de
gráfico se
conoce como
Rosa de cuatro
pétalos. Es fácil
ver cómo se
forma una figura
parecida a una
rosa con cuatro
pétalos. La
función para
este gráfico es: