AVANCE DE INVESTIGACIÓN: CONSTRUCCIÓN COGNITIVA DE LOS CONCEPTOS ESPACIO VECTORIAL R2 Y R3 Y SU RESPECTIVO TRÁNSITO, DESDE LA TEORÍA APOE

1. CICATA-IPN
SEMINARIO DE INVESTIGACIÓN
Programa de Doctorado Didáctica de la Matemática
Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
AVANCE DE INVESTIGACIÓN:
CONSTRUCCIÓN COGNITIVA DE LOS CONCEPTOS ESPACIO VECTORIAL
R2 Y R3 Y SU RESPECTIVO TRÁNSITO, DESDE LA TEORÍA APOE
Estudiante: M. Alejandro Rodríguez Jara miguel.rodriguez.j@mail.ucv.cl
Dra. Marcela Parraguez González marcela.parraguez@ucv.cl
Dra. María Trigueros Gaisman
1

2. 1.-LA PROBLEMÁTICA QUE SUBYACE A NUESTRA INVESTIGACIÓN
(Lo que se reporta desde la investigación en la enseñanza y aprendizaje del
álgebra lineal)
2.-SOBRE EL MARCO TÉORICO QUE SUSTENTA NUESTRA INVESTIGACIÓN
(La teoría APOE, desde la necesidad de abordar la construcción de
conceptos matemáticos desde la matemática misma)
3.-UN AVANCE EN EL DISEÑO DE NUESTRA INVESTIGACIÓN
(Algunos elementos, algebraicos y geométricos, que hemos
posicionado desde el marco teórico declarado, la teoría
APOE)
2

3. PRIMER MOMENTO
DESDE UN ANÁLISIS HISTÓRICO EPISTEMOLÓGICO
(Dorier, 2000)
3

4. La axiomatización del álgebra lineal, hacia 1930, desde la concepción
del concepto espacio vectorial, demandó un alto nivel de abstracción
(Dorier, 2000; Dorier, et al. 2001)
Un nuevo estatus a una variedad de conceptos dispersos en el desarrollo de la
matemática, a la luz del concepto de vector.
Babilonios Sistema de Estudiosos de la Mecánica
Ecuaciones lineales (Fines del siglo XVII)
A.C. D.C.
1650 300 200 0 1700 1800 1900
Papiro Rhind Chinos Grassmann, Hamilton y Cayley
sacerdote egipcio Ahmés Dinastía Han las nociones de vector
(Ecuaciones lineales) Método Fan-Chen y de espacio Vectorial
(Eliminación Gaussiana) (axiomatización y unificación)
4

5. EL concepto espacio vectorial, desde un punto de vista
epistemológico, más que ayudar a resolver nuevos problemas es visto
como un concepto unificador, generalizador y formalizador; al igual
que el concepto de límite. (Dorier, 2000; Artigue, 2003)
Se pone de manifiesto
La “unificación” en matemática
.-Algebrización de la geometría
(Descartes y Fermat en el siglo XVIII)
.-Unificación de las geometrías
(Programa Erlangen, Felix Klein 1879)
5

6. UN EJEMPLO QUE GRAFICA EL LENTO PROCESO DE LA
FORMALIZACIÓN DE LAS IDEAS MATEMÁTICAS
6

7. Desde el propio relato de Euler Sistema de ecuaciones de 2x2
un “accidente” que se detalla 3x 2 y 5 3x 2 y 5
6 x 4 y 10 0 0
La dependencia Se describe las posibilidades
“Inclusiva” Euler (1750) para el caso de 3x3
(La primera ecuación (La primera ecuación
Múltiplo de la segunda) en las otras dos)
La dependencia desde
x 2 y 3z 2 x 2 y 3z 2
Cramer (1750)
3x 6 y 9 y 6 2x y 9 y 6
Caracterizado por A 0 2x 4y 6z 4 3x 3y 12z 8
¡¡Como un siglo!!
.-Lo descrito no se sitúa desde un concepto “englobador”
La dependencia lineal .-Se avanza en la idea de rango
Frobenious (1875)
“El enfoque de Frobenius permite que un sistema sea visto como un elemento de una
base de sistemas equivalentes con el mismo conjunto de soluciones: un paso fundamental
hacia la representación de los sub-espacios por medio de ecuaciones ” (Dorier, 1990)
7

