PERSAMAAN DIFERENSIAL

AGUS R UTOMO, DEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO-FAKULTAS TEKNIK-UNIVERSITAS INDONESIA-JAKARTA
MATEMATIKA LANJUT PERSAMAAN DIFERENSIAL
PERSAMAAN DIFERENSIAL
LINIER NON HOMOGEN
Contoh PD linier non homogen orde 2.
Bentuk umum persamaan PD Linier Non
Homogen Orde 2, adalah sebagai berikut :
y” + f(x) y’ + g(x) y = r(x) ( 2- 35)
Solusi umum y(x) akan didapatkan bila solusi
umum yh(x) dari PD homogen diketahui.
PD homogen :
y” + f(x) y’ + g(x) y = 0 (2-36)
Kemudian y(x) dibentuk dengan penambahan
yh(x) sembarang solusi termasuk konstanta
tak tetapnya.
Sehingga y(x) = yh(x) + (x) (2-37)
y
y

Theorema 1 :
f(x), g(x) dan r(x) merupakan fungsi kontinyu
pada interval I. y(x) merupakan solusi dari PD
di atas yang berisikan konstanta yang tetap.
y(x) dibentuk oleh dua konstanta. Konstanta
pertama, berubah-ubah, terdapat pada solusi
umum (homogen) yh(x). Konstanta kedua,
tetap,terdapat pada fungsi (x), yaitu
sembarang solusi PD pada interval I.
Theorema 2 :
Solusi umum dari PD seperti di atas adalah
penjumlahan solusi persamaan homogen yh(x)
dengan solusi partikular yang tetap (tak ber-
ubah-ubah) yP(x).
Sehingga y(x) = yh(x) + yP(x) (2-38)
y

1. METODE KOEFISIEN TAK TENTU.
Bentuk Persamaan Umum :
y” + ay’ + by = r(x) ( 2-39 )
⊕ Fungsi r(x) yang merupakan bentuk solusi
partikular yP(x) diperoleh dng cara
menebak, seperti misalnya : fungsi cos,
fungsi sin, fungsi exponensial atau jumlah
dari beberapa fungsi.
⊕ r(x) berisikan koefisien tak tentu.
⊕ Turunkan yP sesuai persamaan umum (2-39)
di atas.
⊕ Substitusikan yP dan seluruh turunannya ke
dalam persamaan (2-39).
Tabel 2-1. Metode koefisien tak tentu
iq
iqK cos x + M sin xk cos qx
k sin qx
0Knxn + kn-1xn-1 +.....+ k1x + k0kxn (n=0,1....)
pCepxkepx
Pilihan untuk yPBentuk r(x)

Aturan :
⊕ Bila r(x) merupakan salah satu fungsi
seperti dalam tabel, maka pilih bentuk yP
yang sesuai dan merupakan kombinasi linier
dengan konstanta tak tentu. Turunan r(x)
harus bebas linier pula.
⊕ Bila r(x) merupakan penjumlahan, maka
pilih yP yang merupakan penjumlahan
fungsi yang sesuai.
⊕ Bila r(x) adalah solusi dari persamaan
homogen, maka pilihan dapat dimodifikasi
seperti berikut
Aturan Modifikasi
Kalikan pilihan pada kolom 2 dengan x atau x2
tergantung dari apakah pada kolom 3 berupa
akar tunggal atau akar-akar ganda dari
persamaan homogen.

Contoh-contoh Soal
1. Selesaikan persamaan berikut :
y” – 4y’+ 3y = 10e-2x
Jawab :
Jawab partikular yP
Turunan e-2x adalah ke-2x
maka yP = ke-2x
yP’ = -2ke-2x dan yP”= 4 ke-2x
4ke-2x-4(-2ke-2x ) + 3ke-2x = 10e-2x ; k= 2/3
yP = (2/3)e-2x
Jawab homogen yh
λ2 - 4λ + 3 = 0 ; λ1 = 3 dan λ2 = 1
yh= k1eλ1x + k2eλ2x = k1e3x+ k2ex
Solusi Umum
y = yh + yP
y = k1e3x + k2ex + (2/3)e-2x

