Correção do fator de potência

Compensação
Reativa e a Correção
do Fator de Potência
Uma visão da engenharia de projetos
Versão R2.0.0

Esta publicação técnica é mantida revisada e atualizada para download
no site www.engeweb.eng.br.

2007
Ricardo Prado Tamietti
VERT Engenharia

Engenharia sem fronteiras
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T A M I E T T I , S E N D O V E T A D A A D I S T R I B U I Ç Ã O , R E P R O D U Ç Ã O T O T A L O U P A R C I A L
D E S E U C O N T E Ú D O S O B Q U A I S Q U E R F O R M A S O U Q U A I S Q U E R M E I O S
( E L E T R Ô N I C O , M E C Â N I C O , G R A V A Ç Ã O , F O T O C Ó P I A , D I S T R I B U I Ç Ã O N A W E B O U
O U T R O S ) S E M P R É V I A A U T O R I Z A Ç Ã O , P O R E S C R I T O , D O P R O P R I E T Á R I O D O
D I R E I T O A U T O R A L .
R E S E R V A D O S T O D O S O S D I R E I T O S .
T O D A S A S D E M A I S M A R C A S E D E N O M I N A Ç Õ E S C O M E R C I A I S S Ã O D E
P R O P R I E D A D E S D E S E U S R E S P E C T I V O S T I T U L A R E S .
E D I T O R A Ç Ã O E L E T R Ô N I C A :
R E V I S Ã O :
R I C A R D O P . T A M I E T T I
TAMIETTI, Ricardo Prado.
Compensação reativa e a correção do fator de potência – uma
visão da engenharia de projetos/ Ricardo Prado Tamietti – Belo
Horizonte, MG: Engeweb, 2007.
I S B N 8 5 - 9 0 5 4 1 0 - 1 - 2
Inclui bibliografia
1. Engenharia. 2. Compensação reativa. 3. Correção do fator de
potência.
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SOBRE O AUTOR
Graduado sem Engenharia Elétrica pela UFMG em 1994, onde também concluiu os
cursos de pós-graduação em Engenharia de Telecomunicações e em Sistemas de
Energia Elétrica com ênfase em Qualidade de Energia. Sócio-diretor da VERT
Engenharia. Engenheiro e consultor da COBRAPI desde 1994, com grande
experiência na elaboração, coordenação e gerenciamento de projetos de instalações
elétricas industriais e sistemas prediais, tendo atuado nas áreas de educação
corporativa, desenvolvimento de engenharia, sistema de gestão da qualidade,
engenharia de projetos, planejamento e controle, gerenciamento de contratos, de
projetos e de equipes técnicas de eletricidade. Auditor especializado em sistema de
gestão da qualidade para empresas de engenharia, segundo prescrições da ABNT
NBR ISO 9001. Membro da Comissão de Estudos CE-064.01 da ABNT/CB-03 -
Comitê de Eletricidade da ABNT. Autor de livros, softwares e artigos técnicos na área
de instalações elétricas. Na área acadêmica, atua como Coordenador técnico e
docente de cursos de pós-graduação lato sensu direcionados ao ensino da engenharia
de projetos industriais em diversas universidades do país.
Mantém na internet a loja virtual www.engeweb.eng.br, uma editora multimídia
especializada na produção e distribuição de conteúdos autorais e informativos – tanto
de criação própria quanto de autores parceiros – sob a forma de cursos e e-books
(livros digitais) para a área de engenharia.
contato: tamietti@vertengenharia.com.br
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Este trabalho é dedicado aos meus pais,
meus grandes incentivadores, à minha
esposa Cris, pelo constante apoio e
compreensão e ao nosso filho Matheus, a
mais nova razão da nossa vida.
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COMPENSAÇÃO REATIVA – UMA VISÃO DA ENGENHARIA DE PROJETOS www.vertengenharia.com.br
SUMÁRIO
1 CONCEITOS BÁSICOS...........................................................................................................................................2
1.1 ENERGIA ELÉTRICA ..........................................................................................................................................2
1.2 TENSÃO E CORRENTE ELÉTRICA........................................................................................................................3
1.2.1 Análise de circuitos em corrente contínua (CC) e alternada (CA) .......................................................... 4
1.3 ELEMENTOS DE UM CIRCUITO ELÉTRICO...........................................................................................................5
1.3.1 Resistência............................................................................................................................................. 5
1.3.2 Indutância............................................................................................................................................... 7
1.3.3 Capacitância........................................................................................................................................... 8
1.3.4 Impedância............................................................................................................................................. 9
1.4 POTÊNCIA E ENERGIA ELÉTRICA .....................................................................................................................13
1.4.1 Potência complexa ...............................................................................................................................22
1.4.2 Medição de energia .............................................................................................................................. 26
2 FATOR DE POTÊNCIA: FUNDAMENTOS, CAUSAS E CONSEQUÊNCIAS..............................................31
2.1 FUNDAMENTOS DO FATOR DE POTÊNCIA ........................................................................................................31
2.2 POR QUE PREOCUPAR-SE COM O FATOR DE POTÊNCIA?...................................................................................32
2.3 CAUSAS DE UM BAIXO FATOR DE POTÊNCIA ...................................................................................................38
2.3.1 Motores de indução operando em vazio ou superdimensionados (operando com pequenas cargas) . 38
2.3.2 Transformadores operando em vazio ou com pequenas cargas.......................................................... 39
2.3.3 Lâmpadas de descarga ........................................................................................................................ 40
2.3.4 Grande quantidade de motores de pequena potência em operação durante um longo período.......... 40
2.3.5 Tensão acima da nominal..................................................................................................................... 40
2.3.6 Cargas especiais com consumo de reativo .......................................................................................... 40
2.4 CONSEQUÊNCIAS DE UM BAIXO FATOR DE POTÊNCIA .....................................................................................40
2.4.1 Aumento das perdas na instalação ...................................................................................................... 41
2.4.2 Aumento da queda de tensão............................................................................................................... 41
2.4.3 Subutilização da capacidade instalada................................................................................................. 41
2.4.4 Sobrecarga nos equipamentos de manobra, proteção e controle ........................................................ 42
2.4.5 Aumento da seção nominal dos condutores......................................................................................... 42
3 CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA .........................................................................................................46
3.1 MÉTODOS PARA CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA .....................................................................................46
3.1.1 Alterações na rotina operacional do sistema elétrico ........................................................................... 47
3.1.2 Aumento do consumo de energia ativa ................................................................................................ 47
3.1.3 Instalação de motores síncronos superexcitados................................................................................. 49
3.1.4 Instalação de capacitores..................................................................................................................... 50
3.2 VANTAGENS DA CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA .....................................................................................60
3.2.1 Liberação da capacidade do sistema ................................................................................................... 60
3.2.2 Melhoria da tensão ...............................................................................................................................68
3.2.3 Melhoria na regulação da tensão ......................................................................................................... 70
3.2.4 Redução das perdas ............................................................................................................................ 71
3.2.5 Redução da corrente de linha............................................................................................................... 74
4 TIPOS DE CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA......................................................................................76
4.1 MODELOS DE CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA..........................................................................................76
4.1.1 Correção individual...............................................................................................................................77
4.1.2 Correção por grupos de cargas (quadro de distribuição terminal)........................................................ 82
4.1.3 Correção geral (quadro principal de baixa tensão)............................................................................... 82
4.1.4 Correção primária (entrada de energia em alta tensão) ....................................................................... 83
4.1.5 Correção mista ..................................................................................................................................... 84
4.2 OS TIPOS DE COMPENSAÇÃO DA ENERGIA REATIVA ........................................................................................86
4.2.1 Tipo clássico de banco fixo................................................................................................................... 86
4.2.2 Sistemas semi-automáticos e automáticos........................................................................................... 87
4.2.3 Correção do fator de potência em tempo real ...................................................................................... 89
4.3 NECESSIDADES ESPECÍFICAS DA INSTALAÇÃO ................................................................................................90
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4.3.1 Tamanho de carga ...............................................................................................................................90
4.3.2 Tipo de carga........................................................................................................................................ 91
4.3.3 Regularidade da carga ......................................................................................................................... 91
4.3.4 Capacidade de carga ........................................................................................................................... 91
4.4 ESQUEMAS ELÉTRICOS DE CORREÇÕES INDIVIDUAIS PARA PARTIDAS DE MOTORES........................................91
5 CAPACITORES DE POTÊNCIA..........................................................................................................................96
5.1 CARACTERÍSTICAS GERAIS .............................................................................................................................97
5.1.1 Princípios básicos................................................................................................................................. 97
5.1.2 Capacitância......................................................................................................................................... 98
5.1.3 Energia armazenada ............................................................................................................................ 99
5.1.4 Corrente de carga................................................................................................................................. 99
5.1.5 Ligação de capacitores......................................................................................................................... 99
5.2 CARACTERÍSTICAS CONSTRUTIVAS...............................................................................................................100
5.2.1 Caixa .................................................................................................................................................. 101
5.2.2 Armadura............................................................................................................................................ 103
5.2.3 Dielétrico............................................................................................................................................. 103
5.2.4 Líquido de impregnação ..................................................................................................................... 104
5.2.5 Resistor de descarga.......................................................................................................................... 104
5.2.6 Ligação das unidades capacitivas em bancos.................................................................................... 104
5.3 DIMENSIONAMENTO DE BANCOS DE CAPACITORES.......................................................................................109
5.3.1 Configuração em estrela aterrada ou triângulo................................................................................... 110
5.3.2 Configuração em estrela isolada ........................................................................................................ 111
5.3.3 Configuração em dupla estrela isolada............................................................................................... 112
5.3.4 Configuração em dupla estrela aterrada............................................................................................. 113
5.3.5 Método prático NBR 5060 .................................................................................................................. 116
5.4 CARACTERÍSTICAS ELÉTRICAS......................................................................................................................121
5.4.1 Conceitos básicos .............................................................................................................................. 121
5.5 MANOBRA E PROTEÇÃO DE CAPACITORES ....................................................................................................128
5.5.1 Dimensionamento de equipamentos de manobra para bancos de capacitores em baixa tensão ...... 132
5.5.2 Dimensionamento de dispositivos de proteção para banco de capacitores em baixa tensão ............ 133
5.5.3 Dimensionamento de dispositivos de manobra e proteção para banco de capacitores em alta tensão
138
5.5.4 Dimensionamento de condutores ....................................................................................................... 139
5.6 INSPEÇÃO, ENSAIOS E MANUTENÇÃO DE CAPACITORES ................................................................................140
5.6.1 Ensaios de capacitores....................................................................................................................... 140
5.6.2 Inspeção de capacitores..................................................................................................................... 145
5.6.3 Manuseio e armazenamento .............................................................................................................. 145
5.6.4 Manutenção de capacitores................................................................................................................ 146
5.7 SEGURANÇA E INSTALAÇÃO DE CAPACITORES..............................................................................................146
5.7.1 Requisitos de segurança .................................................................................................................... 146
5.7.2 Interpretação dos parâmetros dos capacitores................................................................................... 148
5.7.3 Cuidados na instalação de capacitores .............................................................................................. 148
5.8 LIGAÇÕES DE CAPACITORES EM ALTA TENSÃO .............................................................................................150
5.9 ATERRAMENTO DE CAPACITORES.................................................................................................................151
5.9.1 Bancos de baixa tensão ..................................................................................................................... 151
5.9.2 Bancos de alta tensão ........................................................................................................................ 151
5.10 ESPECIFICAÇÃO TÉCNICA .............................................................................................................................151
5.11 NORMALIZAÇÃO TÉCNICA ............................................................................................................................152
6 TARIFAÇÃO DA ENERGIA ELÉTRICA.........................................................................................................156
6.1 PRINCIPAIS DEFINIÇÕES................................................................................................................................156
6.2 CLASSIFICAÇÃO DOS CONSUMIDORES DE ENERGIA.......................................................................................158
6.2.1 Consumidores do Grupo A ................................................................................................................. 158
6.2.2 Consumidores do Grupo B ................................................................................................................. 159
6.3 TARIFAÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA ..............................................................................................................159
6.3.1 Tarifação convencional....................................................................................................................... 162
6.3.2 Tarifação horo-sazonal....................................................................................................................... 163
6.3.3 Tarifação monômia............................................................................................................................. 168
6.4 DEMANDA, CONSUMO E FATOR DE POTÊNCIA ...............................................................................................168
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6.5 A LEGISLAÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA .......................................................................................................171
6.5.1 O faturamento de energia e demanda ativa ....................................................................................... 174
6.5.2 O faturamento de energia e demanda reativas excedentes ............................................................... 180
6.5.3 Reduzindo a fatura de energia elétrica............................................................................................... 189
6.6 FATOR DE CARGA .........................................................................................................................................200
6.6.1 Tarifação convencional....................................................................................................................... 203
6.6.2 Tarifação Horo-sazonal Azul .............................................................................................................. 203
