1. Escuela de Educación Continua
Repaso para la Prueba de Evaluación
y Admisión Universitaria
(College Board)
MATEMÁTICAS
Álgebra
Ecuaciones - Inecuaciones
Preparado por
Dra. Casilda Canino, Enero 1994
Prof. Norma Rivera, Enero 1994
Revisado por
Prof. René Rivera, Diciembre 2011

2. Este manual es propiedad del Campus Virtual de la Escuela de
Educación Continua de la Universidad Metropolitana. El mismo
no puede ser reproducido parcial ni totalmente sin la autorización
expresa del Decano Asociado del Campus Virtual de la Escuela
de Educación Continua de la Universidad Metropolitana.
Escuela de Educación Continua de UMET, enero 2012

3. Álgebra
XI. Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad que contiene una variable.
A. Resolución de ecuaciones-Resolver una ecuación es buscar el valor de la
variable que hace cierta a la igualdad.
Ejemplos 1) x –5 =12
X–5 + 5 = 12 + 5 sumas +5 en ambos lados para dejar a la variable x sola.
x = 17 la solución es x=17.
2) 214 = y + 11
214 + – 11 = y + 11 + – 11 sumas -11 en ambos lados de la ecuación
203 = y la solución es y = 203
3) 2x = -8
2x = -8 divides entre 2 en ambos lados de la ecuación
2 2
X = -4 la solución es x = -4
4. 3x + 9 = -12
3x = -12 + -9 eliminas el 9 sumando (-9) en ambos lados
3x = -21 elimino el 3 dividiendo en ambos lados por 3
3 3 luego x = -7
12 n
5. multiplicas cruzado
1 4
n 1 12 4 resuelves para n
n 48
6) 3p 10 8

4. 3p 10 10 8 10
3 p 18
3 p 18
3 3
p 6
Práctica: Ecuaciones
9. Si 5x + 6 = 3x + 13, entonces x=
1) 3n = 12 (A) 9
2) x + 9 = 20 (B) -4.5
(C) 4.5
3) y – 14 = 9 (D) 3.5
x (E) 7
4) 20
2
10. Si 3m + n = 10 y n = 1, entonces m =
5) 4y – 8 = 16 (A) 9
(B) 3
6) 8x + 3 = 6x + 9
(C) 7
7) 5n – 9 = 2n + 3 (D) 11
3
8) 5(y + 1) + 2y = 7y + 17 –3y
(E) -9
RESPUESTAS:
1) n = 4 2) x =11 3) y = 23 4) x = 40 5) y = 6
6) x = 3 7) n = 4 8) y = 4 9) D 10) B

5. XII. Inecuaciones
A. Resolución de inecuaciones
Ejemplos
1) 29 g 68
29 29 g 68 29 sumas (- 29) en cada lado.
g 39 esto significa: todos los números menores ó iguales que 39.
2) 13 2 z 3z 39
13 2z 2z 3z 2z 39 sumas (-2z) en cada lado.
13 z 39
13 39 z 39 39 sumas (+39) en cada lado.
52 z ó z > 52 significa todos los números mayores que 52
x 3
3)
12 2
2 x 12 3 multiplica cruzado
2 x 36
2 2 Divide entre 2 en cada lado
x 18
Cuando divides o multiplicas por un número negativo en una desigualdad el signo de la
desigualdad cambia.
4) 3w 27
3w 27
divide cada lado entre –3 y el cambia de > a <.
3 3

6. w 9
5) 1 x 3 5
Primero expresa 1 x 3 5 usando y luego resuelve cada desigualdad.
1 x 3 x 3 5
1 3 x 3 3 x 3 3 5 3
4 x x 2
El conjunto de solución es x | 4 x 2.
Práctica: A Inecuaciones
1) 3x < 15
RESPUESTAS:
2) 2x + 6 > x – 7 1) x < 5 5) x 8
x 2) x > -13 6) x < 13
3) 5
4 1
3) x < -20 7) x
3b 2 2
4)
4 3 20
8 y
5) 3 x 5 2x 4 1 4) b 8)
9 17
6) 7 x 5 4x 1 9. A 10) D 11. D
7) 2 1 3x 5
8) 16 7 y 10 y 4
9) Resuelve: -10x + 4 > -11x + 13
a) x < 9 c) x > 9

7. b) x ≥ 17 d) x ≤ 17
10) ¿Cuál de las siguientes es la solución de -3x < 9?
a) x < 3 c) x < -3
b) x > 3 d) x > -3
11) Escoge la expresión que corresponde a la siguiente gráfica
-2 8
A) – 2 ≤ x ≤ 8 B) – 2 ≥ x ≥ 8
C) x ≥ 8 y x ≥ -2 D) x ≤ -2 ó x≥8
B.Variación Directa
Las variables x y y varían directamente, si se relacionan mediante una ecuación de la forma
Y = kx .
Para algún número k distinto de cero. El número k se llama la constante de proporcionalidad.
En caso de que x y y varía directamente, decimos también que son directamente
proporcionales entre sí. Desde luego, y es función de x, y x es también función de y, puesto que
1
X= .
ky
La variación directa se describe mediante una ecuación de la forma y = kx donde x 0. En la
ecuación y = kx, k se llama constante de variación. Para encontrar la constante de variación, se
divide cada lado entre x.
y
=K
x
Ejemplo 1
El salario de Julio varía con el número de horas que trabaja. Si le pagan $29.75 por 5 horas de
trabajo, ¿cuánto le pagarán por 30 horas?

