FISICA_VIRTUAL_III.pdf

Primera Edición, Diciembre 2022
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú
No
2016-0054 (Ley No
26905/D.S. No
017-98-ED)
R.U.C No
20537993442
ISBN : 977-614-4006-15-9
Area : Superior
Diseño de carátula
 Departamento de Edición y Producción ASM
FISICA VIRTUAL III
Derechos Reservados / Decreto Ley 822
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, su
tratamiento informático la transmisión por ninguna forma
ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u
otros métodos sin permiso previo y por escrito de los titula
res de Copyright-rsabreraa@unmsm.edu.pe

FISICA VIRTUAL III
52
SESIONES VIRTUALES
DE
TEORIA Y PRACTICA

Colección Tesla
Régulo A. Sabrera Alvarado
Catedrático de Física, Matemática
Computación y SocioFísica
RED DE UNIVERSIDADES
DE LA UNASUR

Dedicatoria
A la juventud estudiosa
y trabajadora, que con
sus ideas y acciones innovadoras
transforman
a diario el mundo

PROLOGO
Este libro programado ha sido escrito pensando en hacer de él un mate
rial pedagógico dirigido a los docentes, para facilitar sus actividades académicas
de enseñanza y evaluación del Curso Virtual Física_III; y a los estudiantes a ser
protagonistas de estas nuevas metodologías de enseñanza_aprendizaje en esta nue
va época digital, que ya esta presente en nuestra realidad. El presente libro progra
mado contiene catorce (14) capítulos, que son los siguientes: 1. Análisis Vecto
rial, 2. Fuerza Eléctrica, 3. Campo Eléctrico, 4. Potencial Eléctrico, 5. La Ecua
ción de Laplace y Poisson, 6. Energía Eléctrica, 7. Corriente Eléctrica, 8. Circui
tos Eléctricos, 9. Propiedades de los Dieléctricos, 10. Capacitores, 11. Campo
Magnético, 12. Inducción Electromagnética, 13. Oscilaciones Electromagnéticas,
14. Propiedades Magnéticas de la Materia. El enunciado y la solución de los pro
blemas se realizan en su mayoría en el Sistema Internacional y a la luz de los a
vances de la ciencia contemporánea. La forma de utilizar este material pedagógi
co queda a criterio del docente, pues, el desarrollo del material esta estructurado
para (39) Sesiones virtuales de Teoría y trece (13) Sesiones virtuales de Prácti
ca dirigida, haciendo un total de (52) sesiones virtuales (Programa Completo).
En la elaboración de este material se utiliza la novedosa metodología
de enseñanza de las ciencias físicas-matemáticas EDU-VE, en la cual, el estudian
te aprende la materia a través de la práctica; así, en el desarrollo de las clases vir
tuales los trabajos que realiza el estudiante son de diferentes tipos, tenemos: 1)
Trabajo Modalidad 1, se asigna aleatoriamente veinte problemas (20) por Capítu
lo, del Libro de Trabajo que acompaña a este material, para que el estudiante pre
sente el Informe en la Plataforma utilizada, en el periodo estipulado. 2) Trabajo
Modalidad 2, los estudiantes escogen y desarrollan un Proyecto de Elaboración
de Tecnología Primaria referido al Capítulo en desarrollo, para lo cual, se utiliza
un Formato para la realización del trabajo. 3) Trabajo Modalidad 3, se asignan
aleatoriamente temas de los Capítulos en desarrollo, para que el estudiante prepa
re un informe técnico, y lo sustente en las Jornadas de Exposiciones.
Respecto de la evaluación y examinación, se asigna aleatoriamente a cada
estudiante cuatro o cinco problemas de su banco personal de problemas, forma
dos en la asignación aleatoria de los trabajo Modalidad 1, para que los estudian
tes presenten el desarrollo de las mismas en la plataforma, para su posterior cali
ficación y publicación. Es decir, la evaluación de los estudiantes es de carácter
personal, con lo que se evita la transferencia de información.
Finalmente, quiero expresar mi mayor agradecimiento a todas aquellas per
sonas que colaboraron con entusiasmo y dedicación en la edición del presente tra
bajo, especialmente a la Srta. Leonor Alvarado Gómez.
Régulo A. Sabrera A.

CONTENIDO
Página
Cap.01 Análisis Vectorial (007)
(1) Tres sesiones virtuales de teoría
(2) Una sesión virtual de práctica
(3) Primer trabajo modalidad 1
Cap.02 Fuerza Eléctrica (047)
(1) Dos sesiones virtuales de teoría
(3) Segundo trabajo modalidad 1
Cap.03 Campo Eléctrico (067)
(3) Tercer trabajo modalidad 1
Cap.04 Potencial Eléctrico (107)
(1) Seis sesiones virtuales de teoría
(2) Dos sesiones virtuales de prácticas
(3) Cuarto trabajo modalidad 1
Cap.05 Corriente Eléctrica (198)
(3) Quinto trabajo modalidad 1
 Primer Examen virtual
Cap.06 Circuitos Eléctricos (231)
(2) Tres sesiones virtuales de prácticas
(3) Sexto trabajo modalidad 1

Cap.07 Propiedades de los Dieléctricos (263)
(2) Una sesión virtual de prácticas
(3) Séptimo trabajo modalidad 1
Cap.08 Capacitores (296)
(3) Octavo trabajo modalidad 1
Cap.09 Campo Magnético (338)
(1) Cinco sesiones virtuales de teoría
(3) Noveno trabajo modalidad 1
Cap.10 Inducción Electromagnética (414)
(3) Décimo trabajo modalidad 1
Cap.11 Oscilaciones Electromagnéticas (446)
(3) Onceavo trabajo modalidad 1
Cap.12 Propiedades Magnéticas de la Materia (478)
(3) Doceavo trabajo modalidad 1
APENDICE
 Segundo Examen virtual
rsabreraa@unmsm.edu.pe

ENLACES DE LIBROS ELECTRONICOS
I) Libro de trabajo en dos volúmenes
https://es.scribd.com/document/560728089/Fisica-III-Curso-Completo-Con-Problemas-
Regulo-Sabrera-Alvarado
https://www.coursehero.com/file/86873072/FISICA-III-REGULO-SABRERApdf/
https://www.facebook.com/librostecnicosymas/photos/f%C3%ADsica-iii-curso-completo-con-
problemas-regulo-sabrera-alvaradohttpslibrostecnic/956438628129948/
https://docer.com.ar/doc/5v11se
II) Libros complementarios de teoría y práctica
https://es.scribd.com/document/365949440/Teoria-de-Campos-Electromagneticos-Tomo-1-
Regulo-A-Sabrera-Alvarado
https://idoc.pub/download/teoria-de-campos-electromagneticos-tomo-1-regulo-a-sabrera-
alvarado-qn85jvkkjyn1
https://idoc.pub/documents/idocpub-qn85jvkkjyn1
http://koha.uch.edu.pe/cgi-bin/koha/opac-detail.pl?biblionumber=12851
https://edoc.pub/teoria-de-campos-electromagneticos-tomo-1-regulo-a-sabrera-alvarado-pdf-
free.html
Vol.1

https://es.scribd.com/document/560728089/Fisica-III-Curso-Completo-Con-Problemas-
Regulo-Sabrera-Alvarado
https://www.yumpu.com/es/document/view/62605864/fisica-iii-teoria-y-problemas-regulo-a-
sabrera-alvarado-freelibrosorg
https://es.scribd.com/document/417428471/270-Examenes-de-Fisica-I-Regulo-a-Sabrera
NIKOLA TESLA
<<
La ciencia no es sino una perversión
de si misma a menos que tenga como
objetivo final el mejoramiento de la
vida de la humanidad>>
rsabreraa@unmsm.edu.pe

CAP-1
ANALISIS VECTORIAL
C-1 Suma de vectores
C-1 Componentes rectangulares
C-1 Productos escalar y vectorial
C-2 Productos triples
C-2 Proyección y componentes de un vector
C-2 Operaciones del algebra vectorial
C-3 Tensores, vectores covariantes...
P-1 Práctica de análisis vectorial
Primer trabajo modalidad 1

Análisis Vectorial 7
SUMA DE VECTORES
a) Vectores colineales
Los vectores sumandos tienen la misma
dirección o dirección opuesta, por lo que,
la suma se realiza algebraicamente tenien
do en consideración los signos, así, si el
vector está a la derecha o hacia arriba se
considera (+), y si esta a la izquierda o ha
cia abajo se considera (-)
Ejemplo: 01
En los vectores mostrados en la Figura, ha
llar a b
 , y a c
 .
Solución:
 Calculemos los vectores a b
 y a c
 :
ˆ ˆ ˆ
a b 2i 4i 6 i
    
ˆ ˆ ˆ
a c 2i 4( i) 2 ( i)
     
b) Producto de un vector por un esca
lar
El producto de un vector A por un escalar
(m) es otro vector de módulo menor, igual
o mayor que el vector A . Si el escalar (m)
es positivo el vector resultante tiene la mis
ma dirección que A , caso contrario direc
ción opuesta a A así,
A
 es el vector opuesto de A
Ejemplo: 02
Dado el vector ˆ ˆ
A 3i 4 j
  , y c=2, hallar
el vector c A .
Solución:
 Por propiedad del algebra vectorial, el
vector ccA es:
ˆ ˆ
cA (2)(3i 4 j)
 
ˆ ˆ
cA 6i 8 j
 
c) Método del paralelogramo
1) Procedimiento
Para sumar (ó restar) dos vectores a y b ,
que forman un ángulo  entre sí, se proce
de así:
 Se unen los vectores sumandos a y b por
sus orígenes.
 Se trazan paralelas a los vectores a y b (lí
neas punteadas) formándose el paralelogra
mo.
 Se traza el vector resultante de la suma de
a y b , desde el origen 0 hacia el vértice
opuesto P.
2) Módulo
Utilizando la ley de coseno, se demuestra
que el módulo del vector resultante R ,
1u
1u
a
b
c
+i


a
b
0
R
P
RASA
ANALISIS
VECTORIAL
01
CV- 1

Robótica y Cibernética
8
viene dado por:
2 2 1/ 2
R [a b 2a b cos ]

  
siendo, a, b los módulos de los vectores a
y b , y  el ángulo formado por estos vec
tores, comprendido entre 00
y 1800
.
 Nota:
 La diferencia de dos vectores a y b , no es
una nueva operación, en realidad la dife
rencia es una suma, así, tenemos:
R a b a ( b)
    
Es decir, la diferencia de a y b , es la su
ma de a y b
 .
 Utilizando la ley de coseno, se demuestra
que el módulo del vector resultante R , de
la diferencia de a con b , viene dado por:
2 2 1/ 2
R [a b 2a.b cos ]

  
Ejemplo: 03
El módulo de la resultante de dos fuerza
de módulos 10 N y 20 N es de 10 N. ¿En
qué intervalo está comprendido el ángulo
entre estas dos fuerzas?
Solución:
 Grafiquemos el paralelogramo formado
por los vectores

a y

b.
Aplicando la fórmula para la resultante
"R" de la suma de dos vectores:
1/2
2 2
R a b 2abcos
 
  
 
2 2 2
R a b
cos
2ab

 

2 2 2
10 10 20
cos 1
(2)(10)(20)

 
  
Entonces: =180o
ó  
 rad.
Por lo tanto, " "
 está comprendido en el
siguiente intervalo,

3 5
4 4
 

 
d) Método del polígono
 Es un método que nos permite sumar dos
ó más vectores, el procedimiento consiste
en unir el origen del segundo vector con
el extremo del primero, el origen del terce
ro con el extremo del segundo, así sucesi
vamente hasta llegar al último vector.
 Los vectores sumandos a , b , c , ..etc, se
desplazan (mueven) manteniéndose cons
tantes sus módulos y direcciones.
 El vector resultante (R ) de la suma, se ob
tiene uniendo el origen del primero con el
extremo del último vector.
 El modulo del vector resultante (R ) de la
suma, se determina utilizando los métodos
geométricos, ya sea, la ley del ley del seno
coseno, Pitágoras, etc.
Ejemplo: 04
Hallar el vector resultante de la suma de
a , b y c .
b
a
45o
c
R=10N
b=20N
a=10N


Solución:
 El vector resultante R de la suma de los
vectores a , b y c , se halla así:
Ejemplo: 05
Hallar el vector resultante de la suma de
los vectores mostrados.
a) 2( )
 
a b
 b) 2( )
 
a c
 c) 2( )
 
a b

d) 2( )
 
a c
 e) 2( )
 
b c

Solución:
 Con los vectores dados formemos el polí
gono cerrado.
En la Figura, como los vectores forman
un polígono cerrado, se cumple:
a b c d 0
   
a c b d
  
Luego, la expresión del vector resultante
es:
R a c b d
   
R a c a c
   
 R 2(a c)
 
e) Polígono Cerrado
Si el polígono vectorial resulta ser cerra
do, entonces el módulo del vector resultan
te es igual a cero, es decir:
a b c d 0
   
Ejemplo: 06
En el cuadrado ABCD, hallar el módulo
del vector resultante.
a) 2 u b) 4 u c) 6 u
d) 8 u e) 10 u
Solución:
 En la Figura, la resultante de la suma de
los vectores dados y su módulo, son:
R (AB BC CD DA) (AC DB)
     
a
b
c
R
d
c
b
a
a
-b
-d
c
a
b
d
c
2u
2u
A
B C
D
0
B

10
R 0 (AD DC) (DA AB)
    
R (AD DA) (AB DC)
   
R 2AB R (2) AB
  
 R 4u

f) Ley de Senos
Si los vectores a , b y c forman un trián
gulo cerrado, es decir: a b c 0
  
Entonces, se cumple la relación entre los
lados a, b y c, y los senos de los ángulos:
a b c
sen sen sen
  
