2. MATERI
Fungsi Boolean
Komplemen Fungsi
Bentuk Kanonik
SOP
POS
Penyederhanaan Secara Aljabar
Minimisasi Rangkaian Logika
Peta Karnaugh
3. 3
Fungsi Boolean
Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner)
adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi
Boolean, kita menuliskannya sebagai
f : Bn B
yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang
beranggotakan pasangan terurut ganda-n
(ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.
Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan
fungsi Boolean.
4. 4
Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah
f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z
Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut
ganda-3 (x, y, z) ke himpunan {0, 1}.
Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z
= 1
sehingga f(1, 0, 1) = 1 0 1 + 1’ 0 + 0’ 1 = 0 + 0 +
1 = 1 .
5. 5
f(x) = x
f(x, y) = x ’y + xy ’+ y ’
f(x, y) = x ’ y ’
f(x, y) = (x + y)’
f(x, y, z) = xyz ’
Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain:
6. 6
Setiap peubah di dalam fungsi Boolean,
termasuk dalam bentuk komplemennya,
disebut literal.
Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz’ pada
contoh di atas terdiri dari 3 buah literal,
yaitu x, y, dan z’.
7. 7
Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’,
nyatakan h dalam tabel kebenaran.
Contoh.
Penyelesaian: x y z f(x, y, z) = xy z’
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
8. 8
Cara pertama: menggunakan hukum De
Morgan
Hukum De Morgan untuk dua buah peubah,
x1 dan x2, adalah
Komplemen Fungsi
10. 10
Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas.
Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang
merepresentasikan f, lalu komplemenkan
setiap literal di dalam dual tersebut.
Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka
dual dari f: x + (y’ + z’) (y + z)
komplemenkan tiap literalnya: x’ + (y + z) (y’ + z’) = f ’
Jadi, f ‘(x, y, z) = x’ + (y + z)(y’ + z’)
11. 11
Bentuk Kanonik
Jadi, ada dua macam bentuk kanonik:
Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP)
Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)
12. 12
Contoh :
1. f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz SOP
Setiap suku (term) disebut minterm
2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)
(x’ + y + z’)(x’ + y’ + z) POS
Setiap suku (term) disebut maxterm
Setiap minterm/maxterm mengandung literal
lengkap
13. 13
Minterm Maxterm
x y Suku Lambang Suku Lambang
0
0
1
1
0
1
0
1
x’y’
x’y
xy’
x y
m0
m1
m2
m3
x + y
x + y’
x’ + y
x’ + y’
M0
M1
M2
M3
14. 14
Minterm Maxterm
x y z Suku Lambang Suku Lambang
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
x’y’z’
x’y’z
x‘y z’
x’y z
x y’z’
x y’z
x y z’
x y z
m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
x + y + z
x + y + z’
x + y’+z
x + y’+z’
x’+ y + z
x’+ y + z’
x’+ y’+ z
x’+ y’+ z’
M0
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
15. 15
Contoh Soal:
Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini dalam
bentuk kanonik SOP dan POS.
x y z f(x, y, z)
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
16. 16
Penyelesaian:
SOP
Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan
nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001, 100, dan
111, maka fungsi Booleannya dalam bentuk
kanonik SOP adalah
f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz
atau (dengan menggunakan lambang minterm),
f(x, y, z) = m1 + m4 + m7 = (1, 4, 7)
17. 17
Contoh:
Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y’z dalam
bentuk kanonik SOP dan POS.
Penyelesaian:
(a) SOP
x = x(y + y’)
= xy + xy’
= xy (z + z’) + xy’(z + z’)
= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’
y’z = y’z (x + x’)
= xy’z + x’y’z
Jadi f(x, y, z) = x + y’z
= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z
= x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz
atau f(x, y, z) = m1 + m4 + m5 + m6 + m7 = (1,4,5,6,7)
18. 18
(b) POS
f(x, y, z) = x + y’z
= (x + y’)(x + z)
x + y’ = x + y’ + zz’
= (x + y’ + z)(x + y’ + z’)
x + z = x + z + yy’
= (x + y + z)(x + y’ + z)
Jadi, f(x, y, z) = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)(x + y + z)(x + y’ + z)
= (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)
atau f(x, y, z) = M0M2M3 = (0, 2, 3)
25. Jawaban:
1. A.(A.B + B) = A.AB + A.B
= A.B + A.B = A.B
2. AC + ABC = AC(1 + B) = AC
3. ABC + AB’C + ABC’ = AC(B + B’) + ABC’
= AC + ABC’= A(C + BC’)
= A(C + B) = A(B + C)
4. (A + BC) = A (B + C) = A.B + A.C
26. Penyederhanaan Secara Aljabar
Tahap minimalisasi rangkaian logika agar efektif dan
efisiensi
Rangkaian dengan jumlah gerbang yang sedikit akan
lebih murah harganya, dan tata letak komponen lebih
sederhana.
Salah satu cara untuk meminimalkannya adalah dengan
menggunakan aljabar Boole.
27. Contoh :
1.
Sehingga rangkaian di atas bisa disederhanakan menjadi :
A A B B
Y
Y = A B + A B
= A ( B + B )
= A
A A B B
Y
28. Cont..
2.
A
B
C
Y
Y = A + (A + B) . B C
= A + A B C + B B C
= A + A B C + B C
= A + B C (A + 1)
= A + B C
; B . B = B
; A + 1 = 1
Rangkaian hasil penyederhanaan :
A
B
C
Y
30. Peta Karnaugh (K-Map)
Meskipun aljabar Boole merupakan suatu sarana untuk
menyederhanakan pernyataan logika, belum dapat
dipastikan bahwa pernyataan yang disederhanakan
dengan aljabar Boole itu merupakan pernyataan yang
paling sederhana.
