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Fundamentos Físicos Aplicados a la Ingeniería, curso 2015-16
DINÁMICA y ENERGÍA
1.Dinámica de la partícula. Ley de inercia. Impulso mecánico y momento lineal.
2.Conservación de momento, 2º y 3º Leyes de Newton, concepto de fuerzas.
Sistemas de referencia no inerciales. Fuerzas de inercia.
3.Momento angular: su conservación. Fuerzas Centrales. Trabajo y potencia.
4.Energía cinética y energía potencial. Fuerzas conservativas. Principio de
conservación de energía. Fuerzas no conservativas.
5.Dinámica de sistema de partículas y del cuerpo rígido. (Centro de masas:
movimiento del centro de masas de un sistema de partículas, velocidad y
aceleración. Movimiento alrededor del centro de masa del sistema. Teoremas de la
energía cinética y el momento angular. Masa reducida de un sistema aislado.
6.Momento angular de un cuerpo rígido. Teorema de conservación. Momento de
inercia de áreas y cuerpos rígidos. Teoremas generales. Energía cinética, trabajo y
potencia en la rotación. Ecuación fundamental de la dinámica de rotación.
7.Interacción gravitacional (Ley de la gravitación. Fuerzas centrales. Leyes de Kepler.
Campo gravitacional. Energía potencial gravitacional. Intensidad de campo
gravitacional. Potencial gravitacional).

Cinemática: estudio del movimiento de los cuerpos,
independientemente de las causas que los producen
Se busca describir un movimiento y predecirlo en el futuro.
Es decir, determinar la posición, velocidad y aceleración de
un “móvil” en función del tiempo.
Esto se traduce a obtener relaciones del tipo f(x,y,z,t)=0.
1. Dinámica de la partícula
Def. partícula: corresponde a un punto material, es decir, un
cuerpo u objeto cuyas dimensiones son muy pequeñas en
relación al medio en el que está.

1. Dinámica de la partícula
Dinámica: parte de mecánica que estudia el porqué de los
movimientos. El movimiento de un cuerpo está determinado por las
interacciones con su entorno. A estas interacciones se las llama Fuerzas
(depende del cuerpo y del entorno que lo rodea).
El concepto de fuerza proporciona una descripción cuantitativa de la
interacción entre dos cuerpos o entre el cuerpo y su entorno. Cuando se
lanza una pelota se ejerce una fuerza sobre la misma. Al empujar o tirar
de una caja se realizar una fuerza. Al tirar de una cuerda para arrastrar un
objeto, también se está aplicando una fuerza.

1. Dinámica de la partícula: tipología de fuerzas
Fuerzas de Contacto: Cuando la fuerza implica en contacto directo
entre cuerpos (tirones, empujones, patadas, lanzamiento, fuerza elástica,
etc). El rozamiento es un buen ejemplo de fuerza de contacto.
Fuerzas de largo Alcance: actúa aunque los cuerpos estén separados
(la fuerza de atracción entre imanes, la fuerza eléctrica, la fuerza
gravitatoria). El Sol ejerce atracción gravitatoria sobre los planetas del
sistema solar. La Tierra atrae los cuerpos para sí a través de una fuerza
que es el Peso.
Actualmente son conocidas cuatro familias de fuerzas:
Fuerzas gravitacionales (actúan sobre cualquier cuerpo con masa)
nos mantienen en el suelo y rigen el movimiento de los cuerpos celestes.
Fuerzas electromagnéticas (hacen funcionar nuestros aparatos
eléctricos, permiten enviar las señales de radio o encender una bombilla)
Fuerzas nucleares (fuertes y débiles): actúan sólo en distancias
comparables con las dimensiones de los núcleos atómicos.

1. Dinámica de la partícula: Definición vectorial de Fuerza
La fuerza es un vector (módulo, dirección y sentido) y puede ser aplicada a
un cuerpo desde diferentes direcciones.
Para describir una fuerza se debe indicar su dirección de acción y su
magnitud. Además obedece las reglas de suma, resta, producto vectorial y
producto escalar de vectores. Así, las fuerzas pueden ser tratadas en
términos de sus componentes vectoriales.
Si varias fuerzas actúan sobre un cuerpo, el efecto sobre su movimiento es
igual que cuando sólo una fuerza, igual a la suma vectorial (resultante) de
las fuerzas, actuará sobre él.

