O documento apresenta o Teorema Fundamental da Aritmética e suas consequências. O teorema estabelece que todo inteiro positivo maior que 1 pode ser escrito de forma única como um produto de fatores primos positivos. Isso permite decompor os inteiros em suas partes fundamentais e caracterizar propriedades como o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum.

1. 8
O Teorema Fundamental da
Aritm¶etica
Vimos, no cap¶³tulo 5, o teorema 5.1, que estabelece que os primos positivos s~ao os
blocos usados para construir, atrav¶es de produtos, todos os inteiros positivos maiores
que 1.
Mais precisamente, o teorema 5.1 estabelece que
Todo inteiro positivo, maior que 1, ou ¶e um n¶umero primo ou ¶e um produto de inteiros
positivos todos primos.
Neste cap¶³tulo estabeleceremos ainda que essa decomposi»c~ao, em fatores primos
positivos, ¶e ¶unica, a menos da ordem dos fatores.
Daremos ainda caracteriza»c~oes do m¶aximo divisor comum e do m¶³nimo m¶ultiplo
comum de dois inteiros, a partir das decomposi»c~oes, desses inteiros, em fatores primos
positivos.
Teorema 8.1 (Teorema Fundamental da Aritm¶etica) Todo inteiro n, n ¸ 2, pode
ser escrito na forma m = p1 ¢¢ ¢ ¢ ¢ps, para certos primos positivos p1; : : : ; ps, com s ¸ 1
e p1 · : : : · ps.
Al¶em disso, os fatores primos p1; : : : ; ps, satisfazendo as condi»c~oes acima, s~ao
¶unicos, isto ¶e, se q1; : : : ; qr s~ao tamb¶em primos positivos com q1 · : : : · qr e n =
q1 ¢ ¢ ¢ qs, ent~ao n = s e, al¶em disso, p1 = q1; : : : ; pn = qn.
Exempli¯cando o teorema fundamental da aritm¶etica, temos as seguintes fato-
ra»c~oes de inteiros, com os fatores primos escritos em ordem n~ao decrescente:
342 = 2 ¢ 3 ¢ 3 ¢ 19 = 2 ¢ 32
¢ 19
3888 = 2 ¢ 2 ¢ 2 ¢ 2 ¢ 3 ¢ 3 ¢ 3 ¢ 3 ¢ 3 = 24
¢ 35
10100 = 2 ¢ 2 ¢ 5 ¢ 5 ¢ 101 = 22
¢ 52
¢ 101:
65

2. O Teorema Fundamental da Aritm¶etica 66
A exist^encia da decomposi»c~ao de n, n ¸ 2, em fatores primos, j¶a foi estabelecida
pelo teorema 5.1, cap¶³tulo 5.
Para completar a demonstra»c~ao do teorema 8.1, resta demonstrar que a decom-
posi»c~ao de n, em fatores primos, nas condi»c~oes enunciadas pelo teorema, ¶e ¶unica. Para
tal, a seguinte proposi»c~ao, j¶a enunciada e demonstrada no cap¶³tulo 6, ¶e usada como
pr¶e-requisito preliminar.
Proposi»c~ao 6.4 Sejam a, b e p inteiros, com p primo. Se p j ab ent~ao p j a ou p j b
(podendo ser fator de ambos, a e b).
Como corol¶ario da proposi»c~ao 6.4, temos o seguinte lema.
Lema 8.1 Sejam p; a1; : : : ; an n¶umeros inteiros com n ¸ 2 e p primo.
Se p j (a1a2 ¢ ¢ ¢ an) ent~ao p j ai para algum ¶³ndice i, i 2 f1; 2; : : : ; ng.
Demonstra»c~ao por indu»c~ao sobre n.
Para n = 2, o corol¶ario ¶e verdadeiro, pela proposi»c~ao 6.4.