6.6.3 Tarifação Horo-sazonal Verde............................................................................................................ 204
7 PROJETO DA CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA.............................................................................206
7.1 INSTALAÇÕES EM FASE DE PROJETO .............................................................................................................206
7.1.1 A contratação do projeto..................................................................................................................... 206
7.1.2 Levantamento dos dados para estimativa do fator de potência.......................................................... 208
7.1.3 Metodologia para estimativa do fator de potência .............................................................................. 210
7.2 INSTALAÇÕES EM OPERAÇÃO........................................................................................................................215
7.2.1 Levantamento de dados ..................................................................................................................... 216
7.2.2 Medições ............................................................................................................................................ 217
7.2.3 Método dos consumos médios mensais............................................................................................. 217
7.2.4 Método analítico ................................................................................................................................. 218
7.2.5 Método das medições diretas............................................................................................................. 218
8 GERENCIAMENTO ENERGÉTICO.................................................................................................................221
8.1 CONTROLE DE DEMANDA, CONSUMO E FATOR DE POTÊNCIA ........................................................................221
8.1.1 A medição feita pela concessionária .................................................................................................. 222
8.1.2 Os controladores de demanda ........................................................................................................... 223
8.2 GERENCIAMENTO DE ENERGIA .....................................................................................................................228
8.2.1 Sistema típico de gerenciamento energético...................................................................................... 230
8.2.2 Monitoração energética remota (via internet) ..................................................................................... 234
8.3 CONTROLE AUTOMÁTICO DE BANCO DE CAPACITORES.................................................................................235
8.3.1 Controle automático de tensão........................................................................................................... 235
8.3.2 Controle automático da potência reativa capacitiva ........................................................................... 236
8.3.3 As vantagens do controle de fator de potência centralizado .............................................................. 237
9 BANCOS DE CAPACITORES E AS SOBRETENSÕES TRANSITÓRIAS .................................................240
9.1 ORIGEM DOS FENÔMENOS TRANSITÓRIOS.....................................................................................................241
9.1.1 Sobretensões ..................................................................................................................................... 245
9.1.2 Sobrecorrentes................................................................................................................................... 250
9.2 COMO MINIMIZAR OS EFEITOS DOS FENÔMENOS TRANSITÓRIOS ...................................................................251
9.2.1 Resistores de pré-inserção................................................................................................................. 251
9.2.2 Chaveamento com fechamento sincronizado..................................................................................... 252
10 COMPENSAÇÃO REATIVA EM REDES COM HARMÔNICAS..........................................................254
10.1 O QUE SÃO HARMÔNICAS .............................................................................................................................256
10.1.1 Ordem, freqüência e seqüência das harmônicas ............................................................................... 260
10.1.2 Espectro harmônico............................................................................................................................ 260
10.2 ORIGEM DAS HARMÔNICAS...........................................................................................................................262
10.2.1 Classificação das cargas não-lineares ............................................................................................... 264
10.2.2 Exemplos de cargas geradoras de harmônicas.................................................................................. 265
10.3 PROBLEMAS CAUSADOS PELAS HARMÔNICAS ...............................................................................................266
10.3.1 Motores e geradores .......................................................................................................................... 267
10.3.2 Transformadores ................................................................................................................................ 267
10.3.3 Aumento da corrente eficaz................................................................................................................ 268
10.3.4 Fator de potência................................................................................................................................ 268
10.3.5 Distorção das características de atuação de relés de proteção ......................................................... 268
10.3.6 Cabos de alimentação........................................................................................................................ 268
10.3.7 Interferências...................................................................................................................................... 270
10.3.8 Ressonâncias..................................................................................................................................... 270
10.3.9 Vibrações e acoplamentos ................................................................................................................. 270
10.3.10 Aquecimentos excessivos .................................................................................................................. 270
10.3.11 Disparos de dispositivos de proteção ................................................................................................. 270
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10.3.12 Tensão elevada entre neutro-terra ..................................................................................................... 271
10.3.13 Aumento do erro em instrumentos de medição de energia ................................................................ 271
10.3.14 Equipamentos eletrônicos .................................................................................................................. 271
10.4 DISTORÇÃO DE CORRENTE X DISTORÇÃO DE TENSÃO ...................................................................................272
10.5 QUANTIFICAÇÃO DAS HARMÔNICAS .............................................................................................................273
10.5.1 A taxa de distorção harmônica ........................................................................................................... 273
10.5.2 Fator de crista..................................................................................................................................... 278
10.6 MEDIÇÃO DE SINAIS HARMÔNICOS ...............................................................................................................279
10.6.1 Instrumentos convencionais de valor médio....................................................................................... 279
10.6.2 Instrumentos de valor eficaz verdadeiro (“TRUE RMS”)..................................................................... 279
10.7 HARMÔNICOS VERSUS TRANSITÓRIOS ...........................................................................................................281
10.8 PERDAS DIELÉTRICAS EM CAPACITORES NA PRESENÇA DE HARMÔNICAS......................................................281
10.9 FATOR DE POTÊNCIA COM HARMÔNICAS ......................................................................................................281
10.9.1 Potências ativa, reativa e aparente .................................................................................................... 282
10.9.2 Fator de potência................................................................................................................................ 285
10.10 NORMALIZAÇÃO PARA HARMÔNICAS ...........................................................................................................291
10.10.1 Limites da norma IEC 61000-3-2........................................................................................................ 292
10.10.2 Limites da Norma IEC 61000-3-6 ....................................................................................................... 292
10.10.3 Limites da Norma IEC 61000-2-2 ....................................................................................................... 292
10.10.4 Limites da norma IEEE 519-2............................................................................................................. 292
10.11 EFEITOS DA RESSONÂNCIA ...........................................................................................................................294
10.11.1 Circuitos ressonantes série e paralelo: conceitos básicos em redes lineares .................................... 295
10.11.2 Circuitos ressonantes série e paralelo em redes não-lineares ........................................................... 298
10.12 LOCALIZANDO FONTES DE HARMÔNICAS......................................................................................................300
10.13 PROTEÇÕES CONTRA HARMÔNICAS ..............................................................................................................301
10.14 FLUXOGRAMA DA CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA NA PRESENÇA DE HARMÔNICAS ..............................302
APÊNDICE A – RESOLUÇÃO 456/ANEEL.............................................................................................................305
APÊNDICE B – GRAFIA DAS UNIDADES E SEUS SÍMBOLOS.........................................................................344
APÊNDICE C – PROCEDIMENTO DE COMPRA DE BANCO DE CAPACITORES.......................................354
APÊNDICE D – POTÊNCIA EM SISTEMAS NÃO-SENOIDAIS.........................................................................359
APÊNDICE E – BIBLIOGRAFIA..............................................................................................................................369
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PREFÁCIO
É com muita alegria e satisfação que,
decorridos cinco anos do lançamento da
versão 1.0 do eBook “Correção do fator de
Potência”, apresentamos a versão 2.0,
rebatizada para “A compensação reativa e a
Correção do Fator de potência: uma visão da
engenharia de projetos”, totalmente revisada,
ampliada e com nova formatação. Foram
incluídas dezenas de novas figuras e de
novos exercícios.
Esta publicação técnica tem o principal
objetivo de fornecer aos profissionais
orientações e subsídios técnicos mínimos
para um correto dimensionamento e
aplicação de capacitores em sistemas de
potência para fins de compensação de
reativos da instalação e conseqüente
correção efetiva do fator de potência,
proporcionando às empresas maior
qualidade e maior competitividade. Especial
destaque é dado para plantas com
concentração de harmônicos, baseando-se
nas normas mais difundidas (nacional, como
ABNT, e internacionais como IEC, NEMA,
ANSI/IEEE).
Abordamos também a questão da
tarifação da energia elétrica, assunto
intimamente relacionado ao controle da
demanda e do fator de potência, visando
apresentar as oportunidades típicas para
economia de energia através da redução do
custo da energia comprada (R$/kWh) e da
redução do consumo de energia (kWh).
Considerando a importância das
finalidades mencionadas e entendendo
tratar-se de matéria técnica já
exaustivamente apresentada, porém nem
sempre do alcance geral de maneira didática,
completa e abrangente, este material foi
elaborado com uma fácil linguagem de
exposição, com exemplos e aplicações
práticas para engenheiros, eletrotécnicos e
demais profissionais envolvidos com o
assunto em referência.
Faltava no mercado uma publicação
técnica que apresentasse uma abordagem
básica sobre o assunto, objetivando a
compreensão dos seus aspectos
fundamentais. Considerando-se a
experiência que obtive na minha vida
profissional e acadêmica, utilizo como
filosofia a consideração de que o
entendimento e a compreensão de questões
complexas pressupõem o domínio dos
aspectos mais fundamentais e básicos sobre
o tema. Sem desmerecer o rigor matemático
que o tema merece, seremos objetivos na
nossa explanação e na apresentação das
equações que serão utilizadas na prática,
sem desviar nosso foco (que é o projeto da
compensação reativa) para as intermináveis
deduções das equações, através de uma
“sopa” de senos e cossenos. Isto fica a cargo
dos livros de análise de circuitos elétricos,
que tratam muito bem do assunto.
Desde já, peço desculpas pelos
eventuais enganos cometidos ou assuntos
não abordados dentro do tema proposto.
Serão muito bem vindas as sugestões e
críticas para melhoria deste material.
Obrigado a todos os leitores/usuários da
versão anterior que, de maneira muito
significativa, enviaram suas sugestões para a
conclusão desta nova versão.
Por fim, vale salientar a principal filosofia
desta publicação: ser um material formativo,
e não informativo. Este é o grande diferencial
em relação a muitos livros na área técnica de
eletricidade, onde acabamos apenas sendo
“informados” sobre o assunto, tipo: “isto
serve para isto e pronto”. O grande objetivo é
formar o leitor, dando conhecimentos
básicos e explicação do “por que” das coisas,
para que ele possa adquirir conhecimento e
conseguir dar soluções aos problemas
relativos à compensação reativa nas
instalações elétricas industriais.
tamietti@vertengenharia.com.br
Dezembro de 2005.
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INTRODUÇÃO
Cada vez mais se acentua a
preocupação com o aumento de
produtividade do sistema elétrico, através de
estudos de otimização e execução de
projetos de eficientização energética.
Devemos nos atentar não apenas em
economizar energia, mas em consumir com
produtividade, ou seja, minimizar ou
compensar o consumo de energia reativa em
uma instalação elétrica.
O tema “correção do fator de potência” é
relativamente antigo e exaustivamente
estudado. Desde as primeiras décadas de
1900 têm-se utilizado capacitores para a
compensação dos reativos nos mais variados
segmentos. Os conceitos básicos são
antigos, mas sempre novos problemas
surgem, muitas vezes em função dos
avanços tecnológicos, como, por exemplo, as
instalações com conteúdo harmônico na
presença de capacitores. Portanto, é
necessário um constante acompanhamento e
desenvolvimento de novas metodologias de
correção e medição do fator de potência.
Até meados deste século, os sistemas
elétricos existentes no País caracterizavam-
se pela proximidade das Usinas Geradoras
às unidades consumidoras e pelo tipo de
carga quase que exclusivamente resistiva
(basicamente lâmpadas incandescentes).
A diversificação da utilização da energia
elétrica e os novos tipos de carga, aliados ao
crescimento do mercado consumidor e da
industrialização de maneira geral, alteraram
a característica do sistema elétrico de
potência, aumentando as distâncias entre os
pontos de geração e consumo da energia
elétrica, além da introdução de valores cada
vez maiores de energia reativa em virtude da
instalação de motores, reatores, fornos,
capacitores, etc.
Esta nova demanda de carga reativa no
sistema originou a necessidade de ampliação
do sistema de geração e transmissão, com
usinas com maior capacidade para atender o
aumento de cargas resistivas e reativas.
Juntamente com o aumento do consumo
de energia reativa, vieram os problemas
decorrente do seu fluxo pelo sistema, sendo
necessária a redução da mesma para
atenuar suas conseqüências prejudiciais à
instalação.
Atualmente, um dos grandes problemas
que merecem especial atenção dos
profissionais envolvidos com projetos de
correção do fator de potência está
relacionado com o aparecimento das cargas
não lineares, como fornos de indução a arco
e outros dispositivos de descarga, e
principalmente devido ao avanço da
eletrônica de potência, com a utilização de
inversores de frequência, soft starters,
conversores CA/CC, o que tem tornado
crítica a aplicação de capacitores nestas
instalações.
Os harmônicos e o fenômeno da
ressonância, em conjunto, propiciaram o
aumento do consumo de energia, queima de
equipamentos eletrônicos sensíveis e dos
próprios capacitores, além das perdas de
produção, apenas para citar algumas das
conseqüências mais comuns. A partir disso,
têm-se adotado algumas técnicas para a
correção do fator de potência e redução dos
níveis harmônicos aos valores normalizados
pelo IEEE, IEC e ANEEL, com a adoção de
filtros, sistemas desintonizados, além de
modelos híbridos.
Desta forma, a compensação da energia
reativa numa instalação é de suma
importância e produz grandes vantagens,
entre elas:
Redução das perdas de energia em
cabos e transformadores, pela
redução da corrente de alimentação;
Redução dos custos de energia
elétrica, não só pela eliminação do
ajuste na tarifa imposto pela
concessionária, como pela redução
das perdas;
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Liberação da capacidade do sistema,
permitindo a ligação de cargas
adicionais, ou seja, aumento na
capacidade de condução dos cabos e
da capacidade disponível em
transformadores;
Elevação dos níveis de tensão,
melhorando o funcionamento dos
equipamentos da instalação.
É importante observar que a
preocupação com o consumo de energia
reativa não deve ser apenas das grandes
instalações elétricas (usualmente complexos
industriais). Nestes, o problema é acentuado
e "pesa" no bolso dos proprietários, não
apenas devido ao aumento de perdas, queda
de tensão ou sobrecarga nos equipamentos,
mas também através dos chamados "ajustes
da tarifação" (as populares "multas") devido
ao elevado consumo de energia reativa.
Por outro lado, as instalações de menor
porte, como as instalações prediais
(residenciais de maior porte e principalmente
comerciais) e pequenas indústrias e
instituições, por não haver em muitos casos
ajuste da tarifação, não se preocupam com a
compensação da energia reativa. Porém,
mesmos nestes casos, é importante observar
o consumo de reativo, pois uma
compensação poderá evitar todas as
conseqüências negativas acima
mencionadas, visando racionalizar o
consumo de seus equipamentos elétricos e
paradas de produção.
Com o principal objetivo de otimizar o uso
da energia elétrica gerada no país, limitando
o fluxo de energia reativa no sistema elétrico
e evitando o elevado sobredimensionamento
do mesmo, surgiu a primeira regulamentação
referente ao uso de energia elétrica,
estabelecida pelo Decreto Lei Nº 75887 de
20/06/75 com a adoção do fator de potência
de 85% como referência. Consumidores
atendidos em alta tensão que apresentassem
valor médio mensal abaixo desse referencial
eram penalizados com um percentual de
ajuste na conta de energia (multa).
Com o esgotamento cada vez maior das
fontes hidráulicas economicamente viáveis
para geração de energia elétrica aliado as
dificuldades econômicas para atender ao