8. “ENSEÑANZA Y APENDIZAJE DEL ÁLGEBRA LINEAL”
INVESTIGACIÓN EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA:
CUATRO ÉNFASIS A CONSIDERAR
8

9. Efectos de la reforma de las matemáticas modernas
en los años 60’ Un aspecto visible de la unificación
El método axiomático y fuerte incidencia de la teoría La convergencia de variados conceptos
de conjuntos en los currículos universitarios. en torno a la idea de vector
Diagnóstico Dificultades Registros y lenguajes
(1987-1994) (1995-2000)
Robert-Robinet-Rogalski Hillel - Pavlopoulou- Alves-Dias
Hay un problema con, y el uso del Reportan sobre los registros de
formalismo, si bien se entiende aspectos representación y la conversión a
generales, se evidencia problemas en la éstos. Un aspecto que debe estar
interpretación de los conceptos generales presente en la enseñanza y los textos
en contextos más específicos (geométrico y disponibles..
sistemas de ecuaciones lineales)
Aparece el obstáculo del formalismo
9

10. La abstracción desde niveles
Una necesidad desde la enseñanza
progresivos de descontextualización
Modelos de enseñanza en función
Desde un pensamiento práctico a un Los aspectos descritos anteriormente
pensamiento teórico
modo de pensar en la comprensión del La enseñanza del álgebra lineal
álgebra lineal (2000)
(2000)
Hillel - Sierpinska- Harel Harel
Sus investigaciones apuntan a estimular Propone, dados los antecedentes de las
una forma de pensamiento. Se habla de investigaciones, tres principios para la
un pensamiento práctico y un enseñanza del álgebra lineal. La
pensamiento teórico, hay una investigación aporta resultados en
imposibilidad de transitar y articular que relación a que las dificultades que
se manifiesta por una rigidez al pensar manifiestan los estudiantes se pueden
(mecanización) explicar sobre la violación de estos
principios.
10

11. Ejemplo de pregunta, utilizada en una investigación con la
intención de ver si los estudiantes utilizan el concepto de
independencia lineal en contextos más formales (Robert y
Robinet, 1989)
Sean u, v y w tres vectores en R3. Si cualquier par de ellos no son
colineales, ¿son linealmente independientes?
La mayoría de los estudiantes encuestados respondió que sí, lo que pone de
manifiesto dificultades en relación al concepto independencia lineal de vectores.
11

12. REFORMA CURRICULAR:
EL CASO DEL ÁLGEBRA LINEAL EN E.E.U.U.
12

13. David Lay
.-Lidera reforma curricular en la enseñanza
GRUPO del álgebra lineal en E.E.U.U. (1990)
LACSG .-Énfasis a las aplicaciones, el cálculo matricial y
el desarrollo de los espacios vectoriales Rn
Hay un cambio de foco
GRUPO
RUMEC Dubinsky
Teoría APOE (APOS): Acción-Proceso-Objeto-Esquema
“El conocimiento matemático de un individuo es su tendencia a
responder a las situaciones matemáticas problemáticas reflexionando
sobre ellas en un contexto social y construyendo o reconstruyendo
acciones, procesos y objetos matemáticos y organizando en esquemas
con el fin de manejar las situaciones” (Dubinsky, 1996)
(Inspirada en teoría genética de Piaget, destacando los conceptos de : esquemas
y abstracción reflexiva)
13