 
Ejemplo: 07
En la Figura, ¿Cuál deberá ser el coeficien
te de fricción de la barra homogénea con
el piso para que pueda permanecer de la
manera mostrada? La longitud del hilo AB
es igual a la longitud de la barra.
a)1/2 b) 1/3 c) 1/4
d) 2/3 e) 3/4
Solución:
 Representemos las fuerzas que actúan so
bre la barra BC.
En el triángulo CBD, del teorema de Pitá
goras, hallemos el lado CD:
2 2 1/2
CD [ ( / 2) ]
 
CD 5 / 2

En el triángulo ACD, de la ley de seno,
hallemos el sen , así:
0
sen sen45
/ 2 5 / 2


10
sen
10

 
Luego, como la tg , nos da el coeficiente
de fricción S, entonces:
S
2
sen
tg
1 sen

 

 

S
2 1/2
10 /10
[1 ( 10 /10) ]



b
a c





A
B
T
R
W
f
C
D

450
RASA

g
A
B
l
l
RASA
B

 S
1
3
 
g) Ley de coseno
Para el triángulo de lados a, b, c y vértices
A, B, C, se cumple la relación:
2 2 2
c a b 2abcos
  
Ejemplo: 08
En la circunferencia de radio u
7 , hallar
el módulo de la resultante de los vectores
mostrados.
a) 3 u b) 5 u c) 7 u
d) 9 u e) 11 u
Solución:
 La resultante de la suma de los vectores
dados es:
R (a b c) d e
    
R e d e d 2e
    
Luego, el módulo de la resultante R es:
2 2 1/2
1
R [ (2 ) 2( )(2 )( )]
2
  
R 7 ( 7)( 7 u)
 
 R 7u

COMPONENTES RECTANGULA-
RES DE UN VECTOR
a) Componentes rectangulares
Todo vector se puede expresar como la su
ma de dos o más componentes. En el plano
bidimensional, dicho vector se escribe co
mo la suma de dos vectores mutuamente
perpendiculares. Así, las componentes del
vector A , en las direcciones de los ejes X e
Y, son:
x
A A cos
 , y
A Asen

La dirección del vector A , viene dado por
el ángulo " "
 , cuya expresión es:
y
x
A
arc tg( )
A
 
a
b c
A
B

C
A

X
Y
0

x
A

y
A

a
b
c
d
0
600
e
d
2e
R
600
02
B
C

12
Para determinar la resultante de la suma
de un conjunto de vectores a , b , c …, se
procede del modo siguiente :
1) Cada vector se expresa en sus componen
tes en las direcciones de los ejes X e Y,
respectivamente.
x y
ˆ ˆ
a a i a j
 
x y
ˆ ˆ
b b i b j
 
--------------------
siendo, î , ˆj vectores unitarios ortogonales
que definen el sistema de coordenadas
rectangulares X, Y.
2) Se suman las componentes de los vectores
que están en la misma dirección, obtenién
dose las componentes Rx, Ry del vector
resultante en las direcciones de los ejes X
e Y, esto es,
x x x
R a b ...
  
y y y
R a b ...
  
3) El módulo del vector resultante R se halla
aplicando el teorema de Pitágoras.
2 2 1/ 2
x y
R [R R ]
 
4) La dirección del vector resultante R , res
pecto del eje X, viene dado por:
y
x
R
arc tg( )
R
 
Ejemplo: 09
En la Figura, en el cuadrado de lado p, M
y N son puntos medios. Hallar el módulo
de la resultante si: a 5
 u, b 2 2
 u
y c 5
 u.
a) 7,1 u b) 7,3 u c) 7,5 u
d) 7,7 u e) 7,9 u
Solución: 31
 Representemos cada uno de los vectores.
Sean, ,  y  los ángulos que forman los
vectores a , b y c con el lado AD, enton
ces, la resultante y su módulo son :
R a b c
  
ˆ ˆ
R 5cos i 5sen j
ˆ ˆ
2 2 cos i 2 2sen j
ˆ ˆ
5cos i 5sen j
 
 
 
  
 

2 5 5
ˆ ˆ
R ( 5)( )i ( 5)( ) j
5 5
2 2
ˆ ˆ
(2 2)( )i (2 2)( ) j
2 2
5 2 5
ˆ ˆ
( 5)( )i ( 5)( ) j
5 5
  
 

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
R 2i 2 j i j 2 i 2 j
     
A D
B C
a
b
c
p/2 p/2
p
5 2
p /
5 2
p /
2p

j

i
M
N
B C
A D
a
b
c
M
N

2 2 1/2
ˆ ˆ
R 5i 5 j R [5 5 ]
    
 R 7,1u

b) Vector unitario
Es todo vector que tiene módulo igual a 1.
Si a es un vector cualquiera, entonces el
vector unitario en la dirección de a , se de
fine, así:
a
a a
u
a a

 
 De modo que, todo vector se puede ex
presar como el producto de su módulo por
el vector unitario que le corresponde, así:
a
ˆ
a a u

Propiedad:
- Dos vectores paralelos (la misma direc
ción) tienen el mismo vector unitario.
Ejemplo: 10
En la Figura, hallar B
A


 si: A

=5 u y
B

=3 u.
a) 6,0 u b) 6,2 u c) 6,4 u
d) 6,6 u e) 6,8 u
Solución:
 Introduzcamos el vector auxiliar b en la
dirección del vector B.
En la Figura, los vectores A y b , expresa
dos en forma de pares ordenados, son:
A  (3 ; 0 ; 6) - (0 ; 4 ; 6) = (3 ; -4 ; 0)
b = (0 ; 4 ; 6) - (3 ; 10 ; 0) = (-3 ; -6 ; 6)
Ahora, calculemos el vector unitario en la
dirección de b , y con esto el vector B, así
b 2 2 2 1/2
( 3; 6;6)
û
[( 3) ( 6) 6 ]
 

   
b
1 2 2
û ( ; ; )
3 3 3
  
b
1 2 2
ˆ
B B u (3)( ; ; )
3 3 3
 
 
B ( 1; 2; 2)
  
Luego, la resultante de la suma de A y B,
y su módulo, son:
R (3; 4;0) ( 1; 2;2)
    
R (2; 6;2)
 
a
ua
A
B
x
y
z
10u
6u
3u
4u
A
B
x
y
z
10u
6u
3u
4u
b
A

14
2 2 2 1/2
R [(2) ( 6) (2) ]
   
 R 6,6u

PRODUCTO ESCALAR Y VECTO-
RIAL DE DOS VECTORES
a) Leyes del algebra vectorial
Sean A , B y C vectores y "m", "n" esca
lares, se cumple:
1) A B B A
   (conmutativa)
2) A (B C) (A B) C
     (asociativa)
3) m A A m
 (conmutativa)
4) m (n A) (mn) A m A n
  (distributiva)
5) (m n) A m A n A
   (distributiva)
6) m (A B) m A m B
   (distributiva)
b) Producto escalar
1) Definición
Dado dos vectores A y B, su producto es
calar o interno se representa por A B, y
se define como el producto de sus módu
los por el coseno del ángulo " "
 que for
man, esto es,
A B A B cos 

0  
 
el resultado de A B es un escalar, es de
cir, un número real positivo o negativo.
2) Propiedades
Algunas de las propiedades del producto
escalar, son:
 A B B A

 A (B C) A B A C
  
 m(A B) (mA) B A (mB)
 
 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
i i j j k k 1
  
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
i j i k j k 0
  
 Dados: 1 2 3
ˆ ˆ ˆ
A A i A j A k
  
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
B B i B j B k
  
Se verifican las siguientes relaciones:
 1 1 2 2 3 3
A B A B A B A B
  
 2 2 2 2
1 2 3
A A A A A A
   
 2 2 2 2
1 2 3
B B B B B B
   
 Si A B 0
 y ninguno de los vectores es
nulo, entonces, ambos son perpendiculares
entre si.
Ejemplo: 11
¿Para qué valor de " "
 los vectores (a +
b
 ) y (a b

 ) son perpendiculares entre
sí, sabiendo que a =3 u, b =5 u?
a) 2/3 b) 3/2 c) 3/5
d) 5/3 e) 3/4
Solución:
 Por propiedad, si dos vectores son perpen
0
A
B

RASA
03
D

diculares entre sí, su producto escalar es i
gual a cero así:
(a b) (a b) 0
 
  
2 2 2
a a b b a b 0
  
   
2 2 2
a b 0

 
2
2
2
a a
b
b
 
   

3
5
  
c)Producto vectorial
1) Definición
Dado dos vectores A y B, su producto
vectorial o externo se representa por AxB
y se define como el producto de sus mó
dulos por el seno del ángulo " "
 que for
man, esto es:
ˆ
AxB ABsen u


0  
 
siendo û un vector unitario que indica la
dirección del producto AxB.
Si, A B
 , o bien si A tiene la misma di
rección que B, sen 0
  , con lo que que
da probado AxB 0
 .
2) Propiedades
Algunas de las propiedades del producto
vectorial, son:
 AxB BxA
 
 Ax(B C) AxB AxC
  
 m(AxB) (mA)xB Ax(mB)
 
 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ixi jxj kxk 0
  
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ixj k ; jxk i ; kxi j
  
 Dados: 1 2 3
ˆ ˆ ˆ
A A i A j A k
  
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
B B i B j B k
  
1 2 3
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
i j k
AxB A A A
B B B
 
 
  
 
 
 El módulo de AxB representa el área del
paralelogramo de lados A y B .
 Si AxB 0
 y ninguno de los vectores es
nulo, ambos tienen la misma dirección.
Ejemplo: 12
Hallar el modulo (en Nm) del momento
de la fuerza F=(2; -4; 5) N aplicada al pun
to A(4; -2; 3) m, con respecto al punto
B(3; 2; -1) m.
a) 5,8 b) 6,0 c) 6,2
d) 6,4 e) 6,8
Solución:
 Calculemos el vector de posición r , así:
r A B (4; 2; 3) (3; 2; 1)
     
A
B
C
u

RASA
C

16
r (1; 4 ; 4)
 
Con esto, calculemos el vector momento
de la fuerza, respecto del punto B, así:
B
ˆ ˆ ˆ
i j k
M r xF 1 4 4
2 4 5
 
 
  
 
 

 
B
ˆ
M [( 4)(5) ( 4)(4)] i
ˆ
[(1)(5) (2)(4)] j
ˆ
[(1)( 4) (2)( 4)] k
    
 
  
B
ˆ ˆ ˆ
M ( 20 16) i (5 8) j ( 4 8) k
       
B
ˆ ˆ ˆ
M 4 i 3 j 4 k
   
 B
M 6,4 N m

Ejemplo: 13
El vector c es perpendicular a los vecto
res a y b , el ángulo formado por a y b
es igual a 300
. Además a = 6 u, b =3
u, c =3 u. Hallar (a xb) c .
a) 21 u3
b) 23 u3
c) 25 u3
d) 27 u3
e) 29 u3
Solución:
 En la Figura, primero calculemos el mó
dulo de a xb, así:
axb a b sen

1
a xb (6)(3)( ) 9
2
 
Representación de los vectores a ,b y c ,
con a ,b contenidos en el plano XY.
Calculemos, el producto vectorial de a
por b , y luego el volumen del paralelepí
pedo formado por a , b y c , así:
a x b (9)(0 ; 0 ;1)

a x b (0 ; 0 ; 9)

(a xb) c (0 ; 0 ;9) (0 ; 0 ; 3)

 3
(axb) c 27u

Ejemplo: 14
Hallar un vector unitario contenido en el
plano definido por los vectores a = (2; 2;
1) y b = (1; 0; 1) que sea perpendicular al
vector c = (1; 1; -4).
a) (2/3; 2/3; 1/3) b) (2/3; 1/3; 2/3)
c) (1/3; 2/3; 2/3) d) (1/3; 1/3; 2/3)
e) (1/3; 2/3; 1/3)
Solución:
 Primero calculemos el producto a xb :
ˆ ˆ ˆ
i j k
a xb 2 2 1
1 0 1
 
 
  
 
 
a xb (2 ; 1; 2)
  
El vector que nos piden debe ser perpen
dicular a a xb y a c . De esto, se deduce
a
c
b
300

k 
j
D
D

que debe ser colineal al vector (a xb)xc .
ˆ ˆ ˆ
i j k
(a xb)xc 2 1 2
1 1 4
 
 
  
 
 

 
(a xb)xc (6 ; 6 ; 3)

(a xb)xc (6; 6; 3)
u
9
(a xb)xc
 

2 2 1
û ( ; ; )
3 3 3

c) Productos triples
Combinando productos escalares y vecto
riales de los vectores A , B y C se forman
productos de la forma:
(A B)C ; A (BxC) y Ax(BxC)
Se cumplen las siguientes relaciones:
 Ax(BxC) (Ax(B)xC

 A (BxC) B (CxA) C (AxB)
 
El módulo de esta expresión representa el
volumen del paralelepípedo de aristas A ,
B y C ; el cual se calcula así,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
A A A
A (BxC) B B B
C C C

Siendo:
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
A A i A j A k
  
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
B B i B j B k
  
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
C C i C j C k
  
El producto A (BxC) se llama triple
producto escalar, en tanto, el producto
Ax(BxC) se llama triple vectorial.
 Ax(BxC) (AxB)xC

 Ax(BxC) (AxC)B (A B)C
 
(AxB)xC (AxC)B (B C)A
 

(AxB) (CxD) (A C)(B D)
(A D)(B C)
 

(AxB)x(CxD) (A (BxD))C
(A (BxC))D
 

Ax(Bx(CxD)) (AxC)(B D)
(AxD)(B C)
 
Ejemplo: 15
Hallar el volumen del paralelepípedo cons
truido sobre los vectores a = (4; 0; 0), b =
(0; 4; 0), c = (0; k; 4) k  R.
a) 60 u3
b) 62 u3
c) 64 u3
d) 66 u3
e) 68 u3
Solución:
 Representemos el paralelepípedo construí
do con los vectores a ,b y c .
ANALISIS
VECTORIAL
A
CV- 2

