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- 1. República bolivariana de Venezuela Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Universitaria Universidad Politécnica Territorial Del Estado Lara Andrés Eloy Blanco Programa Nacional De Información En Higiene Y Seguridad Laboral Expresiones Algebraicas Integrantes: Reimarys Gaona C.I: 31765967
- 2. Desarrollo Sumas y resta de expresión algebraica Sumas La suma algebraica de monomios y polinomios es una operación que permite juntar o reunir dos o más expresiones algebraicas en una sola expresión. En la suma de expresiones algebraicas se busca reducir los términos semejantes si es posible. Sumas de monomios y polinomios Monomios: Sumar los monomios 3a, 4ab y 2a. Como se puede observar es posible agrupar 3a y 2a, no es posible agrupar 4ab ya que el término no tiene de incógnita las mismas letras (en este caso se tiene la letra b de más). El resultado sería: 3a + 4ab + 2a = 5a + 4ab Polinomios: Para una mejor representación de la suma de polinomios es recomendable incluir cada polinomio dentro de paréntesis. Sumar los polinomios a + 3b, 2a + 3ab y 4b + 2ab. (a + 3b) + (2a + 3b) + (4b + 2ab) = a + 3b + 2a + 3b + 4b + 2ab Ahora se debe simplificar la anterior expresión algebraica, como resultado será: 3a + 7b + 5ab
- 3. Resta La resta algebraica es una de estas operaciones. Consiste en establecer la diferencia existente entre dos elementos: gracias a la resta, se puede saber cuánto le falta a un elemento para resultar igual al otro. Resta monomios y polinomio Monomios: La resta de monomios es muy parecida a la suma, sólo que hay que cambiar los números del sustraendo por su simétrico y se resuelve aplicando las reglas de la suma. Ahora bien, si tomamos en cuenta que el valor absoluto de un número algebraico es el valor de dicho número sin tener en cuenta su signo. Ejemplo: si tenemos (8x) – (6x) = a) Se convierte la resta en suma cambiando el sustraendo por su simétrico. (8x) + (-6x) = b) Se resuelve aplicando las reglas de la suma. (8x) + (-6x) = (8-6) x = +2x Polinomios: Para restar polinomios se hace lo siguiente:
- 4. a) Se convierte la resta en suma cambiando los signos de cada uno de los términos del sustraendo. b) Se forman columnas de términos semejantes y se suman los coeficientes de cada columna dejando la misma parte literal. Ejemplo: Supongamos que deseas hacer la resta de ( -8x³ + 3x -2x²) – (4x² + 8x³ - 7) Se convierte la resta en suma suprimiendo el paréntesis que es precedido por el signo –. (-8x³ + 3x -2x²) – (4x² + 8x³ - 7) (-8x³ + 3x -2x²) – (-4x² - 8x³ + 7) Se forman columnas de términos semejantes y se suman los coeficientes dejando la misma parte literal. −8𝑥3 − 2𝑥2 + 3 −8𝑥3 − 4𝑥2 + 7 −16x3 − 6𝑥2 + 7 Multiplicación y división de expresiones algebraicas Multiplicación La multiplicación algebraica de monomios y polinomios consiste en realizar una operación entre los términos llamados multiplicando y multiplicador para encontrar un tercer término llamado producto. Multiplicación de monomios: Multiplicar 3a2 por 6a4. Se multiplican los coeficientes (+3)(+6) = +18 y a continuación se hace la multiplicación de las letras (a2)(a4) = a2 + 4 = a6, por lo tanto, el resultado será: (3a2)(6a4) = 18a6
- 5. Multiplicación de monomios por polinomio: Multiplicar 4b por (a2 – 3ab + 5b2c), otra forma recomendable para analizar es realizando la multiplicación en forma de columna. (a2 – 3ab + 5b2c) x (4b) 4a2b – 12 ab2 + 20b3c Multiplicación de polinomios por polinomio: Se recomienda acomodar en forma de columnas, se multiplican los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en consideración “la ley de los signos”, y el acomodo de los términos semejantes. Multiplicar (a + 3) por (3 – a): (a + 3) x (3 - a) – a2 – 3a + 3a + 9 – a2 + 0 + 9 El resultado de (a + 3) (3 – a) es –a2 + 9 que es lo mismo 9 – a2. División En el caso de la división algebraica de monomios y polinomios es recomendable realizar un acomodo en forma de fracción. La o las letras se debe multiplicar por la misma letra del denominador con el exponente inverso para que únicamente queden las letras en el numerador, en otras palabras, pasar el denominador al numerador con el exponente de las letras invertido.