mercado consumidor de energia em franca
expansão, foi necessário rever os critérios de
verificação e tarifação da energia reativa
excedente.
Assim, o extinto DNAEE (Departamento
Nacional de Águas e Energia Elétrica),
atualmente com a denominação de ANEEL
(Agência Nacional de Energia Elétrica),
através da resolução Nº 479 de 20 de Março
de 1992, estabeleceu que o fator de potência
mínimo de referência deveria ser igual a
92%, sendo válida, atualmente, a resolução
Nº 456/ANEEL, de 29 de Novembro de 2000.
Em outras palavras, o atual limite, livre de
tarifação para consumo de energia reativa, é
de 42% do consumo médio mensal e da
demanda instantânea de energia ativa
(correspondente ao fator de potência de
92%) em cada posto horário (ponta e fora de
ponta e entre 0 e 6 horas).
Com o avanço da tecnologia e com o
aumento das cargas não lineares nas
instalações elétricas (geradoras de
harmônicas), a correção do fator de potência
passa a exigir alguns cuidados especiais que
veremos em detalhes, e que, infelizmente,
nem sempre são levados em consideração
na elaboração dos projetos de correção do
fator de potência.
É importante salientar que, na maioria
das vezes, por desconhecimento técnico,
muitos projetistas limitam-se a aplicação de
bancos de capacitores (fixos ou automáticos,
em baixa ou média tensão) utilizando-se
simplesmente de medições pontuais de
consumo ou demanda de energia reativa,
quando o correto é uma análise da curva
diária de demanda de reativos, conforme os
limites estabelecidos pela legislação do fator
de potência.
Aliado a este fato, não basta determinar
apenas o montante de energia reativa e os
respectivos capacitores para um eficiente
projeto de compensação reativa. Faz-se
necessário, além dos dados das medições
de energia, as medições de harmônicas e
possíveis ressonâncias com a rede, bem
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como a análise dos tipos de cargas
envolvidas e seus respectivos regimes de
operação.
De posse destes dados, dependendo da
sofisticação da solução e do desempenho
requerido para a rede elétrica, poder-se-á
adotar desde uma simples aplicação de
capacitores (fixos ou automáticos), passando
pela instalação de reatores de dessintonia
(para evitar ressonâncias perigosas, apesar
do aumento da distorção harmônica), filtros
de harmônicos (para atenuar a distorção
harmônica) até a utilização de sistemas
automáticos de injeção de reativos em tempo
real, através de controladores dotados de
tiristores para chaveamento rápido.
Outro assunto bastante importante que
será abordado é o de gerenciamento de
energia e os diagnósticos energéticos,
objetivando a indicação do enquadramento
correto da empresa dentro das diversas
modalidades tarifárias existentes, para que a
empresa tenha um contrato de fornecimento
de energia adequado às suas condições e
necessidades.
Em face do crescente uso de automação
nas indústrias e do aumento das multas e
ajustes cobrados pelas concessionárias, o
gerenciamento da energia elétrica vem se
tornando uma necessidade para as
empresas interessadas em reduzir custos.
Como será apresentado, os consumidores
não estão se preocupando apenas com os
ganhos decorrentes da eliminação de multas,
e passam a exigir recursos para que se
alcance um aumento de produtividade
através da diminuição de interrupções, maior
vida útil dos transformadores e demais
equipamentos instalados nas subestações.
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Capítulo
IConceitos básicos
CAPÍTULO 1 – CONCEITOS BÁSICOS 1
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1 Conceitos básicos
Sumário do capítulo
1.1 ENERGIA ELÉTRICA
1.2 TENSÃO E CORRENTE ELÉTRICA
1.2.1 Análise de circuitos em corrente contínua (CC) e alternada (CA)
1.3 ELEMENTOS DE UM CIRCUITO ELÉTRICO
1.3.1 Resistência
1.3.2 Indutância
1.3.3 Capacitância
1.3.4 Impedância
1.4 POTÊNCIA E ENERGIA ELÉTRICA
1.4.1 Potência complexa
1.4.2 Medição de energia
É extremamente importante
estabelecer, logo de início, uma linguagem
comum, de forma que a comunicação de
cada termo a ser utilizado seja bastante
clara. Cada nova “quantidade” introduzida
deve ser apresentada. É o que chamamos de
unidades de medida. Para podermos
interpretar uma grandeza mensurável, é
necessário o conhecimento tanto de um
número quanto uma unidade, como, por
exemplo “10 metros”.
Neste livro será utilizado o Sistema
Internacional de Unidades (SI), conforme
descrito pela Resolução Conmetro 01/82,
sendo de uso compulsório no Brasil. Este
sistema é formado por sete unidades básicas
(metro, kilograma, segundo, ampère, kelvin,
mol e candela) e duas unidades
suplementares (radiano e esterradiano). A
combinação destas estabelece várias outras
unidades, chamadas de unidades derivadas.
As unidades de medidas, bem como as suas
grafias, símbolos e prefixos, estão
apresentadas no Anexo A e serão
introduzidas no momento da definição de
cada termo técnico ao longo dos capítulos.
1.1 Energia elétrica
Energia é a capacidade de produzir
trabalho e apresenta-se sob várias formas:
Energia térmica;
Energia mecânica;
Energia elétrica;
Energia química;
Energia atômica, etc.
Uma das mais importantes
características da energia é a possibilidade
de sua transformação de uma forma para
outra. Por exemplo: a energia térmica pode
ser convertida em energia mecânica
(motores de explosão), energia química em
energia elétrica (pilhas), etc. Entretanto, na
maioria das formas em que a energia se
apresenta, ela não pode ser transportada, ela
tem que ser utilizada no mesmo local em que
é produzida.
Na realidade, a energia elétrica é
invisível. O que percebemos são seus
efeitos, tais como:
Luz;
Calor;
Choque elétrico, etc.
A energia elétrica é uma forma de
energia que pode ser transportada com
facilidade, ao contrário de outras formas de
energia.
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1.2 Tensão e corrente elétrica
Nos materiais condutores, como os fios,
existem partículas invisíveis chamadas
elétrons livres, que estão em constante
movimento de forma desordenada.
Para que estes elétrons livres passem a
se movimentar de forma ordenada nos fios, é
necessário ter uma força que os empurre em
uma mesma direção. A esta força é dado o
nome de potencial elétrico ou tensão
elétrica (U), e sua unidade de medida é o
volt [V]. Na verdade, o que faz com que os
elétrons se movimentem é a diferença de
potencial (tensão) entre dois pontos no fio,
ou seja, uma diferença entre as
concentrações de elétrons (carga elétrica).
Esse movimento ordenado dos elétrons
livres, provocado pela ação da diferença de
potencial (tensão), forma uma corrente de
elétrons. Essa corrente ordenada de elétrons
livres (ou seja, carga “Q” em movimento) por
unidade de tempo (t) é chamada de corrente
elétrica (I), e sua unidade de medida é o
ampère [A], definido como a “corrente
elétrica invariável que, mantida em dois
condutores retilíneos, paralelos, de
comprimento infinito e área de seção
transversal desprezível e situados no vácuo
a 1 metro de distância do outro, produz entre
esses condutores uma força igual a 2 x 10-7
newtons por metro de comprimento desses
condutores”.
t
Q
I
Δ
= (1.1)
onde:
I = Corrente elétrica, em ampère [A];
Q = carga elétrica, em coulomb [C];
Δt = intervalo de tempo, em segundo [s].
Desta forma, pode-se dizer que a
intensidade da corrente é caracterizada pelo
número de elétrons livres que atravessa uma
determinada seção do condutor na unidade
de tempo.
Figura 1.1 Fluxo de elétrons através da seção de um
condutor.
Para fazermos idéia do comportamento
da corrente elétrica, podemos compará-la
com uma instalação hidráulica, interpretando
o fornecimento de energia elétrica a uma
carga como sendo realizado por um
“bombeamento de carga elétrica”.
A pressão que a água faz depende da
altura do reservatório (analogia com a
energia elétrica: tensão). A quantidade de
água que flui pelo cano por unidade de
tempo, ou seja, a vazão d’água, expressa em
m3
/s (analogia com a energia elétrica:
corrente) vai depender desta pressão e do
diâmetro do cano (analogia com a energia
elétrica: resistência).
Observe a pilha da figura 1.2. A energia
química faz com que as cargas positivas
(prótons) e as negativas (elétrons) se
concentrem em extremidades opostas (polos
positivo e negativo), estabelecendo uma
tensão elétrica U entre elas. Adicionalmente,
como as duas extremidades da pilha estão
interligadas por um condutor, a tensão
elétrica obriga os elétrons livres do circuito a
fluirem do polo negativo para o positivo. Este
fluxo ordenado de elétrons, como vimos, é a
corrente elétrica.
+
-
Pilha
IU
Figura 1.2 Tensão e corrente elétrica.
- -
- - -
-
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1.2.1 Análise de circuitos em corrente
contínua (CC) e alternada (CA)
A figura 1.3, letra (a), mostra a
representação gráfica da tensão e corrente
contínuas (CC), onde se vê que suas
intensidades não variam ao longo do tempo.
No entanto, exceto para aplicações
muito específicas (equipamentos movidos à
bateria, na maior parte), as instalações
elétricas (geração, transmissão, distribuição
e utilização) são feitas sob tensão e corrente
alternadas (CA). Como mostra a letra (b) da
mesma figura, as intensidades da tensão e
da corrente alternadas variam ao longo do
tempo, comportando-se, graficamente, por
exemplo, como uma curva de característica
trigonométrica do tipo senoidal.
Importante:
Em análise de circuitos, é comum distinguir-
se as quantidades constantes das variáveis
com o tempo, pelo emprego de letras
maiúsculas para as constantes (contínuas) e
minúsculas para as variáveis (alternadas).
Denomina-se período da tensão e da
corrente alternadas o tempo “T”, medido em
segundos, necessário para que suas
intensidades "percorram" a onda senoidal,
isto é: irem de zero até o máximo positivo,
voltarem a zero, irem até o mínimo negativo
e, por fim, retornarem novamente a zero.
O número de períodos por segundo que
a tensão e a corrente alternadas perfazem é
denominado frequência, medido em hertz
[Hz] e designado pela letra “f”. No Brasil, a
frequência é padronizada em 60Hz, ou seja,
a tensão (e a corrente) se inverte 60 vezes
por segundo. A relação entre a freqüência da
onda e o período é dada por:
T
f
1
= (1.2)
Nos circuitos alternados trabalha-se
com os valores instantâneos da intensidade
da tensão e da corrente, que são expressos
por:
( ) ( )αω +⋅⋅= tsenUtu m (1.3)
( ) ( )βω +⋅⋅= tsenti mI (1.4)
onde:
u = tensão instantânea, em volt [V];
i = corrente instantânea, em ampère [A];
Um = intensidade máxima da tensão em 1
período, em volt [V];
Im = intensidade máxima da corrente em 1
período, em ampère [A];
ϖ = 2 π f = frequência angular, em [rad/s],
sendo “f” a frequência em hertz [Hz];
t = intervalo de tempo, em segundo [s];
α e β = ângulo de fase da tensão e corrente,
em graus (fase da onda em t = 0).
Figura 1.3 Tensão e corrente contínuas e alternadas.
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Figura 1.4 Onda de tensão senoidal com ângulo de
fase diferente de zero.
Na figura 1.4, está representada a
expressão 1.3 com ângulo de fase igual a
zero (senóide na cor vermelha) e diferente de
zero (senóide na cor verde). Nesta situação,
pode-se dizer que o senóide verde está
adiantada de “α” graus.
Na prática, utilizamos os valores
eficazes da tensão (U) e da corrente (I)
senoidais, que representam valores médios e
são expressos por:
2
mU
U = (1.5)
2
Im
=I (1.6)
Onde U e I são medidos em [V] e [A],
respectivamente, e o significado dos termos
Um e Im já foram vistos.
Importante:
Daqui para frente, sempre que nos referirmos
a tensão ou a corrente alternada, a menos
que dito o contrário, suas intensidades estão
pressupostas serem as eficazes,
representadas pelas abreviaturas U e I,
respectivamente.
1.3 Elementos de um circuito elétrico
Dispositivos elétricos, tais como
fusíveis, lâmpadas, baterias, bobinas, etc,
podem ser representados por uma
combinação de elementos de circuitos muito
simples, constituídos, genericamente, por
dois terminais condutores perfeitos através
dos quais a corrente pode entrar ou sair do
elemento (figura 1.5).
u
Um
ω.t
α
A
B
Figura 1.5 Um elemento de circuito geral.
Os chamados elementos ativos são
aqueles capazes de fornecer energia
(potência) para a rede (tais como as fontes
independentes de tensão e corrente). Os
elementos passivos são aqueles capazes de
absorver ou armazenar a energia das fontes
(tais como resistores, capacitores e
indutores).
1.3.1 Resistência
Todos os materiais oferecem alguma
resistência à circulação da corrente elétrica:
de pouca a quase nenhuma, nos condutores,
a alta, nos isolantes. A resistência elétrica,
designada pela letra R, é a medida em ohm
[Ω] da oposição que o circuito condutor
oferece à circulação da corrente, sendo
expressa por:
IRU ⋅= (1.7)
onde:
U = tensão, em volt [V];
I = corrente, em ampère [A];
R = resistência, em ohm [Ω].
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A expressão 1.7 é a interpretação
matemática da Lei de Ohm, que diz:
A corrente que flui através de uma
resistência é diretamente proporcional à
tensão aplicada e inversamente proporcional
à resistência.
Nesta forma simples, a Lei de Ohm se
aplica apenas aos circuitos de corrente
contínua e aos de corrente alternada que
contenham somente resistências.
Para os circuitos alternados contendo
indutores e/ou capacitores, novos
parâmetros precisam ser considerados - tais
parâmetros sendo, respectivamente, a
indutância e/ou a capacitância do circuito,
fenômenos que descreveremos logo adiante.
Em corrente alternada, como vimos, a
tensão e, conseqüentemente, a corrente,
mudam de polaridade no ritmo estabelecido
pela frequência, seguindo um
comportamento senoidal.
Nas resistências elétricas, as senóides
da tensão e da corrente passam pelos seus
pontos notáveis (máximo, zero e mínimo)
simultaneamente, como mostra a figura 1.6.
Diz-se que estão "em fase" e representa-se
por ϕ = 0º. O ângulo ϕ, denominado ângulo
de fase, mede a defasagem entre a tensão e
corrente em um determinado instante, ou
seja, ϕ = α - β.
Figura 1.6 Senóides da tensão e da corrente nas
resistências.
1.3.1.1 Associação de resistências
A associação das resistências em um
circuito elétrico pode ser de dois tipos:
associação série e associação paralela.
Uma associação em série é aquela em
que o valor da corrente elétrica é a mesma
em cada resistência (o valor da tensão sob
cada elemento é variável e depende do valor
da resistência). Já na associação em
paralelo, todas as resistências estão
submetidas ao mesmo valor da tensão (o
valor da corrente em cada elemento é
variável e depende do valor da resistência).
a) Associação de resistências em série
A associação de resistências em série
pode ser representada através do seu valor
equivalente Req (figura 1.7), conforme
expressão 1.8.
Figura 1.7 Associação de resistências em série.
nq RRR +++= ...R 21e (1.8)
b) Associação de resistências em paralelo
A associação de resistências em
paralelo pode ser representada através do
seu valor equivalente Req (figura 1.8)
conforme expressão 1.9.
R2 RnR1
Req
AC
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W
W
W
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G
EW
EB.EN
G
.BR
PAR
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Figura 1.8 Associação de resistências em paralelo.
nq RRR
1
...
11
R
1
21e
+++= (1.9)
1.3.2 Indutância
A corrente alternada, ao circular em
uma bobina (indutor), gera o fenômeno de
auto-indução, ou seja, a bobina, ao ser
energizada, induz tensão em si mesma.
Por sua vez, a tensão auto-induzida
gera uma contra-corrente, que provoca o
retardamento da corrente em circulação.
Este fenômeno (uma forma de
resistência) é denominado reatância
indutiva, designado por XL , medido em ohm
[Ω] e expresso por:
LfLXL ⋅⋅⋅=⋅= πω 2 (1.10)
onde:
f = frequência, em hertz [Hz];
L = indutância, em henry [H];
ϖ = 2 π f = frequência angular, em [rad/s].
O indutor é um elemento passivo do
circuito que armazena energia durante certo
período de tempo e devolve esta durante
outro período, de tal forma que a potência
média é zero (definiremos o termo “potência”
mais adiante).
R1
R2
R
Figura 1.9 Senóides da tensão e da corrente nas
bobinas (indutores).
Como esquematizado na figura 1.9, nos
circuitos puramente indutivos, o
retardamento da corrente a faz ficar
defasada de 90° em relação à tensão, ou
seja, o ângulo de fase é ϕ = 90°.
Dica:
Nos circuitos de corrente contínua, as
bobinas se comportam como um curto-
circuito.
1.3.2.1 Associação de indutores
A associação dos indutores em um
em cada indutor (o valor da tensão sob cada
elemento é variável e depende do valor da
indutância). Já na associação em paralelo,
todos os indutores estão submetidos ao
mesmo valor da tensão (o valor da corrente
em cada elemento é variável e depende do
valor da indutância).
a) Associação de indutores em série
A associação de indutores em série
equivalente XLeq (figura 1.10), conforme
expressão 1.11.
n
Req
AC
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Figura 1.10 Associação de indutores em série.
LnLLLeq XXXX +++= ...21 (1.11)
b) Associação de indutores em paralelo
A associação de indutores em paralelo
equivalente XLeq (figura 1.11) conforme
expressão 1.12.
Figura 1.11 Associação de indutores em paralelo.
LnLLLeq XXXX
1
...
111
21
+++= (1.12)
O comportamento da associação série
e paralelo de indutores são iguais ao
comportamento da associação de resistores.
1.3.3 Capacitância
Capacitores são elementos passivos do
circuito que acumulam eletricidade e,
também eles, oferecem certa resistência à
passagem da corrente alternada,
denominada reatância capacitiva,
designada por XC , medida em ohm [Ω] e
expressa por:
XL1 XL2 XLn
CfC
XC
⋅⋅⋅
=
⋅
=
πω 2
11
(1.13)
onde:
f = frequência, em hertz [Hz];
C = capacitância, em farad [F];
ϖ = 2 π f = frequência angular, em [rad/s].
No capacitor, o armazenamento de
energia é em um campo elétrico, enquanto
no indutor é em um campo magnético.
Conforme mostrado na figura 1.12, nos
circuitos puramente capacitivos, a corrente
fica adiantada de 90° em relação à tensão,
ou seja, o ângulo de fase é: ϕ = - 90°.
Figura 1.12 Senóides da tensão e da corrente nos
capacitores.
Dica:
Nos circuitos de corrente contínua, os
capacitores se comportam como um
interruptor aberto.
1.3.3.1 Associação de capacitores
A associação dos capacitores em um
=
XL qe
XL1
XL2
XLn
XLeq
AC
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em cada capacitor (o valor da tensão sob
cada elemento é variável e depende do valor
da capacitância). Já na associação em
paralelo, todos os capacitores estão
submetidos ao mesmo valor da tensão (o
valor da corrente em cada elemento é
variável e depende do valor da capacitância).
XCeq
Figura 1.14 Associação de capacitores em paralelo.
CnCCCeq XXXX +++= ...21 (1.15)
O comportamento da associação série
e paralelo de capacitores é o inverso do
comportamento da associação de resistores
e indutores.
a) Associação de capacitores em série
A associação de capacitores em série
equivalente XCeq (figura 1.13), conforme
expressão 1.14. 1.3.4 Impedância
Os circuitos elétricos de corrente
alternada raramente são apenas resistivos,
indutivos ou capacitivos. Na esmagadora
maioria das vezes, apresentam as duas
reatâncias (ou somente uma delas)
combinadas com a resistência.
A resistência total do circuito - que
passa a ser denominada impedância,
designada por Z e, evidentemente, medida
em ohm [Ω] - é o resultado dessa
combinação.
Porém, como vimos nas figuras 1.6, 1.9
e 1.12, a resistência e as reatâncias são
vetores (grandezas que agrupam três
informações: módulo, direção e sentido).
A composição vetorial que fornece a
impedância é bastante simples, pois seus
vetores são coplanares e posicionados a 90°,
como esquematizado na figura 1.15.
Em vista disso, ela é determinada como
a hipotenusa do triângulo retângulo,
denominado triângulo das impedâncias,
em que um dos catetos é a resistência e o
outro a reatância indutiva ou a capacitiva ou,
caso coexistam, a diferença vetorial entre
estas duas. Vetorialmente, considera-se a
reatância indutiva positiva e a capacitiva,
negativa.
XC1 XC2 XCn
XCeq
Figura 1.13 Associação de capacitores em série.
:
CnCCCeq XXXX
1
...
111
21
+++= (1.14)
b) Associação de capacitores em paralelo
A associação de capacitores em
paralelo pode ser representada através do
seu valor equivalente XCeq (figura 1.14)
conforme expressão 1.15.
XC1 XC2 XCn
AC
ESSE
W
W
W
.EN
G
EW
EB.EN
G
.BR
PAR
A
O
BTER
A
VER
SÃO
C
O
M
PLETA!