18
El producto mixto (a xb) c es igual al vo
lumen del paralelepípedo construido sobre
los vectores a , b y c , esto es:
4 0 0
V (a xb) c 0 4 0
0 k 4
 
V (4)[(4)(4) (k)(0)]
(0)[(0)(4) (0)(0)]
(0)[(0)(k) (0)(4)]
  
 

 3
V 64u

d) Vectores y coordenadas polares
esféricas
La posición de una partícula se expresa en
coordenadas polares esféricas mediante los
valores de "r", " "
 y " "
 , siendo "r" el
módulo del vector r , el cual va del origen
a la posición de la partícula, " "
 el ángulo
comprendido entre r y el eje polar, y " "

el ángulo formado por el eje X y la proyec
ción de r sobre el plano XY. Las coorde
nadas cartesianas rectangulares (x; y; z)
que nos determinan también la posición de
la partícula P en función de la coordenadas
polares (r; ; ), vienen dados por:
x rsen cos
 
 ; y rsen sen
 

z rcos

Por ejemplo, sean 1 1 1 1
r (r ; ; )
 
 , 2
r 
2 2 2
(r ; ; )
  las posiciones de dos partícu
las, ahora si denominamos 12
 al ángulo
que forman 1
r y 2
r , entonces expresando el
producto escalar 1 2 1 2 12
r r r r cos
 , en fun
ción de î , ˆj, k̂ se demuestra que se cum
ple que:
12 1 2 1 2
1 2
cos sen sen cos( )
cos cos
    
 
 
Donde se ha utilizado la relación trígono
métrica,
1 2 1 2
1 2
cos( ) cos cos
sen sen
   
 
  
De ahí, la gran importancia de las coorde
nadas polares esféricas y los métodos vec
toriales.
Z
Y
0


X
P
RASA
X
Z
Y
c
a
b
C

PROYECCION Y COMPONENTES
DE UN VECTOR
a) Cosenos directores
Se denomina así, a los cosenos de los ángu
los que forma el vector A con los tres ejes
de coordenadas X, Y, Z, se cumple:
2 2 2
cos cos cos 1
  
  
donde, ,  y  son los ángulos formados
con los ejes x, y, z.
Ejemplo: 16
Un vector forma con los ejes OX, OY y
OZ los ángulos =1200
y =450
.¿Qué ángu
lo forma este vector con el eje OY?
a) 300
b) 370
c) 450
d) 530
e) 600
Solución:
 Sustituyendo =1200
, =450
, en la ecua
ción de los cosenos directores, hallemos el
ángulo  , así:
2 2 2
cos cos cos 1
  
  
2 o 2 2 o
cos 120 cos cos 45 1

  
2
1 1 1
cos 1 cos
4 2 2
 
     
 o
1 60
  ó o
2 120
 
Ejemplo: 17
Hallar la suma de las coordenadas del pun
to M, si su radio vector forma con los ejes
coordenados ángulos iguales y su módulo
es 3 u.
a) 5,0 u b) 5,2 u c) 5,4 u
d) 5,6 u e) 5,8 u
Solución:
 Sustituyendo el dato, ==, en la ecua
ción de los cosenos directores:
2 2 2
cos cos cos 1
  
  
2 3
3cos 1 cos
3
 
   
De otro lado, las coordenadas del punto M,
(Mx ; My ; Mz), vienen dados por:
x y z
M M M M cos 
  
x y z
M M M 3
   
Por tanto, el punto M, tiene coordenadas:
M ( 3 ; 3 ; 3)

ó M ( 3 ; 3 ; 3)
   
b) Proyección de un vector
La proyección ortogonal del vector a sobre
el vector b , viene dado por:
X
A

Z
Y
 

0

a
b
Proy a
b
04
B
E

20
2
b
a b
Proy a ( )b
b
 , b 0

Como se aprecia la proyección de a sobre
b es un vector.
Ejemplo: 18
Hallar la proyección del vector a =(10; 5)
sobre el vector b = (3; 4).
a) (3 ; 4) b) (4 ; 3) c) (6 ; 8)
d) (8 ; 6) e) (2 ; 6)
Solución:
 Representemos el vector a , y su proyec
ción sobre el vector b .
La proyección del vector a sobre el vector
b , es un vector que tiene la misma direc
ción del vector b , y viene dado por:
b b
b
Proy a Comp a
b

b
a b b
Proy a
b b

b
(10)(3) (5)(4) (3; 4)
Proy a
5 5


b
(3; 4)
Proy a (10) (6;8)
5
 
 b
ˆ ˆ
Proy a 6 i 8 j
 
c) Componente de un vector
La componente del vector a en la direc
ción del vector b , viene dado por:
b
a b
Comp a
b
 , b 0

La componente de a en la dirección de b
es un escalar.
La relación entre la proyección y la compo
nente de un vector, viene dado po:
b b
b
Proy a Comp a
b

Ejemplo: 19
Hallar la componente del vector a =(5; 2;
5) sobre el vector b = (2; -1; 2).
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
Solución:
 En la Figura, la componente del vector a
sobre el eje del vector b , es un número
real ("m"), el cual, viene dado por:
a

b
Comp a
b
a
b

Pr oy a
b
 
RASA
a
b

m
C

b
b
Comp a a cos a cos
b
 
 
b
a b cos a b
Comp a
b b

 
b
(5)(2) (2)( 1) (5)(2)
Comp a
3
  

 b
Comp a 6

d) Distancia de un punto a una recta
En la Figura, la distancia del punto P a la
recta L, cuya dirección es dada por el vec
tor a , viene dada por:
(P Q) n
d
a


Siendo, Q un punto cualesquiera de la rec
ta L, y n un vector normal.
Ejemplo: 20
Hallar la distancia del punto A(4; 5; -7) a
la recta que pasa por el punto B(-3; 6; 12)
y es paralela al vector ˆ ˆ ˆ
c 4 i j 3 k
   .
a) 19,1 u b) 19,3 u c) 19,5
u d) 19,7 u e) 19,9 u
Solución:
 Representemos la distancia del punto A
a la recta que pasa por B.
El vector que va de B hacia A es igual a:
ˆ ˆ ˆ
e A B 7 i j 19 k
    
La ecuación de la recta (L1) que pasa por
B, y es paralela al vector c es:
x 3 y 6 z 12
4 1 3
  
 

De otro lado, el módulo del vector c , da
do por, ˆ ˆ ˆ
c 4i j 3k
   es:
2 2 2 1/2
c [(4) ( 1) (3) ]
   
c 26

La distancia del punto A a la recta L1,
viene dado por:
exc
d
c

ˆ ˆ ˆ
i j k
1
d 7 1 19
26
4 1 3
  

1 ˆ ˆ ˆ
d 22 i 97 j 3 k
26
   
P
Y
X
d
L
Q
0
n̂
a
Z
Y
X
A
B
c


0

k

i

j d
e
L1
B

22
2 2 2 1/2
[( 22) ( 97) ( 3) ]
d
26
    

9902 99,51
d
5,11
26
 
 d 18,5 u

e) Distancia entre dos rectas
La distancia "d" entre las rectas no para
lelas L 1, L 2 cuyos vectores direccionales
son a y b , viene dado por:
(Q P) (a xb)
d
a xb


siendo, n un vector perpendicular a los vec
tores direccionales a , b ; y "P", "Q" pun
tos cualesquiera de las rectas L1 y L2,
respectivamente.
Ejemplo: 21
Hallar la distancia mínima entre las rectas
L1: (x+8)/2=(y-10)/3=(z-6)1, y L2: (x-1)/-
1=(y-1)/2=(z-1)/4.
a) 8,17 u b) 8,37 u c) 8,57 u
d) 8,77 u e) 8,97 u
Solución:
 De la ecuación de las rectas dadas, los pun
tos P y Q y los vectores direccionales a , b
de dichas rectas , son:
P ( 8;10;6) ; Q (1;1;1)
  
a (2; 3;1) y b ( 1; 2:4)
  
Con esto, calculemos el vector (Q-P) y el
producto vectorial a xb, así:
(Q P) (9; 9; 5)
    
ˆ ˆ ˆ
i j k
a xb 2 3 1
1 2 4
 
 
  
 

 
a xb (10; 9; 7)
  
Luego, de la fórmula para la distancia en
tre dos rectas, tenemos:
(Q P) (a xb)
d
a xb


2 2 2 1/2
(9; 9; 5) (10; 9; 7)
d
[( 10) (9) (7) ]
  

  
136
d
230

 d 8,97u

f) Angulo entre dos rectas
L1
L2
n axb

Q
P
d
 RASA
L1
L2

0
1
X
2
Y
RASA
C
E

El ángulo " "
 formado por las rectas L1,
L2 de pendientes m1=tg 1 y m2=tg 2,
viene dado por;
2 1
1 2
m m
tg
1 m m




Ejemplo: 22
Hallar el ángulo agudo entre dos rectas que
pasan por las medianas trazadas desde los
vértices de los ángulos agudos de un trián
gulo rectángulo isósceles.
a) 30,870
b) 32,870
c) 34,870
d) 36,870
e) 38,870
Solución:
 En la Figura, en los triángulos rectángulos,
calculemos tg 1 y tg 2, así:
o
1 1
tg tg(180 )
 
 
o
1
1 o
1
tg180 tg
tg 2
1 tg180 tg




  

o
2 2
tg tg(180 )
 
 
o
2
1 o
2
tg180 tg 1
tg
2
1 tg180 tg




  

OPERACIONES DEL ALGEBRA
VECTORIAL
a) El gradiente
1) Definición
En matemáticas, el "gradiente" es una gene
ralización multivariable de la derivada. En
tanto, que una derivada se define solo en
funciones de una sola variable, para fun
ciones de varias variables, el gradiente to
ma su lugar.
 Al igual que la derivada, el gradiente repre
senta la pendiente de la línea tangente a la
gráfica de una función. Más precisamente,
el gradiente apunta a los puntos de la gráfi
ca a los cuales la gráfica tiene un mayor
incremento. La magnitud del gradiente es
la pendiente de la gráfica en esa dirección.
 Los componentes del gradiente en coorde
nadas son los coeficientes de las variables
presentes en la ecuación del espacio tangen
te al gráfico. Esta propiedad de caracteri
zación del degradado permite se defina
independientemente de la elección del siste
ma de coordenadas, como un campo vecto
rial cuyos componentes en un sistema de
coordenadas se transformará cuando se pa
se de un sistema de coordenadas a otro.
2) Interpretación del gradiente
De forma geométrica es un vector que se
normal (perpendicular) a la curva de nivel
en el punto P(x, y) en el que se calcula el
gradiente. Por ejemplo, consideremos una
habitación en la cual la temperatura se defi
ne a través de un campo escalar, de tal ma
nera que en cualquier punto (x, y, z), la
temperatura es T(x, y, z). Asumiremos que
la temperatura no varía con respecto al
tiempo "t". Siendo esto así, para cada pun
to de la habitación, el gradiente en ese pun
to nos dará la dirección en la cual la tempe
ratura aumenta más rápido. La magnitud
del gradiente nos dirá que tan rápido au
menta la temperatura en esa dirección.
3) Representación
 El gradiente de un campo escalar "V", o
también conocido como vector gradiente,
se denota como V, donde "" es el opera
dor diferencial vectorial llamado nabla.
 El resultado del gradiente del campo esca
lar "V" es un campo vectorial E , esto es,
V=E .
4) Propiedades
Algunas de las propiedades más importan
tes de la operación gradiente, son:
06

24
 (f+g)= f+g (Distributiva)
 (f)= f, (linealidad del operador )
 El gradiente de una función es ortogonal a
las superficies equiescalares, definidas por
=cte.
 Apunta en la dirección en la que la deriva
da direccional es máxima
 La norma o módulo del gradiente es igual
a la derivada direccional máxima.
 El campo formado por el gradiente en cada
punto es siempre irrotacional, esto es:
 x (V)=0
4) Expresión matemática general
 La expresión general del gradiente del cam
po escalar "V"en cualquier sistema de coor
denadas ortogonales, viene dada por:
1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 V 1 V 1 V
ˆ ˆ ˆ
V e e e
h q h q h q
  
   
  
donde, q1, q2, q3 son las coordenadas en el
sistema ortogonal, y h1, h2, h3 los llamados
factores de escala de dicho sistema de coor
denadas. Por ejemplo en el sistema de coor
denadas cilíndricas, q1=, q2=, q3=z, y
h=1, h=, hz=1, con lo que:
V 1 V V
ˆ ˆ ˆ
V z
 
   
  
   
  
donde, V=V(x, y, z) es el campo escalar.
 La expresión general del gradiente del cam
po escalar "" en cualquier sistema de cur
vilíneo, viene dada por:
ij
j
i
ˆ
g e
x



 

donde, se ha utilizado el convenio de suma
ción de Einstein.
5) Convenio de sumación de Einstein
Se llama convenio de sumación de Eins
tein a la convención utilizada para abreviar
la escritura de sumatorias, en el que se su
prime el símbolo de sumatoria representa
do por el símbolo griego .
 Este convenio se aplica en matemáticas en
especial a los cálculos realizados en álge
bra lineal destinados a la física. El conve
nio se aplica sólo a sumatorias sobre índice
repetidos.
 El convenio se usa especialmente con ten
sores donde es muy frecuente la operación
de suma sobre índices repetidos, y sería
muy fatigoso escribir explícitamente los
signos de sumatorias.
6) Gradiente de un campo vectorial
En un espacio euclidiano tridimensional, el
concepto de gradiente también puede exten
derse al caso de un campo vectorial, siendo
el gradiente de F un tensor que da el dife
rencial del campo al realizar un desplazami
ento, dado por:
v 0
dF F(r v) F(r)
(v) im
dr v