- 6. División de monomios y polinomios Monomios: La división de un monomio entre monomio es muy simple, la parte numérica se efectúa mediante una división común (visto en aritmética) y la parte de la letras se aplica la regla de los exponentes. Polinomios: Dividir 3x² + 11x + 6 entre x + 3. En este caso los términos se encuentran ordenados, por lo tanto, es posible efectuar la división. Se debe tomar de 2 términos el dividendo, ya que el divisor consta de 2 términos. Productos notables de expresiones algebraicas Los productos notables son expresiones algebraicas que vienen de un producto que conocemos porque sigue reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. Estas operaciones son fáciles de recordar sin necesidad de efectuar la multiplicación correspondiente. Factorización por productos notables Es el proceso algebraico por el medio del cual se transforma de una suma o resta de términos algebraicos en un producto algebraico, también se puede entender como el proceso inverso del desarrollo de productos notables Simplificación de fracciones algebraicas. Suma y resta de fracciones algebraicas
- 7. Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común de ambos. 𝑥2 + 4𝑥 + 4 𝑥2 − 4 = ( x + 2)2 (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 − 2) = (𝑥 + 2) (𝑥 − 2) Suma y resta de fracciones algebraicas: Para sumar o restar fracciones algebraicas se procede de igual manera que con la fracciones aritméticas: se Encuentra el mínimo común denominador y se realizan las operaciones de forma similar. Multiplicación y división de fracciones algebraicas Multiplicación: Para multiplicar dos fracciones algebraicas se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador de cada una de ellas. Para no manipular expresiones tan largas, si es posible se debe simplificar cada una de las fracciones antes de efectuar los productos. Como en las sumas y las restas, hay que tener en cuenta los ceros (0) en los denominadores. Ejemplos: 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) . R(x) 𝑇(𝑥) = P(x)𝑅(𝑥) 𝑄(𝑥)𝑇(𝑥) , 𝑄(𝑥) ≠ 0, T(x) ≠ 0 División: Para dividir fracciones algebraicas se intercambia el numerador y el denominador de la fracción que este a la derecha del signo de división y se procede como en la multiplicación. Como en las operaciones de suma, resta y multiplicación, para realizar la operación hay que tener en cuenta los ceros en los denominadores.
- 8. Ejemplos: 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) ÷ 𝑅(𝑥) 𝑇(𝑥) = 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) 𝑍(𝑥) 𝑅(𝑥) , 𝑄(𝑥) ≠ 0, 𝑍(𝑥) ≠ 0, 𝑅(𝑥) ≠ 0 Factorización por resolvente cuadrática y por cambio de variable Resolvente cuadrática: Factorizar es una estrategia muy útil para resolver algunas ecuaciones cuadráticas pues sabemos que un polinomio como este x²+(p +q)x +pq Se factoriza fácilmente en dos polinomios lineales: x²+(p +q)x +pq = (x + p)(x + q) Entonces, las soluciones de la ecuación x²+(p +q)x +pq = 0 seran -p y -q. Si los tres coeficientes tienen un factor común α al dividir la ecuación entre α se obtiene una expresión más sencilla. Por ejemplo, si tenemos la ecuación 2x² - 10x + 12 =0. Los coeficientes de los tres términos son pares, por lo que podemos dividirla entre 2, convirtiéndola en x² - 5x + 6 = 0 En esta ecuación tenemos un polinomio como el descrito en el primer párrafo, por lo que: x² - 5x + 6 = (x- 2) (x-3) Y ahora obtener las soluciones de la ecuación original es muy sencillo: 𝑥1 = 2 𝑦 𝑥2 = 3. Comprueba que en efecto lo son.
