SOLIDOS DE REVOLUCION

1. (Línea en blanco)
Tipo de artículo (Investigación, Reflexión, Revisión, Discusión)
VOLUMENES DE SOLIDOS DE REVOLUCION, CASO I
Alexandra I. Herrera Acosta1
Jhon H. Arroyo Delgado2
Karen J. Vera Saavedra3
Michael I. González Cevallos4
Jordán J. Cañola Weir5
1
Investigador1
(UniversidadTécnica Luis Vargas Torres,Ingeniería,Electricidad, Esmeraldas, Ecuador,alexandra.herrera.acosta@utelvt.edu.ec)
2
Investigador2
(UniversidadTécnica Luis Vargas Torres, Ingeniería, Electricidad, Esmeraldas, Ecuador, jhon.arroyo.delgado@utelvt.edu.ec)
3
Investigador3
(UniversidadTécnica Luis Vargas Torres, Ingeniería, Electricidad, Esmeraldas, Ecuador, karen.vera.saavedra@utelvt.edu.ec)
4
Investigador4
(UniversidadTécnica Luis Vargas Torres,Ingeniería,Electricidad, Esmeraldas, Ecuador, michael.gonzalez.cevallos@utelvt.edu.ec)
5
Investigador5
(UniversidadTécnica Luis Vargas Torres, Ingeniería, Electricidad, Esmeraldas, Ecuador, Jordan.canola.weir@utelvt.edu.ec)
RESUMEN: La importancia del cálculo de volúmenes de solidos generados, también llamados
sólidos de revolución radican en la práctica del estudiante en resolver problemas matemáticos con
integrales. El calculo de volúmenes de solidos de revolución también se lo denomina integración de
disco. El objetivo es calcular los volúmenes de sólidos de revolución utilizando cálculo integral,
para este caso el sólido generado se origina de la función 𝒚 = 𝒇(𝒙) haciendo girar la región plana
X alrededor del eje X. Se utiliza la visualización y cálculo de volúmenes de sólidos de
revolución con el aplicativo virtual didáctico GEOGEBRA que es un programa matemático con
fines educativos en colegios y universidades. Se obtendrá el valor del volumen en unidades cubicas
y la gráfica correspondiente.
PALABRAS CLAVE: Sólido de revolución, programa, GeoGebra, algoritmo.
ABSTRACT: The importance of calculating volumes of generated solids, also called solids of
revolution, lies in the student's practice in solving mathematical problems with integrals. The
calculation of volumes of solids of revolution is also called disk integration. The objective is to
calculate the volumes of solids of revolution using integral calculus, in this case the generated solid
originates from the function y=f(x) by rotating the plane region X around the X axis. The visualization
and calculation of volumes is used of solids of revolution with the virtual didactic application
GEOGEBRA, which is mathematical software for educational purposes in schools and universities.
The value of the volume in cubic units and the corresponding graph will be obtained.
KEYWORDS: Solid of revolution, software, GeoGebra, algorithm.
1. INTRODUCCIÓN