 

dF
(v) ( F) v
dr
 
 Fijada una base vectorial, este tensor podrá
representarse por una matriz 3x3, que en
coordenadas cartesianas está formada por
las tres derivadas parciales de las tres com
ponentes del campo vectorial.
 El gradiente de deformación estará bien de
finido sólo si el límite anterior existe para
todo v y es una función continua de dicho
vector.
7) Gradiente sesgado
En matemáticas, un gradiente sesgado o
gradiente de sesgo de una función armóni

ca sobre un dominio simplemente conecta
do con dos dimensiones reales en un cam
po vectorial que está en todas partes ortogo
nalmente al gradiente de la función y que
tiene la misma magnitud que el gradiente.
8) Aplicaciones en la física
 El gradiente de una magnitud física, tal co
mo el potencial eléctrico, gravitatorio, etc..
posee innumerables aplicaciones en la físi
ca, especialmente en el electromagnetismo,
astronomía, mecánica de fluidos, etc...
 En particular, existen muchos campos vec
toriales que pueden escribirse como el gra
diente de un potencial escalar, así:
 Por ejemplo el campo electrostático E , se
deriva del potencial eléctrico V.
E V
 
 Todo campo que pueda escribirse como el
gradiente de un campo escalar, se denomi
na potencial, conservativo o irrotacional.
Así, una fuerza conservativa F deriva de la
energía potencial U, del modo siguiente:
F U
 
 Los gradientes también aparecen en los pro
cesos de difusión que verifican la ley de
Fick o la ley de Fourier para la tempera
tura. Así, por ejemplo, el flujo de calor en
un material es directamente proporcional al
gradiente de temperaturas, esto es:
q k T
  
donde, "k" es la conductividad térmica del
material o sustancia.
Ejemplo: 23
Hallar el gradiente del campo escalar F, da
do por: F(x, y)=x2
+2x+y2
+y3
+xy, y evaluar
su modulo en el punto P(1; 1).
Solución:
En coordenadas rectangulares, el gradiente
del campo escalar F es:
F F
ˆ ˆ
F i j
x y
 
  
 
2 2 3
2 2 3
ˆ
F (x 2x y y xy)i
x
ˆ
(x 2x y y xy)j
y

      


   

2 2 3
2 2 3
x 2x y y xy ˆ
F ( )i
x x x x x
x 2x y y xy ˆ
( ) j
y y y y y
    
      
    
    
   
    
2
ˆ
F (2x 2 0 0 y)i
ˆ
(0 0 2y 3y x) j
      
   
2
ˆ ˆ
F (2x y 2)i (2y 3y x) j
      
Evaluando este gradiente en el punto (1; 1)
y tomando su modulo, obtenemos:
1,1 1,1
ˆ ˆ
F 5i 6 j F 7,8
     
b) Divergencia
1) Definición
La divergencia de un campo vectorial en
un punto del espacio es un campo escalar,
y se define como el flujo del campo vecto
rial por unidad de volumen conforme el vo
lumen alrededor del punto tiende a cero.
2) Interpretación
La divergencia puede entenderse como la
densidad de fuentes de un campo vectorial,
siendo positiva si el campo posee un ma
nantial y negativa si tiene un sumidero.

26
 Por ejemplo, en el caso del flujo de calor
q , los manantiales representan la produc
ción de calor y los sumideros su consumo.
 La integral de volumen de la divergencia
=q dV, será la suma de todas las fuen
tes que hay al interior del volumen.
 Teniendo en cuenta el signo, el resultado
será igual a la producción de todos los ma
nantiales, menos el consumo de los sumide
ros, esto es, la producción neta de calor en
el volumen.
 Si se produce más calor del que se consu
me, ese calor extra debe escapar al exterior
del volumen. Esa emisión al exterior es lo
que representa el flujo.
3) Representación
 La divergencia de un campo vectorial E ,
se denota como  E , donde "" es el ope
rador diferencial vectorial llamado nabla.
 El resultado de la operación divergencia
del campo vectorial E es un campo escalar
V, esto es, E =V.
4) Propiedades
tes de la operación divergencia, son:
  (E +G )=  E +G (Distributiva)
  (cE )=c  E , donde c es una cte.
  (E )=() E + E , donde  es un
campo escalar.
 (ExG) G xE E xG
    
 ( E)G (E )G G( E)
    
 xE 0
  

3 2
(r / r ) (1/ r) 0, si r 0
    

2
 
   
 r 3
  , donde r es el vector de posición
 E( ) ( E / )
  
    
 La expresión general de la divergencia del
campo vectorial E en cualquier sistema de
coordenadas ortogonales, viene dada por:
2 3 1 3
1 2 3 1 2
1 2
3
(h h E) (h h E)
1
E [
h h h q q
(h h E)
]
q
 
   
 


factores de escala en dicho sistema de coor
denadas esféricas, q1=r, q2=, q3= y hr=1,
h=r, h=1, con lo que:
2
r
2
1 1
E (r E ) (sen E )
r rsen r
r



 
   
 
E
1
( )
rsen r

 



 
 La expresión general de la divergencia del
campo vectorial "E " en cualquier sistema
curvilíneo, no necesariamente ortogonal,
viene dada por:
k
k
1
E ( g E )
x
g

 

donde, IgI es el determinante del tensor mé
trico.

 Tensor métrico
En geometría de Riemann, el tensor de mé
trico es un tensor de rango 2 que se utiliza
para definir conceptos métricos como dis
tancia, ángulo y volumen en un espacio lo
calmente euclídeo.
 Una vez que se elige una base local, el ten
sor métrico aparece como una matriz, deno
tada convencionalmente como "g". La nota
ción gij se utiliza convencionalmente para
las componentes del tensor. Así, el tensor
métrico "g" se expresa fijada una base coor
denada como:
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
g g g
g g g
g
g g g

 
 

 

 
   
 

 
 En física es muy común escribir la métrica
como el cuadrado del elemento de longitud
dado que el tensor es simétrico la notación
física, viene dada por:
2 i j
ij
ds g dx dx

6) Fuentes escalares de un campo
vectorial
La divergencia es una cantidad escalar con
signo, este signo posee significado geomé
trico y físico, así:
 Si la divergencia de un campo vectorial en
un punto es positiva, quiere decir que en di
cho punto el campo radia hacia el exterior.
Se dice que en esa posición el campo vecto
rial posee un manantial.
 Si por el contrario la divergencia es negati
va, el campo converge hacia dicho punto;
se dice que el campo posee un sumidero.
Ambos, manantiales y sumideros, constitu
yen las fuentes escalares de un campo vec
torial.
 Si la divergencia es nula en un punto el
campo carece de fuentes escalares en dicho
punto.
7) Campo escalar, vectorial, tensorial
 Campo escalar
 Un campo escalar representa la distribu
ción de una magnitud escalar, asociando
un valor a cada punto del espacio.
 En mecánica de fluidos la presión puede
ser tratada como un campo escalar, la distri
bución de temperatura sobre un cuerpo es
otro campo escalar.
 Una construcción que caracteriza los cam
pos escalares son las superficie equipoten
ciales que son los conjuntos de puntos so
bre las cuales la función toma el mismo va
lor.
 En física relativista, un campo escalar es
aquel para el cual la ley de transformación
entre los valores medidos por dos observa
dores diferentes satisfacen una relación
tensorial de invariancia. En ese sentido el
potencial eléctrico que en electromagnetis
mo clásico se trata como un campo escalar,
en mecánica clásica no es un escalar sino
la componente temporal de un cuadrivec
tor potencial que generaliza el potencial
vectorial clásico.
 En física cuántica, se usa el término "cam
po escalar" de una forma más restringida,
se aplica para describir el campo asociado
a partículas de espín nulo.
 Campo vectorial
Un campo vectorial representa la distribu
ANALISIS
VECTORIAL
CV- 3

28
ción espacial de una magnitud vectorial.
Es una expresión de cálculo vectorial que a
socia un vector a cada punto en el espacio
euclidiano.
 Los campos vectoriales se utilizan en la fí
sica, por ejemplo, para representar la velo
cidad y la dirección de un fluido en el es
pacio, o la intensidad y la dirección de fuer
zas como la gravitatoria o la fuerza electro
magnética.
 En el estudio del magnetismo, las líneas
del campo magnético de inducción se pue
den revelar usando pequeñas limaduras de
hierro sobre un papel, en presencia de un i
mán natural.
 Campo tensorial
Un campo tensorial es aquel en que cada
punto del espacio lleva asociado un tensor.
Es una asignación de una aplicación multi
lateral a cada punto de un dominio del espa
cio.
En física, también se llama campo tenso
rial a cualquier magnitud física que puede
ser representada por una asignación del ti
po anterior sobre una región del espacio fí
sico, ejemplos de campos tensoriales son:
1) Campo electromagnético en la electrodi
námica clásica, 2) Campo gravitatorio, en
la teoría de la relatividad general.
 Campo espinorial
Un campo espinorial es un tipo de campo
físico que generaliza los conceptos de cam
pos vectoriales y tensoriales. Si un campo
tensorial es un tipo de representación lineal
del grupo de Lorentz L, un campo espino
rial es una representación de su recubridor
universal, el grupos especial SL(2, ).
 Muchas magnitudes físicas representables
mediante campos tensoriales pueden repre
sentarse también matemáticamente por
campos espinoriales de manera equivalen
te. Sin embargo algunos campos espinoria
les no admiten análogos tensoriales. En es
te sentido los campos espinoriales generali
zan los campos vectoriales y tensoriales,
que pueden ser vistos como casos particu
lares de magnitudes espinoriales.
 La mecánica cuántica hace un uso extensi
vo de los campos espinoriales.
8) Campo solenoidal
Se llama así al campo cuyas fuentes escala
res son nulas en todos los puntos del espa
cio, esto es, E =0, r.
 El ejemplo más importante en el electro
magnétismo de campo solenoidal, es el
campo magnético, en el que se verifica,
 B=0, r, tanto en situaciones estáticas
como dinámicas.
 Un campo solenoidal se caracteriza porque
sus líneas de campo no pueden converger
ni divergir de ningún punto; no pueden te
ner extremos localizados, esto hace que las
líneas solo puedan ser cerradas, o ir del in
finito al infinito, o dar vueltas sobre si mis
mas, sin llegar a cerrarse.
 Un ejemplo analítico de campo solenoidal
es E =-yî +xˆj, las líneas de campo de este
campo vectorial describen circunferencias
en torno al eje-z, en concordancia con la
idea que no tienen extremos.
9) Aplicaciones
 La divergencia de un campo vectorial es
proporcional a la densidad de las fuentes
puntuales del campo, así, en la ley de
Gauss, tenemos:
o
E


 
donde, "E " es el campo eléctrico, "" la
densidad de carga volumétrica, y "o" la
permitividad eléctrica del vació.
 Asimismo, en la ley de Gauss para el cam
po de inducción magnético, que es una de
las ecuaciones de Maxwell, tenemos:

B 0
 
el valor cero de la divergencia nos indica
que no hay fuentes puntuales de campo
magnético, y que las líneas de campo mag
nético son líneas cerradas.
10) Teorema de la divergencia
El flujo de un campo "E" a través de una
superficie cerrada "S" y la divergencia es
tán estrechamente relacionados por la ecua
ción:
S V
E dS EdV
 
 
donde, "V es el volumen encerrado por la
superficie "S".
 Este teorema establece, que la cantidad de
campo que escapa hacia el exterior de una
superficie cerrada "S", es igual, a la suma
neta de las fuentes escalares contenidas al
interior de dicha superficie cerrada.
Ejemplo: 24
Calcular la divergencia del campo vecto
rial, dado por: ˆ ˆ
E(x,y) xcosyi sen y j
 
Solución:
 En la expresión de la divergencia en coor
denadas rectangulares, reemplazando las
componentes de E , tenemos:
y
x
E
E
E
x y


  
 
(xcosy) ( sen y)
E
x y
  
  
 
E cosy cosy
  
 E 0
 
Por lo que, E es un campo solenoidal, esto
es, no presenta fuentes ni sumideros.
Ejemplo: 25
Hallar la divergencia del campo vectorial,
dado por:
2
(x/4) 2
y
ˆ ˆ
E(x,y) e i [0,5 ( ) ]j
4

  
y evaluar en el punto P(1; 1).
Solución:
 En la expresión de la divergencia en coor
denadas rectangulares, reemplazando las
componentes de E , tenemos:
y
x
E
E
E
x y


  
 
2
(x /16) 2x 2y
E e ( )
16 16

   
2
x /16
1
E [xe y]
8

   
 1;1
( E) 0,24
  
Como, 1;1
( E)
 es negativo, el campo vec
torial tiene un sumidero en el punto (1; 1).
c) El rotacional
1) Definición
El rotacional o rotor es un operador vecto
rial que actúa sobre campos vectoriales de
finidos en un abierto de 3
que muestra la
tendencia de un campo vectorial a inducir
rotación (giro) al rededor de un punto.
 Aunque el rotacional de un campo alrede
dor de un punto sea distinto de cero, no im
plica que las líneas de campo giren alrede
dor de ese punto y lo encierren.
2) Interpretación
Por ejemplo, el campo de velocidades de
un fluido que circula por una tubería (cono
cido como el perfil de Poiseulli) posee un

