Calcoli reti lineari stazionarie in regime periodico mediante numeri complessi. Fasori.

Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016
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SE NECESSARIO
Calcoli su reti elettriche lineari
stazionarie in regime periodico
mediante i numeri complessi
Abstract
Numeri complessi e Formule di conversione forme cartesiana⇄polare.
Rappresentazione dei numeri complessi sul piano di Argand-Gauss. Uso dei
numeri complessi per rappresentare tensioni, correnti e impedenze in regime
sinusoidale.
Trasformata di Steinmetz e Fasori. Diagramma dei fasori di un circuito.  
Impedenza, Resistenza e Reattanza. Ammettenza, Conduttanza e
Suscettanza. Potenza Apparente, Attiva e Reattiva, Fattore Di Potenza.
Circuiti R-L-C serie e parallelo, Risonanza.
Problemi pratici: a) risolvere un circuito, b) rifasamento di un carico induttivo.
1
Pro manuscripto - Dispensa didattica - UDA
Istituto Tecnico Industriale Prizzi

Prerequisiti - Nozioni di base - Numeri complessi
Numero complesso: a + j·b dove a e b sono numeri
reali. Esempio: 34 + j 89
a è la parte reale del numero complesso
j·b è la parte immaginaria del numero complesso
b è pure un numero reale ed è chiamato coefﬁciente
della parte immaginaria
j è l’unità immaginaria ed è j = √-1
Nei calcoli tenete conto che j · j = -1 e che 1/j = -j
Dato un numero complesso C=a+jb, si deﬁnisce
complesso coniugato il numero C*=a-jb in cui la
parte immaginaria è l’opposto.
2

Prerequisiti - Nozioni di base - Numeri complessi
La forma C=a+jb è chiamata forma cartesiana
perché le due parti reale e immaginaria possono
essere rappresentate come le due coordinate di un
punto su un piano contenente tutti i numeri
complessi. La parte reale a si rappresenta sull’asse
orizzontale (ascissa) e la parte immaginaria jb
sull’asse verticale (ordinata). Tale piano si chiama
piano complesso di Argand-Gauss.
3
Piano di Argand-Gauss
Re
Im
a
b C

Numeri complessi in forma polare
I numeri complessi possono essere rappresentati anche in
un’altra forma chiamata polare:
m e j Φ
4
anche il sistema di coordinate polari individua ogni punto del
piano complesso mediante due numeri che sono:
modulo m: rappresenta la distanza dal punto di riferimento (detto
origine o polo)
argomento o anomalia ϕ: rappresenta l’angolo che il segmento
tra il punto e l’origine forma rispetto ad una direzione di
riferimento. Per riferimento si sceglie la direzione positiva dell’asse
reale (ascissa).
Notazione simbolica sempliﬁcata: m ∠ ϕ

Rappresentazione graﬁca cartesiana e polare
5
cartesiana polare
a+jb m·e
jϕ
Piano di Argand-Gauss
Re
Im
a
b
m
ϕ

Somme e differenze di numeri complessi
Somma e differenza di numeri complessi espressi in
forma cartesiana:
somma: (a + j·b) + (c + j·d) = a+c + j·(b+d)
differenza: (a + j·b) - (c + j·d) = a-c + j·(b-d)
Se i numeri sono in forma polare:
m1 e j Φ1 + m2 e j Φ2
somme e differenze non si possono fare direttamente
in questa forma: allora è necessario prima metterli in
forma cartesiana
6

Moltiplicazioni e divisioni di numeri complessi
Se i numeri complessi espressi in forma cartesiana:
prodotto: (a + j·b) · (c + j·d) = ac + jad + jbc -bd
divisione: (a + j·b) / (c + j·d) in questo caso è necessario
razionalizzare il denominatore moltiplicando sopra e sotto
per il suo complesso coniugato:
7
(c + j·d)
(a + j·b)
(c - j·d)
(c - j·d)
c2 + d2
(a + j·b) (c - j·d)
=

Moltiplicazioni e divisioni di numeri complessi
i moduli si moltiplicano o dividono
mentre le fasi si sommano o sottraggono  
(in particolare la fase al denominatore si sottrae a
quella del numeratore).
8
Se i numeri sono in forma polare è semplicemente:
m1 e
j Φ1
· m2 e
j Φ2
= m1·m2 ·e
j (Φ1 + Φ2 )
m1 e j Φ1
m2 e j Φ2
=
m1
m2
e j (Φ1-Φ2)

