4. Formula modelos de comportamiento lineal
que representan situaciones contextuales
que permitan inferir e interpretar
consecuencias de las mismas haciendo uso
de los conceptos de proporcionalidad y
función lineal.
RESULTADO DE APRENDIZAJE
5. FUNCIÓN LINEAL
Una función es lineal si su regla de correspondencia es , donde
y
x
b
α
y
x
b
α
m > 0, Función Creciente m < 0, Función Decreciente
m: pendiente de la recta Su gráfica es una línea recta
y=f(x)=3x+7
m =
b =
f(x) = − 4x
m =
b =
f(x)= 6
m =
b =
y
x
b
m = 0, Función Constante
La pendiente de una recta es
la tangente de su ángulo de
inclinación.
6. m = tg α
X
Y
α
α
X1
X2
Y1
Y2
X2 - X1
Y2 - Y1
P
Q
CÁLCULO DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA
7. x −1 0 9 27
y 4 5 14 32
Ejemplo: Teniendo en cuenta los valores propuestos en la tabla, establece la regla de
correspondencia entre las variables dependiente e independiente de una función lineal
a) La pendiente de la función. b) Determine la función lineal c) Grafica de la función lineal
8. EN LOS NEGOCIOS
Las funciones se aplican a los
negocios en diversos
aspectos. Uno de ellos es el
manejo de función: costo,
ingreso, utilidad y punto de
equilibrio.
APLICACIONES DE LA FUNCIÓN
LINEAL
9. CV = (Costo de producción de un artículo) (N˚ de artículos producidos)
Costo Total = Costo fijo + Costo variable
FUNCIÓN COSTO C(x)
Para poder establecer el costo total, debemos conocer el costo fijo y costo variable.
COSTOS FIJOS
AQUELLOS QUE NO SE MODIFICAN SIN
IMPORTAR LAS VENTAS DE PRODUCCIÓN
AQUELLOS RELACIONADOS CON LA PRODUCCIÓN Y
VOLUMEN DE VENTAS.
COSTOS VARIABLES
10. FUNCIÓN INGRESO I(x)
Ingreso Total = (Precio de venta de un artículo) (N˚ de artículos vendidos)
El ingreso es el dinero que una empresa recibe por la venta de productos. Se establece como el producto
del número de artículos vendidos y el precio de venta por cada artículo.
FUNCIÓN UTILIDAD U(x)
Utilidad = Ingreso Total – Costo Total
También se le denomina función ganancia.
11. MODELO LINEAL DE LA UTILIDAD
Teniendo en cuenta los conceptos de Costo e Ingreso tendremos en cuenta que la Utilidad “U” obtenida por la
venta de “x” unidades de cierto articulo en un periodo está dado:
13. El contrato de conexión a internet en la empresa Bantel es de S/ 20 mensuales y S/
0.4 por cada hora de conexión. El contrato de la empresa Bistel S/ 15 soles
mensuales y S/ 0.6 por cada hora de conexión.
A. Identifica las variables relacionadas a los servicios que ofrece la empresa de
internet, asígnale una notación a cada una y cita su respectiva unidad. Asimismo,
confirma la relación de dependencia entre las variables e indica la variable
independiente y la variable dependiente.
CARACTERÍSTICA
VARIABLE
NOTACIÓN UNIDAD TIPO
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA N° 01
15. C. ¿Cuánto costará si en un mes se usa 120 horas de conexión?
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Interpretamos el resultado:
17. DATOS SIGNIFICATIVOS PROCESO
V. Dependiente : C
V. Independiente: x
Empresa Bantel
Costo de contrato mensual: S/ 20
Costo por hora consumida: S/ 0.4
Modelo matemático:?
Empresa Bistel
Costo de contrato mensual: S/ 15
Costo por hora consumida: S/ 0.6
Modelo matemático:?
Empresa Bantel
C(x) = 20 + 0.4x
Empresa Bistel
C(x) = 15 + 0.6x
Respuesta: El modelo matemático de la empresa Bantel C(x) = 20 + 0.4x y de la empresa Bistel
es: C(x) = 15 + 0.6x
B
18. DATOS SIGNIFICATIVOS PROCESO
Tiempo de conexión: 120 h
Empresa Bantel C(x) = 20 + 0.4x
Empresa Bistel C(x) = 15 + 0.6x
Costos mensual: ?