Figura 1.15 Vetores componentes da impedância.
Podemos escrever, observando a figura
1.15 e utilizando o Teorema de Pitágoras, as
seguintes relações trigonométricas:
22
XRZ += (1.16)
ϕcos⋅= ZR (1.17)
ϕsenZX ⋅= (1.18)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
R
X
arctgϕ (1.19)
Conforme apresentado na Tabela 1.1, o
ângulo da impedância indicado na expressão
1.19 torna-se respectivamente, para cargas
predominantemente indutivas e capacitivas:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
R
L
arctg
R
X
arctg
L ω
ϕ (1.19a)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
CR
arctg
R
X
arctg
C
ω
ϕ
1 (1.19b)
A impedância de um circuito elétrico,
portanto, pode apresentar-se segundo uma
das seguintes variantes:
a) Caso a1
22
LXRZ += (1.20)
b) Caso a2
22
CXRZ += (1.21)
c) Caso b1 ou b2
( )2222
CL XXRXRZ −+=+= (1.22)
Nas expressões 1.20 e 1.21, casos (a1)
e (a2), todos os termos já são nossos
conhecidos. No caso (b1) ou (b2), o termo X
é a diferença algébrica entre a reatância
indutiva XL e a capacitiva XC. Quando, em
valores absolutos:
a indutância é maior, o circuito é
predominantemente indutivo, caso (b1)
da figura 1.15;
a indutância é menor, o circuito é
predominantemente capacitivo, caso (b2)
da figura 1.15.
1.3.4.1 Combinação de impedâncias
As impedâncias combinam entre si
(combinação série e paralelo) exatamente
como as resistências e as indutâncias.
a) impedâncias em série:
neq ZZZZ +++= ...21 (1.23)
R
XL
XC
R
XL
Z
(a1)
R
Z
XC
(a2)
R
X
Z
(b1)
R
Z
X(b2)
(a1) e/ou (a2) (b1) ou (b2)
R
X
ϕ
Z
AC
ESSE
W
W
W
.EN
G
EW
EB.EN
G
.BR
PAR
A
O
BTER
A
VER
SÃO
C
O
M
PLETA!

