1. Albino Linhares
Setembro de 2005
Raiz quadrada
A raiz quadrada de um número positivo A é um número positivo B de modo que B2 = A.
A raiz quadrada de 9 é 3 porque 32 = 9.
Escrevemos 9  3
Não existe a raiz quadrada de um número negativo.
Suponhamos que queríamos calcular a raiz quadrada de -9. Teríamos que encontrar um número (real) que
elevado a dois desse -9. Tal número não existe porque o quadrado de qualquer número real é sempre maior ou
igual a zero.
Está errado!
Os alunos escrevem bastantes vezes:
 9  3
Isto está errado porque  32   3   3  9
Repara que…
Por vezes expressões diferentes são erradamente identificadas como se fossem a “mesma coisa”.
9   9
 9 é uma expressão sem significado no conjunto dos números reais. Não existe.
 9  3
Raiz quadrada e potências
1
Com uma máquina de calcular científica (ou gráfica) experimenta calcular a expressão 25 2 . O valor é 5. Se
1
experimentares elevar outros números positivos a verás que obténs sempre a raiz quadrada.
2
1
a a2 , para qualquer valor de a não negativo.
Operações com radicais quadráticos
Multiplicação:
1 1
a  b  a 2  b 2  a  b  2  a  b , a e b não negativos.
1
O produto de raízes quadradas é igual à
raiz quadrada do produto.
Exemplo: 5  20  5  20  100  10
7  7  77  7

2. Divisão:
1 1
a a 2 a 2 a
    , a não negativo e b positivo. O quociente de raízes quadradas é igual à raiz
b 1
2 b b
b
quadrada do quociente.
72 72
Exemplo:   36  6
2 2
Adição e subtracção:
Será que
16  4  20 ?
É fácil verificar se a expressão está ou não correcta.
16  4
42 Concluímos então que 16  4  20
20  4,47...
De um modo geral, para quaisquer números positivos,
a  b  ab
Só podemos somar ou subtrair raízes quadradas do mesmo número.
2 5  7 5  2  7  5  9 5
8 3  2 5 não se pode somar.
7 3 7 2 7 9 7 7 7
   
3 2 6 6 6
Simplificação de radicais quadráticos – Passar factores para fora.
Para qualquer número positivo temos:
a2  a
Exemplos: 5 2  25  5 ; 32  9  3

3. Nota: para números negativos esta propriedade não se verifica. (5) 2 não é -5 mas sim 5.
Atendendo à propriedade anterior e à propriedade da multiplicação acima mencionada podemos efectuar os
seguintes procedimentos para simplificar radicais quadráticos:
Por exemplo, para simplificar 180
1º Decompor 180 em factores primos.
180 2
90 2
45 3
15 3
5 5
1
180  2 2  3 2  5
2º Temos então 180  2 2  32  5  2 2  3 2  5  2  3  5  6 5
Os factores cujo expoente é 2 podem passar para fora do radical “perdendo” o expoente.
Mais exemplos:
120
120 2
60 2
30 2
15 3
5 5
1
120  2 2  2  3  5  2 2  3  5  2 30
Só os factores de expoente 2 podem passar para fora do radical.
***********

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32
32 2
16 2
8 2
4 2
2 2
1
32  2 5  2 2  2 2  2  2  2  2  4 2
Racionalização de denominadores:
Normalmente não se apresentam números irracionais com radicais no denominador. Ao processo que leva à
eliminação dos radicais do denominador chama-se racionalização do denominador.
1º Caso: Denominador composto por uma só parcela
Exemplo 1
3 n
neste caso multiplicámos o numerador e o denominador por uma expressão que permita obter an  a
3
de modo a eliminar o radical do denominador. Neste exemplo multiplicámos por 3 .
3 3 3 3 3 3 3 3
    3 então,  3
3 3 3 32 3 3
Exemplo 2:
5
temos que multiplicar o denominador e o numerador por 7.
2 7
5 5 7 5 7 5 7 5 7 5 5 7
    então, 
2 7 2 7 7 2 72 27 14 2 7 14
2º Caso: Denominador composto por duas parcelas.
Exemplo 1:
3
2  10
Se o denominador é da forma a  b c multiplicámos o numerador e o denominador por a  b c de modo a
obtermos uma diferença de quadrados no denominador. Assim,
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3


3 2  10  
6  3 10

6  3 10 6  3 10
  1 
1
2  10 2  
10 2  10   2
2 2  10 4  10 6 2
10
Exemplo 2:
1 2
3 2 3
1 2

1  2 3  2 3   3  2 33 2 2 2 3

32 3 3 2 2 6 32 3 3 2 2 6
 
3 2 3 3  2 3 3  2 3   2
32  2 3 9  43 3
2 2
 1  3 2 6
3 3
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