Empresa Bantel
C(120) = 20 +0.4(120)
C(120) = 20 +48
C(120) = 68
Empresa Bistel
C(120) = 15 +0.6(120)
C(120) = 15 +72
C(120) = 87
Respuesta: en la empresa Bantel se paga S/ 68 por 120 horas y la
empresa Bistel S/ 87.
C
19. Una pequeña empresa, se ha visto en la necesidad de reinventarse en la pandemia, fabricando
mascarillas de tela reutilizables, tiene costos fijos mensuales de S/ 1 400, costo por materia prima
de S/ 1,5, costos de mano de obra de S/ 0,50 y costos de distribución de S/ 0,20 por mascarilla.
Además, se sabe que cada mascarilla se vende a S/ 5.
Determinar:
A. La función costo:
B. La función ingreso:
C. La función ganancia
D. ¿Cuántas mascarillas debe producir y vender para no ganar ni perder? Proponga dos soluciones diferentes:
una solución debe ser usando la función lineal y la segunda solución es libre.
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA N° 02
20. Determinar:
a) La función costo:
Costo fijo: 1400
Costo materia prima: S/ 1,5
Costo mano de obra: s/ 0,5
Costo de distribución: S/ 0,2
C(x)=1400 + (1,5+0,5+0,2)x
C(x)=1400 + 2,2x
b) La función ingreso:
Ingreso = Precio de venta por cantidad de unidades
I(x) = 5x
c) La función utilidad
Ganancia = Ingreso – Costos
U(x) = 5x – (1400 + 2,2x)
U(x) = 5x – 1400 - 2,2x
U(x) = 2,8x – 1400
d. ¿Cuántos mascarillas se deben vender para obtener una
utilidad mensual de S/ 5600?
U(x)= 5600
Pero G(x) = 2,8x – 1400
5 600 = 2,8x – 1400
5 600 + 1400 = 2,8x
7 000 = 2,8 x
2 500 = x
Se deben vender 2500 mascarillas para obtener una utilidad
mensual de S/ 5600
21. La carpintería “Servicios Silver”, dedicada a la producción y venta de puertas tiene
costos de producción de S/ 240 cada puerta, costos fijos de S/ 3120 y el precio de venta
es de S/ 500.
Determinar:
a) La función costo
b) La función ingreso
c) La función utilidad
d) El punto de equilibrio
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA N° 03
22.
23. 3. La carpintería “Servicios Silver”, dedicada a la producción y venta de puertas tiene
costos de producción de S/ 240 cada puerta, costos fijos de S/ 3120 y el precio de
venta es de S/ 500.
Determinar:
a) La función costo : C(x) = 240x + 3120
b) La función ingreso : I(x) = 500x
c) La función utilidad : U(x) = 500x – (240x + 3120)
U(x) = 260x – 3120
PUNTO DE EQUILIBRIO:
Utilidad = 0
NO SE GANA, NO SE PIERDE
d) El punto de equilibrio : U(x)=0
260x – 3120 = 0
260x = 3120
x = 12
24. C(x)=240x + 3120
x C(x)
0 3120
12 6 000
I(x)= 500x
x I(x)
0 0
12 6 000
U(x)=260x - 3120
x U(x)
0 3120
12 0
e) Graficar la función:
25. En la Maternidad de Lima un bebe pesó 3.1 kg al nacer. Sabiendo que el aumento de peso
mínimo habitual de un bebe es 20 g cada día durante las 6 primeras semanas de vida.
A. Determine el modelo matemático del peso mínimo habitual (en gramos) obtenido por él bebe en
función a su edad (en días) e indique el dominio de la función.
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Interpretamos el resultado:
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA N° 04
26. B. ¿Cuál será el peso mínimo habitual del bebe pasadas las dos primeras semanas de vida?
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Interpretamos el resultado:
27. C. ¿Cuántos días han pasado después del nacimiento si él bebe tiene un peso mínimo habitual
de 3,7 kg?
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Interpretamos el resultado:
28. 4. En la Maternidad de Lima un bebe pesó 3.1 kg al nacer. Sabiendo que el aumento de peso
mínimo habitual de un bebe es 20 g cada día durante las 6 primeras semanas de vida.
A. Determine el modelo matemático del peso mínimo habitual (en gramos) obtenido por él bebe en
función a su edad (en días) e indique el dominio de la función.