30
rotacional no nulo en todas partes, salvo en
el eje central, pese a que la corriente fluye
en línea recta.
 La idea es que si colocamos una rueda de
paletas infinitamente pequeña en el interior
del campo vectorial, esta rueda girará, aun
que el campo tenga siempre la misma direc
ción, debido a la diferente magnitud del
campo a un lado y a otro de la rueda.
3) Representación
 El rotacional de un campo vectorial E , se
denota como x E , donde "" es el ope
rador diferencial vectorial llamado nabla.
 El resultado de la operación rotacional del
campo vectorial E es otro campo vectorial
F, esto es, xE =F.
4) Fuente vectorial y escalar
Al campo vectorial G , resultado de calcu
lar el rotacional sobre un campo vectorial
E en cada punto del espacio, G xE
  , se
conoce como las fuentes de E (siendo las
fuentes escalares la que se obtienen medi
ante la operación de divergencia).
Un campo cuyo rotacional es nulo en todos
los puntos del espacio se denomina irrota
cional o se dice que carece de fuentes vec
toriales.
4) Propiedades
tes de la operación divergencia, son:
 x (E +G )= x E +xG (Distributiva)
 x (cE )=c xE , donde c es una cte.
 Todo campo potencial (expresable como el
gradiente de un potencial escalar) es irrota
cional y viciversa, esto es: E V
  , si y
sólo si xE =0.
 Todo campo central (radial y dependiente
sólo de la distancia al centro de fuerza) es
irrotacional, esto es: ˆ
E f(r)r
 , entonces,
xE =0. En particular, el campo electros
tático de una carga eléctrica puntual "q" es
irrotacional.
 El rotacional de un campo vectorial es
siempre un campo solenoidal, esto es su di
vergencia siempre es nula, (xE )=0
 La expresión general del rotacional del
campo vectorial "E" en cualquier sistema
de coordenadas ortogonales, viene dada
por:
1 1 2 2 3 3
1 2 3
1 1 2 2 3 3
ˆ ˆ ˆ
h e h e h e
xE
q q q
h E h E h E
  
 
  
denadas rectangulares, q1=x, q2=y, q3=z, y
hx=1, hy=1, hz=1, con lo que:
y
z x z
y x
E
E E E
ˆ ˆ
xE ( )x ( )y
y z z x
E E
ˆ
( )z
x y

  
     
   
 

 
donde, E =E (x, y, z) es el campo vectorial
 En la notación de los índices repetidos, con
el símbolo de Levi-Civita, el rotacional del
campo vectorial E , se escribe como:
k m m
( xE) E
  
5) Identidades
Algunas de las identidades más importan
tes de la operación rotacional, son:

x(VxF) [( F) F ]V
[( V) V ]F
     
  

 F
Vx( xF) (V F) (V )F
    

2
x( xF) ( F) F
     
 x( ) 0

   , donde  un campo escalar.
 x( F) xF ( xF)
  
    
6) Aplicaciones
En un tornado los vientos están rotando so
bre el ojo, y un campo vectorial que mues
tra las velocidades del viento tendría un ro
tacional diferente de cero en el ojo y posi
blemente en otras partes (vorticidad).
 En un campo vectorial que describa las ve
locidades lineales de cada parte individual
de un disco que rota, el rotacional tendrá
un valor constante en todas las partes del
disco.
 Si una autopista fuera descrita con un cam
po vectorial, y los carriles tuvieran diver
sos límites de velocidad, el rotacional en
las fronteras entre los carriles sería diferen
te de cero.
 La ley de Faraday de la inducción y la ley
de Ampere, dos de las ecuaciones de Max
weel, se pueden expresar muy simplemen
te usando el rotacional.
 La primera indica que el rotacional de un
campo eléctrico E , es igual, a la tasa de va
riación de la densidad del flujo magnético
B, con signo opuesto debido a la ley de
Lenz, esto es:
B
xE
t

  

 La segunda indica que el rotacional de un
campo magnético B, es igual, a la suma de
la densidad de corrientes J y la derivada
temporal de la densidad de flujo eléctrico,
esto es:
o
o o
1 E
xB J

 

  

Ejemplo: 26
Calcular el rotacional del campo vectorial,
dado por: ˆ ˆ
E(x;y) yi x j
   .
Solución:
 En la expresión del rotacional en coordena
das rectangulares, reemplazando las compo
nentes del campo E , tenemos:
y
z x z
y x
E
E E E
ˆ ˆ
xE ( )x ( )y
y z z x
E E
ˆ
( )z
x y

  
     
   
 

 
0 x ( y) 0
ˆ ˆ
xE ( )x ( )y
y z z x
x ( y)
ˆ
( )z
x y
    
     
   
  

 
 ˆ
xE 2k
 
El rotacional de E es un campo constante
en la dirección del eje-z positivo.
d) El laplaciano
1) Definición
 El laplaciano es un operador diferencial e
líptico de segundo orden, denotado por  o
2
, relacionado con ciertos problemas de
minimización de ciertas magnitudes físicas
sobre un cierto dominio de validez.
 El operador tiene este nombre en reconoci
miento de Pierre-Simon Laplace que estu
dio soluciones de ecuaciones diferenciales
en derivadas parciales en las que aparecía
dicho operador.
2) Fuente

32
El laplaciano de un campo escalar V, es el
resultado de la operación divergencia gra
diente del campo V, es decir esta opera
ción es la fuente del laplaciano:
2
( V) V V
     
3) Interpretación física
El laplaciano de un campo escalar V, mi
de la segunda variación en las coordenadas
espaciales que experimenta el campo V en
un punto del espacio.
4) Aplicaciones
 En física, el laplaciano aparece en múlti
ples contextos como la teoría del potencial,
la propagación de ondas, la conducción de
calor, la distribución de tensiones en un
cuerpo deformable, etc... Pero de todos es
tos casos ocupa un lugar destacado en la e
lectrostática y en la mecánica cuántica.
 En la electrostática, el operador laplaciano
aparece en la ecuación de Laplace y en la e
cuación de Poisson.
 En tanto, en la mecánica cuántica el lapla
ciano de la función de onda de una partícu
la proporciona su energía cinética.
5) Propiedades
Algunas de las propiedades que presenta el
laplaciano, son:
2
(F+G)= 2
F+2
G, linealidad.
2
(FG)=(2
F)G+2(F)(G)+F(2
G)
 La expresión general del laplaciano del
campo escalar "V" en cualquier sistema de
coordenadas ortogonales, viene dada por:
2 2 3
1 2 3 1 1 1
1 3 1 2
2 2 2 3 3 3
h h
1 V
V [ ( )
h h h q h q
h h V h h V
( ) ( )]
q h q q h q
 
  
 
   

   
denadas rectangulares, q1=x, q2=y, q3=z, y
hx=1, hy=1, hz=1, con lo que:
2 2 2
2
2 2 2
V V V
V
x y z
  
   
  
 El laplaciano de un campo escalar V, en un
sistema de coordenadas no necesariamente
ortogonal, viene dado por:
2 ik
k i
1 V
V ( g g )
x x
g
 
 
 
donde, gij
es el tensor contravariante de or
den 2 asociado al tensor métrico, g es la
raíz cuadrada del valor absoluto del deter
minante del tensor métrico.
7) El laplaciano vectorial
 El laplaciano vectorial, es un operador dife
rencial definido sobre un campo vectorial
E , el laplaciano vectorial es similar al la
placiano escalar, a diferencia que se aplica
sobre campos vectoriales dando como re
sultado otro campo vectorial.
 Un ejemplo del uso del laplaciano vecto
rial, son las ecuaciones de Navier-Stokes
para un flujo incompresible newtoniano,
esto es:
2
v
( (v )v) f P ( v)
t
  

      

donde el término con el laplaciano vecto
rial del campo de velocidad (2
v ) repre
senta las tensiones viscosas en el fluido.
 Otro ejemplo muy utilizado en la física es
la ecuación de ondas para el campo eléctri
co E , que puede ser derivada a partir de

las ecuaciones de Maxwell, en particular
en ausencia de cargas y corrientes (fuentes
de campos), se tiene:
2
2
o o 2
E
E E 0
t
 

   

donde, es el operador llamado el D'Alem
bertiano, que se utiliza en la ecuación de
Klein-Gordon.
Ejemplo: 27
En una región R del espacio libre, hay un
potencial, dado por: V(, )=(Vo/d)cos .
Probar que V(, ) satisface la ecuación de
Laplace.
Solución:
 En coordenadas cilíndricas, sustituyendo el
potencial dado en la ecuación de Laplace,
tenemos:
2
V 0
 
2
2
2 2
1 V 1 V
V ( ) 0

    
  
   
  
2 o
2
o
2 2
V
1
V ( ( cos ))
d
V
1
( cos ) 0
d
  
  
 
 
 
  
 



2 o
o
2
V
1
V ( cos )
d
V
1
( sen ) 0
d


 





  




2 o o
V V
V cos cos 0
d d
 
 
   
<<
V satisface la ecuación de Laplace>>
TENSORES
a) Definición de tensor
Un tensor es cierta clase de entidad alge
braica de varios componentes, que genera
liza los conceptos de escalar, vector y ma
triz de una manera que sea independiente
de cualquier sistema de coordenadas elegi
do.
b) Origen y evolución
La palabra "tensor" se utiliza a menudo co
mo abreviatura de campo tensorial, que es
un valor tensorial definido en cada punto
en una variedad.
 El primero en utilizar esta palabra fue Wi
lliam Rowan Hamilton en 1846, empleán
dola para lo que actualmente se conoce co
mo módulo y fue Woldemar Voigt en 1899
quien la empleo en su acepción actual.
 La palabra tensor proviene del latín "ten
sus", participio pasado de tenderé "estirar,
extender". El nombre se extendió porque la
teoría de la elasticidad fue una de las prime
ras aplicaciones físicas donde se usaron ten
sores.
 Gregorio Ricci-Curbastro en 1890 desarro
lló la notación actual con el nombre de
geometría diferencial absoluta, y se popula
rizó con la publicación de Cálculo Diferen
cial Absoluto de Tulio Levi-Civita en 1900
 Con la introducción de la teoría de la relati
vidad general por parte de Albert Einstein
alrededor de 1915 se encontró su aplica
ción más apropiada, la relatividad General
es netamente tensorial.
c) Características
Las cantidades geométricas y físicas pue
den ser clasificadas considerando los gra
dos de libertad inherentes a su descripción.
07

34
 Las cantidades escalares son las que se pue
den representar por un sólo número, por
ejemplo la masa.
 Hay también cantidades tipo vector, como
por ejemplo la fuerzas, que requieren una
lista de números para describir su módulo
y su dirección.
 Finalmente, las cantidades tales como for
mas cuadráticas requieren naturalmente u
na matriz con índices múltiples para su re
presentación. Estas últimas cantidades se
pueden concebir únicamente como tenso
res.
 Realmente, la noción tensorial es absoluta
mente general. Los escalares y los vectores
son casos particulares de tensores.
 La propiedad que distingue un escalar de
un vector, y distingue ambos de una canti
dad tensorial más general es el número de
índices en la matriz de la representación.
Este número se llama rango de un tensor.
 Así, los escalares son los tensores de rango
cero (sin índices), y los vectores son los
tensores de rango uno.
d) Utilización
 No todas las relaciones en la naturaleza
son lineales, pero la mayoría es diferencia
ble y así se pueden aproximar localmente
con sumas de funciones multilaterales, de
modo que, la mayoría de las magnitudes fí
sicas pueden expresarse como tensores.
 Un ejemplo simple es la descripción de u
na fuerza aplicada al movimiento de una
nave en el agua. La fuerza es un vector, y
la nave responderá con una aceleración
que es también un vector. La aceleración
en general no estará en la misma dirección
que la fuerza, debido a la forma particular
del cuerpo de la nave.
 Si embargo resulta que la relación entre la
fuerza y la aceleración es lineal (F=ma).
Tal relación es descrita por tensor del tipo
(1, 1), es decir, que transforma un vector
en otro vector.
 El tensor se puede representar como una
matriz que cuando es multiplicada por un
vector, dé lugar a otro vector. Así, como
los números que representan un vector cam
biarán si uno cambia el conjunto de coorde
nadas, los números en la matriz que repre
senta el tensor también cambiarán cuando
se cambie el conjunto de coordenadas.
 En la ingeniería, as tensiones en el interior
de un sólido rígido o líquido también son
descritas por un tensor. Si selecciona un e
lemento superficial particular en el mate
rial, el material en un lado de la superficie
aplicará una fuerza en el otro lado. En ge
neral esta fuerza no será ortogonal a la su
perficie, sino que dependerá de la orienta
ción de la superficie de una manera lineal.
 Algunos ejemplos muy conocidos de tenso
res en geometría son las formas cuadráti
cas, y el tensor de curvatura.
 Algunos ejemplos de tensores físicos son
el tensor de energía-momento, el tensor de
polarización y el tensor dieléctrico.
e) Teoría de la elasticidad
Se llama elasticidad a la propiedad mecá
nica de ciertos materiales de experimentar
deformaciones reversible cuando se encu
entran sometidos a la acción de fuerzas ex
ternas y de recuperar la forma original (i
nicial), si estas fuerzas externas dejan de
actuar.
f) Deformación
La deformación es el cambio en el tamaño
o forma de un cuerpo (sólido), debido a la
acción de esfuerzos externos producidos
por una ó más fuerzas que actúan sobre el
cuerpo, o la ocurrencia de dilatación térmi
ca.