14. SEGUNDO MOMENTO
UNA MIRADA A LOS ELEMENTOS DE LA TEORÍA APOE
14

15. NOS PERMITE
.-IDENTIFICAR DIFICULTADES DE TIPO COGNITIVO, POR PARTE DE
LOS ESTUDIANTES, EN EL APRENDIZAJE DE CONCEPTOS
TEORÍA MATEMÁTICOS.
APOE
.-EXPLICAR LAS DIFICULTADES DE LOS ESTUDIANTES Al
ADQUIRIR CONCEPTOS, DESDE LA MATEMÁTICA MISMA.
.-DISEÑAR Y DOCUMENTAR “RUTAS” PARA LA CONSTRUCCIÓN
Se caracteriza COGNITIIVA DE CONCEPTOS MATEMÁTICOS .
POR TRABAJAR CON POR PROMOVER EL DESARROLLO
CONCEPTOS MATEMÁTICOS DE CONSTRUCCIONES MENTALES
(PUNTO DE PARTIDA) DESDE MECANISMOS DE ABSTRACCIÓN
COMPONENTE COMPONENTE
EPISTEMOLÓGICO COGNITIVO
(implícito) (explícito)
15

16. UN CICLO A CONSIDERAR (Construcción mental)
(Asiala, et al. 1996)
Operación mental o física
repetible que trasforma un Construcción mental producto
objeto (es algorítmica y con de la interiorización de una acción
estímulos externos) . Interiorización La cual obedece a estímulos internos .
ACCIÓN
OBJETO PROCESOS
Coordinación
Reversión
Construcción mental que
da cuenta de un proceso
como una transformación Encapsulación ESQUEMA
global. Desencapsulación
Organización de acciones, procesos,
Objetos y otros esquemas.
(Niveles de un esquema: Intra- Inter- Trans)
16

17. EXPLICITACIÓN DEL CICLO DESDE LA IDEA DE COMBINACIÓN
LINEAL
17

18. “Una acción consiste en una transformación de un objeto que es percibida por el individuo
como externa y se realiza como una reacción a sugerencias que proporcionan detalles de los
pasos por seguir (Asiala et al., 1996). Cabe recalcar que la construcción de acciones viene a
ser crucial al inicio de la construcción de un concepto”. (Trigueros, 2008)
Multiplicar un vector específico
de R2 por un escalar y
Representarlo geométricamente
Combinación
lineal
Dibujar geométricamente
un vector específico de R2
(Acción)
Adicionar dos vectores
específicos de R2y representar
la adición geométricamente
18

19. “Cuando una acción, o una serie de acciones, se repite y el individuo reflexiona
sobre ella, puede interiorizarse en un proceso (Asiala et al., 1996). Así, el
individuo puede pensar en un concepto en términos generales y sin necesidad
de hacer cálculos explícitos”. (Trigueros, 2008)
Descomponer aditivamente
Escribir un vector
un vector de R2 en otros dos y a su vez
de R2 en relación a escalares
estos en función de escalares, desde la
y otros vectores, desde el uso
Igualdad de dos vectores
de un sistema de
COMBINACIÓN
ecuaciones
LINEAL DE R2
(proceso)
Se piensa en combinar aditivamente
múltiplos de vectores de R2 , desde
interiorización Desde la clausura de la adición
Acción Proceso
Coordinación
reversión procesos
19

20. “Cuando un individuo reflexiona sobre las operaciones aplicadas a un proceso como un
todo, realiza las transformaciones (ya sean acciones o procesos) que pueden actuar sobre
él y puede construir de hecho esas transformaciones, entonces ha encapsulado este
proceso en un objeto (Asiala et al., 1996)”. (Trigueros, 2008)
Replicar el álgebra de vectores de R2 a la combinaciones
lineales de vectores desde la clausura y los axiomas.
COMBINACIÓN
LINEAL EN R2
(como objeto)
interiorización encapsulación
Acción Proceso Objeto
reversión desencapsulación
Coordinación
procesos
20

