Marko Robnik Kaos in revolucije v znanosti 20. stoletja -- 23.2.2011, Maribor

1. Center for Applied Mathematics and Theoretical Physics
University of Maribor • Maribor • Slovenia
ˇ
Center za uporabno matematiko in teoreticno fiziko
Univerza v Mariboru
www.camtp.uni-mb.si
Kaos in revolucije v znanosti
20. stoletja
Marko Robnik
Seminar idej izven ˇkatle
s
Univerza v Mariboru, 23. februar 2011

2. VSEBINA
1. Uvod: algoritmiˇna kompleksnost v logiki, matematiki in fiziki
c
2. Deterministiˇni kaos: eksponentna divergenca/nestabilnost ter
c
nenapovedljivost
3. Primeri v fiziki: regularno in kaotiˇno gibanje v dinamiˇnih sistemih
c c
4. Pristnost deterministiˇnega kaosa ter smiselnost numeriˇnih integracij
c c
5. KAM teorija in uporaba: problem stabilnosti Sonˇevega (planetnega)
c
sistema
6. Kaos in samo-organizacija
7. Zakljuˇek
c

3. 1. Uvod: algoritmiˇna kompleksnost v logiki, matematiki in fiziki
c
Trojna revolucija v (klasiˇni) znanosti 20. stoletja:
c
ˇ
MATEMATIKA IN MATEMATICNA LOGIKA: PARADOKSI IN
ˇ
ALGORITMICNA KOMPLEKSNOST:
Obstajajo neizraˇunljiva ˇtevila in nedokazljivi izreki (Turing 1936, G¨del
c s o
1930). Kompleksnost neizraˇunljivih ˇtevil ni patoloˇka ali izjemna, temveˇ
c s s c
tipiˇna in skoraj povsod prisotna. Tesno je povezana z nakljuˇnostjo.
c c
NELINEARNA DINAMIKA V FIZIKI: KAOS OBSTAJA:
Ta kompleksnost in nenapovedljivost je tesno povezana s kaosom: manifestira
jo prav kaos v deterministiˇnih sistemih (Poincar´, Kolmogorov, Arnold,
c e
Moser, Smale in Chirikov, Lorenz, Feigenbaum, Grossmann, itd.)
SINERGETIKA OZIROMA SAMO-UREJENOST: STRUKTURA IZ KAOSA:
(Samodejna) urejenost je moˇna v deterministiˇnih in v sploˇnem odprtih
z c s
disipativnih sistemih (Haken, Prigogine). To vkljuˇuje moˇnost ˇivljenja, ki
c z z
ima sposobnost reprodukcije.

4. Eno najglobljih filozofskih in znanstvenih vpraˇanj od zaˇetkov civilizacije je:
s c
ˇ ˇ
ZAKAJ IN KAKO JE ZIVLJENJE SPLOH MOZNO?
ˇ
Zivljenje je visoko organiziran fenomen, ki obstaja v termodinamiˇnih odprtih
c
sistemih, ki ˇrpajo energijo iz okolja in odvajajo entropijo v okolje. Je torej
c
samo-organiziran fenomen v pravem nasprotju s termodinamiˇno zaprtimi
c
sistemi, ki vselej vodijo v popoln kaos (maksimalni nered). Torej, ˇivljenje je
z
moˇno s pomoˇjo obvladanja kaosa. Nadalje, bistveno za ˇive organizme je
z c z
njihova sposobnost samo-reprodukcije. Kako je to mogoˇe? c
John von Neumann, 1948: Pri obravnavi produkcije in samo-reprodukcije
lahko loˇimo software in hardware. Obstoj samo-reproduktivnih avtomatov ne
c
vodi do logiˇnih protislovij.
c
ˇ
Zivi organizem: hardware = proteini, software = DNA in RNA
Predpostavka: samo-reproduktivni avtomat ima in uporablja Turingov stroj
(univerzalni raˇunalnik) kot svoj osrednji computer za procesiranje informacij.
c

5. TURINGOV STROJ: namiˇljeni univerzalni raˇunalnik
s c
Univerzalni computer obstaja in ima konˇno kompleksnost. Z izvajanjem
c
konˇnih programov lahko seveda Turingov stroj reproducira tudi neskonˇne
c √ c
ˇtevilˇne konfiguracije kot n.pr. nekatera realna ˇtevila: 2, π, e,... bodisi v
s c s
desetiˇkem ali v binarnem sistemu itd.
s
1 = 1, 00000000000000000000000000000000000000000 . . .
2 = 2, 00000000000000000000000000000000000000000 . . .
7/13 = 0, 538461 538461 538461 538461 . . .
17/12 = 1, 416666 666666 666666 666666 666666 . . .
577/408 = 1, 414213 5686274509803921 5686274509803921 . . .
√
2 = 1, 414213 562373 095048 801688 724209 . . .
π = 3, 14159265358979323846 . . .
e = 2, 7182818284590452353602874 . . .