8. Primero calculas el salario por hora. Sea x = al número de horas que Julio trabaja y sea y = a la
paga de Julio. Encuentra el valor de K en la ecuación y = kx. El valor de k es la cantidad que le
pagan a Julio por hora.
y
K=
x
29.75
K=
5
K= 5.95 A Julio le pagan a $5.95 por hora.
Finalmente calcula lo que le pagan a Julio por 30 horas de trabajo.
Y=kx
Y=5.95 (30)
Y=178.50
Por lo tanto a Julio le pagan $178.50 por 30 horas de trabajo.
Ejemplo 2
El número de galones de agua que uno usa depende directamente del tiempo que uno se
demora en ducharse. La siguiente tabla exhibe el número de galones de agua usados y como
función del tiempo bajo la ducha x.
X (minutos) 3 6 9 12 15
Y (galones) 18 36 54 72 90
La ecuación y = 6x muestra la relación entre el número de minutos bajo la ducha y los galones
de agua que se usan. Este tipo de ecuación recibe el nombre de variación directa. Decimos que
y varía directamente con x o qué y es directamente proporcional a x, esto significa que cuando
x crece, y crece y cuando x disminuye, y disminuye.
Ejemplo 3
Si y varía directamente con x y y = 28 cuando x = 7, encuentra x cuando y=52.

9. y1 x1
Usa para resolver el problema.
y2 x2
28 7
sea y 1 = 28, x 1 = 7, y y 2 = 52
52 x2
28 x 2 = 52(7) Encuentra los productos cruzados.
28 x 2 = 364
28 28
x 2 = 13
Así x = 13 cuando y = 52.
Lo contrario de la variación directa es la variación inversa. Decimos que y varía inversamente
con x. Esto significa que cuando x aumenta, y disminuye o que cuando x disminuye, y aumenta.
Por ejemplo, mientras más millas manejas menos gasolina tienes en el tanque.
Ejemplo 1
Si y varía inversamente con x, y y = 5 cuando x = 15, encuentra x cuando y = 3.
Método 1 Usa regla de producto
x1 y1 = x 2 y 2
15 x 5 = x 2 x 3
75
= x2
3
25 = x 2
Así, x = 25 cuando y = 3.

10. Método 2 Usa la proporción
x1 y 2
=
x 2 y1
15 3
=
x2 5
75 = x 2
25 = x 2
Práctica: B Variación Directa
1. Resuelve si y varia directamente con x
Si y = 27, cuando x = 6, calcula x cuando y = 45
2. Resuelve, asume que y varía inversamente con x.
Si y = 99 cuando x = 11, calcula x cuando y = 11
3. Asume que y varía directamente con x.
(A) Si y = 4, cuando x = 12, calcula y cuando x = -24
2 1 1
(B) Si y = 2 , cuando x = , calcula y cuando x = 1
3 4 8
4. Asume que y varía inversamente con x.
(A) Si x = 2.7, cuando y = 8.1, calcula y cuando x = 3.6
(B) Si x= 6.1, cuando y = 4.4, calcula y cuando x = 3.2
5. Un automóvil recorre “x” kilómetros en “y” horas. ¿Qué distancia corres en 1 hora?
(A) x + y(B) y (C) x (D) x-y (E) xy
X Y
6. Un automóvil recorre “x” kilómetros en “y ” horas. ¿Qué distancia recorre el automóvil

11. en 2 horas?
(A) 2x + 2y (B) 2xy (B) 2x (C) 2x-y (D) Y .
Y 2x
7. Si ocho lápices cuestan 25 unidades, entonces 48 lápices costarán
(A) 250 (B) 150 (C) 175 (D) 100
8. Si al usar una ducha se gastan de 20 a 30 litros de agua por minuto, ¿cuántos litros de
agua se gastan como mínimo al dejar el agua corriendo por 5 minutos mientras nos
duchamos?
(A) 100 (B) 120 (C) 125 (D) 130 (E) 150
9. José ahorró $20.00 en 8 semanas. Si continúa ahorrando a esa razón, ¿cuánto
ahorrará en 20 semanas?
(A) $2 (B) $48 (C) $44 (B) $40 (E) $50
1. El número “n” es un entero. Si los siguientes números se escribieran en orden ascendente,
¿cuál quedaría en el medio?
(A) n + 3 (B )n – 9 (C) n – 4 (D) n + 6 (F) n – 1
RESPUESTAS:
1) 10 2) 99 3) A = 8, B = 12 4) A= 6.075, B = 8.3875
5) C 6) B 7) B 8) A 9) E