g) Viscoelasticidad
La viscoelasticidad es un tipo de comporta
miento reológico anelástico que presentan
ciertos materiales que exhiben tanto propie
dades viscosas como propiedades elásticas
cuando se deforman.
h) Grados de libertad
Se llama así, al número de coordenadas in
dependientes (escalares) necesarias para de
terminar simultáneamente la posición de
cada partícula en un sistema dinámico. El
concepto se utiliza en mecánica clásica y
termodinámica.
i) Densidad tensorial
Una densidad tensorial es una generaliza
ción del concepto de campo tensorial ordi
nario. Ciertas magnitudes pueden ser mode
lizadas como campos tensoriales, con leyes
de transformación tensorial convenciona
les. Pero también es útil definir magnitu
des llamadas "densidades tensoriales" con
transformaciones un poco más generales
que las de los tensores ordinarios.
VECTORES COVARIANTES Y
CONTRAVARIANTES
a) Concepto de covarianza y
contravarianza
 Son conceptos empleados frecuentemente
en la áreas de la matemática y la física teó
rica.
 Por regla general se refieren a que ciertos
objetos matemáticos, que pueden represen
tar alguna magnitud física, tiene alguna for
ma de invariancia de forma, es decir, la pro
piedad de permanecer sin cambio bajo un
conjunto dado de transformaciones experi
mentadas.
 En la física, son importantes en el tratami
ento de vectores y otras cantidades, como
los tensores.
 Por ejemplo,las teorías de relatividad espe
cial (covariancia de Lorentz) y relatividad
general (covariancia general) usan vectores
base covariantes bajo cambios de coordena
das.
b) Invariancia
 Invariante es algo que no cambia al apli
carle un conjunto de transformaciones.
 En matemática, un objeto (función, conjun
to, punto, etc...) se dice invariante respec
to o bajo una transformación si permanece
inalterado tras la acción de tal transforma
ción.
 Más formalmente una entidad se conside
ra invariante bajo un conjunto de transfor
maciones si la imagen transformada de la
entidad es indistinguible de la original. La
propiedad de ser invariante se conoce co
mo invarianza o invariante.
 Dos ejemplos de invarianza son:
1) La distancia entre dos puntos en una recta,
no cambia al sumar una misma cantidad a
ambos puntos; es decir es invariante.
2) La simetría también puede ser considerada
una forma de invarianza.
c) Observador
En física, un observador es cualquier ente
capaz de realizar mediciones de magnitu
des físicas de un sistema físico para obte
ner información sobre el estado físico de
dicho sistema.
d) Transformación
 En matemática, se dice que una magnitud
es función de otra si el valor de la primera
depende del valor de la segunda.
 Por ejemplo el área "A" de un círculo es
función de su radio "R". A la primera mag
nitud el área "A" se le llama variable de
08

36
pendiente, y la segunda magnitud el radio
"R es la variable independiente.
e) Teoría especial de la relatividad
 Es una teoría de la física, que resulta de la
observación de que la velocidad de la luz
en el vació es igual en todos los sistemas
de referencia inerciales, y de obtener todas
las consecuencias del principio de relativi
dad de Galileo, según el cual, cualquier ex
perimento realizado, en un sistema de refe
rencia inercial, se desarrollará de manera
idéntica en cualquier otro sistema inercial.
 La teoría es "especial", ya que sólo se apli
ca en el caso especial/particular donde la
curvatura del espacio-tiempo producida
por acción de la gravedad es irrelevante.
 La teoría especial de la relatividad estable
ció nuevas ecuaciones que facilitan pasar
de un sistema de referencia inercial a otro
sistema de referencia inercial.
 Las ecuaciones correspondientes condu
cen a fenómenos que chocan con el senti
do común, como son la contracción espa
cial, la dilatación del tiempo, un límite uni
versal a la velocidad, la equivalencia entre
la masa y la energía la relatividad de la si
multaneidad.
 La relatividad especial tuvo también un im
pacto en la filosofía, eliminando toda posi
bilidad de existencia de un tiempo y de un
espacio absoluto en el conjunto del univer
so.
f) Teoría de la relatividad general
 Es una teoría del campo gravitatorio y de
los sistemas de referencia generales.
 El nombre de la teoría se debe a que gene
raliza la llamada teoría especial de la relati
vidad.
 Los principio fundamentales introducidos
en esta generalización son el principio de
equivalencia, que describe la aceleración y
la gravedad como aspectos distintos de la
misma realidad, la noción de la curvatura
del espacio-tiempo y el principio de cova
riancia generalizado.
g) Vectores covariantes
Si "N" cantidades físicas A1, A2,..,AN da
das en el sistema de coordenadas (x1
,
x2
,…,xN
) están relacionadas con otras "N"
cantidades 1
A , 2
A ,…, N
A dadas en el sis
tema de coordenadas ( 1
x , 2
x ,…, N
x ) me
diante las relaciones de transformación,
q
N
p q
p
q 1
x
A A
x




 (p=1,…,N)
A las cantidades p
A se les llama compo
nentes de un vector covariante o tensor co
variante de primer orden.
h) Vectores contravariantes
Si "N" cantidades físicas A1
, A2
,...,AN
da
das en el sistema de coordenadas (x1
,
x2
,…,xN
) están relacionadas con otras "N"
cantidades 1
A , 2
A ,…, N
A dadas en el sis
tema de coordenadas ( 1
x , 2
x ,…, N
x ) me
diante las relaciones de transformación,
p
N
p q
q
q 1
x
A A
x




 (p=1,…,N)
A las cantidades p
A se les llama compo
nentes de un vector covariante o tensor
contravariante de primer orden.

Vectores 37
En el espacio tridimensional, las coordenadas
cartesianas rectangulares de un punto son:
x=1 u, y=2 u, z=3 u. Hallar las coordenadas
cilíndricas de este punto.
Sol: 07
 Las coordenadas cilíndricas (; ; z) en
términos de las coordenadas cartesianas (x;
y; z), vienen dadas por:
2 2 1/2 2 2 1/2
(x y ) (1 2 ) 2,24 u
     
1 1 o
y 2
tg ( ) tg ( ) 63,43
x 1
  
  
z 3 u

( ; ; z) (2,24 u; 63,43;3u)
  
Las coordenadas cilíndricas de un punto P
son: =2 u, =30o
, z=3 u. Hallar los vecto
res unitarios ̂ , y ̂ .
Sol: 09
 Los vectores unitarios ̂ , ̂ y k̂ que
definen el sistema de coordenadas cilíndri
cas, vienen dadas por:
o o
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ cos i sen j cos30 i sen30 j
  
   
3 1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ i j ( 3i j)
2 2 2
    
ˆ ˆ
ˆ cos( )i sen( ) j
2 2
 
  
   
o o
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ sen i cos j sen30 i cos30 j
  
     
1 3 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ i j (i 3 j)
2 2 2
      
Ahora, verifiquemos que estos vectores uni
tarios son perpendiculares entre si, así:
1 1
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ( 3i j) ( i 3 j)
2 2
     
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ( 3i i 3i j j i 3 j j)
4
      
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ( 3i i 3i j j i 3 j j)
4
      
Como, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
i i j j 1, i j j i 0
    , entonces:
1
ˆ ˆ ( 3 3) 0
4
     
Luego, los vectores unitarios ̂ y ̂ son per
ANALISIS
VECTORIAL
0
z
x
y


P
y
x
z
r
x
y
i
j
0







 P
P- 1
P-007
P-009

38
pendiculares entre si:
Un explorador se mueve 75,0 m al Norte,
250 m al Este, 125 m a un ángulo de 30,0o
al
noreste y 150 m al Sur.
I) Hallar la magnitud de su desplazamiento
resultante.
a) 312,55 m b) 314,55 m c) 316,55 m
d) 318,55 m e) 320,55 m
II) Hallar la dirección del vector desplaza
miento resultante.
a) 6,07o
b) 6,27o
c) 6,47o
d) 6,67o
e) 6,87o
Sol: 27
 Representemos los cuatro desplazami
entos realizados por el explorador.
En la Figura, expresando cada uno de los des
plazamientos en sus componentes en x e y,
calculemos el vector desplazamiento total R ,
y su magnitud, así:
1 2 3 4
R d d d d
   
o
o
ˆ ˆ ˆ
R 75 j 250i 125sen30 i
ˆ ˆ
125cos30 j 150 j
   

ˆ ˆ
R 312,50i 33,25 j(m)
 
2 2 1/2
R [(312,50) (33,25) ]
 
R 312,55 m

A su vez, la dirección del vector R , respec
to de la horizontal, viene dada por:
1 o
33,25
tg ( ) 6,07
312,50
 
 
Las componentes x, y, z del vector B son:
4,00 u, 6,00 u y 3,00 u, respectivamente.
I) Hallar la magnitud del vector B
a) 7,51 u b) 7,61 u c) 7,71 u
d) 7,81 u e) 7,91 u
II) Hallar los ángulos que forma B con los e
jes x, y, z.
a) 55,19o
; 36,80o
, 65,41o
b) 58,19o
; 38,80o
, 69,41o
c) 56,19o
; 35,80o
, 66,41o
d) 57,19o
; 37,80o
, 68,41o
e) 59,19o
; 39,80o
, 67,41o
Sol: 36
I) La expresión del vector B en notación
de vectores unitarios î , ˆ
j, k̂ es:
ˆ ˆ ˆ
B (4i 6 j 3k)(u)
  
2 2 2 1/2
B [(4) (6) (3) ]
  
B 7,81u

II) Sean ,  y  los ángulos que forma el
vector B con los ejes x, y y z, entonces, de la
definición, A B ABcos
 tenemos:
ˆ ˆ ˆ ˆ
(4i 6 j 3k) i 7,81cos
  
1 o
4
cos ( ) 59,19
7,81
 
 
75m
250m
125m
150m
30o
R
E
O
S
N
P-027
A
A
P-036
D

Vectores 39
ˆ ˆ ˆ ˆ
(4i 6 j 3k) j 7,81cos
  
1 o
6
cos ( ) 39,80
7,81
 
 
ˆ ˆ ˆ ˆ
(4i 6 j 3k) k 7,81cos
  
1 o
3
cos ( ) 67,41
7,81
 
 
I) Usando vectores unitarios a lo largo de
tres aristas de un cubo, expresé las diagona
les (las líneas de una esquina a otra a través
del centro del cubo) de un cubo en términos
de sus aristas, las cuales tienen longitud "a".
II) Determine los ángulos formados por las
diagonales con las aristas adyacentes.
III) Determine la longitud de las diagonales.
Sol: 80
I) Representemos el cubo de arista "a" y
los ejes de coordenadas pasando por las aris
tas.
En la Figura, las ocho diagonales principales
inscritas en el cubo, en términos de los vecto
res unitarios î , ˆ
j, k̂ , son:
GA AG (0,0,a) (a,a,0)
   
ˆ ˆ ˆ
GA AG ( i j k)a
     
FD DF (a,0,a) (0,a,0)
   
ˆ ˆ ˆ
FD DF (i j k)a
    
EC CE (a,a,a) (0,0,0)
   
ˆ ˆ ˆ
EC CE (i j k)a
    
HB BH (0,a,a) (a,0,0)
   
ˆ ˆ ˆ
HB BH ( i j k)a
     
II) Sean, ,  y  los ángulos que forma la
diagonal GA con los ejes x, y y z, así:
ˆ ˆ ˆ ˆ
( i j k)a ( i) 3acos
    
1 o
1
cos ( ) 54,74
3
 
 
ˆ ˆ ˆ ˆ
( i j k)a ( j) 3acos
    
1 o
1
cos ( ) 54,74
3
 
 
ˆ ˆ ˆ ˆ
( i j k)a (k) 3acos
   
1 o
1
cos ( ) 54,74
3
 
 
Así, los ángulos que forman estas diagona
les con los ejes x, y y z son iguales entre si,
esto es:
o
54,74
  
  
III) La longitud de las diagonales princi
pales del cubo de arista "a" es:
2 2 2 1/2
D [a a a ] 3a
   
A(0,0,a) B(0,a,a)
C(a,a,a)
D(a,0,a)
E(0,0,0) F(0,a,0)
G(a,a,0)
H(a,0,0)
x
z
y
i
j
k
P-080
E

40
Hallar el ángulo agudo entre las diagonales
de un cuadrilátero de vértices (0, 0), (3, 2),
(4, 6) y (1, 3).
a) 82o
41' 30" b) 82o
45' 30" c) 82o
49' 30"
d) 82o
53' 30" e) 82o
57' 30"
Sol: 114
 Representemos el ángulo "" que for
man las diagonales del cuadrilátero.
En la Figura, los vectores correspondientes a
las diagonales del cuadrilátero, y sus magnitu
des, son:
ˆ ˆ
CA (3, 2) (1, 3) 2i j
   
2 2 1/2
CA [(2) ( 1) ] 5
   
ˆ ˆ
OB (4, 6) (0, 0) 4i 6 j
   
2 2 1/2
OB [(4) (6) ] 55
  
Con esto, de la definición del producto esca
lar de dos vectores, tenemos:
CA OB CA OB cos

ˆ ˆ ˆ ˆ
(2i j) (4i 6 j) ( 5)( 52)cos
  
1 2
cos [ ]
( 5)( 52)
 

 o
82 52'30"
 
Hallar el área del triángulo de vértices A=(1,
1, 3), B=(2,-1, 5) y C=(-3, 3, 1).
a) 4,04 u2
b) 4,24 u2
c) 4,44 u2
d) 4,64 u2
e) 4,84 u2
Sol: 135
 Representemos el triángulo de vértices
A=(1, 1, 3), B=(2,-1, 5) y C=(-3, 3, 1).
En la Figura, calculemos los vectores que
van de los vértices A a B y de A a C, así:
AB (2, 1,5) (1,1,3) (1, 2,2)u
    
AC ( 3,3,1) (1,1,3) ( 4,2, 2)u
     
Ahora, según teoría, el área del triángulo es
la mitad del área del paralelogramo, esto es:
1
S ABxAC
2

ˆ ˆ ˆ
i j k
1
S 1 2 2
2
4 2 2
 
 
y
0
C(1,3)
B(4,6)
A(3,2)
x

A
B
C
0 y
z
x
S
P-114
P-135
C

Vectores 41
1 ˆ
S [( 2)( 2) (2)(2)]i
2
    
ˆ
[(2)( 4) (1)( 2)]j
ˆ
[(1)(2) ( 2)( 4)] k
   
  
1 ˆ ˆ
S 6 j 6 k
2
  
2 2 1/2
1
S ( )[( 6) ( 6) ]
2
   
 2
S 4,24u

Dado un vector ˆ ˆ ˆ
a i 2 j 2k
    en coorde
nadas cartesianas.
I) Hallar la magnitud del vector a .
a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0
d) 2,5 e) 3,0
II) Hallar el vector unitario a
û en la direc
ción del vector a .
a) -(1/3)î +(2/3)ˆ
j-(2/3)k̂
b) -(1/3)î +(2/3)ˆ
j+(2/3)k̂
c) -(1/3)î -(2/3)ˆ
j-(2/3)k̂
d) +(1/3)î +(2/3)ˆ
j-(2/3)k̂
e) +(1/3)î +(2/3)ˆ
j-(2/3)k̂
III) Hallar el ángulo que forma el vector a
con el eje z positivo.
a) 131,8o
b) 133,8o
c) 135,8o
d) 137,8o
e) 139,8o
Sol: 146
I) La magnitud del vector ˆ ˆ
a i 2 j
   