2. El presente trabajo se ha desarrollado como parte del aprendizaje de matemáticas en la carrera de
ingeniería electrica y forma parte tambien como tema práctico para la materia de metodología de la
investigación.
Se quiere calcular el volumen de figuras geométricas originadas al girar sobre un determinado eje
una función en dos dimensiones, formando una figura tridimensional con una perspectiva de tres
dimensiones.
El cálculo integral es una parte de las matemáticas que está dentro del llamado cálculo infinitesimal,
se usa para cálculo de áreas y volúmenes. Es probable que haya sido utilizado en la antigüedad por
Arquímedes. Rene Descartes (1596-1650) dio un gigantesco avance en el cálculo al desarrollar su
geometría analítica o cartesiana. Isaac Newton (1643-1727) conjuntamente con Gottfried Leibniz
(1646-1716) desarrollan del cálculo integral y diferencial, que utilizaron para formular sus leyes de
la física y astronomía.
En el siglo XIX Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) crea la Integral de Riemann en un
artículo que publicó en 1854, esta integral es una función de variable real acotada en un intervalo
cualquiera, donde la gráfica de la curva de parte se divide en regiones geométricas planas. Los
sólidos de revolución son producidos por estas regiones planas acotadas cuando son giradas
alrededor de un eje cualquiera del plano cartesiano por lo que se puede extender esta idea dividiendo
el sólido en tres dimensiones en otras formas geométricas (discos, anillos y capas cilíndricas) que
estan relacionadas a las formas elaboradas en dos dimensiones, las cuales permiten definir y medir
el volumen de los sólidos por los diferentes métodos conocidos.
La compresión y entendimiento del gráfico de sólidos de revoluciona requiere conocimientos
matemáticos de cálculo infinitesimal resultando un trabajo complejo y laborioso. Con el desarrollo
de las computadoras y algoritmos computacionales avanzados como Graficador
de funciones FooPlot, Evaluador y Graficador de funciones, Graficador de funciones Desmos
Graphing Calculator, AutoCAD, Graficador de funciones Graph.tk, Meta-Calculator, Mathway,
Graph Sketch, GeoGebra, MatLab entre otros de los conocidos.
Varios de los programas enunciados en párrafos anteriores no son muy didácticos y requieren de
scripts de programación. GeoGebra es un programa didáctico y es el preferido para obtener
gráficamente sólidos de revolución.
1.1 MARCO TEORICO
GeoGebra es un programa en lenguaje Java para resolver problemas de matemáticas para todas las
áreas de las matemáticas a nivel de bachillerato y superior. Creado por Markus Hohenwarter, en el
año 2001, como parte de su tesis de maestría, en la Universidad de Salzburgo, Austria.

3. Existen diversas herramientas que pueden ser utilizadas como apoyo para la enseñanza de las
matemáticas. Ramiro Saldaña Acosta (2021) afirma que Geogebra es un software gratuito de
matemáticas que ofrece la posibilidad de asociar objetos geométricos y algebraicos para resolver
problemas complejos, relacionando ambas áreas de conocimiento. También permite abordar
diferentes problemas matemáticos de forma creativa y original que motivarían hasta el más reacio a
involucrarse en esta temática.
1.2 VOLUMEN DE SOLIDOS DE REVOLUCION
Para este proyecto se estudia el caso I, es decir, una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) gira la región plana simple-x
alrededor del eje x.
Figura 1: Región plana simple-x.
El sólido de revolución que se extiende desde 𝑥 = 𝑎 hasta 𝑥 = 𝑏, iniciamos dividiendo el intervalo
[a, b] en el eje x en “n” subintervalos (ver Figura 1), cada uno de ancho ∆x = (b − a)/n.
El volumen del solido de revolución para este caso se o determina de la siguiente manera:
Determinamos el volumen del solido diferencial que se origina al girar dicho elemento diferencial
en torno al eje determinado.
Figura 2: Elemento, disco, diferencial.

4. Observando la Figura 1 vemos que el sólido diferencial tiene la forma de un disco, por lo tanto, su
volumen se determina mediante la siguiente ecuación:
𝑑𝑉 = 𝜋𝑥2
𝑑𝑥 = 𝜋𝑓(𝑥)2
𝑑𝑥
El volumen de un sólido es la suma infinita de los volúmenes de sus particiones usando la integral
definida:
𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)2
𝑑𝑥
𝑏
𝑎
2. METODOLOGÍA
El tema se estudió con teniendo previamente conocimientos de cálculo integral, clases dictadas
por nuestros profesores, investigando varios textos disponibles en las bibliotecas de la Universidad
y en el internet para realizar con éxito este artículo de reflexión y discusión.
La solución para el caso en cuestión primeramente tomaremos una función 𝑓(𝑥) = ln(𝑥) en el
aplicativo GeoGebra:

