JOI夏季セミナー2018 型システム班2 @Pro_ktmr

2. 自己紹介 @Pro_ktmr
• 大阪府立大手前高等学校
最近プロコンを主催しました。関西弁がちょくちょく入ってきます。
• SuperCon2018 本選出場
何もしてませんが明日から行ってきます。スケジュールが鬼です。
• PCK2018モバイル部門 本選出場
競プロだけじゃなくて実務っぽいこともやってます。

3. これから話すこと
• 型無しラムダ計算を
プログラムで動かしたい！
→インタプリタをつくる
レキサー(字句解析器)とパーサ(構文解析器)は既存のものを使用
• 自動メモリ管理やパターンマッチ
があるOCamlを使って書いてみる
※OCaml(オーキャムル、オーキャメル)・・・オブジェクト指向のML系(関数型)言語
• 競プロの問題で
きちんと動くか確認！

4. 発表の流れ
1. 抽象構文木の実装
2. シフトと代入関数の実装
3. 評価器の実装
4. 競プロの問題を解く

5. 抽象構文木
・抽象構文木とは
構文解析によって得られた項は
木構造で扱う
→どんな木構造か定義する

6. 抽象構文木の実装①
type term =
TmVar of info * int * int
| TmAbs of info * string * term
| TmApp of info * term * term
• info型の要素を注記として利用
(エラー表示用)

7. 抽象構文木の実装②
・変数 TmVar
TmVar of info * int * int
1. 数(de Brujinインデックス)で表現
2. 変数が現れる文脈全体の長さも保
持して一貫性検査を行う

8. 抽象構文木の実装③
・ラムダ抽象 TmAbs
TmAbs of info * string * term
1. 束縛変数名(文字列)
2. ラムダ抽象の本体である部分項
を保持

9. 抽象構文木の実装④
・関数適用 TmApp
TmApp of info * term * term
適用される2つの部分項を保持

10. 発表の流れ
1. 抽象構文木の実装
2. シフトと代入関数の実装
3. 評価器の実装
4. 競プロの問題を解く

11. シフトと代入
・シフトとは
代入操作を行う前に自由変数の
インデックスを付け替える操作
・代入
→変数に項を代入する

12. シフトの実装
let termShift d t =
let rec walk c t = match t with
TmVar(fi,x,n) -> if x>=n then TmVar(fi,x+d,n+d)
else TmVar(fi,x,n+d)
| TmAbs(fi,x,t1) -> TmAbs(fi,x,walk (c+1) t1)
| TmApp(fi,t1,t2) -> TmApp(fi,walk c t1,walk c t2)
in walk 0 t
項tをd個シフトする
内部のシフトは内部関数walkで表現

13. 代入関数の実装
let termSubst j s t =
let rec walk c t = match t with
TmVar(fi,x,n) -> if x=j+c then termShift c s
else TmVar(fi,x,n)
| TmAbs(fi,x,t1) -> TmAbs(fi,x,walk (c+1) t1)
| TmApp(fi,t1,t2) -> TmApp(fi,walk c t1,walk c t2)
in walk 0 t
項tのj番の変数へ項sを代入する
実際の処理は内部関数walkで表現

14. 発表の流れ
1. 抽象構文木の実装
2. シフトと代入関数の実装
3. 評価器の実装
4. 競プロの問題を解く

15. 補助述語の実装
let rec isval ctx t = match t with
TmAbs(_,_,_) -> true
| _ -> false
項が値であるかを検査する関数
次の評価関数の中で補助的に用いる

16. 評価関数の実装①
let rec eval1 ctx t = match t with
TmApp(fi,TmAbs(_,x,t12),v2) when isval ctx v2 ->
termSubstTop v2 t12
| TmApp(fi,v1,t2) when isval ctx v1 ->
let t2' = eval1 ctx t2 in
TmApp(fi, v1, t2')
| TmApp(fi,t1,t2) ->
let t1' = eval1 ctx t1 in
TmApp(fi, t1', t2)
| _ ->
raise NoRuleApplies
1ステップの評価関数
項tと文脈ctxを渡す

17. 評価関数の実装②
let rec eval ctx t =
try let t' = eval1 ctx t
in eval ctx t'
with NoRuleApplies -> t
多ステップの評価関数
項tと文脈ctxを渡す
1ステップの評価関数を呼び出す

18. 実装したもの
• 抽象構文木
• シフト、代入関数
• 評価器
以下は本のWebページから拝借
• 字句解析器、構文解析器
• 表示周りの処理
これにてインタプリタ完成！

19. 発表の流れ
1. 抽象構文木の実装
2. シフトと代入関数の実装
3. 評価器の実装
4. 競プロの問題を解く

20. ここで問題発生！
• 標準入力はOCamlにラムダ式を渡
すのに使ってしまっている・・・
• 標準出力もデバッグ情報が表示さ
れるようになっちゃってる・・・
• オンラインジャッジは無理
• 入力サンプルをラムダ式中に手打
ちしよう！(無理やり)

21. 扱う問題
PCK2016予選1より
答えは 32×W

22. ラムダ式による実装①
c_0 = lambda s. lambda z. z;
scc = lambda n. lambda s. lambda z. s (n s z);
plus = lambda m. lambda n. lambda s. lambda z. m s (n s z);
times = lambda m. lambda n. m (plus n) c_0;
fix = lambda f. (lambda x. f (lambda y. x x y)) (lambda x. f
(lambda y. x x y));
cn = lambda f. lambda m. if iszero m then c_0 else scc (f
(pred m));
churchnut = fix cn;
realnut = lambda m. m (lambda x. succ x) 0;
使う関数等をいろいろ宣言しとく

23. ラムダ式による実装②
w = 4;
bit = (churchnut 32);
answer = times (churchnut w) bit;
realnut answer;
変数wに手打ちで4を入れとく
32をChurch数に変換してbitに入れとく
答えは4と32をかけたものである
答えをChurch数からプリミティブな数に変換

24. 実行結果
正解！

25. もう一問！(おまけ)

26. ラムダ式による実装
c_1 = lambda s. lambda z. s z;
tru = lambda t. lambda f. t;
fls = lambda t. lambda f. f;
pair = lambda f. lambda s. lambda b. b f s;
fst = lambda p. p tru;
snd = lambda p. p fls;
zz = pair c_0 c_0;
ss = lambda p. pair (snd p) (plus c_1 (snd p));
prd = lambda m. fst (m ss zz);
a = 5; b = 7;
answer = times (prd (churchnut a)) (prd (churchnut b));
realnut answer;

27. 実行結果
正解！

28. まとめ
• 抽象構文木(項を保持する木構造)
を実装した
• シフト(インデックスの書き換え)
と代入関数を実装した
• 評価関数を実装した
• (入力手打ちだけど)競プロの問題
が解けた！