21. “Con respecto al esquema, se puede decir que un esquema para un concepto en
matemáticas es una colección coherente de acciones, procesos y objetos y otros
esquemas relacionados entre sí, consciente o inconscientemente en la mente de un
individuo, que se pueden utilizar en una situación problemática que tiene relación con ese
concepto matemático (Trigueros, 2005). La coherencia se refiere a que el estudiante
puede decidir si alguna situación matemática puede trabajarse utilizando el esquema”.
(Trigueros, 2008)
COMBINACIÓN
LINEAL EN R2
(como esquema)
.-Conjunto linealmente dependientes
.-Conjunto linealmente independiente .-Coordenadas
.-Conjunto generador .-Homotecia
.-Base .-Dilataciones
.-Combinación lineal con operaciones .-Geometría afín
no usuales .-Conjunto solución de una ecuación diferencial
.-Matriz cambio de base
.- Combinación lineal en Espacio Vectoriales
isomorfos a Rn
Nivel Intra – Inter - Trans 21

22. “Con respecto al esquema, se puede decir que un esquema para un concepto en
matemáticas es una colección coherente de acciones, procesos y objetos y otros
esquemas relacionados entre sí, consciente o inconscientemente en la mente de un
individuo, que se pueden utilizar en una situación problemática que tiene relación con ese
concepto matemático (Trigueros, 2005). La coherencia se refiere a que el estudiante
puede decidir si alguna situación matemática puede trabajarse utilizando el esquema”.
(Trigueros, 2008)
COMBINACIÓN
LINEAL EN R2
(como esquema)
interiorización encapsulación
Esquema
Acción Proceso Objeto
tematización
desencapsulación
reversión Coordinación
procesos
Nivel Intra – Inter - Trans 22

23. CICLO DE INVESTIGACIÓN DE APOE
23

24. Descomposición Genética (D.G.)
.-Sobre la base de antecedentes
(Investigaciones previas)
Ajuste a la
Descomposición
Análisis .-Entrevistas a profesores
Teórico Informantes (expertos)
genética
.-Concepciones del investigador
Análisis y Diseño de
verificación instrumentos
de datos
.-Protocolo de entrevista a informantes
.-Aplicación de entrevistas
.-Diseño de preguntas para las entrevista
.-Analizar evidencia
con los estudiantes
(Grabaciones y registros escritos)
24

25. HACIA UNA PROPUESTA DIDÁCTICA:
CICLO ACE
25

26. Descomposición Genética
Análisis
.-Acciones
Teórico .-Procesos Esquemas
.-Objetos
Observación, Aná Diseño de
lisis y verificación instrumentos e
de datos implementación
de enseñanza
Ciclo de enseñanza
Ciclo ACE
.-Actividades
.-Discusión Clase
.-Ejercicios
26

27. PROPUESTA DIDÁCTICA
27

28. TERCER MOMENTO
HACIA UNA DESCOMPOSICÓN GENÉTICA DE LOS ESPACIOS
VECTORIALES R2 Y R3
28

29. Lo geométrico y algebraico
Ejes coordenados, subconjuntos,
Cuerpo de los Axiomas Articular Puntos, relaciones, rectas, distanc
Números Reales (objeto)
ia,…
(esquema)
(R2, +, •) Plano cartesiano
Espacio Vectorial (Objeto R2)
(Objeto)
concepto de función: R2 ( x, y ) / x R y R
operaciones usuales y no
Usuales
(esquema)
Ejes coordenados, subconjuntos,
puntos, relaciones, planos, rectas,…
(R3, +, •) Espacio
Espacio Vectorial Espacio Afín cartesiano
(Objeto) (Objeto R3)
R3 ( x, y , z ) / x R y R z R
29

30. Lo geométrico y algebraico
Ejes coordenados, subconjuntos,
Cuerpo de los Axiomas Articular puntos, rectas, relaciones
Números Reales (objeto)
(esquema)
(R2, +, •) Plano cartesiano R2
Espacio Vectorial (Objeto)
(Objeto)
concepto de función: R2 ( x, y ) / x R y R
operaciones usuales y no
Usuales
(esquema)
30