b) impedâncias em paralelo:
neq ZZZZ
1
...
111
21
+++= (1.24)
1.3.4.2 Impedância no domínio da
frequência
A Lei de Ohm, que permitiu a derivação
da expressão 1.7, para os circuitos de
corrente alternada, passa então a ser
expressa de maneira mais geral pela relação
entre a tensão fasorial U e a corrente
fasorial
&
I& (onde Z& é um número complexo,
mas não um fasor):
IZU &&& ⋅= (1.25)
Nota:
O pequeno ponto sobre a variável indica que
é um número complexo, composto por suas
componentes real e imaginária.
O fasor, uma representação
geométrica de um segmento linear orientado
que gira no sentido anti-horário (convenção)
a uma velocidade angular ω (rad/s), possui
“tamanho” igual à amplitude do seu sinal
equivalente da curva senóide; o ângulo entre
dois fasores é a diferença entre dois pontos
correspondentes na curva senóide.
Função:
( ) Vº45200cos150 +⋅= tu
Representação do fasor: Vº45150 ∠=U&
‘
A expressão (1.25), definida no
chamado “domínio da freqüência” (quando
descrito por meio de quantidades complexas
chamadas fasores), é formalmente igual à
Lei de Ohm (U = R.I), para uma rede resistiva
no “domínio do tempo” (quando o estado
estacionário é especificado por meio de
senos e cosenos).
Uma carga pode ser reapresentada por
sua impedância equivalente Z, que, como
vimos, é composta pela resistência R e pela
reatância X equivalente.
Existem duas maneiras de representar
a impedância Z:
Forma retangular ou cartesiana;
Forma polar.
Nota:
Para maiores detalhes sobre as
representações na forma retangular e polar,
ver apêndice A.
A forma retangular (também conhecida
por “representação complexa”) é
apresentada da seguinte maneira:
jXRZ +=& (1.26)
onde:
R (resistência) é a chamada “parte real” da
impedância, em ohm [Ω];
X (reatância) é a chamada “parte imaginária”
da impedância, em ohm [Ω];
j = operador matemático que define o
chamado “número complexo”.
A forma polar é representada da
seguinte maneira:
βα
β
α
ϕ −∠=
∠
∠
=∠=
I
U
I
U
ZZ& (1.27)
onde:
O fasor U gira em
sentido anti-horário
com velocidade
ω = 200 rad/s
&
V501
45º
U&
AC
ESSE
W
W
W
.EN
G
EW
EB.EN
G
.BR
PAR
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BTER
A
VER
SÃO
C
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M
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|Z|= módulo da impedância;
α = ângulo da tensão;
β = ângulo da corrente;
ϕ = ângulo de fase da impedância, que mede
o ângulo pelo qual a tensão se adianta em
corrente (ϕ = α - β);
∠ = operador matemático para separar o
módulo do ângulo de fase. Em circuitos
puramente resistivos, os valores de I e U
estão em fase e ϕ = 0º; em circuitos
predominantemente indutivos, a corrente I se
atrasa de U e 0º < ϕ < 90º; em circuitos
predominantemente capacitivos, I se adianta
de U e -90º < ϕ < 0º.
A reatância, que, como vimos, na forma
retangular é a parte imaginária da
impedância, é considerada positiva quando
for uma reatância indutiva (j XL) e negativa
quando for uma reatância capacitiva (-j XC).
A Tabela 1.1 apresenta circuitos
elétricos combinados com resistências,
indutâncias e capacitâncias no domínio da
freqüência.
Tabela 1.1 Diagramas fasoriais para circuitos com elementos resistivos, indutivos e capacitivos.
Diagrama fasorial Esquema elétrico Impedância Z
Ângulo da
impedância
ϕ∠= RZ& º0=ϕ
ϕ∠+=
+= jX
22
L
LXRZ
RZ
&
&
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
R
L
arctg
R
X
arctg L
ω
ϕ
ϕ∠+=
−= jX
22
C
CXRZ
RZ
&
&
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
RC
arctg
R
X
arctg C
1
ω
ϕ
U&
I&
α=β
Os fasores I e U
estão em fase
ϕ = 0º
U&
I&
α
β
ϕ
I se atrasa de U
0º < ϕ < 90º
I se adianta de U
-90º < ϕ < 0º
U&
I&
α
β
ϕ
R
R
j XL = j ωL
- j XC = -j(1/ωC)
R
AC
ESSE
W
W
W
.EN
G
EW
EB.EN
G
.BR
PAR
A
O
BTER
A
VER
SÃO
C
O
M
PLETA!