Seja k um inteiro, com k ¸ 2, e suponhamos que a a¯rma»c~ao do corol¶ario seja
verdadeira para n = k, isto ¶e, suponhamos que se p ¶e primo, e p divide um produto de
k n¶umeros inteiros, ent~ao p divide ao menos um dos fatores.
Consideremos ent~ao um produto de k + 1 inteiros a1a2 ¢ ¢ ¢ akak+1 e suponhamos
que p j (a1a2 ¢ ¢ ¢ akak+1). Ent~ao p j (a1a2 ¢ ¢ ¢ ak)ak+1.
Pela proposi»c~ao 6.4, p j (a1a2 ¢ ¢ ¢ ak) ou p j ak+1. Logo, p j aj para algum
j 2 f1; : : : ; kg (pela hip¶otese de indu»c~ao) ou p j ak+1, e assim a propriedade enunciada
tamb¶em se aplica ao produto de k + 1 inteiros.
Pelo primeiro princ¶³pio de indu»c~ao ¯nita, o lema est¶a demonstrado.
Finaliza»c~ao da demonstra»c~ao do Teorema Fundamental da Aritm¶etica. Demonstra»c~ao
da unicidade na fatora»c~ao de n, n ¸ 2.
Suponhamos que existe um inteiro positivo n, n ¸ 2, que se escreve como produto
de fatores primos positivos de duas maneiras diferentes, isto ¶e, suponhamos
n = p1p2 ¢ ¢ ¢ ps = q1q2 ¢ ¢ ¢ qr
sendo p1; p2; : : : ; pr; q1; q2; : : : ; qs primos positivos, com p1 · p2 · ¢ ¢ ¢ · pr e q1 ·
q2 · ¢ ¢ ¢ · qs.
Cancelando os fatores primos que aparecem em ambos os lados da igualdade
p1p2 ¢ ¢ ¢ ps = q1q2 ¢ ¢ ¢ qr, como as duas fatora»c~oes de n s~ao supostamente distintas,
chegaremos a uma igualdade
pi1
pi2
¢ ¢ ¢ piu = qj1
qj2
¢ ¢ ¢ qjv
com u ¸ 1 e v ¸ 1, na qual cada um dos primos do lado esquerdo ¶e diferente de cada
um dos primos do lado direito, ou seja, os membros µa esquerda e µa direita n~ao tem mais
fatores primos comuns.

3. O Teorema Fundamental da Aritm¶etica 67
Assim sendo, temos que pi1 divide o produto qj1 qj2 ¢ ¢ ¢ qjv . Pelo lema 8.1, temos
que pi1 divide um dos fatores qj1 , qj2 , : : : , qjv , o que ¶e imposs¶³vel, visto que cada um
desses fatores ¶e primo e diferente de pi1
.
Portanto, a fatora»c~ao de n em primos positivos ¶e ¶unica.
Corol¶ario 8.1 Para cada inteiro n, com n ¸ 2, existem primos positivos p1, : : : , ps, com
s ¸ 1 e p1 < : : : < ps se s ¸ 2, e inteiros positivos ®1; : : : ; ®s tal que n = p1
®1
¢ ¢ ¢ ps
®s
.
Tal representa»c~ao de n ¶e ¶unica.
Demonstra»c~ao. Pelo teorema fundamental da aritm¶etica, n ¶e um produto de fatores
primos, q1 ¢ ¢ ¢ qr, com q1 · : : : · qr (r ¸ 1). Agrupando-se os fatores primos repetidos
na forma de pot^encias de primos, temos a representa»c~ao enunciada neste corol¶ario.
Ademais, pelo teorema fundamental da aritm¶etica, tal representa»c~ao ¶e ¶unica.
Proposi»c~ao 8.1 Seja m um inteiro, m = p®1
1 ¢ ¢ ¢ p®n
n , com n ¸ 1 e p1; : : : ; pn primos
positivos com p1 < : : : < pn se n ¸ 2 e ®1; : : : ; ®n inteiros positivos.