31. UN DESPLIEGUE DE CONCEPTOS ASOCIADOS AL ESPACIO
VECTORIAL R2 y el CARTESIANO R2
31

32. Despliegue de Ideas
R R Asociadas
Producto Cartesiano
2
Par ordenado R
Espacio Vectorial
(a, b) : {{a},{a, b}}
Segmento dirigido
Conjunto solución de una ecuación lineal
a1 x1 a2 x2 b Vector
Dependencia y
independencia Geometría afín
lineal Geometría Vectorial
Conjunto solución de un sistema
Simultaneo de ecuaciones lineales
2
a11 x1 ... a1n xn b1
R
Plano Cartesiano
... ... ...
Ecuación Matricial Geometría analítica
am1 x1 ... amn xn bm
Am n Xn 1 Bm 1
32

33. R2 cartesiano y R2 vectorial
2x y 1
Geometría analítica
3x y 2
Intersección de rectas
Como sub-espacios vectoriales
que contienen a los Vectores
ortogonales asociados al líneas rectas afines
sistema de ecuaciones.
La intersección de los sub-
espacios es el sub-espacio
generado por el
(2,1) ( x, y ) 0
Vector nulo. (3,1) ( x, y ) 0
2x y 0
3x y 0
Producto interno
Hay una traslación paralela
Desde el sistema de ecuaciones
inicial Intersección de
sub-espacios
S1 ( x, y) R2 / y 2x ( x, y) R2 /(x, 2x (1, 2)
S1 S2 (0,0)
2 2
S2 ( x, y) R / y 3x ( x, y) R /(x, 3x (1, 3)
33

34. Lo geométrico y algebraico
Ejes coordenados, subconjuntos,
Cuerpo de los Axiomas Articular Puntos, relaciones, rectas,
Números Reales (objeto)
distancia,…
(esquema)
(R2, +, •) Plano cartesiano
Espacio Vectorial (Objeto R2)
(Objeto)
concepto de función: R2 ( x, y ) / x R y R
operaciones usuales y no
Usuales
(esquema)
Ejes coordenados, subconjuntos,
puntos, relaciones, planos, rectas,…
Espacio
cartesiano
(Objeto R3)
R3 ( x, y , z ) / x R y R z R
34

35. Lo geométrico y algebraico
Ejes coordenados, subconjuntos,
Cuerpo de los Axiomas Articular Puntos, relaciones, rectas, distanc
Números Reales (objeto)
ia,…
(esquema)
(R2, +, •) Plano cartesiano
Espacio Vectorial (Objeto R2)
(Objeto)
concepto de función: R2 ( x, y ) / x R y R
operaciones usuales y no
Usuales
(esquema)
Ejes coordenados, subconjuntos,
puntos, relaciones, planos, rectas,…
(R3, +, •) Espacio
Espacio Vectorial Espacio Afín cartesiano
(Objeto) (Objeto R3)
R3 ( x, y , z ) / x R y R z R
35

36. Lo geométrico y algebraico
Ejes coordenados, subconjuntos,
Cuerpo de los Axiomas Articular Puntos, relaciones, rectas, distanc
Números Reales (objeto)
ia,…
(esquema)
(R2, +, •) Plano cartesiano
Espacio Vectorial (Objeto R2)
(Objeto)
concepto de función: R2 ( x, y ) / x R y R
operaciones usuales y no
Usuales
(esquema)
Ejes coordenados, subconjuntos,
puntos, relaciones, planos, rectas,…
(R3, +, •) Espacio
Espacio Vectorial Espacio Afín cartesiano
(Objeto) (Objeto R3)
R3 ( x, y , z ) / x R y R z R
36

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2368
38

39. UN SALUDO DESDE CHILE A NOMBRE DEL EQUIPO DE DOCTORADO
MUCHAS GRACIAS
LOTA, CIUDAD MINERA;
CUNA DEL ESCRITOR
BALDOMERO LILLO
Instituto de matemática
Valparaíso