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
V. Dependiente : ¨Peso: P
V. Independiente: Tiempo: x
Peso del bebe al nacer: 3.1 kg
Aumento de peso habitual por día : 20g
Durante las 6 primeras semanas de vida
𝑃 𝑥 = 3100 + 20𝑥; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 42
D(p)=[0; 42]
Interpretamos el resultado: El modelo matemático del peso mínimo habitual (en gramos)
obtenido por él bebe en función a su edad (en días) es 𝑃 𝑥 = 3100 + 20𝑥 y el dominio de la
función es D(p)=[0; 42]
29. B. ¿Cuál será el peso mínimo habitual del bebe pasadas las dos primeras semanas de vida?
Identificamos los datos significativos Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
V. Dependiente : ¨Peso: P
V. Independiente: Tiempo: x
Modelo matemático: 𝑃(𝑥) = 3100 + 20𝑥
Tiempo: 2semanas= 14 días
𝑃 14 = 3100 + 20 14
𝑃(14) = 3380
Interpretamos el resultado: El peso mínimo habitual del bebe pasadas las dos primeras
semanas de vida es de 3380 gramos.
30. C. ¿Cuántos días han pasado después del nacimiento si él bebe tiene un peso mínimo habitual
de 3,7 kg?
Identificamos los datos significativos Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Peso: 3700 gramos
Modelo matemático: 𝑃(𝑥) = 3100 + 20𝑥
Tiempo:?
3700 = 3100 + 20𝑥
3700 − 3100 = 20𝑥
600 = 20𝑥
30 = 𝑥
Interpretamos el resultado: Si él bebe tiene un peso mínimo habitual de 3,7 kg, han pasado 30
días después de su nacimiento.
31. 5. Para medir temperaturas, como alternativa a la escala Celsius, todavía se usa otra
escala llamada Fahrenheit (especialmente en EE. UU.). La tabla de abajo ilustra la
conexión entre las dos escalas.
OBSERVACIÓN: Los incrementos iguales de la temperatura medida en la escala Celsius obviamente deben corresponder
a incrementos iguales del valor en grados Fahrenheit, y esto es compatible solo con una forma lineal.
A. Exprese la función lineal que permita encontrar los grados Fahrenheit en función de los grados Celsius.
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Interpretamos el resultado:
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA N° 05
32. B. ¿Cuántos grados Fahrenheit representan 55 °C?
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Interpretamos el resultado:
33. C. ¿Cuántos grados Celsius representan 392 grados Fahrenheit?
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Interpretamos el resultado:
34. A. Exprese la función lineal que permita encontrar los grados Fahrenheit en función de los grados Celsius.
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Grados Celsius: c
Grados Fahrenheit: F
Pares ordenados: 0; 32 𝑦 100; 212
La función lineal que permita
encontrar los grados Fahrenheit en
función de los grados Celsius:
F(c)= mc + b
Estableciendo las condiciones de pertenencia a los puntos:
0; 32 𝑦 100; 212
𝑥1; 𝑦1 𝑥2 ; 𝑦2
para esta situación determinamos la pendiente (m) mediante su
definición:
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
=
212 − 32
100 − 0
=
9
5
𝐹(𝑐) =
9
5
𝑐 + 𝑏
Reemplazamos en uno de los puntos dados 0; 32
32 =
9
5
(0) + 𝑏
32 = 𝑏
Entonces: 𝐹(𝑐) =
9
5
𝑐 + 32
Interpretamos el resultado: la función lineal que permita encontrar los grados Fahrenheit en función de
los grados Celsius es : 𝐹(𝑐) =
9
5
𝑐 + 32
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA N° 05
35. B. ¿Cuántos grados Fahrenheit representan 55 °C?
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Grados Celsius: 55°C
Grados Fahrenheit: F
Modelo matemático: 𝐹(𝑐) =
9
5
𝑐 + 32
𝐹 55 =
9
5
55 + 32
𝐹(55) = 131
Interpretamos el resultado: 55 °C representan 131 °F
36. C. ¿Cuántos grados Celsius representan 392 grados Fahrenheit?
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Grados Celsius: c
Grados Fahrenheit: 392F
Modelo matemático: 𝐹(𝑐) =
9
5
𝑐 + 32
392 =
9
5
𝑐 + 32
360 =
9
5
𝑐
200 = 𝑐
Interpretamos el resultado: 392 °F representan 200 °C
37. Los organizadores de la obra AMOR VS COVID deseando aumentar la asistencia a
la función teatral virtual, cobra dos precios promocionales por grupos. Si el grupo es
de hasta 10 personas el costo por boleto es de S/9.50, mientras que para grupos
mayores a 10 personas se cobra un sol menos por cada boleto adicional.