Ent~ao cada inteiro a, divisor de m, ¶e da forma
a = p¯1
1 ¢ ¢ ¢ p¯n
n
com ¯1; : : : ; ¯n inteiros satisfazendo 0 · ¯1 · ®1; : : : ; 0 · ¯n · ®n.
Demonstra»c~ao. Se a j m, ent~ao m = a ¢ c para um certo inteiro positivo c. Assim, os
eventuais fatores primos de a (eventuais, pois podemos ter a = 1) s~ao fatores primos de
m. Ou seja, o conjunto de fatores primos de a ¶e um subconjunto dos fatores primos de
m.
Assim sendo, a = p¯1
1 ¢ ¢ ¢ p¯n
n para certos inteiros n~ao negativos ¯1; : : : ; ¯n (onde
teremos ¯j = 0 se pj n~ao for fator de a). Claramente, para cada ¶³ndice j, teremos
¯j · ®j, pois como p®1
1 ¢ ¢ ¢ p®n
n = p¯1
1 ¢ ¢ ¢ p¯n
n ¢c, se ®j < ¯j para algum¶³ndice j, teremos
uma contradi»c~ao ao teorema fundamental da aritm¶etica.
A proposi»c~ao 8.1 nos prov^e um meio de encontrar todos os divisores positivos de
um inteiro m, m ¸ 2, a partir da fatora»c~ao de m em primos positivos. Por exemplo, os
divisores positivos de 120 = 23
¢ 3 ¢ 5 s~ao os inteiros positivos cujas fatora»c~oes possuem
somente pot^encias dos primos 2, 3 e 5, com expoentes menores que ou iguais a 3, 1 e
1, respectivamente. Os divisores de 120 s~ao portanto
1 3 5 3 ¢ 5 = 15
2 2 ¢ 3 = 6 2 ¢ 5 = 10 2 ¢ 3 ¢ 5 = 30
22
= 4 22
¢ 3 = 12 22
¢ 5 = 20 22
¢ 3 ¢ 5 = 60
23
= 8 23
¢ 3 = 24 23
¢ 5 = 40 23
¢ 3 ¢ 5 = 120

4. O Teorema Fundamental da Aritm¶etica 68
Proposi»c~ao 8.2 Sejam a e b dois inteiros positivos. Ent~ao existem primos positivos
p1; : : : ; pn, com n ¸ 1, sendo p1 < : : : < pn se n ¸ 2, e inteiros n~ao negativos
®1; : : : ; ®n, ¯1; : : : ; ¯n, tais que
a = p®1
1 ¢ ¢ ¢ p®n
n e b = p¯1
1 ¢ ¢ ¢ p¯n
n
E a partir destas representa»c~oes de a e b, teremos
mdc(a; b) = p°1
1 ¢ ¢ ¢ p°n
n
sendo, para cada ¶³ndice i, °i = minf®i; ¯ig.
Demonstra»c~ao. A demonstra»c~ao desta proposi»c~ao, que ¶e conseqÄu^encia da de¯ni»c~ao de
mdc e da proposi»c~ao 8.1, ser¶a deixada para o leitor.
Exemplo 8.1 Calcular mdc(700; 720), com base nas decomposi»c~oes de 700 e 720 em
fatores primos.
Fatorando-se 720 e 700 em pot^encias de primos obtemos
720 = 2 ¢ 2 ¢ 2 ¢ 2 ¢ 3 ¢ 3 ¢ 5 = 24
¢ 32
¢ 5
700 = 2 ¢ 2 ¢ 5 ¢ 5 ¢ 7 = 22
¢ 52
¢ 7
Podemos ent~ao escrever
720 = 24
¢ 32
¢ 51
¢ 70
700 = 22
¢ 30
¢ 52
¢ 71
Pela proposi»c~ao 8.2,
mdc(720; 700) = 22
¢ 30
¢ 51
¢ 70
= 22
¢ 5 = 20:
A fatora»c~ao de inteiros em primos positivos, ¶e freqÄuentemente empregada no
c¶alculo do m¶³nimo m¶ultiplo comum de dois inteiros, usado para igualar denominadores
na soma de fra»c~oes.