Moltiplicazioni e divisioni di numeri complessi in notazione simbolica
9
(m1∡ Φ1) · ( m2 ∡ Φ2) = (m1·m2) ∡ (Φ1 + Φ2)
= (m1 / m2)∡(Φ1 - Φ2)
m1 ∡ Φ1
m2 ∡ Φ2

Formula di Eulero - Conversioni da forma polare a cartesiana
10
cartesianapolare
m (cos ϕ + j sen ϕ)m e
j ϕ
essa discende dalla formula di Eulero che è la relazione
fondamentale tra la forma polare e la forma cartesiana e
lega anche le funzioni trigonometriche alla funzione
esponenziale complessa:
e
j ϕ
= cos ϕ + j sen ϕ

Conversioni da forma cartesiana a polare
11
cartesiana polare
a+jb √(a2+b2)e
j arctg (b/a)
per il teorema di Pitagora il modulo è m=√(a2+b2)
per la deﬁnizione di tangente la fase è 𝝓 = arctg (b/a)
a
b
m
ϕ
Dimostrazione:
b

Conversioni da forma cartesiana a polare
12
Per calcolare arctg (b/a) con una calcolatrice scientiﬁca:
digitare b / a =
poi usare la funzione arc tg che può essere indicata in uno
dei seguenti modi: tg-1 tan-1
oppure è richiamabile premendo il tasto inversione INV o
seconda funzione 2nd o SHIFT o simili e successivamente
premendo il tasto tg o tan.
Se la calcolatrice è impostata in gradi, sul display compare
la scritta DEG o DEGREE e il risultato 𝝓 sarà espresso in
gradi sessagesimali. Se compare RAD sarà in radianti. Se
compare GRAD sarà in gradi centesimali (raramente usati).
Nota bene: i segni di b e di a devono essere rispettati
altrimenti si otterrà un angolo errato.

Conversioni forma cartesiana ⇄ polare
13
da polare a cartesiana da cartesiana a polare
m·(cos ϕ +jsen ϕ) √(a2+b2)e
j arctg (b/a)
Re
Im
a
b
m
ϕ
Piano di Argand-Gauss m=√(a2+b2)
ϕ= arctg (b/a)
a= m·cos ϕ
b= m·sen ϕ

Rappresentazione di una grandezza sinusoidale come
funzione del tempo. Frequenza pulsazione e fase.
14
Una grandezza alternata sinusoidale può essere espressa in
questo modo: v(t) = A·cos (𝝎t+𝝓)
l’argomento del coseno (𝝎t+𝝓) è espresso in radianti, A è
l’ampiezze di picco (cioè valore massimo), 𝝎 è la pulsazione
deﬁnita come 𝝎=2πƒ, t è il tempo e 𝝓 la fase di partenza
cioè la fase al tempo t=0.
Più in generale, tutte le grandezze periodiche possono
essere espresse come somma di grandezze sinusoidali.

Fasore: come rappresentare una grandezza sinusoidale
con un vettore che ne riassume tutte le caratteristiche di
ampiezza e fase e conserva tutte le operazioni
15
Ma le grandezze sinusoidali possono essere rappresentate da numeri complessi: infatti la
formula di Eulero permette di esprimere una grandezza sinusoidale come parte reale di un
esponenziale complesso:
A·e
j (𝝎t+ 𝝓)
= A·(cos (𝝎t+𝝓) + j·sen (𝝎t+𝝓)) v(t) = A·cos(𝝎t+𝝓) = Re { A·e
j(𝝎t+ 𝝓)
}
= Re { A·e
j𝝓
·e
j 𝝎t
}
Si deﬁnisce fasore la parte A·e
j 𝝓
che conserva le informazioni solo su ampiezza e fase ed
è epurata dalla dipendenza dal tempo t (come se fosse un’istantanea scattata al tempo
t=0). L’operazione che esprime v(t) come fasore Ae
j 𝝓
è nota come: Trasformata di
Steinmetz.
Se invece si prende tutto A·e
j 𝝓
·e
j 𝝎 t
inclusa la parte che dipende dal tempo, si ha quello
che si chiama un vettore rotante.
Il fasore è un numero complesso e quindi è un punto sul piano complesso di Argand-
Gauss, e può essere rappresentato come un vettore ﬁsso di lunghezza A e angolo 𝝓 che
parte dall’origine e arriva proprio nel punto A·e
j 𝝓
del piano complesso.