1. Dinámica. 1ª Ley de Newton (Inercia)
Si ninguna fuerza actúa sobre un cuerpo o si la resultante de todas las
fuerzas que actúan sobre él (Fuerza neta) es nula, el cuerpo está en
equilibrio y tiende a continuar su movimiento original:
= → = → =
Si el cuerpo está en reposo, permanece en reposo. Si el cuerpo
está en movimiento, permanecerá en movimiento. Ninguna
partícula es capaz por sí sola, de cambiar su estado de
movimiento. Es necesario la interacción con otra u otras
partículas.

1. Dinámica. 1ª Ley de Newton (Inercia)
La masa es la cantidad de materia contenida en un objeto y siempre
impone resistencia al movimiento. A la resistencia que impone la masa
a modificar su estado se le llama Inercia.
Si = —, cuanto mayor sea la masa, mayor será la fuerza necesaria para
vencer la inercia de un cuerpo y modificar su movimiento.
Cada cuerpo tiende a mantener constante su estado de movimiento y
opone una resistencia a la variación tan fuerte como grande sea su masa.
La masa da cuenta de la inercia de un cuerpo; el peso sin embargo
es la fuerza con la que este cuerpo es atraído por la Tierra.
Un objeto de un kg es atraído por la Tierra con una cierta fuerza, que es
el peso. La masa es una cualidad intrínseca de un cuerpo, no varía nunca,
mientras el peso puede variar. Por esto en el espacio la descripción de los
cuerpos es conveniente hacerla en función de la masa y no del peso.

2. Conserv del momento. 2ª Ley de Newton (Ley de Acción)
Un cuerpo puede estar sometido a varias fuerzas a la vez y su
comportamiento dependerá de la resultante de la suma de estas fuerzas.
Cuando las fuerzas son de misma intensidad pero de direcciones
opuestas, el sumatorio de fuerzas es cero y el objeto no cambia su
estado. En este caso el sistema permanece en equilibrio.
Sin embargo, si las fuerzas que actúan simultáneamente NO se
anulan entre sí, el objeto cambiará su estado (se moverá o detendrá)
según el resultado de la combinación de todas ellas.
Si ∑ ≠ → ≠ → ≠
Si una fuerza externa neta, diferente de cero, actúa sobre un cuerpo,
éste se acelera. La dirección de la aceleración es la misma que de la
fuerza neta. El vector fuerza neta es igual a masa del cuerpo
multiplicada por su aceleración. Σ =—

Σ
=0 ↔ 1ª ley de Newton: MRU
Σ
=
↔ 2ª ley de Newton
↔ movimiento acelerado
Si varias fuerzas actúan sobre un cuerpo, el efecto conjunto sobre el
movimiento es igual a una sola fuerza que corresponde a la suma
vectorial de las fuerzas originales, por lo tanto es la resultante de las
fuerzas, también llamada FUERZA NETA

EJEMPLO 1: Un grupo de niños quiere el mismo juguete y tiran de él
cada uno. El primero tira con una fuerza F1 de 300N con un ángulo de
135º con la horizontal. El segundo tira con una fuerza F2 de 155N con un
ángulo de 233º con el eje x positivo. El tercero aplica una fuerza F3 de
200N cuyo ángulo con la horizontal es de 30º. Considere el juguete como
una partícula. Dibujar diagrama de fuerzas y calcular componentes.

La fuerza neta () es la resultante de la suma de las diferentes fuerzas
aplicadas. Para obtener la resultante habrá que descomponer las fuerzas
en los ejes x,y. El sumatorio de las fuerzas en el eje x será por lo tanto:

La magnitud de la fuerza resultante o fuerza neta está dada por la
ecuación:
La dirección de la fuerza neta está dada en función del ángulo que ésta
hace con el eje x positivo.

Σ =— La aceleración es proporcional a la fuerza e inversamente
proporcional a la masa.
Está ley sólo se aplica si la masa es cte. Un sistema típico de masa
cambiante es un camión tanque con fuga, un cohete...
La unidad de fuerza en SI es el Newton (N): 1N = 1kg—m/s2
Fuerzas externas: fuerzas ejercidas sobre el cuerpo por otros cuerpos de
su entorno.
Peso de un cuerpo es la fuerza gravitatoria que la Tierra (u otro objeto
celeste) ejerce sobre un cuerpo. Depende de la situación del cuerpo (dado
que g cambia debido a efectos de la rotación de la Tierra y del hecho de no
ser perfectamente esférica). La masa no cambia.

Ejercicio: Laf uerza neta que actúa sobre un estudiante de 75 Kg es de
950 N. ¿Cuál es su aceleración en el SI?