- 9. Sin embargo, también hay ecuaciones como esta 2x² + 5x – 3 = 0 en las que los coeficientes no tienen ningún factor común. ¿Qué pasa si la dividimos entre el coeficiente del término cuadrático? tendríamos: 2𝑥² 2 + 5𝑥 2 − 3 2 = 0 x2 + 5𝑥 2 − 3 2 = 0 Para factorizar el polinomio obtenido de la misma manera que en el primer ejemplo, debemos encontrar dos números cuya suma sea cierta fracción y cuyo producto sea otra. Observa que como los números que buscamos pueden ser enteros o fracciones, las opciones posibles aumentan. En este caso, la factorización sería: x2 + 5𝑥 2 − 3 2 = (𝑥 + 3)(𝑥 − 1 2 Por lo que las soluciones de la ecuación original son: x1 = −3 𝑦 𝑥2 = 1 2 Por cambio de variable: Hay otro camino para poder hacer estas factorizaciones mediante un pequeño “truco” para evitar los coeficientes fraccionarios. El método consiste en transformar una ecuación de este tipo, en otra auxiliar que tenga coeficientes enteros y donde el coeficiente del término cuadrático sea 1. Explicaremos este procedimiento mediante un ejemplo: Resolvamos la siguiente ecuación:𝟔𝐱𝟐 − 𝟕𝐱 + 𝟐 = 𝟎. Observa que los tres coeficientes no tienen ningún factor común y que si dividiéramos la ecuación entre 6 obtendríamos coeficientes fraccionarios. Procederemos de otra forma: Multipliquemos la ecuación por 6
- 10. 36x² - 7 (6x) + 12 = 0 Si hacemos z = 6x entonces la ecuación se transforma en z² - 7z + 12 = 0 Factorizando el polinomio cuadrático de esta nueva ecuación: z² - 7z + 12 = (z – 3) (z – 4) Recuperamos x, escribiendo 6x en lugar de z y obtenemos, (6x – 3) (6x – 4) por lo que concluimos que la ecuación original puede factorizarse como: 36x² - 7 (6x) + 12 = (6x – 3) (6x – 4) Entonces, resolver la ecuación original, se traduce en resolver esta: (6x – 3) (6x – 4) = 0 Que involucra la resolución de dos ecuaciones lineales. Resolvamos cada ecuación lineal: 6x – 3 = 0 y 6x – 4 = 0 𝒙𝟏 = 𝟑 𝟔 = 𝟏 𝟐 𝒙𝟐 = 𝟒 𝟔 = 𝟐 𝟑 Este es un procedimiento de cambio de variable que hemos usado para factorizar ese tipo de ecuaciones. Factorización por el método de Ruffini La factorización de polinomios tiene como objetivo convertir el polinomio en un producto de polinomios que tienen un grado menor que el grado del polinomio dado; uno de los tipos de factorización es el método de Ruffini. Reglas de Ruffini: Éste es un método muy práctico, eficaz y sencillo, que nos permite con su aplicación, encontrar las
- 11. diferentes raíces de cualquier polinomio. Es ideal para aquellos polinomios que tienen un grado mayor que dos (2). Este método consiste en seleccionar una posible raíz del polinomio dado y formar una tabla; en el momento en que el último resultado de la tabla sea cero (0) habremos culminado; si no ocurre esto, entonces debemos intentarlo con otra posible raíz. Cuando hablamos de la raíz del polinomio nos referimos a un divisor del término independiente del polinomio (el término independiente es aquel que no tiene variable). Como hacer una factorización aplicando la regla de Ruffini Para realizar éste tipo de factorización debemos seguir los siguientes pasos: B 1. Ordenar el polinomio en orden decreciente, en caso de que falte algún término dejamos el espacio o colocamos cero ya que el polinomio debe estar completo. 2. Fijaros que el polinomio tenga término independiente; si no lo tiene sacar factor común hasta conseguir el término independiente. 3. Buscar todos los divisores del término independiente. 4. Formar una tabla y colocar los coeficientes del polinomio. 5. Colocar el primer divisor o raíz que se quiera usar en la esquina inferior izquierda, y bajar el primer coeficiente tal cual esté. Para la selección del divisor debemos tener presente que los número que vamos obteniendo o bajando los vamos a multiplicar por el divisor y luego el resultado de la multiplicación lo vamos a sumar o restar con los coeficientes que tenemos; el divisor que se escoja debe ser un número que haga que al final nos dé resto cero. Nota: Una manera de saber si un número es raíz; es
- 12. sustituyendo en el polinomio ese número como el valor de la variable (x), y si da cero (0) es raíz, si no da cero no lo es y se pasa al siguiente divisor. 6. Luego de obtener la primera raíz, el proceso se repite con los nuevos coeficiente obtenidos hasta que nos quede un solo coeficiente o hasta que no exista ninguna raíz que haga que nos dé resto cero (0). Suma y resta de radicales Para poder sumar o restar radicales, estos deben ser semejantes, quiere decir que deben compartir el mismo índice y radicando; también hay que estar familiarizados con la suma y resta de números con signo para poder realizar estas operaciones. Multiplicación y división de radicales Multiplicación: Empecemos con una cantidad que ya has visto antes, √64. Puedes simplificar esta raíz cuadrada pensando en ella como √16 • 4. √64 = √64 • 4 = √16 • √4 = 4 • 2 = 8 Si piensas en el radicando como un producto de dos factores (aquí, pensando en el 64 como el producto de 16 y 4), puedes obtener la raíz cuadrada de cada factor y luego multiplicar las raíces. El resultado final es el mismo, √64 = 8. División: Puedes usar las mismas ideas para encontrar la forma de simplificar y dividir expresiones radicales. Recuerda que la regla del producto elevado a una potencia dice que √𝑎𝑏 𝑥 = √𝑎 𝑥 • √𝑏 𝑥 .