ˆ
2k , viene dada por:
2 2 2 1/2
a [( 1) (2) (2) ]
   
1/2
a [9] 3
 
II) El vector unitario a
û en la dirección del
vector a , viene dada por:
a
ˆ ˆ ˆ
a i 2 j 2k
û
a 3
  
 
a
1 2 2
ˆ ˆ ˆ
û i j k
3 3 3
   
III) El ángulo "" que forma el vector a con
ele eje z positivo, viene dada por:
ˆ
a k a cos

ˆ ˆ ˆ ˆ
( i 2 j 2k) k (3)cos
   
1 o
2
cos ( ) 131,81
3
  
 
I) Escriba la expresión del vector que va
desde el punto P1(1, 3, 2) hasta el punto
P2(3,-2, 4) en coordenadas cartesianas.
a) ˆ ˆ ˆ
2i 5j 2k
  b) ˆ ˆ ˆ
2i 5j 2k
 
c) ˆ ˆ ˆ
2i 5j 2k
   d) ˆ ˆ ˆ
2i 5j 2k
 
e) ˆ ˆ ˆ
2i 5j 2k
 
II) Hallar la longitud del segmento de línea
1 2
P P .
a) 5,15 b) 5,35 c) 5,55
d) 5,75 e) 5,95
III) Hallar la distancia perpendicular desde
el origen hasta esta línea.
a) 3,00 b) 3,20 c) 3,40
d) 3,60 e) 3,80
B
P-146
P-148
E
A
A

42
Sol: 148
I) En el sistema de coordenadas cartesia
nas, representemos los puntos P1(1, 3, 2) y
P2(3,-2, 4), y tracemos la línea de P1 a P2.
En la Figura el vector que va de P1 hacia P2
es:
1 2 2 1
P P 0P 0P
 
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
P P (3i 2 j 4k) (i 3j 2k)
     
1 2
ˆ ˆ ˆ
P P 2i 5 j 2k
  
II) Con esto, la longitud de la línea 1 2
P P
es:
1 2 1 2
P P P P

2 2 2 1/2
1 2
P P [(2) ( 5) (2) ]
   
1 2
P P 33 5,75
 
III) La distancia perpendicular (más corta)
desde el origen hasta la línea 1 2
P P es 1
0N ,
que es igual a:
1 2
2 2 PP
0P sen OP xa
 
2 1 2
1 2
0P xP P
0N
P P

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
(3i 2 j 4k)x(2i 5 j 2k)
0N
33
   

1/2
ˆ ˆ ˆ
16i 2 j 11k 381
0N ( )
33
33
 
 
0N 3,40

 Nota
En este problema se han omitido las u
nidades por razones de simplicidad.
Dado un campo vectorial ˆ
ˆ
E rr zk
  (V/m)
en coordenadas cilíndricas. Hallar el flujo de
salida total a través de un cilindro circular de
radio R=2 m y h=4 m centrado en el origen.
El eje del cilindro es el eje z.
a) 45 b) 46 c) 47
d) 48 e) 49
Sol: 160
 En la superficie del cilindro tomemos
una franja de área de superficie dS=hrd.
En la Figura, calculemos el flujo del campo
E , que pasa hacia fuera a través de la superfi
cie lateral del cilindro, así:
1 S
E dS
  
x
z
x
0
P1(1,3,2)
P2(3,-2,4)

N
r
r


0 y
z
x
h
rd


d
P-160
C
A
D

Vectores 43
2
1 0
ˆ
ˆ ˆ
(rr zk) (hrd r)

 
 

2
2 2
1 0
hr d 2 hr

  
 

2
1 (2 )(4)(2) 32 V m
  
 
De otro lado, los flujos de campo, que pasan
a través de las bases superior e inferior del ci
lindro, son:
2 2
2 r z ( )(2) (4) 16 V m
   
  
2 2
3 r z ( )(2) (0) 0
  
  
Luego, el flujo total que pasa a través de la
superficie completa del cilindro es:
1 2 3
   
  
32 16 0
  
  
 48 V m
 

Hallar la circulación del campo ˆ
F xyi
 -
ˆ
2x jen sentido antihorario, a lo largo de un
cuarto de circunferencia de radio R=3, ins
crita en el primer cuadrante, y centro en 0.
a) -21,1 b) +21,1 c) -23,1
d) +23,1 e) -25,1
Sol: 162
 La circulación del campo F a lo largo
del cuadrante de circunferencia 0AB0, en
el sentido antihorario, viene dado por:
F 0AB0
C F d
 
A B 0
F
0 A B
C F d F d F d
  
  
A lo largo de la primera trayectoria 0A, y=0,
ˆ
F 2x j
  , ˆ
d dxi
 , F d 0
 , con lo que:
A
1
0
C F d 0
 

A lo largo de la segunda trayectoria AB, x2
+
y2
=9 (0x, y3), ˆ ˆ
d dxi dy j
  , yF d =
xydx 2xdy
 , con lo que:
B
2
A
C F d
 
0 3
2 1/2 2 1/2
2 3 0
C x(9 x ) dx 2 (9 y ) dy
   
 
0
2 3/2
2
3
3
2 1/2 1
0
1
C (9 x )
3
y
[y(9 y ) 9sen ]
3

   
 
2
C 9(1 )
2

  
A lo largo de la tercera trayectoria B0, x=0,
F 0
 , con lo que:
0
3
B
C F d 0
 

De modo que, la circulación del campo F a
0 x
y
R=3

A
B
C1
C2
C3
j
i


D
P-162

44
lo largo del cuadrante de circunferencia es:
F
C 9(1 )
2

  
 F
C 23,14
 
Dado un campo ˆ ˆ
F xyi 2x j
  en una región
3
, verifique el teorema de Stokes sobre un
cuadrante de círculo de radio R=3, situado
en el primer cuadrante, con centro en 0.
Sol: 165
 Calculemos el rotacional xF
 , con
ˆ ˆ
F xyi 2x j
  , así:
y
z x z
F
F F F
ˆ ˆ
xF ( )i ( ) j
y z z x

  
     
   
y x
F F ˆ
( )k
x y
 
 
 
Como, Fx=xy, Fy=-2x, y Fz=0, entonces, en la
expresión anterior, tenemos:
ˆ
xF [ (0) ( 2x)]i
y z
ˆ
[ (xy) (0] j
z x
ˆ
[ ( 2x) (xy)]k
x y
 
    
 
 
 
 
 
 
 
ˆ
xF (2 x)k
   
Ahora, tomando dS=dxdyk̂ , integremos
 xF, sobre la superficie del cuadrante de
circulo de radio 3, así:
2
9 y
3
S 0 0
ˆ ˆ
( xF) dS ( (x 2)k) (dxdyk)

   
  
2
9 y
3
S 0 0
( xF) dS [ (x 2)dx]dy

   
  
3
2 2
S 0
1
( xF) dS [2 9 y (9 y )]dy
2
    
 
2
S
3
3
1
0
( xF) dS [y 9 y
y 9 y
9sen y ]
3 2 6

    
 

S
( xF) dS 9(1 )
2

   
 (1)
De otro lado, en el prob.(162) se encontró
que la circulación de F, a lo largo del contor
no del cuadrante de circunferencia de radio 3
es:
C
F d 9(1 )
2

  
 (2)
Luego, de las ecs.(1) y (2), queda demostra
do el teorema de Stokes, esto es:
S C
( xF) dS F d
 
 
El flujo de xF
 a través de la superfi
cie S, es igual, a la circulación de F a lo
largo del contorno C que encierra S.
Para una función escalar f y una función vec
torial A , pruebe que la identidad A (fA)=
f A A f
   en coordenadas cartesianas.
Sol: 186
 En coordenadas cartesianas, desarrolle
mos el término (fA)
 , así:
C
P-165
P-186

Vectores 45
x y z
ˆ ˆ ˆ
(fA) ( i j k)
x y z
ˆ ˆ ˆ
(fA i fA j fA k)
  
   
  
 
y
x z
(fA )
(fA ) (fA )
(fA) (
x y z

 
   
  
y
x
x y
z
z
A
A f f
(fA) f A f A
x x y y
A f
f A
z z

  
     
   
 

 
y
x z
x y z
A
A A
(fA) f( )
x y z
f f f
A A A
x y z

 
    
  
  
 
  
x y z
x y z
ˆ ˆ ˆ
(fA) f( i j k)
x y z
f f f
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
(A i A j A k) ( i j k)
x y z
ˆ ˆ ˆ
(A i A j A k)
  
   
  
  
    
  
 
 (fA) f( A) ( f) A
    
Determine las componentes del vector de po
sición BD
r , desde el punto B hasta el punto
D. Use este resultado para determinar la dis
tancia de B a D.
Sol: 583
 Tenemos las siguientes coordenadas
A(0, 0, 0) m, B(5, 0, 3) m, C(6, 0, 6) m,
D(4, 3, 1) m, con esto, calculemos BD
r y rBD,
así:
BD
ˆ ˆ ˆ
r (4 5)i (3 0) j (1 3)k
     
BD
ˆ ˆ ˆ
r ( i 3j 2k) m
   
2 2 2 1/2
BD
r [( 1) (3) ( 2) ]
    
BD
r 3,74 m

Un astronauta en el trasbordador espacial usa
un radar para determinar las magnitudes y
los cosenos directores de los vectores de po
sición de dos satélites A y B. El vector A
r
desde el trasbordador al satélite A tiene mag
nitud 2 km y cosenos directores cosx=
0,768, cosy= 0,384, cosz=0,512. El vector
B
r del trasbordador al satélite B tiene magni
tud 4 km y cosenos directores cosx=0,743,
cosy=0,557, cosz=-0,371. Hallar la distan
cia entre los satélites.
Sol: 594
 Los vectores de posición de los puntos
A y B, vienen dados por:
y
x
z
D(4,3,1)m
C(6,0,0)m
B(5,0,3)m
P-583
rA
rB
B
A
y
z
x
P-594

46
A
ˆ ˆ ˆ
r 2(0,768i 0,384 j 0,512k)
  
A
ˆ ˆ ˆ
r (1,536i 0,768 j 1,024k) km
  
B
ˆ ˆ ˆ
r 4(0,743i 0,557 j 0,371k)
  
B
ˆ ˆ ˆ
r (2,972i 2,228 j 1,484k) km
  
A B
ˆ
r r (1,536 2,927)i (0,768
ˆ ˆ
2,228) j (1,024 1,484)k
    
 
A B
ˆ ˆ ˆ
r r ( 1,391i 1,460 j 2,508k) km
    
De modo que, la distancia entre los puntos A
y B, distancia entre los satélites, es:
2 2 1/2
A B
r r [( 1,391) ( 1,46) (2,508)]
     
A B
r r 3,24 km
 
El cable AB ejerce una fuerza T de 32 N so
bre el collar en A. Exprese Ten términos de
sus componentes.
Sol: 612
 Las coordenadas del punto B son B(0,
70, 40) cm, con lo que, el vector de posición
de B es:
OB
ˆ ˆ ˆ
r 0i 7 j 4k
  
Teniendo en cuenta el problema anterior,
calcu lemos el vector de posición de A hacia
B, y su magnitud, así:
AB OB OA
r r r
 
AB
ˆ ˆ ˆ
r (0i 70 j 40k)
ˆ ˆ ˆ
(26,7i 23,3 j 26,7k)
   
 
AB
ˆ ˆ ˆ
r 26,7i 46,7 j 13,3k
   
2 2 2 1/2
AB
r [( 26,7) (46,7) (13,3) ]
   
AB
r 55,4 cm

Con esto, calculemos el vector unitario dirigi
do de B hacia A:
AB
AB
AB
r
û
r

AB
ˆ ˆ ˆ
26,7i 46,7 j 13,3k
û
55,4
  

AB
ˆ ˆ ˆ
û 0,4819i 0,8429 j 0,2401k
   
Finalmente, utilizando este vector unitario,
expresemos la fuerza T en sus componentes:
AB
ˆ
T Tu

ˆ ˆ ˆ
T (32)( 0,4819i 0,8429 j 0,2401k)
   
