1. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
INTRODUCCION: El nombre de esta notación se denomina de la letra
El teorema fundamental del cálculo consiste en la griega: (Sigma mayúscula, que corresponde a
afirmación de que la derivación e integración de una nuestra S de "suma").
función son operaciones inversas.
La notación sigma :
Esto significa que toda función continua integrable
verifica que la integral de su derivada es igual a ella
misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas
denominado análisis matemático o cálculo. La ecuación anterior se lee la "suma de desde
hasta ."
1.1 MEDICION APROXIMADA DE FIGURAS AMORFAS
DONDE:
Indica una suma.
DEFINICION DE AMORFA: K es el índice de la suma o variable de la sumatoria.
Los números 1 y n indican sus valores extremos.
Sin forma determinada. NOTA: Se puede utilizar cualquier variable como
(del griego, prefijo a, negación, y la palabra morfo, índice de suma; “i,j y k”
forma; literalmente, sin forma.)
Las figuras amorfas si tienen una forma definida, lo que EJEMPLOS CON LA NOTACION SIGMA.
pasa que al querer sacar su área se le es muy difícil, aun
queriendo utilizar las formulas de otras figuras. 1.
EJEMPLOS DE FIGURAS AMORFAS: 2.
3.
4.
1.2 NOTACION SUMATORIA (NOTACION SIGMA) 5.
En nuestro desarrollo de la integral definida se empleara
sumas de muchos números. Para expresar dichas sumas 6.
en forma compacta, es conveniente usar la notación de
suma, (notación sumatoria o notación sigma).
7.
DEFINICION:
El sumatorio o la sumatoria es un operando
matemático que permite representar sumas de
muchos sumandos.
PARA REALIZAR EN CLASE
Calcule la siguientes Series:
1.
CALCULO INTEGRAL Página 1

2. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Aplicar propiedades. (4 y 7)
2. Simplificar
Simplificar
3.
PARA REALIZAR EN CLASE
4.
1. 2. 3.
Exprese cada suma en notación sigma:
4. 5.
1.
2.
PROPIEDADES DE LAS SUMAS:
1.
1.3 SUMAS DE RIEMANN
2. En matemáticas, la suma de Riemann es un
método para aproximar el área total bajo la
gráfica de una curva. Estas sumas toman su
3. nombre del matemático alemán Bernhard
Riemann.
4. SUMA DE RIEMANN :
Sea f una funcion definida en el intervalo cerrado [a,b] y sea ∆ una
particion de [a,b] dada por:
5.
6.
=es algún numero en para i=1,2,…..,n.
DONDE: = es el ancho del i-esimo subintervalo.
7.
METODOS: Hay cuatro métodos comunes para computar una
suma de Riemann:
Izquierdo
Derecho
Evaluacion de una suma aplicando las propiedades.
Medio
Trapezoidal.
APROXIMACION CON LA SUMA DE RIEMANN
SOLUCION:
, factor constante fuera de la El área por debajo de una curva puede ser aproximada con la suma
suma. (3) de Riemann:
Escribir como dos sumas. (1)
CALCULO INTEGRAL Página 2

3. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
NOTA:
-Una integral definida es un número, en tanto que
una integral indefinida es una familia de funciones.
=es algún numero en para i=1,2,…..,n. DONDE:
DONDE: = es el ancho del i-esimo subintervalo.
El ancho del subintervalo mas grande de la partición ∆ es la norma
de la partición y se denota por medio de .
Dada con , encontrar la suma Particion
ordinaria
de riemann para la función f en para la partición.
Dada:
Particion
general
HALLAR LA INTEGRAL DEFINIDA:
SOLUCION:
La solución f(x)=2x es integrable en el intervalo [-
2,1]
SOLUCION:
PARA REALIZAR EN CLASE
Dada , encontrar la suma de riemann para la
función f en para la partición. Dada:
1.4. DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA
Si “F” se define en el intervalo cerrado [a,b] y el límite:
Entonces “f “es integrable en [a,b] y el limite se denota por:
CALCULO INTEGRAL Página 3

4. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
1.5. TEOREMA DE EXISTENCIA Y 1.6. PROPIEDADES
Definicion de dos integrales definidas especiales:
1. Si f esta definida en x=a, entonces se define:
PARA REALIZAR EN CLASE:
Hallar la integral indefinida.
2. Si f es integrable en [a,b], entonces se define:
1. 2.
3. Propiedades aditiva de intervalos:
Si f es integrable en los tres intervalos cerrados
determinados por “a,b y c.”
LA INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA DE UNA REGIÓN:
Si f es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a,b], 4. Propiedades de las integrales definidas: si f y g son
entonces el área de la región acotada por la grafica de f del “eje x” integrables en [a,b] y k es una constante entonces las
y las rectas verticales x=a y x=b está dada por : funciones “k” y “f” y “f±g” son integrables en [a,b]:
Área:
, Utilizando los siguientes valores:
Escribir la integral:
SOLUCION:
Ejemplo de áreas de figuras geométricas comunes.
Dibujar la region correspondiente a cada integral
definida. Evaluar después cada integral utilizando una formula 1.7. FUNCION PRIMITIVA (ANTIDERIVADAS)
geométrica.
Suponer que se decide encontrar una función f cuya derivada es :
a. b. c.
EJEMPLO:
Rectangulo Trapezoide semicirculo
CALCULO INTEGRAL Página 4

5. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Definicion de una antiderivada o primitiva De manera informal, el teorema establece que la derivación y la
Se dice que una función f es una antiderivada o primitiva de f, en integración (definida) son operaciones inversas, asi como la
un intervalo I si: división y la multiplicación.
Ejemplo: El teorema fundamental del calculo establece que los procesos de
limite (utilizandos para definir la derivada y la integral definida).
Son todas antiderivadas de: El teorema fundamental del calculo
Si una funcion f es continua en el intervalo cerrado y F es una
es una antiderivada de “f.” antiderivada de f en el intervalo cerrado, entonces:
ecuacion
diferencial
derivada antiderivada
1.9. CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS.
REPASO: INTEGRACION Y ANTIDERIVADA
Diferenciales:
A lo largo de esta unidad, se ha estado utilizando es signo de
integral para denotar una antiderivada o primitiva y una integral
definida.
Antiderivada:
Integración
definida:
PARTES DE UNA INTEGRAL
La antiderivada o primitiva de f con respecto a “x”. CALCULOS:
Donde:
f(x)=integrando
dx=variable de integración
C=constante de integración
F es una antiderivada o primitiva de f en un
intervalo.
La integral indefinida es sinónimo de
antiderivada.
REGLAS BASICAS DE INTEGRACION:
Integral
reescribir integrar Simplificar
original
1.8. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.
Se ha visto ya dos de las principales ramas del cálculo: el cálculo
diferencial y el cálculo integral. El teorema fue enunciado por
Newton y Leibniz.
CALCULO INTEGRAL Página 5

6. UNIDAD 1: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
1.10. INTEGRALES IMPROPIAS
Es la concideracion de un intervalo infinito de integración.
Si f es continua para toda “x” x≥a, entonces:
Si f es continua para toda “x” x≤b, entonces:
Si f es continua para todos los valores de x, entonces:
EJEMPLO:
CALCULO INTEGRAL Página 6