EXEMPLO 1.1 Calcule a impedância de um circuito RL,
com R = 10 Ω, L = 50 mH e frequência igual a 60Hz.
Solução:
Como o circuito é reativo indutivo, temos que, de
(1.10):
Ω=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅== 1905,06022 ππω LfLXL
de (1.26),
Ω=+=+= 4,211910 2222
LXRZ
Representação na forma retangular:
de (1.26), ( ) ( ) Ω+=+= 1910 jjXRZ L&
Representação na forma polar:
de (1.19a),
º2,62
10
19
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= arctg
R
X
arctg
L
ϕ
de (1.27), º2,624,21 ∠=∠= ϕZZ&
Triângulo das impedâncias:
EXEMPLO 1.2 Calcule a impedância de um circuito
RC, com R = 8 Ω, C = 600 μF e frequência igual a 60
Hz.
Solução:
Como o circuito é reativo capacitivo, temos que, de
(1.13):
Ω=
⋅⋅⋅
=
⋅⋅⋅
== 4,4
0006,0602
1
2
11
ππω CfC
XC
de (1.16),
Ω=+=+= 1,94,48 2222
CXRZ
Representação na forma retangular:
de (1.26), ( ) ( ) Ω−=−= 4,48 jjXRZ C&
Representação na forma polar:
de (1.19b),
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
CR
arctg
R
X
arctg
C
ω
ϕ
1
º8,28
8
4,4
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
= arctgϕ
de (1.27), ϕ∠= ZZ& = º8,281,9 −∠
8 Ω
EXEMPLO 1.3 Calcule a impedância Z e a corrente I
para um circuito RL série, com R = 10 Ω, L = 4 mH e
uma tensão aplicada de .tsenu 5000200⋅=
Solução:
Da expressão da tensão (1.3), temos que U = 200V e ϖ
= 5000. Portanto:
( ) Ω=×⋅== −
201045000 3
LXL ω
de (1.26), Ω∠=+= º4,633,222010 jZ&
Para , a corrente será, de (1.25):VU º0200∠=&
A
Z
U
I º4,639,8
º4,632,32
º0200
−∠=
∠
∠
==
&
&
&
EXEMPLO 1.4 Calcule a impedância Zeq e a corrente I
para um circuito série com duas impedâncias Z1 = 10 ∠
0º Ω e Z2 = 5 ∠ 63,4º Ω e tensão 127 ∠ 0º V.
Solução:
Para as impedâncias em série, de (1.23) e (1.25),
temos:
( ) ( )
A
Z
U
I
Z
eq
eq
º208,9
º2013
º0127
º2013º4,635º010
−∠=
∠
∠
==
Ω∠=∠+∠=
&
&
&
&
1.4 Potência e energia elétrica
Em uma grande classe de aplicações,
os cálculos de correntes e tensões nos
circuitos não são suficientes para a
10 Ω
j19 Ω
ϕ=62,2º
21,4 Ω
- j4,4 Ω
ϕ=62,2º
9,1 Ω
AC
ESSE
W
W
W
.EN
G
EW
EB.EN
G
.BR
PAR
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A
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SÃO
C
O
M
PLETA!

determinação das grandezas elétricas e
especificação dos componentes dos
circuitos. Em numerosas instâncias um
objetivo de fundamental importância é a
determinação da potência elétrica em um
circuito ou da energia elétrica por ele
consumida ou fornecida. Será considerado
em nosso estudo, a menos que considerado
de maneira diferente, a potência e energia
em regime permanente senoidal.
Observe que o estudo da potência e
energia elétrica são grandezas muito mais
“assimiláveis” em termos práticos, visto que
em termos de sistemas elétricos de potência
é exatamente este produto – energia – que é
gerada pelas usinas, sendo transmitida,
distribuída e faturada ($$$) pelas
concessionárias para os mais variados tipos
de consumidores (industriais ou
residenciais).
Potência elétrica, em termos gerais, é a
quantidade de trabalho executado em um
intervalo de tempo, ou seja, a taxa de
variação de energia. No domínio elétrico da
tensão alternada, usando o circuito da figura
1.16 como exemplo, a potência p absorvida
por uma carga é diretamente proporcional à
tensão instantânea u a que está submetida e
à corrente instantânea i que circula, ou seja:
iup ⋅= (1.28)
Como a corrente é um fluxo de elétrons
mantido pela diferença de potencial entre
dois pontos do circuito, então, pela figura
1.16, uma analogia hidráulica para a potência
elétrica seria que a pilha "bombeia" elétrons
através da carga e esta, ao ser alimentada
com este "fluxo sob a pressão u", executa
certa quantidade de trabalho.
+
-
Pilha
iu
Carga
Figura 1.16 Potência absorvida por uma carga.
Potência versus Energia:
Qual a diferença entre potência e energia?
Potência é a capacidade de realizar um determinado
trabalho. Energia é o trabalho propriamente dito.
Imagine um halterofilista que tem a força para levantar
até 200 quilos. Ele tem potência. Quando nosso
halterofilista suspender um peso ele terá realizado um
trabalho. Em conseqüência gastou uma certa
quantidade de energia.
Os equipamentos elétricos também têm uma
capacidade de realizar trabalho como, por exemplo,
aquecer a água do seu banho. Haverá consumo de
energia quando você ligar o chuveiro. Como o nosso
atleta, o chuveiro tem capacidade (potência) mas só
produzirá a energia quando for acionado.
Supondo um caso geral de tensão
senoidal ( ) ( tsenUtu m )ω⋅= no circuito da
figura 1.16, para uma carga passiva, a
corrente resultante em regime permanente
(amortecidos os eventuais transitórios do
sistema) também será senoidal do tipo
( ) ( )ϕω −⋅= tsenti Im , onde ϕ pode ser positivo
ou negativo, correspondendo à impedância
equivalente indutiva ou capacitiva,
respectivamente.
Substituindo os valores de u e i em
(1.28) e considerando-se os valores eficazes
de tensão e corrente dados em (1.5) e (1.6),
temos:
( ) ( )ϕωω −⋅⋅⋅=⋅= tsentsenUiup m Im
( ) ( )ϕωω −⋅⋅⋅⋅⋅= tsenItsenUp 22
( ) ( )ϕωϕ −⋅−⋅= tUIUIp 2coscos (1.29)
As figuras 1.17 à 1.21 representam
graficamente as variações da tensão,
corrente e potência para um sistema
monofásico com e sem fluxo de potência
reativa.
Observe que a potência instantânea p
da expressão (1.29) é formada por duas
parcelas: uma componente constante com
valor médio ( )ϕcos⋅UI e que nunca torna-se
negativo - denominada potência ativa P
(componente resistivo – efetua trabalho), e
AC
ESSE
W
W
W
.EN
G
EW
EB.EN
G
.BR
PAR
A
O
BTER
A
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C
O
M
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uma componente com freqüência 2ω com
valor médio nulo, denominada potência
reativa Q (componente circulante – não
efetua trabalho). Esta última, em
determinados intervalos, torna-se negativa, o
que indica que a energia flui da carga em
direção á fonte.
A observância dos gráficos das figuras 1.17 à
1.21 permite uma análise bastante prática.
Quando a curva da potência instantânea for
positiva ao longo de todo o período (como a
indicada na figura 1.20), significa que não
existe fluxo de potência reativa no sistema
elétrico. Por outro lado, quando a curva
torna-se negativa em certos intervalos,
significa que existe fluxo de potência reativa.
Figura 1.17 Tensão (u) e corrente (i) instantânea em
um circuito monofásico.
Figura 1.18 Potência instantânea (p = u.i) em um
circuito monofásico com reativo Q ≠ 0.
p
u
i
Figura 1.19 Tensão (u), corrente (i) e potência (p)
instantânea em um circuito monofásico com Q ≠ 0.
Figura 1.20 Potência instantânea (p) em um circuito
monofásico com reativo Q = 0.
Figura 1.21 Tensão (u), corrente (i) e potência (p)
instantânea em um circuito monofásico com Q = 0.
u
i
p
p
u
i
p
Potência reativa
Potência ativa
Potência ativa
AC
ESSE
W
W
W
.EN
G
EW
EB.EN
G
.BR
PAR
A
O
BTER
A
VER
SÃO
C
O
M
PLETA!