ˆ ˆ ˆ
T ( 15,4i 27,0 j 7,7k) N
   
40cm
60cm
70cm
40cm
40cm
x
z
y
T
A
B
P-612

PRIMER TRABAJO "ANALISIS VECTORIAL"
GRUPO-05 FISICA-III- FIRC 2020-II
Ingeniería Robótica y Cibernética
Resolver según formato establecido, los veinte (20) problemas escogidos aleatoriamente de
los seis cientos nueve (609) problemas contenidos en el Capitulo 1 "Análisis Vectorial" del
Libro de Trabajo Virtual en dos Tomos de título Física-III, cuyo enlace es:
https://es.scribd.com/document/560728089/Fisica-III-Curso-Completo-Con-Problemas-Regulo-
Sabrera-Alvarado
Nombres Apellidos P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10
1. Roberto Cahuana Quinto 204, 387, 83, 443, 516, 52, 232, 155, 22, 508, 213,
570, 245, 472, 589, 96, 484, 66, 449, 253
2. Pedro Salinas Bueno 262, 65, 290, 212, 268, 75, 103, 316, 553, 488,
526, 250, 271, 487, 512, 303, 11, 287, 241, 364
3. Bellido Soria Ricardo 158, 370, 521, 128, 375, 81, 238, 295, 121, 188,
303, 183, 83, 55, 386, 199, 559, 364, 117, 321
4. Peralta Damian Leyla 91, 472, 581, 110, 334, 492, 150, 279, 550, 566,
229, 299, 563, 511, 12, 164, 526, 32, 333, 2
5. Lopez Sanchez Javier 358, 231, 25, 262, 350, 148, 362, 12, 130, 33, 283,
125, 381, 14, 187, 30, 126, 77, 190, 456
6. Castillo Machuca Cintya 542, 302, 437, 531, 333, 555, 367, 285, 579, 308,
126, 141, 317, 539, 482, 219, 493, 351, 78, 55
7. Romero Aliaga Pedro 148, 448, 221, 278, 122, 426, 338, 293, 493, 470,
241, 194, 408, 535, 460, 589, 183, 374, 538, 428
8. Palacios Cordero Jaime 273, 450, 358, 210, 47, 323, 261, 44, 567, 480,
447, 478, 180, 302, 396, 458, 354, 547, 60, 275
9. Sotelo Rengifo Samuel 138, 376, 116, 571, 373, 503, 363, 209, 183, 81,
263, 200, 583, 145, 528, 371, 179, 15, 441, 542
10. Flores Naveros Geraldine 166, 34, 385, 447, 515, 164, 30, 92, 597, 302, 81,
523, 341, 254, 15, 510, 247, 51, 407, 192
11. Cárdenas Chirinos Ricardo 526, 469, 577, 88, 33, 300, 205, 112, 95, 573, 172,
336, 598, 90, 583, 325, 56, 463, 364, 569

12. Mora Castillo Gregori 308, 202, 83, 57, 241, 82, 71, 606, 382, 15, 586,
51, 412, 597, 246, 391, 30, 275, 558, 104
13. De la Cruz Romero Jose 237, 446, 184, 456, 336, 542, 423, 327, 172, 218,
229, 492, 295, 539, 145, 210, 345, 562, 553, 354
14. Lizarbe Palacios Andrea 220, 3, 281, 432, 223, 335, 308, 532, 585, 167,
450, 289, 150, 584, 133, 171, 108, 600, 473, 434
15. Gongora Galarza Franco 351, 228, 90, 328, 133, 437, 353, 197, 525, 542,
401, 520, 43, 450, 603, 530, 460, 366, 245, 168
Pedro Salinas Bueno Régulo Angel Sabrera Alvarado
Delegado Profesor
Fecha: 19/09/2020 Hora: 12 h: 56 m: 46 s
NIKOLA TESLA
EL GENIO DE GENIOS
<<
La vida es y seguirá siendo una
ecuación sin solución, pero contiene
algunos factores conocidos>>

CAP-3
CAMPO ELECTRICO
C-6 Campo eléctrico, propiedades
C-6 Principio de superposición para campos
C-6 Aplicaciones de los campos eléctricos
C-6 Cálculo de campos eléctricos
C-7 Campo eléctrico de cuerpos cargados
C-7 Campo eléctrico y carga de un conductor
C-7 Tensor Maxwelliano de tensión
C-8 Flujo de líneas de campo eléctrico
C-8 Ley de Gauss, aplicaciones
P-3 Práctica de campos eléctricos
Tercer trabajo modalidad 1

Robótica y Cibernética 67
CAMPO ELECTRICO
a)Concepto
 Toda partícula o cuerpo cargado, crea en
el espacio que lo circunda, un campo eléc
trico de alcance ilimitado, que decae rápi
damente, esto es, en el infinito este campo
se considera nulo.
b)Evidencia
 Decimos que en cualquier región del espa
cio, existe un campo eléctrico, cuando, en
cualquier punto de está región ubicamos
una carga eléctrica o
"q "(carga de prueba)
y esta experimenta una fuerza de origen e
léctrico.
c)Clasificación de campos
1)Campo electrostático
Es aquel campo generado o producido por
partículas cargadas en reposo, respecto de
un sistema de referencia inercial (S.I.R),
son un caso particular de los campos elec
tromagnéticos.
2)Campo electrodinámico
Son los campos eléctricos generados por
partículas o cuerpo cargados en movimien
to uniforme o acelerado.
3)Campo uniforme
Un campo electrostático se dice que es u
niforme, si su intensidad E permanece
constante en todos los puntos donde exis
te el campo electrostático.
En la Figura, en la región R se muestra un
campo eléctrico uniforme.
4)Campo estacionario
Se llama así al campo eléctrico que es in
dependiente del tiempo, por ejemplo, la in
tensidad de un campo electrostático es in
dependiente del tiempo.
5) Campo eléctrico alterno
Se llama así a los campos eléctricos que
cambian de dirección cada cierto interva
lo de tiempo, llamado periodo.
6) Campo microscópico
Se llaman así a los campos que se origi
nan al interior de los cristales o sustancias
debidas a las interacciones de sus compo
nentes (moléculas, átomos, electrones, etc
CAMPO
ELECTRIC0

+
F=qE
q
E
CV- 6
01

Campo Eléctrico
68
d)Intensidad de campo eléctrico
Es una cantidad física vectorial que se uti
liza para caracterizar la fuerza que ejerce
un campo eléctrico sobre una partícula de
prueba de carga eléctrica o
"q " muy peque
ña, en un punto del espacio, donde existe
dicho campo eléctrico, viene dado por:
o
F
E
q

 Si o
"q "es positiva, F y E están en la mis
ma dirección.
 Si o
"q " es negativa, F y E están en direc
ciones opuestas.
 La partícula de prueba de carga o
"q ", de
be ser muy pequeña, para que no altere o
distorsione la intensidad del campo eléctri
co (externo), en el punto donde se encuen
tra dicha partícula.
Unidad: E se mide en N/C.
e)Valores de intensidad de campo
eléctrico
Algunas intensidades de campo eléctrico
generados por diversas fuentes de campo
eléctrico, son:
- Cables domésticos 10-2
N/C
- Ondas de radio 10-1
N/C
- Tubo de fluorescente 10 N/C
- Atmósfera 102
N/C
- Láser pequeño 102
N/C
- Globo frotado en cabello 103
N/C
- Luz solar 103
N/C
- Cerca radar 7103
N/C
- Nubes de tormenta 104
N/C
- Fotocopiadora 105
N/C
- Tubo de rayos-X 106
N/C
- Disrupción del aire 2106
N/C
- Chispa en el aire >3106
N/C
- Atomo de hidrógeno 61011
N/C
- Superficie de un pulsar 1014
N/C
* Pulsar
Es una estrella de neutrones que emite ra
diación periódica. Los púlsares poseen un
intenso campo magnético que induce la e
misión de estos pulsos de radiación elec
tromagnética a intervalos regulares relacio
nados con el periodo de rotación del ob
jeto.
* Estrella de neutrones
Es un remanente estelar dejado por una es
trella supergigante después de agotar el
combustible nuclear en su núcleo y explo
tar como una supernova tipo II, tipo Ib o
E E
q0 q0
F F

tipo Ic. Como su nombre lo indica, estas
estrellas están compuestas principalmente
de neutrones, más otro tipo de partículas
tanto en su corteza sólida de hierro, como
en su interior, que puede contener tanto
protones y electrones, como piones y kao
nes.
* Supernova
Una supernova que significa <<
nueva>>
es
una explosión estelar que puede manifes
tarse de forma muy notable, incluso a sim
ple vista, en lugares de la esfera celeste
donde antes no se había detectado nada en
particular.
* Esfera celeste
Es una esfera ideal, sin radio definido,
concéntrica con el globo terrestre, en la
cual aparentemente se mueven los astros.
Permite representar las direcciones en que
se hallan los objetos celestes; así es como
el ángulo formado por dos direcciones se
rá representado por un arco de círculo ma
yor sobre esa esfera.
* Láser
Láser significa amplificación de luz por e
misión estimulada de radiación, el cual, se
genera mediante un dispositivo que utiliza
un efecto de la mecánica cuántica.
f) Líneas fuerza del campo eléctrico
1)Definición
Son líneas imaginarias, que se utilizan pa
ra representar gráficamente un campo e
léctrico, estas líneas llenan por completo
la región R del espacio donde existe el
campo eléctrico.
2)Características
Las características que presentan las lí
neas de fuerza del campo eléctrico, son:
 La intensidad del campo electrostático, en
un punto P cualesquiera del espacio, coin
cide con la tangente a la línea de fuerza
que pasa por el mismo punto P.
 Las líneas de fuerza de un campo electros
tatico, creado por una carga positiva, di
vergen de el, y las líneas de fuerza de un
campo electrostático creado por una carga
negativa convergen a el.
E
TANGENTE
P
LINEA
FUERZA
+q1 -q2

Campo Eléctrico
70
 Las líneas de fuerza del campo electrostá
tico, creados por dos cargas una positiva
1
"q " y otra negativa 2
"q ", salen de la car
ga positiva (fuente) e ingresan en la carga
negativa (sumidero).
En el caso que las cargas sean diferentes
en valor, por ejemplo q1>q2, el número de
líneas que salen de q2 será mayor al núme
ro de líneas que ingresan a q2, lo cual im
plica, que habrá líneas de fuerza que salen
de la carga q1 y se dirigen al infinito, co
mo se muestra en la Figura.
 El número de líneas de fuerza del campo
electrostático que salen o ingresan de una
carga eléctrica, es proporcional al valor
de dicha carga eléctrica, esto es, se cum
ple que:
1 1
2 2
N q
N q

siendo N1, N2 el número de líneas que sa
len de las cargas puntuales q1, q2, respecti
vamente.
 La densidad de líneas de fuerza en una re
gión, es proporcional a la magnitud del
campo eléctrico en dicha región.
 Las líneas de fuerza del campo eléctrico
salen o ingresan perpendicularmente de la
superficie de un conductor cargado, sien
do su magnitud en la superficie constante
e igual a /o.
 A grandes distancias de un sistema de car
gas puntuales, las líneas de campo están i
gualmente espaciadas y son radiales, co
mo si fuesen generados por una sola carga
puntual de valor igual a la carga neta del
sistema.
h) Principio de superposición
La intensidad del campo eléctrico resul
tante de un sistema de N cargas q1, q2,
..., qN, en un punto del espacio donde no
se encuentran ninguna de estas cargas,
es igual, a la suma vectorial de los cam
pos eléctricos creados por cada una de
las cargas, esto es:
q1 q2
E

E1
d2
dN
d1
d3
E2
E3
EN
q1
q2
q3
qN
P
q1 q2
q1 q2

1 2 N
E E E ... E
   
N
i
i 1
E E

 
Cada carga eléctrica genera su campo e
léctrico, independientemente de la pre
sencia del resto de cargas eléctricas, es
decir, no es afectada por los campos eléc
tricos generados por las otras cargas.
i) Aplicaciones
Los campos eléctricos tienen diversas a
plicaciones en las actividades diarias que
realiza el hombre, así, tenemos:
 Se utilizan en las señales de radio difu
sión de la TV o radio que viaja en el es
pacio como ondas, permitiendo la trans
micón de información a grandes distan
cias en intervalos de tiempo muy cortos.
 Se utilizan en los tubos de rayos catódi
cos de los televisores y monitores de
computadoras, para acelerar, orientar y
direccionar los electrones que impactan
en la pantalla fosforescente, formando
las imágenes.
 Se utilizan en los radares, para detectar
los aviones en vuelo, mediante el fenó
meno de reflexión de las ondas electro
magnéticas, localizando la distancia y po
sición del avión.
 Se utilizan en los microondas, como se
ñal electromagnética que funciona a la
frecuencia de resonancia del agua, haci
endo que sólo las moléculas del agua vi
bren aumentando su energía (temperatu
ra) y evaporándose. Esto explica porque
solo se calienta la leche y no la taza.

Campo Eléctrico
72
 Se utilizan en los inyectores de tinta de
las impresoras, en donde se aplica un
campo eléctrico que orienta y direcciona
a las gotas de tinta (muy pequeñas, me
nor a las de un diámetro de un cabello),
permitiendo la formación de las letras en
las posiciones preestablecidas en el pa
pel. El número de gotas que una impre
sora puede situar a lo largo de una pulga
da, es lo que, se conoce como ppp (pun
tos por pulgada), y suele ser del orden de
1200 o mayor en la dirección horizon
tal, los técnicos lo denominan resolución
de la impresora.
 Se utilizan en los dispositivos eléctricos
que permiten pintar homogéneamente
las superficies metálicas de los autos,
puertas, etc..en las que se utiliza un cam
po electrostático y gotas de pintura eléc
tricamente cargadas.
j) Efectos en la salud
En las investigaciones desarrolladas al
presente, se ha comprobados que los e
fectos de la radiación electromagnética
sobre la salud del hombre son diversas,
así:
* Neurológicos
Dolores de cabeza, perdida de memoria,
irritabilidad, depresión, ansiedad, insom
nio, fatiga, debilidad, temblores, espas
mos musculares, reflejos alterados, dolor
muscular y articular.
* Cardiacas
Palpitaciones, arritmias, dolor o presión
en el pecho, presión alta o baja, frecuen
cia cardiaca lenta o rápida, dificultad pa
ra respirar.
i) Contaminación electromagnética
Se llama así a la contaminación produ
cida por las radiaciones del espectro e
lectromagnético generados por equipos e
lectrónicos u otros dispositivos. Existe la
probabilidad que produce cáncer en al
gunas personas que viven cerca de lí
neas de alta tensión, así, como también e
xiste la sospecha de efectos nocivos y pe
ligrosos del uso de celulares, los cuales
pueden causar degeneración o alteración
del ADN y del núcleo celular.
CALCULO DE CAMPOS
ELECTRO ESTATICOS
a) Distribución de cargas puntuales
0
P
qi
r
ri
r - ri
z
x
y
02

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