2. Selesaikan y” + 4y = 8x2
Jawab :
Jawab homogen : λ2 + 4 = 0
λ1 = p + jq = +j2 ; λ2 = p – jq = -j2 ; p= 0
Solusi umum PD homogen untuk D < 0 :
yh = epx[A cos qx + B sin qx]
yh = [A cos 2x + B sin 2x]
Jawab partikular :
Misal 1 : y = kx2 ; y” = 2k
2k + 4 kx2 = 8x2 ; 2k = 0 ; 4k = 8
Gagal, tidak konsisten.
Misal 2 : yP = kx2 + Lx + m ; y” = 2k
2k + 4(kx2 + Lx + M) = 8x2
4kx2 + 4Lx +(2k + 4m) = 8x2
dengan metode identifikasi :
k = 2 ; L = 0 ; m = 1
maka yP = 2x2 + 1
Solusi umum y = yP + yh
y = A cos 2x + B sin 2x + 2x2 + 1

3. Selesaikan y” – y’ – 2y = 10 cos x
Jawab :
Jawab homogen
λ2 - λ - 2 = 0
yh = c1eλ2x + c2 eλ2x
yh = c1e2x + c2 e-x
Jawab partikular
yP = k cos x + m sin x
yP’ = -k sin x + m cos x
yP” = -k cos x – m sin x
(-k cos x – m sin x)-(-k sin x + m cos x)-
2(k cos x + m sin x) = 10 cos x
(-3k – m) cos x + (k-3m) sin x = 10 cos x
-3k – m = 10 ; k – 3m = 0 ;
k = -3 ; m = -1
yP = -3 cos x – sin x
Solusi umum : y = yh + yP
y = ce2x + ce-x -3 cos x – sin x

4. Selesaikan : y” – 3y’+ 2y = 4x + e3x
Jawab :
Jawab homogen : yh = c1e2x + c2ex
Jawab partikular :
yP = k1x +k0 + Ce3x
yP’ = k1 + 3Ce3x
yP” = 9Ce3x
(9Ce3x)-3(k1 + 3Ce3x)+2(k1x +k0 + Ce3x) =
4x + e3x
k1 = 2 ; k0 = 3 ; C = (1/2)
yp = 2x + 3 + (1/2) Ce3x
Solusi umum :
y = c1e2x + c2ex + 2x + 3 + (1/2) Ce3x
5. Selesaikan : y” – 2y’ + y = (D-1)2 = ex + x
Jawab :
Jawab homogen
yh = c1ex +c2xex = (c1x + c2) ex

Jawab partikular :
Lihat tabel k1x + k0
karena akar ganda cx2ex
sehingga yp = k1x + k0 + cx2ex
Bila disubstitusikan ke dalam persamaan :
yp” – 2yp’ + yp = ex + x
maka didapatkan :
2cex + k1x – 2k1 + k0 = ex + x
c = ½ ; k1 = 1 ; k0 = 2
Solusi umum :
y = (c1x + c2) ex + ½ x2ex + x + 2

SOAL-SOAL LATIHAN 6
Selesaikan PD non homogen berikut ini :
1. y” + 4y = e-x
2. y” + 2y + y = 2x2
3. y” + y – 2y = 3ex
4. y” + y = 2 sin x
5. y” + y’ – 6y = 52 cos 2x
6. y””-5y” + 4y = 10 cos x
7. y” – 2y’ + 2y = 2ex cos x
8. y” + y = x2 + x
9. y” + 5y + 6y = 9x4 – x
10. y” – 2y’ + y = 2x2 – 8x + 4
11. y’’’+ 2y” – y’ – 2y = 1 – 4x3
12. y” – 4 y’ + 9y = 10 e2x – 12 cos 3x
13. y” + 2y’ + 10y = 4.5 cos x – sin x
14. y” + 2y’ + 2y = -2 cos 2x – 4 sin 2x
15. y” + 4y’ + 8y = 4 cos x + 7 sin x

2. METODE KOMPLEKS UNTUK MENENTUKAN
SOLUSI PARTIKULAR
Bentuk umumnya seperti persamaan (2-35)
Contoh :
(2-40)
Dengan metode koefisien tak tentu akan
diperoleh :
IP(t) = 3 cos t + 3 sin t
Menurut hukum Euler, ruas kanan pers (2-
40), 6 cos t, adalah komponen nyata
(riel), karena :
6 eit = 6 (cos t + i sin t)
Sehingga persamaan (2-40) dapat ditulis
dengan :
( 2-41)
.. .
I + I + 2I = 6 cos t
.. .
it
I + I + 2I = 6 e