Grandezza elettrica sinusoidale –> fasore
16
v(t)=A·cos(𝝎t+𝝓) = Re { A·ej(𝝎t+ 𝝓)} = Re { A·ej 𝝓·ej𝝎t}
Il numero complesso A·ej 𝝓
è il fasore
che rappresenta la grandezza
sinusoidale V avente ampiezza di
picco A e fase 𝝓.  
Poiché il fasore è un vettore, esso
viene rappresentato spesso con una
lettera maiuscola in neretto e/o con
un soprassegno (lineetta o freccia):
V = A·ej 𝝓

Perché parte Re e non parte Im?
17
v(t)=A·sin(𝝎t+𝝓) = Im { A·ej(𝝎t+ 𝝓)} = Im { A·ej 𝝓·ej𝝎t}
Si potrebbe anche scegliere di
rappresentare le grandezze sinusoidali
mediante la parte Im di A·ej( 𝝎t+𝝓)
quindi
mediante il seno anziché il coseno
quindi assumendo la proiezione del
vettore rotante sull’ordinata. E`un modo
equivalente. Infatti seno e coseno hanno
la stessa forma sfasata di T/4 ossia un
quarto di periodo pari a π/2.

Nei fasori l’ampiezza o modulo è il valore di
picco o quello efficace?
18
La rappresentazione mediante un fasore di una grandezza
sinusoidale indica che A o VM o IM sono i valori di picco o
massimi. Tuttavia, essendo i circuiti lineari, se sostituiamo al
valore di picco di tensione o corrente quello efficace, otterremo
tutte le grandezze calcolate anch’esse in valore efficace. Quindi
se trattiamo solo tensioni o correnti possiamo scegliere di trattare
con tutti valori di picco o tutti valori efficaci indifferentemente.
Ma quando vogliamo calcolare le potenze elettriche, il valore
efficace è quello idoneo per calcolare le potenze elettriche. Infatti
in tale modo la potenza (media in un periodo della potenza
istantanea) si otterrà semplicemente con le stesse formule viste
per la continua cioè P=V·I=V2
/R=I2
R.

Deﬁnizione di Impedenza
19
La Legge di Ohm in regime sinusoidale diventa:
Z =
V
I
Da questo momento consideriamo per le tensioni e correnti
sinusoidali solo i loro fasori cioè grandezze complesse che
contengono tutte le informazioni utili delle sinusoidi ossia
l’ampiezza e la fase.
V = V·ej 𝝓v I = I·ej 𝝓i
(simile a R = V / I )
Z si chiama impedenza si misura in Ω ed è una grandezza
anch’essa complessa poiché è il rapporto tra due grandezze
complesse.

Impedenza e Ammettenza
20
Y=
V
I
Il reciproco dell’impedenza Y = 1 / Z si chiama ammettenza
Z
=
1
Impedenza e ammettenza essendo grandezze complesse, rappresentate
in forma cartesiana hanno una parte reale e una parte immaginaria:
Z = R + j X
R parte reale si chiama Resistenza
X parte imm. si chiama Reattanza
Y = G + j B
G parte reale si chiama Conduttanza
B parte imm. si chiama Suscettanza
si misura in S (siemens) = Ω-1
Nota: mentre Impedenza e Ammettenza sono una reciproca dell’altra, in
generale non è vero che Conduttanza sia reciproco della Resistenza e
Suscettanza reciproco della Reattanza.

Impedenza e Ammettenza
21
Z = R + j X Y = G + j B
Le parti reali resistenza R e conduttanza G sono sempre
positive
Le parti immaginarie reattanza X e suscettanza B possono
essere positive o negative
X > 0 reattanza induttiva
X < 0 reattanza capacitiva
B > 0 suscettanza capacitiva
B < 0 suscettanza induttiva

Impedenza di resistori, condensatori e induttori
22
Z = R
~ R
I
V ~ C
I
V ~ L
I
V
Z = Z = j 𝝎 L
j 𝝎 C
1
ove: 𝝎 = 2 π ƒ è la pulsazione,
ƒ è la frequenza del generatore
R è la resistenza del resistore, C è la capacità del
condensatore, L è l’induttanza dell’induttore