Prosedur meminimumkan agak sulit dirumuskan karena
tidak adanya aturan yang jelas untuk menentukan
langkah manipulasinya.
Metode peta karnaugh memberikan suatu prosedur yang
mudah
31. Format K-Map
n variabel input akan menghasilkan 2n kombinasi
minterm yang diwakili dalam bentuk segiempat (kotak).
Peta Karnaugh 2 variabel memerlukan 22 atau 4 kotak,
peta karnaugh 3 variabel mempunyai 23 atau 8 kotak,
dst
37. PEMBENTUKAN PETA KARNAUGH (5)
Bentuk peta Karnaugh untuk tabel kebenaran:
A B C Y
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0 0
1 0
1 1
0 0
C C
B
A
B
A
AB
B
A
40. PEMBENTUKAN PETA KARNAUGH (8)
- Peta Karnaugh 4 variabel
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 1
0 0 0 0
B
A
B
A
AB
B
A
D
C D
C CD D
C
41. PAIR
sepasang 1 yang bertetangga dalam peta
Karnaugh
0 0 0 0
0 0 1 1
1 0 0 0
1 0 0 0
B
A
B
A
AB
B
A
D
C D
C CD D
C
Sebuah pair
Jika terdapat 1 pair,
maka 1 variabel dan
komplemennya
akan dibuang dari
persamaan boolean
42. QUAD
Grup yang terdiri dari 4 buah 1 yang bertetangga
0 0 0 0
0 0 1 1
0 0 1 1
0 0 0 0
B
A
B
A
AB
B
A
D
C D
C CD D
C
Sebuah quad
Sebuah quad akan
menghilangkan 2
variabel dan
komplemennya dari
persamaan boolean
43. OCTET
Grup yang terdiri dari 8 buah 1 yang
bertetangga
0 0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
0 0 0 0
B
A
B
A
AB
B
A
D
C D
C CD D
C
Sebuah octet
Sebuah octet akan
menghilangkan 3
buah variabel dan
komplemennya dari
persamaan boolean
44. OVERLAP
Pemakaian 1 buah 1 lebih dari satu kali.
Jika menandai suatu grup, diijinkan
menggunakan 1 lebih dari satu kali
0 0 0 0
0 0 1 0
1 1 1 1
1 1 1 1
B
A
B
A
AB
B
A
D
C D
C CD D
C
OVERLAP
45. ROLLING
0 1 0 0
1 0 0 1
1 0 0 1
0 1 0 0
B
A
B
A
AB
B
A
D
C D
C CD D
C
ROLLING
ROLLING
46. REDUNDANT
Sebuah grup yang 1-nya overlap semua pada
grup lain disebut redundant grup.
0 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 0
0 0 0 0
B
A
D
C
B
A
AB
B
A
D
C CD D
C
REDUNDANT
47. Penyederhanaan dengan Peta
Karnaugh
Digunakan untuk menyederhanakan fungsi
boolean
Dengan cara memetakan tabel kebenaran
dalam kotak-kotak segi empat yang jumlahnya
tergantung dari jumlah peubah (variabel)
masukan
Penyederhanaan untuk setiap “1” yang
bertetanggaan 2,4,8,16… menjadi suku minterm
yang sederhana
48. Langkah-langkah dalam menggunakan K-map
1. Konversikan persamaan Boolean yang diketahui ke
dalam bentuk persamaan SOP-nya (Sum of Product).
Gunakan Tabel Kebenaran sebagai alat bantu.
2. Gambarlah K-map, dengan jumlah sel = 2 ^ jumlah
variabel input.
3. Isi sel K-map sesuai dengan minterm pada Tabel
Kebenaran.
4. Cover minterm-minterm bernilai 1 yang berdekatan,
dengan aturan :
1. hanya minterm berdekatan secara vertikal atau
horizontal yang boleh di-cover.
2. Jumlah minterm berdekatan yang boleh di-cover
adalah : 2. 4, 8, 16, 32
5. Buat persamaan SOP baru sesuai dengan hasil peng-
cover-an minterm.
49. SIMPLIKASI KARNAUGH
Langkah simplifikasi dengan peta
Karnaugh :
1. Masukkan 1 pada peta
2. Masukkan 0 pada peta
3. Tandai octet, quad dan pair (ingat ROLLING
dan OVERLAP)
4. Jika ada 1 yang tertinggal, tandai
5. Hilangkan REDUNDANT jika ada
6. Bentuk persamaan boolean.
74. Peta Karnaugh 6 Variabel
Contoh :
f = m (0,4,10,11,18,21,22,23,26,27,29,30,31,32,36,50,
53,54,55,58,61,62,63)
75. Peta Karnaugh maxterm
Dengan cara memetakan tabel kebenaran dalam kotak-
kotak segi empat yang jumlahnya tergantung dari jumlah
peubah (variabel) masukan
Penyederhanaan untuk setiap “0” yang bertetanggaan
2,4,8,16… menjadi suku maxterm yang sederhana.
77. Penilikan kesamaan
Peta Karnaugh
dapat digunakan
untuk menilik
kesamaan dua
buah fungsi
boolean
Contoh :
Buktikan
kesamaan
Dapat dilihat kedua fungsi
memiliki peta karnaugh yang
sama.