Si dos cuerpos interaccionan, ejercen
fuerzas el uno sobre el otro, iguales en
magnitud y con direcciones opuestas,
llamadas par de acción y reacción.
Cada fuerza de un par acción–reacción
actúa sólo sobre uno de los cuerpos. Las
fuerzas de acción y reacción nunca
actúan sobre el mismo cuerpo.
Son ejemplos de la 3ª ley de Newton: la fuerza normal, la fuerza con que
chocas con otra persona o una pared, etc …
2. Conserv del momento. 3ª Ley de Newton (Acción-Reacción)
Física. Tipler. Vol.1

Un caballo no quiere tirar de un
carro. Las razones del caballo son:
“según la 3ª ley de Newton, la
fuerza que ejerceré sobre el carro
será contrarrestada por una fuerza
igual y opuesta sobre el carro, de
forma que la fuerza neta será cero
y no podré acelerar el carro”.
¿Cuál es el error de este
razonamiento?.
Como el problema se refiere al carro, se ha incluido una línea de puntos en cuyo interior
se indican las fuerzas que actúan sobre él. Se llama T a la fuerza que hace el caballo.
Además se considera el peso W y la normal Fn ejercida por el suelo, además de la
fuerza horizontal del suelo “f” que llamamos fricción.

Las fuerzas verticales, W y Fn se anulan entre sí (el carro no se acelera verticalmente),
mientras que el carro se acelera horizontalmente porque T es superior a “f”.

EJEMPLO 2: Un trabajador aplica una fuerza horizontal cte. de 20 N
sobre una caja de 40 kg que está apoyada en una mesa. Considere que el
rozamiento entre la caja y la mesa es despreciable. ¿Qué aceleración
experimenta la caja?

EJEMPLO 3: Una lámpara de masa m=42,6kg cuelga de unos
alambres, como muestra la figura. Calcule la tensión en cada uno de los
cables.

EJEMPLO 3: Una lámpara de masa m=42,6kg cuelga de unos
alambres, como muestra la figura. Calcule la tensión en cada uno de los
cables.
Ver cuál de las Leyes de Newton debemos aplicar. En este caso el
sistema está en equilibrio, por lo tanto se aplica la primera ley: Σ =0

EJEMPLO 4: Un camarero empuja una botella de salsa con una masa de
0.45 kg hacia la derecha sobre la barra del mostrador horizontal y liso.
Al soltarla su velocidad es constante y tiene valor 2.8 m/s, pero se frena
bajo la acción de la f uerza de f ricción horizontal que ejerce el
mostrador. La botella se desliza 1.0 m antes de parar. ¿Cuál es el valor
de la fuerza de rozamiento? Indique su dirección y sentido.

que la botella cambia su estado de movimiento.
Lo primero que tenemos que hacer es determinar la aceleración de
frenado de la botella. Para ello usamos las ecs. del MRUA:
=−3,9m/s2.
Para determinar la fuerza de rozamiento:
fr=0.45Kg—(-3.9m/s2)=−1,7
Sentido: contrario al movimiento Dirección: 180º
EJEMPLO 4: Un camarero empuja una botella de salsa con una masa de
0.45 kg hacia la derecha sobre la barra del mostrador horizontal y liso.
Al soltarla su velocidad es constante y tiene valor 2.8 m/s, pero se frena
bajo la acción de la f uerza de f ricción horizontal que ejerce el
mostrador. La botella se desliza 1.0 m antes de parar. ¿Cuál es el valor
de la fuerza de rozamiento? Indique su dirección y sentido.
En este caso la ley de Newton aplicable es la segunda =, puesto

EJEMPLO 5: Dos bloques están en contacto sobre una superficie
horizontal sin rozamiento. Una fuerza F horizontal se aplica a uno de
ellos como muestra la figura y ambos son acelerados. Determinar la
aceleración y la fuerza de contacto para a) los valores generales de F, m1
y m2 y b) para F=3,2N, m1=2kg y m2=6 kg.

2. Conserv del momento. Tipos de Fuerzas
Fuerza de Rozamiento
Si sobre una superficie horizontal empujamos un bloque de masa m
con velocidad inicial, se detendrá al cabo de un tiempo t (su
velocidad final será cero). Esto significa que mientras el objeto se
mueve experimenta una aceleración de sentido opuesto a su
movimiento. A esta fuerza que produce una aceleración contraria al
movimiento y que se debe al continuo contacto entre la superficie
de dos cuerpos (superficie-objeto) se le llama FUERZA DE ROZA
MIENTO.