6. TODA vsako ˇtevilo ni izraˇunljivo na ta naˇin! SKORAJ VSA REALNA
s c c
ˇ ˇ
STEVILA SO NEIZRACUNLJIVA!
SKLEP: Potrebujemo neskonˇne programe, ˇe ˇelimo izraˇunati dano realno
c c z c
ˇtevilo do poljubne natanˇnosti. Z drugimi besedami: dolˇina programa
s c z
presega vsako mejo z naraˇˇajoˇimi zahtevami po natanˇnosti. V tem je
sc c c
bistvena razlika med izraˇunljivimi in neizraˇunljivimi ˇtevili. (angl.:
c c s
computable and incomputable numbers).
TOREJ: Ne obstaja tak algoritem ali raˇunalniˇki program za napoved
c s
konˇnega ˇtevila binarnih mest, ki bi bil krajˇi kot binarna sekvenca samega
c s s
neizraˇunljivega ˇtevila:
c s
Vsako binarno mesto dobimo kot ”preseneˇenje”: informacija je nestisljiva, in
c
ˇtevilo je nenapovedljivo (torej nakljuˇno).
s c

7. ˇ ˇ
LOGICNI PROBLEMI V MATEMATIKI IN LOGIKI V ZACETKU 20.
STOLETJA:
Veliko logiˇnih antinomij. Ogroˇajo konsistenco celotne matematike.
c z
Poskus reˇitve problema: B.Russell in A.Whitehead: Principia Mathematica:
s
Teorija tipov: izogib logiˇnim izjavam, ki se nanaˇajo same nase.
c s
Kurt G¨del (1930): V vsaki zadosti bogati matematiˇni strukturi kot je n.pr.
o c
teorija ˇtevil, obstajajo teoremi (sintaktiˇno dovoljeni) ki jih ni mogoˇe niti
s c c
dokazati niti ovreˇi!
c
Genialna metoda: ˇtevilˇno kodiranje aksiomov, teoremov, itd.
s c
Nedokazljivi izreki so v natanˇni korespondenci z neizraˇunljivimi ˇtevili
c c s
Turinga.
Turingova in G¨delova odkritja so prav gotovo revolucionarna v matematiki in
o
matematiˇni logiki.
c
NOVO: Kompleksnost neizraˇunljivih ˇtevil in nedokazljivih izrekov se pojavi
c s
tudi v fiziki, namreˇ v kaosu: informacijska inkompresibilnost.
c

8. REVOLUCIONARNO ODKRITJE V NELINEARNI DINAMIKI (V FIZIKI) JE:
Kaos (kaotiˇno vedenje) v deterministiˇnih sistemih obstaja!
c c
V naravi obstajajo pojavi, ki jih ni mogoˇe opisati in opazovati drugaˇe kot z
c c
njihovo lastno ˇasovno evolucijo, tako da njihove manifestacije ni mogoˇe
c c
modelirati s preprostejˇimi fenomeni.
s
Bistvo kaosa: nestabilnost (zaradi nelinearnosti) ter nenapovedljivost, saj
najmanjˇa napaka v zaˇetnem stanju popolnoma spremeni rezultat po
s c
konˇnem ˇasu, t.i. Ljapunovem ˇasu, ki je ˇasovni horizont. Obˇutljiva
c c c c c
odvisnost od zaˇetnih pogojev (Ruelle).
c
NOVA FILOZOFIJA V NELINEARNI ZNANOSTI KOMPLEKSNIH
NELINEARNIH SISTEMOV:
Uporaba raˇunalnikov ni le koristna in zanimiva, temveˇ neizogibna in
c c
bistvena.
ˇ ˇ
ZIVLJENJE IN CIVILIZACIJA STA MOGOCA SAMO NA OSNOVI POJAVA
SAMO-ORGANIZACIJE, t.j. s pomoˇjo obvladovanja in kontroliranja kaosa,
c
kjer je v disipativnih sistemih spet bistvena nelinearnost.

9. 2. Deterministiˇni kaos: eksponentna divergenca/nestabilnost ter
c
nenapovedljivost
3. Primeri v fiziki: regularno in kaotiˇno gibanje v dinamiˇnih sistemih
c c

16. 4. Pristnost deterministiˇnega kaosa ter smiselnost numeriˇnih integracij
c c

20. 5. KAM teorija in uporaba: problem stabilnosti Sonˇevega (planetnega)
c
sistema

30. 6. Kaos in samo-organizacija

36. 7. Zakljuˇek
c
Pristni kaos je prisoten povsod v naravi in njegova kompleksnost nam
prepreˇuje, da ga v podrobnosti opiˇemo s ˇe tako rafinirano a preprosto
c s s
formulo. Za ˇtudij kaosa ni boljˇe metode za njegovo analizo in simulacijo kot
s s
je njegov lastni razvoj v ˇasu in prostoru: kaos je sam sebi najboljˇi computer.
c s
Kaos obvladuje vesolje, ˇivljenje pa je mogoˇe zgolj s pojavi samo-organizacije
z c
v naravi. Inteligentno ˇivljenje in civilizacija sta lahko uspeˇni samo z
z s
obvladovanjem kaosa, za kar je neizogiben ˇtudij kaosa, in to je morda
s
najpomembnejˇa motivacija nelinearne dinamike in nelinearne znanosti.
s