L’induttore
23

L’induttore: transitorio nel dominio del tempo
24

L’induttore: nel dominio del tempo e dei fasori
25

Il condensatore
26

Il condensatore
27
ceramico SMD ceramico a disco
ﬁlm plastico

Il condensatore: nel dominio del tempo e dei fasori
28

La Putenza
29
Si può definire la potenza come una grandezza
complessa, che dipende dai fasori di V e I.
La potenza complessa si chiama Potenza
Apparente e si misura in voltampere [VA]. Essa non
si indicherà con la lettera P ma con S:
V · I*
La potenza complessa è definita come prodotto del fasore V per il
complesso coniugato I* del fasore corrente I dove V e I sono i valori
efficaci (non quelli di picco o massimi).
𝝓v è la fase del fasore V e 𝝓i è la fase del fasore I.
P parte reale della potenza complessa è detta Potenza Attiva e si
misura in watt [W]
Q parte immaginaria della potenza complessa è detta Potenza Reattiva
e si misura in voltampere reattivi [VAr]
S = = P + j Q = VI·[cos(𝝓v-𝝓i) + j·sen(𝝓v-𝝓i)]
P=V·I·cos(𝝓v-𝝓i) Q=V·I·sen(𝝓v-𝝓i)]

Potenza attiva
30
La potenza attiva P è reale e sempre positiva ed è la media in
un periodo della potenza istantanea ed è legata all’energia
effettiva che viene ceduta ad un carico (ad esempio un motore
elettrico o trasformata in calore).
Le resistenze pure assorbono solo potenza attiva. La potenza
attiva di un circuito RLC è quella assorbita dai soli resistori.
La potenza reattiva Q è una potenza bidirezionale che va
alternativamente da generatore a carico e viceversa a frequenza
doppia. Induttori e condensatori assorbono solo potenza reattiva.
Concentriamo l’attenzione sulla potenza attiva poiché è
fondamentale per calcolare la corrente di un carico monofase.
Indicando con V e I i valori efﬁcaci è:
P = V·I· cos𝝓
dove 𝝓=𝝓v-𝝓i è l’angolo di sfasamento tra i fasori di V e di I

Potenza attiva = prodotto scalare
31
P = Re{V•I*} = V·I· cos𝝓
dove 𝝓=𝝓v-𝝓i è l’angolo di sfasamento tra i fasori di V e di I
V
I
𝝓
I·cos 𝝓
I·sen𝝓
Il prodotto scalare tra due
vettori è la parte reale del
prodotto di un vettore per il
coniugato dell’altro ed è
uguale al prodotto dei moduli
per il coseno dell’angolo tra i
due.
Ha il signiﬁcato di ottenere la
proiezione di un vettore
sull’altro. L’altra parte, I·sen𝝓 si
chiama parte in quadratura.

Perché si usa il complesso coniugato?
32
Il complesso coniugato di un numero complesso ha la stessa
parte reale mentre la parte immaginaria ha segno opposto.
Ciò serve ad effettuare la differenza delle fasi dei due vettori,
cioè a calcolare l’angolo tra i due. Questo si può vedere
facilmente usando la forma polare: nel complesso coniugato
la fase della corrente I* è invertita di segno pertanto viene
sottratta dalla fase della tensione V.

Andiamo a risolvere circuiti
Ora che abbiamo gli strumenti, applichiamoli alla soluzioni
di circuiti lineari stazionari in regime sinusoidale o in
genere periodico.
Qualsiasi rete elettrica lineare è formata da bipoli
elementari che possono essere resistori, induttori,
condensatori, generatori di tensione e di corrente.
Essa si risolve con gli stessi metodi usati per una rete
formata di resistenze e generatori…
(cioè legge di Kirchhoff ai nodi e alle maglie, ed eventualmente utilizzando
sempliﬁcazioni come: serie e parallelo di bipoli, sovrapposizione degli effetti,
trasformazioni stella-triangolo, di Thévénin e Norton, teorema di Millman)
utilizzando la Legge di Ohm in cui si considerano le
impedenze Z al posto delle resistenze R.
33

Circuiti di base da analizzare
34
~ R
I
V ~ C
I
V ~ L
I
V
~ R
I
V
C L
~ R
I
V
~ R
I
V
C L
~ R
I
V
L
~ R
I
V
C
L
~ R
I
V
C

Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 35
PREMESSA
1. Tutti i calcoli saranno fatti usando la notazione
simbolica perché più semplice di quella
esponenziale e di quella cartesiana.
2. Per sempliﬁcare, V sarà scelto con fase 0°. In realtà
ciò che che importa è la fase relativa tra i fasori.
Qualunque fasore può essere scelto come
riferimento cioè con fase 0°
V = V∡ 0°