De¯ni»c~ao 8.1 (M¶³nimo m¶ultiplo comum) O m¶³nimo m¶ultiplo comum de dois in-
teiros a e b, n~ao simultaneamente nulos, denotado por mmc(a; b), ¶e o menor inteiro
positivo que ¶e simultaneamente m¶ultiplo de a e de b, ou seja, divis¶³vel simultaneamente
por a e por b.
Como exemplos, temos:
mmc(15; 21) = 105, mmc(24; 36) = 72, mmc(2; 20) = 20, mmc(7; 11) = 77.

5. O Teorema Fundamental da Aritm¶etica 69
Proposi»c~ao 8.3 Sejam a e b inteiros positivos, e considere-os representados como na
proposi»c~ao 8.2. Ent~ao
mmc(a; b) = p±1
1 ¢ ¢ ¢ p±n
n
sendo, para cada ¶³ndice i, ±i = maxf®i; ¯ig.
Demonstra»c~ao. A demonstra»c~ao desta proposi»c~ao, que ¶e conseqÄu^encia da de¯ni»c~ao de
mmc e tamb¶em da proposi»c~ao 8.1, ser¶a deixada para o leitor.
Exemplo 8.2 Calcular mmc(700; 720), com base nas decomposi»c~oes de 700 e 720 em
fatores primos.
Conforme vimos acima,
720 = 24
¢ 32
¢ 51
¢ 70
700 = 22
¢ 30
¢ 52
¢ 71
Pela proposi»c~ao 8.3,
mmc(720; 700) = 24
¢ 32
¢ 52
¢ 71
= 25200
Teorema 8.2 Se a e b s~ao dois inteiros positivos ent~ao mmc(a; b) = ab= mdc(a; b).
Demonstra»c~ao. Sejam a e b inteiros positivos, e considere-os representados como na
proposi»c~ao 8.2, isto ¶e,
a = p®1
1 ¢ ¢ ¢ p®n
n e b = p¯1
1 ¢ ¢ ¢ p¯n
n
sendo p1; : : : ; pn primos positivos, e ®1; : : : ; ®n, ¯1; : : : ; ¯n, inteiros n~ao negativos.
Pelas proposi»c~oes 8.2 e 8.3, temos
mdc(a; b) = p°1
1 ¢ ¢ ¢ p°n
n
mmc(a; b) = p±1
1 ¢ ¢ ¢ p±n
n
sendo, para cada ¶³ndice i, °i = minf®i; ¯ig, e ±i = maxf®i; ¯ig.
Notemos que, para cada ¶³ndice i, °i + ±i = minf®i; ¯ig + maxf®i; ¯ig = ®i + ¯i.
Ent~ao
mdc(a; b) ¢ mmc(a; b) = (p°1
1 ¢ ¢ ¢ p°n
n )(p±1
1 ¢ ¢ ¢ p±n
n )
= p°1+±1
1 ¢ ¢ ¢ p°n+±n
n
= p®1+¯1
1 ¢ ¢ ¢ p®n+¯n
n
= (p®1
1 ¢ ¢ ¢ p®n
n )(p¯1
1 ¢ ¢ ¢ p¯n
n ) = ab

6. O Teorema Fundamental da Aritm¶etica 70
8.1 Exerc¶³cios
1. Encontre as fatora»c~oes, em produtos de primos, dos inteiros 36, 256, 504 e 1111.
2. Mostre que os expoentes, na fatora»c~ao em pot^encias de primos, de um inteiro n,
s~ao todos pares se e somente se n ¶e um quadrado perfeito.
3. Mostre que se p ¶e um primo positivo, ent~ao
p
p ¶e irracional.
