O documento apresenta conceitos fundamentais sobre equações algébricas, incluindo definição, teorema da decomposição, multiplicidade de raízes, resolução de equações, teorema das raízes complexas e relações de Girard.

1. EQUAÇÕES
ALGÉBRICAS
Prof.: RRooddrriiggoo CCaarrvvaallhhoo

2. Î
Prof.: Rodrigo Carvalho
DEFINIÇÃO
Chamamos de equações algébricas de grau n N
na variável x Î
C, toda equação que pode ser
reduzida à forma:
Ax + B x + ... + Cx + D = 0 n n-1
Exemplos:
a) 3x – 1 = 0 é uma equação algébrica de 1º grau.
b) x – 3x + 4 = 0 é uma equação 3 algébrica do 3º grau.
*OBS.: Toda equação polinomial de grau n, com
n natural, possui n raízes complexas.

3. TEOREMA DA
DECOMPOSIÇÃO
Todo polinômio
P(x) = Ax + B. x + ... + C. x + D n n-1
pode ser fatorado de maneira única como
P(x) = A . (x – x1).(x – x2).(x – x3)...(x – xn),
sendo x1, x2, x3, ..., xn, as raízes de P(x) = 0.
Exemplo:
Fatorar o polinômio P(x) =2x 2– 14x + 20.
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4. MULTIPLICIDADE DE
3
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UMA RAIZ
Chamamos de multiplicidade de uma raiz a
quantidade de vezes que um número é solução de
uma equação.
Exemplos:
a) 3 é raiz com multiplicidade dois da equação x – 6x + 9 = 0. 2
b) -2 é raiz com multiplicidade um da equação 4x + 8 = 0.
c) 0 é raiz com multiplicidade três da equação x - 7x = 0. 4
*Obs.: Podemos afirmar que as raízes dos itens
anteriores são dupla, simples e tripla, respectivamente.

5. RESOLUÇÃO DE UMA
EQUAÇÃO ALGÉBRICA
I) Quando a soma dos coeficientes de uma
equação é zero, então 1 é raiz dessa equação.
Obs: Para cada raiz da equação podemos utlizar briot- ruffini para
reduzir o grau da equação em um grau.
II) Quando o termo independente de uma
equação é zero, então essa equação tem raiz nula
com multiplicidade igual ao seu menor expoente.
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x – 2x + 5x - 3 2 4 = 0
x – 7x + 12x = 0 4 3 2

6. III) Caso seja possível, podemos recorrer à
IV) Caso uma equação com coeficientes inteiros
possua raiz inteira, então essa raiz é um dos
divisores da razão entre o termo independente e o
coeficiente de maior grau.
x 3– 6x 2 – 11x + 10 = 0
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fatoração por agrupamento.
x 3– 4x 2 + 3x - 12 = 0

7. TEOREMA DAS RAÍZES
COMPLEXAS
Se um número complexo(não real) é raiz de uma
equação cujos coeficientes são reais, então seu
conjugado também é raiz dessa equação.
Exemplo:
Determine as raízes da equação 5x3 – 10x 2+ 50x = 0.
*OBS: Esse teorema também é válido para raízes
irracionais caso os coeficientes sejam racionais.
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8. RELAÇÕES DE GIRARD
São relações estabelecidas entre as raízes de
uma equação algébrica e seus coeficientes.
EQUAÇÕES DE GRAU 2
Ax2 + Bx + C = 0
x x x B 1 2 3 + + = -
x x x x x x C 1 2 1 3 2 3 + + =
x . x . x D 1 2 3 = -
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x x B 1 2 + = -
A
x . x C 1 2 =
A
EQUAÇÕES DE GRAU 3
Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0
A
A
A

9. x x x x x x x x x x x x C 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 + + + + + =
x x x x x x x x x D 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 x + x + + x = -
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EQUAÇÕES DE GRAU 4
Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E = 0
x x x x B 1 2 3 4 + + + = -
A
x . x . x . x E 1 2 3 4 =
A
A
A

10. x3 - x2 + kx +15 = 0
Considere a equação , com k real.
Se o número complexo 2 – i é uma das raízes dessa
equação, então o valor de k é:
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A) irracional.
B) natural.
C) ímpar.
D) cubo perfeito.
E) racional não inteiro.

11. Se a equação x − 3x − 4x + 12 = 0 tem duas raízes
simétricas, a outra raiz é um número:
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3 2
a) negativo;
b) irracional;
c) maior que 12;
d) entre 2 e 4;
e) entre 0 e 1.

12. A soma dos inversos das raízes da equação
e) 5
d) 3
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2x 3− 5x 2−3x + 2 = 0 é igual a:
2
2
a) - 5 - -
c) 1
2
b) 3
2
2