Semplice circuito con resistore R
36
~ R
I
V
I =
R
V
= V/R ∡ 0°
V
I
𝝓=0°
V = V∡ 0°

Semplice circuito con condensatore
37
~ C
I
V
V
I
𝝓=+90°
ZC =
j 𝝎 C
1
I =
V
=
𝝎 CV∡ 90°
ZC
V
j 𝝎 C
1
=j 𝝎 C V
I =

Elettrotecnica & Elettronica - Ing. Pasquale Alba 2016 38
~ L
I
V
Semplice circuito con induttore
ZL = j 𝝎 L
V
I
𝝓=-90°
I =
V
=
ZL
V
j 𝝎 L
= -j 𝝎 L V
𝝎 LV∡ -90°I =

Circuito RL parallelo
39
~ R
I
V ZR//L =
R + j 𝝎 L
R j 𝝎 L
I =
V
=
ZR//L
V
R j 𝝎 L
(R + j 𝝎 L)
=
𝝎RL
-j·V·(R + j 𝝎 L)
V = V∡ 0°
=
𝝎RL
-j·VR + 𝝎 VL
=
R
V
- j
V
𝝎L V
I
𝝓
L
𝝓=arctg
𝝎L
-R
I =√ R
V V
𝝎L
+( ( ))
22

Circuito RC parallelo
40
~ R
I
V
C
ZR//C =
R + 1/ j𝝎C
R / j𝝎C
I =
V
=
ZR//C
V
R / j𝝎C
(R + 1/j𝝎C)
=
R
V·(R + 1/j𝝎C)
V = V∡ 0°
=
V(1+ j𝝎RC)
=
R
V
+ j V
I
𝝓
j𝝎C
R
𝝎VC
𝝓=arctg 𝝎RC I =√ R
V
+( ( ))
22
𝝎VC

Risonanza
41
L
~ R
I
V
CL
~ R
I
V
C
Fintanto che i circuiti contengono un solo tipo di componente reattivo (o solo
condensatori, o solo induttori) non si verificano condizioni di risonanza.
La risonanza si verifica quando sono presenti sia reattanze induttive che
capacitive, perché l’energia viene accumulata sotto due forme diverse (campo
elettrico proporzionale alla tensione e campo magnetico proporzionale alla
corrente) e a determinate frequenze si verifica un palleggio di energia dai
condensatori agli induttori. In questo contesto si vedrà la risonanza non nel
dominio del tempo ma nel dominio della frequenza e dei fasori.
Si analizzano due tipiche configurazioni: componenti C e L in serie e in parallelo.

Risonanza parallelo
42
L
~ R
I
V
C
I = V =YR//L//C V
1
=
Da questo punto in poi i fasori saranno rappresentati semplicemente con lettere maiuscole in grassetto senza soprassegno o freccia.
j𝝎C 1
( )++
j𝝎L
Poiché abbiamo componenti in parallelo si procederà con
l’ammettenza poiché è semplicemente uguale alla somma
delle ammettenze.
R
V 1 =j 𝝎 C 1
( )- j+
𝝎 LR
= V 1 j ( 𝝎 C 1
)-+
𝝎 LR
[ ]
Poiché nel coefﬁciente della parte immaginaria sono due termini opposti, esistono dei valori tali
che i due termini si annullano tra loro lasciando semplicemente I=V/R cioè i componenti reattivi
C e L in parallelo si comportano come un circuito che non assorbe corrente ossia si
comportano come un circuito aperto. La condizione di risonanza è:
𝝎 C 1-
𝝎 L
=0 𝝎2LC 1- =0 𝝎 = 1
LC√

Risonanza serie
43
I = V =
V
=
j𝝎C
1++ j𝝎L
Poiché abbiamo componenti in serie si procederà con
l’impedenza poiché è uguale alla somma delle impedenze.
R
Poiché nel coefﬁciente della parte immaginaria sono due termini opposti, esistono dei valori tali
che i due termini si annullano tra loro lasciando semplicemente I=V/R cioè i componenti reattivi
C e L in serie, alla pulsazione di risonanza si comportano come un corto circuito.
La condizione è:
𝝎 C 1-
𝝎 L
=0 𝝎2LC 1- =0 𝝎 = 1
LC√
L
~ R
I
V
C
ZR//L//C
V
=
𝝎C
1
)-+j ( 𝝎LR

Tecnologie Elettriche Elettroniche e Applicazioni / Installazione e Manutenzione - Ing. Pasquale Alba 44
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