Ambas as grandezas são vetoriais e a
sua soma é chamada de potência aparente,
medida em volt.ampère [VA] e designada
pela letra S, ou seja:
QPS += (1.30)
Figura 1.22 Potência aparente.
Em termos complexos, a expressão
(1.30) toma a forma:
jQPS +=& (forma retangular) (1.31)
ϕ∠= SS& (forma polar) (1.32)
onde
|S| = módulo da potência aparente, em
volt.ampère [VA];
P = potência ativa, em watt [W];
Q = potência reativa, em volt.ampère.reativo,
[Var];
ϕ = ângulo de defasamento entre a tensão e
a corrente, em graus.
Nota:
O pequeno ponto sobre a variável S indica que é
um número complexo, composto por suas
componentes real (P) e imaginária (Q).
Aplicando algumas relações
trigonométricas à expressão (1.29), obtém-
se:
( ) 22cos1cos tsensenUItUIp ωϕωϕ ⋅⋅−−⋅⋅=
( ) tsenQtPp ωω 22cos1 ⋅−−⋅= (1.33)
Observa-se que a primeira parcela tem,
como visto, seu valor médio P igual a
ϕcos⋅UI (que também é o valor médio de p,
visto que o valor médio do segundo termo é
nulo) e a segunda parcela tem seu valor
máximo (amplitude) Q igual a ϕsenUI ⋅ e
representa a potência instantânea que é
trocada entre a carga e a fonte.
A parcela P (potência ativa) quantifica o
trabalho útil produzido pelo circuito, por
exemplo, mecânico (nos motores), térmico
(nos aquecedores) e luminoso (nas
lâmpadas). É o valor médio da potência
instantânea sobre um número integral de
períodos. Esta potência elétrica, no
consumidor, é transformada em outras
formas de energia.
Figura 1.23 Potência ativa.
A potência ativa ("pura") é uma
potência que é "absorvida" em circuitos cuja
carga tem uma característica puramente
resistiva, sendo medida em watt [W] e
expressa por:
a) cargas ligadas entre fase e neutro
ϕcos..0 IUP = (1.34)
b) cargas ligadas entre 2 fases
ϕcos..IUP = (1.35)
c) cargas ligadas entre 3 fases
ϕcos...3 IUP = (1.36)
onde,
P = potência ativa, em watt [W];
U = tensão de linha, em volt [V] – ver figura
1.25;
U0 = tensão de fase, em volt [V] – ver figura
1.25;
I = corrente de linha, em ampère [A].
Carga
resistiva
Aquecedor Lâmpada
Componente resistivo
(ativo) = realiza
trabalho
Compotente circulante
(reativo) = não realiza
trabalho
AC
ESSE
W
W
W
.EN
G
EW
EB.EN
G
.BR
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O termo “cosϕ”, em redes lineares e em
regime permanente senoidal, é o chamado
fator de potência (Fp), que veremos em
detalhe logo adiante.
A parcela Q (potência reativa)
representa quanto da potência aparente foi
transformada em campo magnético (ao
circular, por exemplo, através de motores de
indução e reatores) ou campo elétrico
(armazenado nos capacitores), sendo
medida em volt.ampère-reativo [VAr] e
expressa por:
ϕsen..0 IUQ = (1.37)
ϕsen..IUQ = (1.38)
ϕsen...3 IUQ = (1.39)
onde,
Q = potência reativa, em volt.ampère.reativo
[VAr];
U = tensão de linha, em volt [V] – ver figura
1.25;
U0 = tensão de fase, em volt [V] – ver figura
1.25;
I = corrente de linha, em ampère [A].
O termo “senϕ” é denominado fator
reativo (Fr).
Como os campos crescem e
decrescem, acompanhando a freqüência, a
potência reativa varia duas vezes por período
entre a fonte de corrente e condutores. Por
isso seu valor é dado em volt-ampère reativo.
Sua existência aumenta a carga dos
geradores, dos condutores e dos
transformadores.
A potência reativa, além de não
produzir trabalho, circula entre a carga e a
fonte de alimentação, o que não é desejável
sob o ponto de vista de transferência de
energia, pois ocupa um espaço no sistema
elétrico que poderia ser utilizado para
fornecer mais energia ativa, exigindo da fonte
e do sistema de distribuição uma potência
adicional (consequentemente, uma corrente
adicional).
Campo magnético
Figura 1.24 Potência reativa.
Em circuitos trifásicos equilibrados (ou
seja, circuitos onde as cargas nas três fases
são exatamente iguais), a potência por fase
(PF ou QF) é igual a 1/3 da potência trifásica
total, ou seja, P = 3.PF e Q = 3.QF.
Importante:
Fluxo de potência:
Cargas puramente resistivas:
P ≠ 0; Q = 0
Cargas puramente indutivas/capacitivas:
P = 0; Q ≠ 0
Cargas compostas de resistência e reatância
(indutiva ou capacitiva):
P ≠ 0; Q ≠ 0
É importante relembrar que, condutores
vivos, conforme a NBR 5410 – Instalações
Elétricas de Baixa Tensão - são as fases e o
AC
ESSE
W
W
W
.EN
G
EW
EB.EN
G
.BR
PAR
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O
BTER
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C
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M
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neutro da instalação elétrica (figura 1.25), na
qual se salienta:
A tensão de linha (ou fase-fase) é medida
entre duas fases quaisquer do sistema e
designada por U;
.A tensão de fase (ou fase-neutro) é
medida entre qualquer fase do sistema e
o neutro, sendo designada por U0;
Figura 1.25 Sistemas elétricos de distribuição.
Analogamente ao que foi visto para o
triângulo das impedâncias, da expressão
(1.30) resulta o triângulo das potências
(figura 1.26), em que as potências ativa e
reativa são catetos, podendo-se, portanto,
escrever, por aplicação direta do Teorema de
Pitágoras:
S
P
Q
ϕ
Figura 1.26 Triângulo das potências.
222
QPS += (1.40)
ϕcos⋅= SP (1.41)
ϕsenSQ ⋅= (1.42)
P
Q
tg =ϕ (1.43)
Substituindo na expressão (1.40) os
valores de P e Q fornecidos pelas
expressões 1.34 a 1.39, obtém-se
finalmente:
IUS .0= (1.44)
IUS .= (1.45)
IUS ..3= (1.46)
O termo “fator de potência” (Fp), de
maneira geral, é definido agora em termos da
relação entre a potência ativa e o produto da
tensão e corrente eficazes, ou seja:
( )222
1
1
PQQP
P
S
P
IU
P
Fp
+
=
+
==
⋅
= (1.47)
F
N U0
Monofásico a 2 fios
F
N
U
Monofásico a 3 fios
(bifásico simétrico)
F
U0 U0 F
N
U
Trifásico a 4 fios (estrela)
U0
U0
F
F
U
U
U0
3
0
U
U =2
0
U
U =
AC
ESSE
W
W
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.EN
G
EW
EB.EN
G
.BR
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onde, no caso de cargas passivas e
circuitos lineares (circuitos nos quais a
relação entre a tesão e corrente é uma reta,
ou seja, possuem uma variação proporcional)
em regime permanente senoidal, obtemos:
ϕ
ϕ
cos
cos
=
⋅
⋅⋅
=
⋅
=
IU
IU
IU
P
Fp (1.48)
No capítulo 9, será abordada a
definição geral de Fator de Potência,
considerando-se a não-linearidade dos
circuitos e os harmônicos na instalação,
situação esta encontrada na prática nos
sistemas elétricos. Até lá, assumiremos que
todos os nossos circuitos em estudo serão
lineares e, portanto, nesta condição, vale a
definição apresentada pela expressão 1.48.
Importante:
Sistema linear: Sistema não-linear:
A relação entre a tensão e a
corrente apresenta uma
variação proporcional
(graficamente é uma reta).
As formas de onda
permanecem senoidais em
qualquer ponto de operação.
A relação entre a tensão e a
corrente apresenta uma
variação que não é
proporcional (graficamente
não é uma reta). As formas
de onda não permanecem
senoidais.
i i
Uma análise gráfica da expressão
(1.43) nos apresenta a variação do fator de
potência devido à variação das potências
ativa e reativa (figura 1.27).
De fato:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⇒=
P
Q
arctg
P
Q
tg ϕϕ
Logo,
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
P
Q
arctgcoscosϕ
Observe que, quanto maior a relação
entre a potência reativa e ativa (Q/P), o que
pode ser obtido aumentando Q ou
diminuindo P, menor o fator de potência.
Fator de potência versus relação Q / P
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
5,50
6,00
6,50
7,00
7,50
8,00
8,50
9,00
9,50
10,00
Relação Q / P
Fatordepotência
Figura 1.27 Variação do fator de potência devido à
variação da relação Q/P.
Fator de potência versus relação Q / P
0,40
0,60
0,80
1,00
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00
Relação Q / P
Fatordepotência
Figura 1.28 Detalhe da variação do fator de potência
devido à variação da relação Q/P no intervalo entre 0 e
1.
u u
AC
ESSE
W
W
W
.EN
G
EW
EB.EN
G
.BR
PAR
A
O
BTER
A
VER
SÃO
C
O
M
PLETA!

A figura 1.28 nos mostra com mais
precisão a variação do fator de potência com
a relação Q/P variando-se entre 0 e 1.
Observe que o fator de potência igual a 0,92
é obtido para uma relação Q/P = 0,4. Mais
adiante, veremos a importância desta
indicação do fator de potência igual a 0,92.
Levando-se em consideração a
expressão 1.25, podemos escrever para as
potências ativa e reativa definidas pelas
expressões 1.34 a 1.39:
ϕcos××= IUP
22
cos IRIZP ×=××= ϕ (1.49)
ϕsenIUQ ××=
22
IXsenIZQ ×=××= ϕ (1.50)
Figura 1.29 Carga elétrica e o fluxo de potência.
Importante:
O fator de potência para cargas
predominantemente indutivas (resistência
mais indutância - ver tabela 1.2) é dito
indutivo ou "em atraso", onde o ângulo ϕ é
considerado, por convenção, POSITIVO.
Cargas predominantemente capacitivas
(resistência mais capacitância - ver tabela
1.2) é dito capacitivo ou "em avanço", onde o
ângulo ϕ é considerado NEGATIVO.
Desta forma, o fator de potência deverá ser
acompanhado sempre das palavras
“indutivo” (em atraso) ou “capacitivo” (em
avanço) para caracterizar bem a carga
elétrica, uma vez que a função “cos ϕ” será
sempre positiva para qualquer ângulo ϕ.
O fator de potência indutivo significa que a
instalação elétrica está absorvendo a energia
reativa. A maioria dos equipamentos elétricos
possui características indutivas em função
das suas bobinas (ou indutores), que
induzem o fluxo magnético necessário ao
seu funcionamento.
O fator de potência capacitivo significa que a
instalação elétrica esta fornecendo a energia
reativa. São características dos capacitores
que normalmente são instalados para
fornecer a energia reativa que os
equipamentos indutivos absorvem. O fator de
potência torna-se capacitivo quando são
instalados capacitores em excesso. Isso
ocorre, principalmente, quando os
equipamentos elétricos indutivos são
desligados e os capacitores permanecem
ligados na instalação elétrica.
A tabela 1.2 indica, para os diversos
tipos de carga, o fator de potência e as
potências ativa e reativa. Observe que uma
carga de natureza indutiva absorve Q
positivo (Q > 0), isto é, um indutor consome
potência reativa. Como exemplo de cargas
que consomem energia reativa, temos:
transformadores, motores de indução e
reatores. Para uma carga capacitiva temos a
absorção de Q negativo (Q < 0), isto é, um
capacitor gera potência reativa. Como
exemplo de cargas que fornecem energia
reativa, temos: capacitores e motores
síncronos.
Mais adiante, utilizaremos esta
característica importante dos elementos
capacitivos para a compensação de energia
reativa na instalação elétrica para fins de
correção do fator de potência.
Carga
elétrica
jXRZ +=&
P
Q
I
U
AC
ESSE
W
W
W
.EN
G
EW
EB.EN
G
.BR
PAR
A
O
BTER
A
VER
SÃO
C
O
M
PLETA!