5. Figura 3: Función f(x)=ln(x) en GeoGebra.
El siguiente paso es ingresar el intervalo de integración [a,b], además del eje de rotación, rotulamos
la función y el intervalo como indica la Figura 4:
Figura 4: Rotulación del intervalo y función f(x).
Definimos la función h(x)=Si (a≤x≤b, f(x)) dentro del intervalo [a,b] para la función f(x) como se
indica la figura 5:

6. Figura 5: Ingreso de la función h(x).
Luego suprimimos la función f(x) quedando h(x), agregamos deslizador y ángulo de giro como
indica la figura 6:
Figura 6: Ingreso del deslizador y ángulo de giro.
Para ver la figura nos vamos a herramientas vista 3D como se muestra la figura 7 que sigue a
continuación:

7. Figura 7: Vista de la función en 3D.
Finalmente, para generar el sólido de revolución colocamos Superficie (h,ang,y) como se indica
en la figura 8:
Figura 8: Vista solido de revolución generado en GeoGebra en 3D.
2.1 CALCULO DEL VOLUMEN DEL SOLIDO DE REVOLUCION

8. En esta sección calcularemos el volumen del solido de revolución mediante GeoGebra siguiendo
el siguiente procedimiento.
Primero abrimos GeoGebra y colocamos el aplicativo en Vista gráfica y Vista CAS, ingresamos
la función f(x)=ln(x) acotada en el intervalo [1,10] como muestra la figura 9:
Figura 9: Función acotada en el intervalo [1,10].
Luego ingresamos el comando Superficie (k, f(k)*cos(β), f(k)*sen(β),k,1,10,beta,0,ang). El
deslizador en ang de 0 a360 grados.
Figura 10: Ingreso del comando Superficie en el intervalo [1,10].
3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
El resultado final es la determinación del volumen del solido de revolución generado

9. utilizando el software gratuito GeoGebra.
Se gira el deslizador “ang” los 360 grados y obtenemos el sólido de revolución como lo
muestra la figura 10.
La figura 11 muestra el valor del volumen del solido de revolución generado al girar la
función f(x)= ln(x) alrededor del eje x. El valor es de 78.44 unidades cubicas.
Figura 11: Calculo del volumen del solido de revolución generado f(x)=ln(x).
En comparación con los métodos descritos en otros artículos, el método aquí presentado para el
caso I es muy sencillo y didáctico.
CONCLUSIONES
El método abordado en este trabajo para el calculo del volumen del solido de revolución generado
en tres dimensiones usando GeoGebra aporta una visualización real con vistas en 2D de la gráfica,

10. en 3D del sólido generado y los cálculos vista CAS.
Los elementos son graficas dinámicos de carácter algebraico, lo cual puedo hallar para cualquier
expresión o función con intervalo dentro de los números reales. Finalmente, el valor del volumen
por medio del script en GeoGebra es obtenido a la vez que se suman las formas geométricas que
modelan el sólido generado; esto permite pensar y entender que la aplicación utiliza un algoritmo
basado en las sumas de Riemann en dos y tres dimensiones.
Es muy importante conocer el potencial que tiene el comando Integral para el cálculo directo del
volumen del solido de revolución en un intervalo dado.
Las construcciones desarrolladas en este artículo disponibles en la web de recursos de GeoGebra,
en las direcciones:
https://www.geogebra.org/m/mdcrjera
https://www.geogebra.org/m/hzufkbnv
https://www.geogebra.org/m/prbeqzkd

11. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] Leithold, Louis, D. (1998). El Cálculo, Séptima edición: Oxford University Press-Harla Mexico
D.F de CV.
[2] Smith, R. & Minton, R. (2012). Calculus. New York: The McGraw-Hill Companies.
[3] Bruce, E. y Larson, R. (2010). Calculo 1 de una variable. México, D.F: McGraw-
Hill/Interamericana.