Fuerza de Rozamiento
La fuerza de rozamiento es siempre opuesta al movimiento, nunca a
favor:
Siempre que la superficie de un cuerpo se desliza sobre la superficie de
otro, cada cuerpo ejerce una fuerza de rozamiento sobre el otro. Estas
fuerzas son paralelas a la superficie de cada cuerpo y tienen sentido
opuesto a su movimiento. Las fuerzas de rozamiento automáticamente
se oponen al movimiento.
Donde f es la fuerza de
rozamiento, N la fuerza
normal y µ es el
coeficiente de rozamiento

Se llama rozamiento estático a la fricción
que ocurre entre dos superficies cuando
están en reposo una en relación a otra
El coeficiente de rozamiento estático µe es la relación entre la magnitud
de máxima fuerza de fricción estática (máxima) y la fuerza normal. El
símbolo de igualdad solo es válido cuando la fe tiene su valor máximo (la
máxima fuerza de rozamiento ocurre en el instante en que el bloque está
a punto de deslizar).

El rozamiento cinético o dinámico ocurre entre superficies que se
mueven una en relación a la otra. Hasta cierto punto consideramos que el
rozamiento cinético es independiente de la rapidez relativa con que las
superficies se mueven una sobre la otra, puesto que tal coeficiente
decrece lentamente con el aumento de la velocidad.
fc=N—µc
Tanto µc como µe son constantes y adimensionales, puesto que ambos
coeficientes representan la relación de magnitud de dos fuerzas; la
normal y la de rozamiento. µcµe, ya que la fuerza que se necesita para
empezar el movimiento es mayor que para mantenerlo.

Precauciones en el cálculo de la normal: (La normal es la fuerza de
reacción de la superficie sobre el cuerpo).
Supongamos un bloque de masa m está en reposo
sobre sobre una superficie horizontal. Las únicas
fuerzas que actúan son el peso mg y la fuerza normal
N. De las condiciones de equilibrio se obtiene que la
normal N es igual al peso mg : ==
Consideremos de nuevo el bloque sobre la superficie
horizontal. Si además atamos una cuerda al bloque que
forme un ángulo θ con la horizontal, la fuerza normal
deja de ser igual al peso. La condición de equilibrio en
la dirección perpendicular al plano establece =0
+ —Ɵ =

Plano inclinado
Si ahora, el plano está inclinado un ángulo Ɵ, el bloque está en equilibrio
en sentido perpendicular al plano inclinado por lo que la fuerza normal
N es igual a la componente del peso perpendicular al plano,
=g—cosƟ

Descripción de un problema típico:
Sea un bloque de masa m1 posicionado sobre un plano inclinado de
ángulo θ (ver figura). El bloque está conectado a otro bloque de masa m2
que cuelga de su otro extremo mediante una cuerda inextensible que pasa
por una polea ideal (de rozamiento y momento de inercia despreciables).
Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano inclinado es µ
¿Cómo será el movimiento del sistema?
Hay dos posibles situaciones.
1 – Cuando el bloque masa m1 esté en movimiento.
2 – Cuando el bloque de masa m2 esté en reposo.
En cada caso, al trazar el diagrama de fuerzas hay que tener en cuenta que:
Cuando el bloque desliza, la fuerza de rozamiento es siempre de sentido
contrario al vector velocidad.
Si el bloque de masa m1 está en reposo, la fuerza de rozamiento es de
sentido contrario a la resultante de las otras fuerzas que actúan sobre el

EJEMPLO 6. Un bloque de 100 kg se encuentra sobre un plano
inclinado de 45º. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el
plano es de 0.3. Determine la fuerza mínima paralela al plano inclinado
capaz de mantener el bloque parado.

EJEMPLO 7. En la figura del plano inclinado m1=4 kg. El coeficiente
de rozamiento estático entre el bloque y el plano inclinado es 0,4. a)
Determine el valor de m2 de modo que el sistema esté en equilibrio
estático. b) Si el coeficiente de rozamiento cinético entre el plano
inclinado y el bloque es de 0,24. Determinar la aceleración de las masas
sabiendo que m2=6kg y la tensión en la cuerda.

EJEMPLO 8. Un bloque de 60 kg se desliza por la parte superior de
otro bloque de 100 kg con una aceleración de 3 m/s2 por la acción de
una fuerza horizontal F de 320 N, como indica la figura. El bloque de
100 kg se apoya sobre una superficie horizontal sin rozamiento, pero
hay rozamiento entre los dos bloques.
(a) Determinar el coeficiente de rozamiento cinético entre los bloques.
(b) Determinar la aceleración del bloque de 100 kg durante el tiempo
en que el bloque de 60 kg mantiene el contacto.

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