Tabela 1.2 Tipo de carga x Fator de Potência.
Tipo de
carga
Relação
Fasorial
Fase
Fator de
Potência
P Absorvido
pela carga
Q. Absorvido
pela carga
Resistiva ϕ = 0 cosϕ = 1 P > 0 Q = 0
Indutiva ϕ = +90º cosϕ = 0 P = 0 Q > 0
Capacitiva ϕ = -90º cosϕ = 0 P = 0 Q < 0
Resistiva e
Indutiva
0 < ϕ < +90º 1 > cosϕ > 0 P > 0 Q > 0
Resistiva e
Capacitiva
-90º < ϕ < 0 0 < cosϕ < 1 P > 0 Q < 0
Em termos de corrente, a corrente total
que circula numa carga qualquer é resultante
da soma vetorial de duas componentes de
corrente elétrica (figura 1.30). Uma
componente que é denominada de corrente
ativa (IP) e a outra que é denominada de
corrente reativa. (IQ) A soma vetorial da
corrente ativa e da corrente reativa é
denominada de corrente aparente (I).
ϕcos×= IIP (1.51)
ϕsen×= IIQ (1.52)
I
IQ
ϕ
IP
Figura 1.30 Triângulo das correntes.
O diagrama vetorial das potências
(triângulo das potências) para cargas
indutivas e capacitivas é mostrado nas
figuras 1.31 e 1.32, respectivamente.
S
P
Q
ϕ
S
P
Q
ϕ
=
Convenção: em cargas predominantemente indutivas, a corrente
apresenta-se atrasada em relação a tensão e o ângulo de fase ϕ é
positivo.
Figura 1.31 Diagrama vetorial para cargas indutivas.
S
P
Q
ϕ
=
Convenção: em cargas predominantemente capacitivas, a corrente
apresenta-se adiantada em relação a tensão e o ângulo de fase ϕ é
negativo.
P
Q
S
ϕ
Figura 1.32 Diagrama vetorial para cargas capacitivas.
I& U&
U&
U&
U&
U&
I&
I&
I&
I&
AC
ESSE
W
W
W
.EN
G
EW
EB.EN
G
.BR
PAR
A
O
BTER
A
VER
SÃO
C
O
M
PLETA!

Observe que o ângulo de fase "ϕ"
(ângulo de defasamento entre tensão e
corrente) é o mesmo ângulo de defasamento
entre a potência aparente S e a potência
ativa P.
EXEMPLO 1.5 Calcule a impedância, as potências
ativa, reativa e o fator de potência de um circuito
monofásico a 2 fios (FN) com e
.
VU º30127 ∠=&
AI º6010 ∠=&
Solução:
a) impedância da carga:
de (1.25),
Ω−∠=
∠
∠
== º307,12
º6010
º30127
I
U
Z
&
&
&
b) potência ativa
de (1.34),
ϕcos..0 IUP =
( ) WP 100.1
2
3
10127º30cos.10.127 =⋅⋅=−=
c) potência reativa
de (1.37),
ϕsen..0 IUQ =
( ) VArsenQ 635
2
1
10127º30.10.127 −=−⋅⋅=−=
d) fator de potência
( ) 866,0º30coscos =−=ϕ (capacitivo ou em avanço)
EXEMPLO 1.6 Calcule o fator de potência e as
potências ativa e reativa em uma impedância com R =
10 Ω e XL = j10 Ω, sabendo que .VU º0110 ∠=&
Solução:
a) corrente
de (1.25) e (1.26),
Ω∠=+= º4514,141010 jZ&
Ω−∠=
∠
∠
== º4578,7
º4514,14
º0110
Z
U
I
&
&
&
b) fator de potência
de (1.19a),
º45
10
10
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= arctg
R
X
arctg
L
ϕ
( ) ( ) 71,0º45coscos === ϕFp
c) potências ativa e reativa na impedância
( ) ( ) WIUP 14,605º45cos78,7110cos =××=⋅⋅= ϕ
( ) ( ) VArsensenIUQ 14,605º4578,7110 =××=⋅⋅= ϕ
1.4.1 Potência complexa
Sejam os vetores de tensão e corrente
abaixo:
α∠= UU& (1.53)
β∠= II& (1.54)
Vamos definir o fasor conjugado da
corrente por:
β−∠=* II& (1.55)
AI º6010 ∠=&
VU º0110 ∠=&
10 Ω
j10 Ω
Z
AC
ESSE
W
W
W
.EN
G
EW
EB.EN
G
.BR
PAR
A
O
BTER
A
VER
SÃO
C
O
M
PLETA!

Define-se potência complexa como o
"produto do fasor da tensão pelo conjugado
da corrente", ou seja:
*
IUS &&& ×= (1.56)
Obtemos, de (1.53) e (1.55) em (1.56):
( ) ( ) βαβα −∠⋅=−∠×∠= IUIUS&
Sendo o ângulo de fase ϕ, como já
visto, igual a (α - β) e, com o auxílio das
expressões 1.49 e 1.50, obtém-se as
expressões da potência complexa (1.57 e
1.58):
ϕ∠×= IUS& (1.57)
( ) ( ϕϕ senIUjIUS ××+××= cos& )
jQPS +=& (1.58)
Em temos da impedância,
( ) 2**
IZIIZIUS ×=××=×= &&&&&& (1.59)
A potência aparente também é uma
grandeza útil para analisar um conjunto de
impedâncias ligadas em paralelo em um
circuito. Conforme a figura (1.33),
( )nT IIIUIUS &&&&&&& +++⋅=⋅= ...* 21
∑=
=+++=
n
i inT SSSSS 121 ... &&&&& (1.60)
de onde,
( )∑∑ ==
+==
n
i ii
n
i iT jQPSS 11
&&
22
TTTTT QPjQPS +=+=& (1.61)
nT PPPP +++= ...21
(1.62)
nT QQQQ +++= ...21
(1.63)
T
T
Q
P
=ϕcos (1.64)
Estes resultados obtidos (que são
válidos também para cargas ligadas em
série) mostram que o triângulo de potência
para a rede total pode ser obtido através da
ligação dos triângulos de potência para os
ramos, do vértice de uma carga a outra. Por
exemplo, para um circuito com 2 cargas
indutivas (cargas 1 e 3) e uma capacitiva
(carga 2), teremos a seguinte composição do
triângulo de potência indicada na figura 1.34.
Figura 1.33 Potência aparente total em um circuito.
P1
Q1
cosϕ1
I
U
I
U=
P2
Q2
cosϕ2
Pn
Qn
cosϕn
PT
QT
cosϕT
AC
ESSE
W
W
W
.EN
G
EW
EB.EN
G
.BR
PAR
A
O
BTER
A
VER
SÃO
C
O
M
PLETA!

ST S3
P2 Q3
QT
Q2
S2
S1
Q1 P3
P1
PT
Figura 1.34 Representação vetorial dos triângulos de potência para um conjunto de cargas.
EXEMPLO 1.7 Obtenha informações completas sobre
a potência de uma rede passiva, considerando-se uma
impedância Z = 6 + j8 Ω e tensão u = 50 cos (1000t +
30º) V.
Solução:
Da expressão u = 50 cos (1000t + 30º), obtemos:
Umáx = 50 V
α = 30º
Da expressão Z = 6 + j8 Ω, obtemos, por comparação
com (1.26):
R = 6 Ω e X = 8 Ω
De (1.16) e (1.19), obtemos:
º13,5310
º13,53)6/8(
1086 22
∠=
==
=+=
Z
arctg
Z
ϕ
Da expressão (1.5), temos:
V
Umáx
U 4,35
2
50
2
===
O fasor da tensão será:
º304,35 ∠=∠= αUU&
A
Z
U
I º13,235,3
º13,5310
º304,35
−∠=
∠
∠
==
&
&
&
Aplicando-se a expressão (1.57) , obtemos:
º13,533,54,35 ∠×=∠⋅= ϕIUS& VAS º13,539,231 ∠=&
De (1.58), com cos 53,13º = 0,6 e sen 53,13º = 0,8,
obtemos:
( ) ( )ϕϕ senIUjIUS ××+××= cos&
( ) ( )8,05,34,356,05,34,35 ××+××= jS&
jQPjS +=+= 1,993,74&
Dos cálculos acima, tiramos as seguintes conclusões:
P = 74,3 W
Q = 99,1 VAr (indutivo)
S = 123,9 VA
ϕ = 53,13º
FP = cosϕ = 0,6 (indutivo)
Observações:
1. Observe que poderíamos também obter o ângulo
de fase ϕ, como já visto, pelo ângulo de
defasagem entre tensão e corrente, ou seja: ϕ =
30º - (-23,13º) = 53,13º.
2. Se for refeito o exemplo 1.7 considerando-se uma
reatância capacitiva ao invés da indutiva, ou seja,
uma impedância Z = 6 –j8 Ω, teríamos os
seguintes resultados:
P = 74,3 W;
Q = 99,1 VAr (capacitivo) ou -99,1 VAr;
S = 123,9 VA;
AC
ESSE
W
W
W
.EN
G
EW
EB.EN
G
.BR
PAR
A
O
BTER
A
VER
SÃO
C
O
M
PLETA!

ϕ = - 53,13º;
FP = cosϕ = 0,6 (capacitivo).
EXEMPLO 1.8 Obter os dados completos de potência
para um circuito passivo com tensão aplicada e
corrente resultante de:
u = 220 cos (ωt + 10º)V
i = 10 cos (ωt - 60º)A
Solução:
Da expressão da tensão (u), temos:
Umáx = 220 V e α = 10º
V
Umáx
U 6,155
2
220
2
===
O fasor da tensão será:
º106,155 ∠=∠= αUU&
Da expressão da corrente (i), temos:
Imáx = 10 A e β = -60º
U = Imáx / √2 = 10 / √2 = 7,1 A
VU
áx
1,7
2
10
2
Im
===
O fasor da corrente será:
º601,7 −∠=∠= βII&
Utilizando a potência complexa temos, de (1.56):
( ) ( )
1,038.19,377
º70104.1º601,7º106,155
*
jS
S
IUS
+=
∠=∠×∠=
×=
&
&
&&&
Assim:
P = 377,9 W;
Q = 1.038,1 VAr (indutivo);
S = 1.104 VA;
FP = cosϕ = cos (70º) = 0,34 (indutivo).
EXEMPLO 1.9 Determine as potências ativa e reativa
(por fase e total) de uma carga trifásica ligada em
estrela com impedância Z = (8 + j6) Ω/fase e tensão de
linha igual a 220V.
Figura 1.35 Carga trifásica equilibrada em estrela.
Solução:
Pela figura 1.35, temos que:
º9,361068 ∠=+= jZ& e
V12732203 ===== UUUU cba
A corrente de linha para um circuito trifásico equilibrado
é a mesma em cada uma das fases e é calculado por:
º9,367,12
º9,3610
º03220
−∠=
∠
∠
====
Z
U
III cba &
&
&&&
onde ϕ (ângulo da impedância) é igual a 36,9º.
De (1.36), temos que a potência ativa total é obtida
por:
( )º9,36cos7,122203cos3 ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ϕIUP WP 870.3=
A potência ativa por fase em um sistema trifásico
equilibrado é calculada por:
W
P
PPP cba 1.290
3
870.3
3
=====
De (1.39), temos que a potência reativa total é obtida
por:
(8 + j6) Ω
(8 + j6) Ω
(8 + j6) Ω
a
I&
a
b
c
aU&
U = 220 V
AC
ESSE
W
W
W
.EN
G
EW
EB.EN
G
.BR
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