Aplicación de los limites matemáticos (elemental)

1. UNIVERSIDAD TÉCNICA
PARTICULAR DE LOJA
Matemática
APLICACIÓN DE LÍMITES
Medina H. Raúl C.i. 1900816321
Miercoles 5 de noviembre del 2014

2. El límite de unafunción esun puntoo lugardelamismaal que nose llegadirectamente onoesta
enla función
lim
𝑥→𝑎
= 𝐿
Es un puntoque se deduce a travésde la utilizaciónde números aproximados a a, tantode un
ladocomo del otro,estosaproximadossíson reemplazados enlafunciónymediante el desarrollo
de una tablade valoresse apreciacomolosresultadosse acercana unmismonúmero,siendoeste
el límite L de la funciónbuscada,porejemplo:
lim
𝑥→1
= 𝑥2
X F(x)
0.8 0.64
0.9 0.81
0.99 0.98
1.001 1.002
1.01 1.02
1.1 1.21
lim
𝑥→1
𝑥 − 2
𝑥2 − 𝑥 − 6
Con estafunciónloprimeros que tenemos que hacer esfactorar la ecuación cuadrática presente,
para así poder desarrollar la tabla de valores o sustituir
lim
𝑥→1
𝑥−2
𝑥2−𝑥−6
=
𝑥−2
(𝑥−2)(𝑥+3)
una vezdesarrolladapodemosempezar con la tabla de valores o con la
sustitución directa.
Se apreciacomo a medidaque losnúmerosse aproximana alos valores de
la función se aproximan a ¼ siendo este el límite de la función buscada,
pero, sin embargo, tomamos la función factorada y sustituimos x por 1, el
límite obtenido es el mismo que obtenemos con la tabla de valores.
lim
𝑥→1
𝑥−2
(𝑥−2)(𝑥+3)
=
1−2
(1−2)(1+3)
=
−1
−4
=
1
4
La obtencióndel límite tambiénse aplicaatoda clase de función,exponencial, polinómica,
trigonométrica,etc.
x f(x)
0.5 1.5/6.75
0.99 1.1/4.29
0.999 1.001/4.002
1.001 0.999/3.996
1.01 0.99/3.95
1.5 0.5/1.75
Se apreciacomo a medidaque se aproximaal valorde x sin
emplearlo,el resultadode laecuacióntambiénse aproximaaun
mismovalor,eneste caso,por coincidencia,tambiénes1,cabe
recalcar que el valorque nosda para el límite noessiempre el límite
de la ecuación,eneste casoes solounacoincidencia.

3. EjemploPráctico (tomadode:Soo T. Tan, StonehillCollege(2012). Matemáticasaplicadasa los
negocios,lasciencias sociales y de la vida)
La aplicacióndel límite de unafunciónse puedeusarparadeterminarunafrecuenciade
aceleraciónotaza de crecimiento,porejemplopráctico:
En España, el grupo ACSse tiene planeadalaconstrucciónde unalíneaferroviariaporlevitación
magnética,oun Maglevde una extensiónde 6Km, que pretende unir CartujayBlas Infante,en
Sevilla.
Para aplicarloslímites,se ha determinadomediante unprototipode maglevlaposiciónenpies
desde el origenenel momento t(segundos) dadopor:
𝑠 = 𝑓( 𝑡) = 4𝑡2 (0 ≤ 𝑡 ≤ 30)
La posiciónenmedidadel tiempo (t=0, 1, 2, 3,...10) transcurridosería lasiguiente
t = 0 t=1 t=2 t=3 t=10
0 4 16 36 400 s (pies)
Podemosde aquícalcular unavelocidadpromedio,porejemplo,tomemosel intervalode tiempo
(2, 4)
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜
=
𝑓(4)−𝑓(2)
4−2
=
4(42)−4(22)
2
=
64− 16
2
= 24 o simplemente4piespor
segundo,estaNOesla velocidaddel trenen t= 2 es solounaaproximaciónde lavelocidadenese
momento,pero,¿se puede sermásexacto?,¡claroque sí!,con un intervalode tiempomenor
elegido,meyorserálavelocidadpromediosobre dichointervalo que se aproximaraalavelocidad
real del trenen t = 2, si tomamosa t=2 comopuntoextremoizquierdo,se deduce laecuación
siguiente enbase a (2, t)
𝑓( 𝑡)−𝑓(2)
𝑡−2
=
4( 𝑡2)−4(22)
𝑡−2
=
4(𝑡2−4)
𝑡−2
Comose a dichoal inicio,parael límte se toman losnúmeroscercanosa a, eneste caso2, tanto
de izquierdacomodederechayelaboramoslatablade valores
lim 𝑔(𝑡)
𝑥→2
= lim
𝑥→2
4(𝑡2 − 4)
𝑡 − 2
t g(t)
1.5 14
1.99 15.96
1.9999 15.9996
t g(t)
2.5 18
2.01 16.04
2.0001 16.0004
Se apreciacómo a medidaque t se aproximaa
2, tanto de izquierdacomode derechael
resultadode lafunciónse aproximacadavez
más 16, se diría entoncesque:
lim
𝑥→2
4(𝑡2−4)
𝑡−2
= 16

4. Otro practicidadque se le puede dara los límitesesenel sectorde economía,por ejemplo,se
puedenusarpara elaborarunagráfica para sabersi el nivel de producciónyparaencontrarel
menorcosto posible yasígeneraruna mayorganancia.
Tambiénesunejemplocuandose presentaunalzaencostesde la materiaprimagenerandoun
cambioencosto que generóanteriormente.
En fin,comose vioenel ejemploanterior,loslimitesnossirvenparadeterminartantodistancias,
velocidades,tazasde crecimiento,etc.
Conclusionesyrecomendaciones
 Los limitessonnecesariosparael cálculoyla aplicaciónde este
 Los limitesnospermitendeterminartazasde crecimientoodecrecimiento,velocidades,
distanciasvariablesynoconstantescomoconla algebraelemental.
 Es recomendable aplicarmáslos límitesasu uso práctico,puestoque graciasa la
aplicación,suentendimientoesmásfavorable.
 Es recomendable repasarbientodoslostiposde factoreoasícomo la resoluciónde los
distintostiposde funciones,yaque en muchoscasoshace falta factoraro desarrollar
funcionesantesde aplicarlímitesaestas.
Bibliografía
 Ron Larson y Bruce H. Edwards.(2011). Cálculo novena edición.México: Mc Graw Hill.
 Soo.T. Tan, Stonehill College. (2012). Matemáticasaplicadasa losnegocios,lasciencias
sociales y dela vida.Algarín,México,D.f.: Cengage Learning.
 PabloJavierPiacente (15de Octubre 2010). Proyectan el primen tren de levitación
magnética en España.Tendencias21[enlinea].Disponible en:
http://es.slideshare.net/anafenech/modelo-apa-bibliografia