Solusi partikular kompleks dapat dibuat
dalam bentuk :
Ip*(t) = keit (2-42)
dan * = ikeit * = -keit
Bila disubstitusikan ke dalam pers (2-41) :
(-1 + I +2) keit = 6 eit
= 3 – i 3
Sehingga solusi umum pers. (2-41) adalah :
IP*(t) =(3-i3)eit = (3-i3)(cos t + i sin t)
dan komponen nyatanya adalah :
IP(t) = 3 cos t + 3 sin t
.
PI
6
k =
1 + i
..
pI

3. METODE UMUM
Bentuk umum PD non homogen
y” + f(x)y’ + g(x)y = r(x) (2-43)
f, g dan r kontinyu pada interval terbuka I
Sedangkan bentuk umum PD homogen :
y” + f(x)y’ + g(x)y = 0 (2-44)
maka solusi umumnya yh(x) pada interval
terbuka I berbentuk :
Yh(x) = c1 y1(x) + c2 y2(x)
Bila c1 dan c2 diganti dengan u(x) dan v(x)
maka diperoleh solusi partikular pada
interval terbuka I, sbb :
yP(x) = u(x) y1(x) + v(x) y2(x) (2-45)

Jika pers. (2-45) diturunkan, hasilnya :
yP’ = u’y1 + uy1‘ + v’y2 + vy2’
Karena u(x) dan v(x) adalah pengganti c1
dan c2, maka :
u’y1 + v’y2 = 0 (2-46)
Sehingga yP’ menjadi :
yP’ = uy1’+ vy2’ (2-47)
Bila pers.(2-43) diturunkan, hasilnya :
yP” = u’y1’+ uy1”+ v’y2’ + vy2” (2-48)
Pers.(2-45), (2-47) dan (2-48) disubstitusi-
kan ke dalam pers.(2-43), dan mengumpul-
kan komponen yang mengandung u dan v :

u(y1”+ fy1’+ gy1) + v(y2”+ fy2’+ gy2) +
u’y1’+v’y2’ = r
Bila y1 dan y2 merupakan solusi homogen
dari pers. (2-44), sehingga terjadi
penyederhanaan persamaan, menjadi ;
u’y1’+v’y2’ = r
Pers. (2-46) : u’y1 + v’y2 = 0
Sebuah sistem dari 2 persamaan aljabar
linier dengan 2 fungsi u’ dan v’ yang tak
diketahui.
Penyelesaian selanjutnya dengan memakai
aturan Cramer, sehingga :
dan (2-49)
dengan W = y1 y2’ – y1’y2 ; W ≠ 0.
W = Bilangan Wronskian dari y1 dan y2
2y r
u' = -
W
1y r
v' = -
W

Dengan integrasi diperoleh :
dan
substitusikan hasil ini ke dalam pers(2-45),
sehingga didapatkan :
(2-50)
Contoh :
Selesaikan PD berikut ini : y” + y = sec x
Jawab :
misalkan y1 = cos x dan y2 = sin x
Solusi homogen :
Bilangan Wronskian :
W(y1,y2) = cos x cos x –(-sin x) sinx =1
Solusi partikular :
Dari pers. (2-50),
2y r
u = - dx
W∫
1y r
v = - dx
W∫
2 1
p 1 2
y r y r
y (x) = -y dx y dx
W W
+∫ ∫
py = -cos x sin x sec x dx + sinx cos x sec x dx∫ ∫

yP = cos x ln|cos x| + x sin x
maka solusi umumnya adalah : y = yh + yP
y = [c1 + ln|cos x|] cos x + (c2 + x) x sin x
SOAL-SOAL LATIHAN 7
Selesaikan PD non homogen berikut ini :
1. y” + y = cosec x + x
2. y”+ 9y = sec 3 x
3. y” – 4y’ + 4y = [e2x]/x
4. y” + 2y’ + y = e-x ln x
5. y” + 6y’ – 9y = [e-3x]/[x2 + 1]
6. y” + 2y’ + y = e-x cos x
7. x2y” – 5xy’ + 9 = 3x2
8. x2y” – 4xy’ + 6y = 1/[x2]
9. x2y” – (1-2x)y’ + (6-4x2)y = x2 cos x
10.2x2y” – xy’ – 2y = x3 ex

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à PERSAMAAN DIFERENSIAL

Similaire à PERSAMAAN DIFERENSIAL (20)

Dernier

Dernier (8)

PERSAMAAN DIFERENSIAL