A. Determine el modelo matemático del costo para un grupo de n personas.
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Interpretamos el resultado:
SITUACIÓN PROBLEMÁTICA N° 06
38. Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Interpretamos el resultado:
B. Calcule el costo para un grupo de 9 personas y otro grupo de una docena de personas.
39. C. Si el costo para un grupo de personas fue de S/180. ¿Cuántos boletos se vendieron?
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Interpretamos el resultado:
40. A. Determine el modelo matemático del costo para un grupo de n personas.
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Función Costo: 𝐶(𝑛)
n° de personas: n
Costo para grupos de hasta 10
personas: S/9.5
Costo para grupos de más de 10
personas: un sol menos por cada
boleto adicional
El modelo matemático del costo
para un grupo de n personas:?
𝐶 𝑛 = {9.5𝑛 ; 𝑛 ≤ 10
9.5 10 + 8.5 𝑛 − 10 ; 𝑛 > 10
𝐶 𝑛 = {9.5𝑛 ; 𝑛 ≤ 10 … … . . (1)
95 + 8.5(𝑛 − 10) ; 𝑛 > 10 … … . . (2)
Interpretamos el resultado: : El modelo matemático del costo de comprar n boletos es:
𝐶 𝑛 = {9.5𝑛 ; 𝑛 ≤ 10
10 + 8.5𝑛 ; 𝑛 > 10
41. Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Función Costo: 𝐶(𝑛)
n° de personas: 9
n° de personas: 12
El modelo matemático del costo de
comprar n boletos es:
𝐶 𝑛 = {9.5𝑛 ; 𝑛 ≤ 10
10 + 8.5𝑛 ; 𝑛 > 10
Interpretamos el resultado: El costo por la compra de 9 boletos es de S/85.5 y el costo de una
docena de boletos es de S/112.
B. Calcule el costo para un grupo de 9 personas y otro grupo de una docena de personas.
n=9 ….en (1)
𝐶(9) = 9.5(9)=85.5
n=12 ….en (2)
𝐶 12 = 10 + 8.5 12
𝐶 12 = 10 + 8.5 12 = 112
42. C. Si el costo para un grupo de personas fue de S/180. ¿Cuántos boletos se vendieron?
Identificamos los datos
significativos
Diseñamos y ejecutamos el plan o la estrategia
Función Costo: S/ 180
n° de personas: n
El modelo matemático del costo de
comprar n boletos es:
𝐶 𝑛 = {9.5𝑛 ; 𝑛 ≤ 10
10 + 8.5𝑛 ; 𝑛 > 10
180 = 10 + 8.5𝑛
170 = 8.5𝑛
20 = 𝑛
Interpretamos el resultado: Fueron de 20 boletos vendidos para un costo de S/180.
44. 1. ¿Qué has aprendido?
2. ¿Qué dificultades has
tenido?
3. ¿Para que te ha
servido?
45. Código de
biblioteca
LIBROS, REVISTAS, ARTÍCULOS, TESIS, PÁGINAS WEB
519 A79
Arya J, Lardner R. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía (5ta
ed.) Prentice Hill.
519 B92
Budnick, F. (2007) Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias
sociales (4.a ed.). México: Mc Graw Hill
510 F47 Figueroa, R. (2009) Matemática Básica 1 (10.ª ed.) Lima: Ediciones RFG.
519 H13
Haeussler, E., Paul R. (2008). Matemáticas para administración y economía (10.ª ed.)
México: Pearson.
511.33R19 Rangel N. (2008). Funciones y relaciones. (5.ª ed.). México DF: Trillas.
519 T16M
Soo T., T. (2 011). Matemáticas aplicadas a los negocios, las ciencias sociales y de la
vida (5ta ed.). México D.F.: Cengage Learning.
510 V45 Venero, A. (2005) Matemática Básica (2.ª ed.) Lima: Gemar.
REFERENCIAS