Sugest~ao. Suponha
p
p = a=b, para certos inteiros positivos a e b. Explique ent~ao
porqu^e a igualdade pb2
= a2
¶e imposs¶³vel.
4. Mostre que log 5 (= log10 5) ¶e irracional.
Sugest~ao. Suponha log 5 = a=b, para certos inteiros positivos a e b (log 5 > 0).
Ent~ao 10a=b
= 5 e portanto 10a
= 5b
. Explique porqu^e isto ¶e imposs¶³vel.
5. Mostre que sendo m = p1
®1
¢ ¢ ¢ ps
®s
, com p1; : : : ; ps todos primos positivos, e
®1; : : : ; ®s, todos inteiros n~ao negativos, o n¶umero de divisores positivos de m ¶e
igual a (®1 + 1) ¢ ¢ ¢ (®s + 1). Quantos s~ao os divisores positivos de 11016 ?
6. Quais (tipos de) inteiros positivos tem exatamente tr^es divisores positivos ? Quais
tem exatamente quatro divisores positivos ?
7. Determine quantos s~ao os zeros existentes ao ¯nal da expans~ao decimal de 1000!.
Sugest~ao. Um inteiro positivo ter¶a n zeros ao ¯nal de sua representa»c~ao decimal
se for da forma a ¢ 10n
, sendo a um inteiro positivo n~ao divis¶³vel por 10. Note que
10 = 2 ¢ 5.
8. Encontre todos os pares (x; y), de inteiros, satisfazendo x2
+ 112 = y2
.
9. Encontre o m¶³nimo m¶ultiplo comum dos pares de inteiros a seguir: 8 e 12, 111 e
303, 343 e 999.
10. Encontre o m¶aximo divisor comum e o m¶³nimo m¶ultiplo comum de cada um dos
pares de inteiros a seguir:
(a) 2 ¢ 3 ¢ 5 ¢ 7 ¢ 11 ¢ 13 e 17 ¢ 19 ¢ 23 ¢ 29
(b) 23
¢ 57
¢ 1113
e 2 ¢ 3 ¢ 5 ¢ 7 ¢ 11 ¢ 13
(c) 4711
¢ 79111
¢ 1011001
e 4111
¢ 83111
¢ 1011000
11. ¶E poss¶³vel calcular o m¶³nimo m¶ultiplo comum de dois inteiros positivos, sem co-
nhecer suas decomposi»c~oes em fatores primos ?
12. Mostre que qualquer m¶ultiplo comum, de dois inteiros positivos a e b, ¶e divis¶³vel
pelo m¶³nimo m¶ultiplo comum de a e b.
13. Quais pares de inteiros positivos possuem m¶aximo divisor comum 18 e m¶³nimo
m¶ultiplo comum 540 ?

7. O Teorema Fundamental da Aritm¶etica 71
14. Mostre que se a e b s~ao inteiros ent~ao mdc(a; b) j mmc(a; b). Sob quais condi»c~oes
mdc(a; b) = mmc(a; b) ?
15. Sejam a, b e c inteiros positivos. Mostre que mmc(a; b) j c se e s¶o se a j c e b j c.
16. Encontre as fatora»c~oes, em pot^encias de primos, dos inteiros
106
¡ 1; 108
¡ 1; 220
¡ 1; 210
+ 1; 212
+ 4:
17. Mostre que se p ¶e um primo, a ¶e um inteiro, n ¶e um inteiro positivo, e p j an
ent~ao
p j a.
18. Sejam a e b dois inteiros positivos. Mostre que se a2
j b2
ent~ao a j b.
19. Mostre que, sendo a e b inteiros positivos, primos entre si, todo divisor de ab, se
escreve de maneira ¶unica na forma d = d1d2, sendo d1 um divisor de a, d2 um
divisor de b, e d1 e d2 positivos e primos entre si.
Sugest~ao. Aplique o teorema fundamental da aritm¶etica a ambos, a e b, e utilize
o fato (justi¯cado) de que a e b n~ao tem fatores primos em comum.